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1、141 第五章第五章 解析函数的解析函数的 laurent 展式与孤展式与孤立奇点立奇点 在第四章里，我们已经建立了区域 D 内解析的函数与幂级数的等价关系，也有用到了泰勒级数表示图形区域内的解析函数是很方便的。但对特殊的函数（如圆心为奇点的函数）就不能在奇点的领域内表示成泰勒级数，为此，本章将建立在圆环内解析函数的级数表示，并用它的工具来研究解析函数在其孤立奇点领域内的性质.通过圆环内解析函数的级数展开，我们的到来推广了的幂级数Laurent 级数，它既可以是函数在其孤立奇点去心领域内的幂级数展式，反之，以它为工具又可研究解析函数连去心领域内的性质.泰勒级数与洛朗级数是研究解析函数的有力工具
2、.本章主要参考文献 【1】，【3】【6】1、解析函数的解析函数的 Laurent 展式展式 一一 、目的和要求目的和要求 1、了解双边幂级数极其收敛圆环内的性质.2、掌握 Laurent 定理及其与泰勒定理的关系.3、掌握求 Laurent 展式的常用方法及 Laurent 展式的初步应用.二二、重难点重难点 1、重点 双边幂级数，Laurent 定理，Laurent 展式.2、难点 Laurent 展式求法及其应用.三三、教学方法教学方法 采用启发式的课堂讲授法.四四、教学手段教学手段 电教，CAI 演示（2 课时）课时）（一一）双边幂级数双边幂级数 我们已知幂级数 2012()()()nn
3、cc zac zac za+（5.1）在其收敛圆(0)zaRR+内表示一个解析函数，考虑级数 122+()nnccczazaza+）（5.2）作代换 1za=则它表示一个幂级数 142 212nnc cc+212nnccc+，若其收敛区域为(0)rr+则 1zar(0)r+内表示一个解析函2()fz 定 理定 理 5.15.1 形 如()nnncza=的 函 数 项 级 数 称 为 双 边 幂 级 数.其 中0z，()0ncrzaR+，易得 00()nnzz=及0()nnnczz=均收敛且有公共收敛域()nnnnczz=.由以上讨论及定理 4.10，定理 4.13 易得.定义定义 5.1 5.
4、1 设双边幂级数()nnncza=的收敛圆环为 H()0rzaR+，则 (1)()nnncza=在 H 内绝对收敛且内闭一致收敛于()()()12f zfzfz=+，其中 (2)()f z在 H 内解析.(3)()()nnnf zcza=在 H 内可以逐项求导()1,2,3pk k=,还可以沿 H 内曲线逐项积分.注注 该定理对应于 Th4.13 （二二）解析函数的解析函数的 Laurent 定理以及定理以及 Taylor 定理的关系定理的关系 1 1、LaurentLaurent 定理定理 前面指出 双边幂级数在其收敛圆环内表示解析函数，反之亦有.定理定理 5.25.2（洛朗定理）（洛朗定理
5、）在圆环内 H：0Rrza+解析的函数()f z必可以展成双边幂级数（即洛朗级数）()()nnnf zcza=其中洛朗系数 10()()nnfzc za=21()()nnnfzcza=143 11()2()nnTfcdia+=()0,1,n=为圆周 a=（0R的任何数）并且展式是惟一的.证证 设为圆环 H 内的任意点，在 H 内作圆环 12:HZa，使zH，且 12rR，记 11a=：2：2a=由于()f z在闭圆环H上解析，据 Cauchy 积分定理有 ()()()211122fff zddiziz=（1）当时，有级数 n+10111()()()()(1)nnzazaza zaaaa+=）（
6、2）一致收敛 当1 时，有级数 1011()-()()(1)nnnazazzazaa+=（3）一致收敛.将（2），（3）分别代入(1)式，然后逐项求积分，我们就可以看到()f z有展式 其中()()2112nnfcdia+=()0,1,2n=()()1112nnfcdia+=根据复周线的 Cauchy 积分定理，对()zarR=：，有 z2()()nnnf zcza=144 ()()()()()11110,1,2,22innnffcddniiaa+=()()()()()111110,1,2,22nnnffcddniiaa+=于是系数可统一成 11()2()nnfcdia+=)z(n 因为系数n
7、c与我们所取得无关，故在圆环 H 内，有 .（2）唯一性 若()f z在圆环 H 内又能展成()()nnnf zcza=，据定理 5.1 知 它在圆周()zarR=：上一致收敛.乘以上的有界函数()11mza+后仍一致收敛，故可逐项积分()11()()n mnmnfdcada+=又重要积分知 右端级数中 n=m 那一项积分为2 i，其余多项为 0，则 ()11()0,1,2()mmfcdmia+=故()0,1,nnccn=注注 此处展式的唯一性指的是()f z与圆环 H 唯一确定了系数 nc，但同一个函数在不同环内展式自然是不同的。当已给函数在 a 点解析时，收敛圆环就退化成收敛圆:KzaK，
8、此时洛朗定理就是泰勒定理，洛朗系数就是泰勒系数，也只有此时，洛朗系数除了有上述积分形成外，还有微积分形成()()nfan也只有这时，洛朗级数才退化成泰勒级数。因此，泰勒级数是洛朗级数的特殊，即()0ncnZ=.在求一些初等函数的 Laurent 展式时，往往不直接用公式，而是主要通过间接法，z()()nnnf zcza=145 即据洛朗展式的唯一性，通过利用已知初等函数的泰勒展式来展开.例例 2 2 求()()11f zz z=在适当圆环内的洛朗展式.分析分析 ()f z在c上只以0,1,z=为奇点，故此半平面被分成 （1）01z（原点的去心领域，f最大解析邻域）（2）1z+（点无穷的去心邻域
9、）两个不交解析区域，自然还有 （3）011z（1z=的去心邻域）（4）11z+（以 1 为心的点的去心邻域）下面分这四个最大去心邻域来展开()f z 解解 （1）01z（展开中心为0z=）()()0111111nnf zzz zzzz=（2）1z+,即11z（展开中心0z=）()101121111111111nnnnnnnnf zzzzzzzzzzzzz=+=+=（3）011z（展示中心为1z=）（4）11z+,即111z（展开中心为1z=）z0111()(1)(1)11(1)1nnnf zzzzz=+0111111()(1)()11111111nnnf zzzzzzz=+111(1)()11
10、nnnzz=146 例例 1 1 求函数()()()112f zzz=在（1）1z （2）12z （3）2+z内的展式.解解 首先将函数()f z分解成部分分式()1121f zzz=（1）在圆1z 内，因12z ，即12z，故 10111()(1)122(1)2nnnf zzzz+=即()f z在圆1z 内的泰勒展式.(2)在圆环12z内，即有11z，12z()111112112f zzzz=101101111=2212nnnnnnnnnnzzzzz=+=（3）在圆环2+z内，有11z，21z，故()11112111f zzzzz=解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式 1 1、孤立奇点孤立奇点
11、 定义定义 5.5.2 2 若函数()f z在点a的某一去心邻域 Ka0zaR内解析，a为2(1)1)nnnz=（001211()()nnnnzzzz=121nnnzz=147 ()f z的奇点，则称a为()f z的一个孤立奇点.注注 用()f z在 Ka内为单值的，故也称a为()f z的单值性孤立奇点。若()f z为 Ka内多值函数，则称a为()f z的多值性孤立奇点（即支点）.以后不特别声明提到的孤立奇点皆指的是单值性孤立奇点，当然也有非孤立奇点.1 1、据定义及据定义及 LaurentLaurent 定理知定理知 若a为()f z的一个孤立奇点，则必0R，使()f z在点a的去心邻域 K
12、a 0zaR内可展成 Laurent 级数，即解析函数在孤立奇点的去心邻域内能展成洛朗级数，但在非孤立奇点的邻域内则不能.例例 2 2 求函数()()()1112f zzz=在1z=及2z=去心邻域内的洛朗展式.解解 (1)在以 1 为心的最大解析区域（去心邻域）011z内 .（2）在（最大）去心邻域021z内 .补补 例例 2 2（见前页）例例 3 3 sin zz在 C 上只有奇点0z=，在其去心邻域0z+内有 Laurent 展式 例例 4 4 1zzee+在 C 上只有奇点0z=，在去心邻域0z+内，有洛朗展式 11111=2+!nzznnnzeennz=+()0z+例例 5 5 si
13、n1zz在 C 上只有奇点1z=且在去心邻域01z+内，可以展成 Laurent级数 1111()211(1-1f zzzzz=+）01(1)1nnzz=0111()(1)(2)212nnnf zzzzz=20sin(1)(21)!nnnzzzn=+111sinsin(1)sin1coscos1sin1111zzzzz=+=+2232111111sin11(1)+cos1(1)2!(1)(2)!(1)13!(1)(21)!(1)nnnnznzzznz+=+148 补例补例 求函数()11zf zez=在适当圆环内的洛朗展式.解解 ()11zf zez=在C上只以1,z=为奇点（孤立），而01z
14、+即为1z=的（最大解析）去心邻域，又为以1z=为中心的z=的去心邻域.补例补例 6 6 问函数1tanz能否在0zR内展成洛朗级数？解解 1sin1tan1coszzz=的奇点为1cosz的零点 112kkz=+()0,1,2,k=及0z=；当k 时，0kz，故0z=为非孤立奇点，故不存在去心邻域0zR，使1tanz在其内解析，则不可能把1tanz在0zR内展成 Laurent 级数 五五、小结小结 1、双边幂级数 2、Laurent 定理 3、Laurent 展开的方法 六六、作业作业 127P 1（1），2（1）七七、补充说明补充说明 1、求一个函数的 Laurent 级数，基本上都是从
15、已知的洛朗级数出发，有时可利用洛朗级数的加法和乘法得到所求的洛朗级数.（1）（洛朗级数的加法）设()()()F zf zg z=+于rzaR内解析，又，在rzaR内，则 证证 据级数加法及洛朗展式的唯一性，即得。特别地，()f z于zaR内解析，23221cos1sin1cos1sin1cos1sin1(1)(1)1!(1)3!(1)(2)!(1)(21)!(1)nnnnzzzznznz+=+1 1111111zzzeeeezzz+=1901(1)1(1)1!nnnnzeezznn=111(1112!nzzezn=+）(01)z+0()()nnnf zaza=0()()nnng zb za=0
16、()()()nnnnF zabza=+149 ()g z于rza内解析，则()f z按za正幂展开，()g z按za负幂展开.（2）（洛朗级数的乘法）设()()()12F zfzfz=于rzaR内解析，且 则 其中 nkn kkca b=()0,1,2,n=证证 由题意可得 其中，rR，因为()()kkkaaf=于a=上一致收敛.注注 要灵活应用上面的系数公式，只要记住乘积中多项式为.补充材料补充材料 例例 1 1 将1c zze+在0z+内展为 Laurent 级数.解解 由题意可知 应用上述公式（*），此时，cze，cze中多正幂项及负幂项分别为 1()()nnnf zaza=2()()n
17、nnfzb za=()()nnnF zcza=11()2nnz aFcdi+=（-a)21()()12()kkknz aaafdia=+=21()12()nkn kakfcadia+=kn kka b=()()()nkn knkn kkczaazabza=1222(211=(1)(1)!c zczzcc zceeeczczzzzz+）01()!n kkn kkkccznkk z+=+(0,1,2,)n=150 由此得 其中 2 2、求洛朗展式的直接法求洛朗展式的直接法 例例 2 再原点去心邻域把函数展成洛朗级数 解解 直接法 作圆周 间接法 八八、预习要求、预习要求 预习并思考；1、如何判断三种孤立奇点类型？奇点共分几类？2、0z为fg+的孤立奇点，是否为fg+的孤立奇点？若是可能为哪些类型？请举例说明（参文【1】【5】【6】）01!()!kn kkn kkcczknkz+=+1(011=c+()c znznnneczz+=+）0!()!kn knkcccknk+=+5()zef zz=:z=0+11()2nnfcdi+=612nedi+=1(5)!n=+6112(5)!nnecdin+=+55011()!nznzf zezzn=(0)z+()nN(0,1,2,)n=(0)n(0,1,2,3,4,5)n=