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1、GAOJIAO SHIYE高 教 视 野3数学学习与研究2018.7留数定理计算围道积分【摘要】在数学分析以及实际问题中，往往要计算一些定积分或反常积分 而这些积分中被积函数的原函数，有时不能用初等函数表示出来;或者即使可以求出原函数，计算也常常比较复杂 因此，需要寻求新的计算方法 例如，可以考虑把实积分转化为复积分，以便利用复积分的理论，而留数理论正是这方面的重要工具【关键词】解析函数;奇点;留数;留数定理定理1(留数定理1)设 D 是复平面上的一个有界区域，其边界 D 是有限条简单闭曲线(如图所示，其中D=C0+C1+C2)设函数 f(z)在 D 内除去有限个孤立奇点 z1，z2，zn外，
2、在闭区域 D 内其余的每一点解析，则有12iDf(z)dz=nk=1Res(f，zk)例 1计算积分 I=+0sinxx(x2+1)dx解+0sinxx(x2+1)dx=12+sinxx(x2+1)dx=12Im+eixx(x2+1)dx构造如图所示的围道积分:其中，1:z=x:R x ，2:z=eit:0 t ，3:z=x:x R，4:z=Reit:0 t 它在上半平面仅有一个一阶极点 z=i，由留数定理得1+2+3+4eizz(z2+1)dz=2iRes(f，i)，Reseizz(z+i)z i，()i=12e，1+3eixx(1+x2)dx+2eizz(1+z2)dz+4eizz(1+z
3、2)dz=2iRes(f，i)=ie，2eizz(1+z2)dz=0eieiieidei(2ei2+1)=i，4eizz(1+z2)dz=0eziReidRei(R2ei2+1)1R2 10|ez|d1R2 10|ei(x+iy)|d=1R2 10eydR2 10定理 2(推广的留数定理)设域 D 由逐段光滑曲线 L围成，t0 L，f(z)在 D 内解析，在 D t0 连续，在 t0有关于 D 的 n 阶极点，则Lf=iRes(f，t0)，其中取 L 关于 D 的正向，是 t0处关于域 D 的张角证以 t0为中心、以充分小的 为半径作弧交 L 于 1，2两点，在 L 上截下一段 L，在域 D
4、内截得一段 C，取 1到2的方向为正向 由于 t0是 f(z)的 n 阶极点，得C+Lf=iRes(f，t0)又由柯西定理得LL+Cf=0，得证定理3(推广的留数定理2)设 D 是由复合闭路 L=L0+L1+Ln所围成的有界多连通域，z1，z2，zmD，t1，t2，tNL 设函数f(z)在D z1，z2，zm 解析，D z1，z2，zm;t1，t2，tN 连续，f(z)在 t1，t2，tN分别有关于 D 的 n1，n2，nN阶的极点，则12iLf=mk=1Res(f，zk)+Nj=1jRes(f，tj)，其中，j为在tj处关于D的张度，j=j2，j是tj处关于域 D 的张角，L 取关于 D 的
5、正向例 2计算积分 I=+0sinx2x2dx解I=+0sinx2x2dx=12+sinxxdx=12Im+eixxdx如图所示，构造并计算围道积分:令R 1，Lr:z=x+iy:R x R，y=0，Cr:z=Reit:0 t ，奇点z0=0 为一阶极点，Res(f，z0)=1由推广的留数定理得12(iLrf+Cr)f=Res(f，z0)，这里 =2=2=12，Creizzdz=0eieieiieid=i，I=+0sinx2x2dx=12+sinxxdx=12Im+eixxdx=2结论灵活利用留数定理，可以帮我们解决用数学分析方法解决比较难算出来的实积分，大大降低计算量;同时，灵活利用推广的留数定理，在构造围道积分的时候，我们不必绕过那些在边界(围道)上的奇点【参考文献】1 陈宗煊，孙道椿，刘名生 复变函数 M 北京:科学出版社，2010 2 路见可，钟寿国，刘士强 复变函数 M 武汉:武汉大学出版社，2007