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1、91 3、Cauchy 积分公式及其推论积分公式及其推论（3 课时）一、目的和要求一、目的和要求 1、充分掌握 Cauchy 积分公式及解析函数的平均值定理.2、灵活运用 Cauchy 多阶导数公式及解析函数的无穷维解析性来解决问题.3、灵活使用 Cauchy 不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理和掌握解析函数的判定条件 二、重难点二、重难点 1、重点 Cauchy 积分公式、均值定理、多阶导数公式、无穷维解析性、Cauchy 不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理和解析函数等价刻画定理.2、难点 各定理的证法、应用及定理的综合应用.三、教法三、教法 课堂讲授法，采用启发式，以足够量的例题突破难点，增强应用
2、性的介绍.四、教学手段四、教学手段 电教、CAI 演示（约 3 课时）（一一）、C Cauchyauchy 积分及其推论积分及其推论 定理定理 3.3.1111 设区域 D 的边界是围线（或复围线）C，()f z在 D 内解析，在DDC=+上连续，则有()()12cff zdiz=()zD （3.15）或()()=2cfdif zz ()zD 3.15（）注注 （1）Cauchy 积分公式(3.15)为解析函数的积分表达式，用边界值确定其内部值.（2）在定理 3.11 的条件下，（3.15）的右端称为 Cauchy 积分（3）用公式3.15（）可以计算某些积分路径是围线的围线积分（4）在公式中
3、，=z为被积函数()()ffz=在 C 内唯一的奇点，如()F z在 C内有两个以上的奇点，就不能直接应用 Cauchy 积分公式 证证 任意固定()(),fzD Fz=作为的函数在 D 内除点 Z 外均解析；令以 Z 为心，充分小的0的半径做圆，使 及其内部均含于 D，对于复围线-=C+及函数()F，由定理 3.10 得：()()cffddzz=92 上式表示右端与的半径无关，我们只需证明：()()0lim2fdif zz=因()f z与变量无关，而()2=fidz 故()()()()()()2ffff zddif zdf zdzzzz=（*）据()f的连续性有 0,0 只要z，就有：()(
4、)2ff z ()据定理 3.2 知，（*）式不含超过2=2 例例1 1 求积分()()1212zzIdzzz=+解法解法 1 1()()114=12121022zzzzz+又因为()1141=0,2122zzdzdzizz=，故()120105iIi=+=解法解法 2 2 由 Cauchy 积分公式()()11222212252zzzzzidzizz=1C2C Z Z nC0C 93 （因为()()22zf zz=在闭圆z1上解析）例例 2 2 求2cdzIzz=C:z=5 解解 做11C4z=：，211C4z=：，据定理 3.10 知：12222=+cccdzdzdzzzzzzz 1211
5、1=1cczzdzdzzz+0111=221zziizz=+=-2 i+2 i=0 作为定理 3.11 的特殊情形，有如下的解析函数平均值定理 定理定理 3.3.1212 若函数 f(z)在圆：0zR内解析，在闭圆0zR上连续，则：()()20001Re2if zf zd=+即：()f z在圆心0z的值等于它在圆周上值的算数平均数 证证 设：0,zR=则：0Reiz=()02 或：0=Reiz+，据 Cauchy 积分公式()()()()22000000ReRe111Re22Re2iiiicf ziff zddf zdizi+=+例例 3 3 设()f z在闭圆zR上解析，若0a 使得当zR=
6、时，()f za且()0fa 证证 （反证）若()f z在zR内无zR零点，由题设()f z在zR=上也无零点 令()()1F zf z=，则()F zzR在上解析()()201F 0=F Re2id ()()201111F 0=F Re222idaa=94 因()()()()1111F Re,00ReiiFaaff=故在zR内，()f z至少有一个零点（二二）、解析函数的无穷可微性及多阶导数公式、解析函数的无穷可微性及多阶导数公式 定理定理 3.3.1313 在 3.11 的条件下，函数()f z在区域 D 内有各阶导数，且()()()()1!2nncfnfzdiz+=()nN 证证 对 n
7、 用数学归纳法,即可，详见（119P）注注 1、在定理 3.11 的条件下，有()()()()12=!nncfidfznz+，应用此公式可以求一类积分.2、=z为()()()1nfFz+=在 C 内唯一奇点，若()F在 D 内有两个以上的奇点，该定理（公式）不能直接用.例例 4 4 求()3cosczdzzi，C 为绕 i 一周的围线.解解 因 cosz 在 z 平面上解析，应用公式（3.19）于()cosf zz=，我们得：()()13cos2coscos2!2cz izieedzziiizi=+=定理定理 3.3.1414 设()f z在区域 DC 内解析，则()f z在 D 内具有各阶导
8、数，并且它们在D 内解析.证证 ()0,zD f z在0z解析，因为 D 为区域，故存在()0N,zD在()0Nz内应用定理 3.13，有()f z在()0Nz内有各阶导数，据0z的任意性，()f z在 D 内有各阶导数.例例 4 4 设()f z在区域 D 内解析且不为 0，C 为 D 内一围线.()()()()c,0fzI cI ccDdzf z=+=则 95 证证 因为()f z在 D 内解析，故()fz在 D 内解析 又因为()f z在 D 内不为 0，故()()fzf z在 D 内解析 据定理 3.10，知()()c0fzdzf z=由定理 3.14 易得刻画解析函数的另一个充要条件
9、.定理定理 3.3.1515 函数()()(),f zu x yiv x y=+在区域 D 内解析1.,D2.,DCxyxyu u v vu vR在 内连续在 内满足条件 （充分性为定理 3.15，必要性为()fz连续）（三三）、C Cauchyauchy 不等式与不等式与 LiouvilleLiouville 定理定理 C Cauchyauchy 不等式不等式 设()f z在区域 D 内解析，a 为 D 内一点，以 a 为中心作圆周aR=：，只要及其内部 k 均含于 D，则有()()()!nnn M Rfak 其中()()max,1,2,z aRM Rf zn=证证 应用定理 3.3，在k上
10、有：()()()()()()11n!R!222RnfnnaM Rn MnnfadRiR+=1、整函数在整个复平面内解析的函数 已学过的整函数、常数函数、三角函数、指数函数、多项式函数等 Liouville 定理：有界整函数必为常数 证法证法 1 1 设()f z的上界为 M，则在 Cauchy 不等式中：R0，均有()M RM，令 n=1 得：()MfaR，上式对一切 R 均成立，当()0Rfa=时，a 为 C 内任一点，故()fz在 Z 平面必为常数 0()f z为常数 证法证法 2 2 C 上任意两点 a 和 b，()()f af b=，取 R）0,使,aR bR（a,b 均在充分大的圆周
11、外部），由()f z为整函数，故()f z在闭圆zR上解析，据 Cauchy 积分96 公式有()()()()11dzdz22zRzRf zf zf af bizaizb=()111=fdz2bzRzizaz=()()()f=dz2zRzabizazb=又()f z在 C 上有界，可设()f zM()zC()()()()()22zRzRab Mf z dzabdzf af bizazbza zb=()()()()()=R02zab MM ab RdsRRaRbRaRb=故()()f af b=由 b 的任意性可知()()zff a=常数 例例 5 5 代数学基本定理，在 Z 平面上，n 次多项
12、式()101+nnnp za za za=+0(0a ）至少有一个零点.证证 若()p z在 C 内无零点，则()()1F zp z=在 C 内解析 因()10limlim()nnnzzaap zzazz=+=故()()01limlim0zzF zp z=()()11M0,MCM+1p zp zzR使，z在，在 上，据 Liouvill 定理知：97 ()1p z为常数，从而()p z至少有一个零点.例例 6 6 若()f z为一整函数，且(),ReMRf zM使得 试证：()f z为常数 证证 令()()Ff zze=，则()F z为整函数，在 z 平面上，()()()ReF=f zf zM
13、zeee=由 Liouvill 定理，知()F z为常数，故()f z也为常数.（四四）M Moreraorera 定理定理 定理定理 3.3.1616 若函数()f z在单连通区域 D 内连续，且对区域 D 内任意一围线 C，有：()0cf z dz=，则在()f zD 内解析.证证 在题设条件下，据定理 3.7,知：()()0Fzzzfd=()0zD 在 D 内解析，且()()F zf z=()zD，根据定理 3.14 可知()f z亦解析 易见，Morera 定理定理之逆亦真，从而有：()1.Df z 在 内连续 定理定理 3.3.1717 ()f z在区域 D 解析 证证 “必要性”由 Cauchy 积分定理 3.3 导出“充分性”0zD，在0z的一个邻域 k 内解析，特别地：()f z在0z解析，据0z的任意性证明.四、小结四、小结 1Cauchy 积分公式的多阶导数公式；2Cauchy 不等式及推论（三大定理）五、作业五、作业 142143PP 9、10、15()f z1、在 D 内连续 2、对任一围线 C，只要 C 及其内部全含于 D 内就有()C0f z dz=98 六、预习要求：思考下列问题六、预习要求：思考下列问题 1共轭调和函数是否对称？2若已知调和函数 u(x,y)，如何求 v(x,y)使得 u+iv 解析？