《2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷（三）-教师用卷.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷（三）-教师用卷.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷(三)副标题一、单选题(本大题共8 小题，共 4 0.0分)1.若(a +b i)(l i)0,其中，是虚数单位，则复数z =有 是()A.正实数 B.负实数 C.纯虚数 D.虚数【答案】A【解析】解：(Q +h i)(l i)=Q+b +(b Q)i 0,所以Q+b 0且b Q=0,即Q 0,b 0,i a+bi a+ai故复数z =K=Ta(l+i)1+i=a,故复数z 是正实数.故选：A.先利用复数乘法运算以及已知的不等关系，得到a0,匕 0且。=从 然后利用复数的除法运算求出z,即可得到答案.本题考查了复数的运算，解题的关键是掌握复数的运
2、算法则，考查了运算能力，属于基础题.2 .已知集合4 =x|y =彳,B =yy=ex),其中e 是自然对数的底数，则4 CB =()A.0 B.2,+8)C.2,+c o)D.(0,2【答案】D【解析】解：A =x|4 x2 0=x|-2 x 0),A C B =(0,2 .故选：D.可求出集合A,B,然后进行交集的运算即可.本题考查了描述法和区间的定义，指数函数的值域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.3 .城乡居民人均可支配收入是国民经济决策的重要依据，增长得越快，说明生活水平越高，消费能力越强.某地区2 010年至2 019年城乡居民人均可支配收入如图所示，则下列说法中错误的是
3、()B.该地区每一户家庭的可支配收入每年都在增加C.这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入有显著差异D.这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入的差距略有扩大【答案】B【解析】解：对于A,由于两条折线图都是呈上升趋势，故这些年该地区居民生活水平在逐步提高，故选项A 正确；对于8,折线图反映的是人均的情况，不能说明每一户的情况，故选项B错误；对 于 C,由两条折线图之间差距可知，这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入有显著差异，故选项C 正确；对于),由两条折线图的张角在变大可知，这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入的差距略有扩大，故选项。正确.故
4、选：B.利用题中给出的折线图，对照四个选项进行逐一分析判断即可.本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键,属于基础题.4 .若向量五=(1,1),b=(-4,0).c=A a+b，则 的 最 小 值 是()A.2 B.V 2 C.2V 2 D.4【答案】C【解析】解：根据题意，向量Z =K =(-4,0)，则2=4 五+加=(A-4.A)，第 2 页，共 18页则用产=(2-4)2+22=2A2-8%+16 =2(2-2)2+8 8,则 有 2 V 2,即不的最小值是2 V L故选：C.根据题意，求出的坐标，由向量模的公式可得的表达式，由二次函数的性质分析可
5、得答案.本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题.5.在的展开式中，第 4 项与第5 项的二项式系数相等，则系数最大的有理项是()A.第 3 项 B.第 4项 C.第 5 项 D.第 6 项【答案】B【解析】解：由已知可得战=鬃，贝 加=7,所以二项式(+7 的展开式的通项公式为：1 7-3T2+1=。(丘)7 T(r=CX,当12会为整数时，r=l,3,5,7,当r=1时，T2=Cjx2=7 x2,当r=3时，T4=的 x-1=35 x-1,当r=5 时，T6=Cfx4 21x-4,当r=7 时，Ts=CyX7=x7,所以有理项的系数最大项为第4 项，故选：B.先求出7 1-
6、7,然后求出展开式的通项公式，令 x的指数为整数，求出所有的有理项，由此即可求解.本题考查了二项式定理的应用，涉及到有理项系数的求解问题，考查了学生的运算能力，属于基础题.6.已知函数/X x)满足/(一x)=/(x),在(0,+8)上单调递减.若a =/(lo g o.23)，b=/(lo g30.2),c =/(0.23),则 a,b,c 的大小关系为()A.a b c B.b a c C.c a b D.c b a【答案】C【解析】解:因为函数f(x)满足f(-乃=/(乃,在(0,+8)上单调递减.所以a =f(lo g o.23)=f(lo g 5 3),b=f(og30.2)=/-(
7、lo g35),c=/(0.23),因为log35 1 logs3|0.23,所以/(Iog35)/(log53)/(0.23),则b a 0,b 0)经过点(1,1),则圆/+/_ 2 ax _ 2 by=o面积的最小值是()A.87r B.47r C.27r D.无最小值【答案】A【解析】解：由题意得2+:=1,即a+b=ab,因为/+y2-2ax 2by=0,所以(无-a)2+(y-b)2=小+匕 2,第4页，共18页因为a +b =(a +b)(i +-)=2+-+-2 +2-=4,当且仅当a =b=；时取等号,八ab，a b y j b a 2故Q +b N 4,a2 4-b2=(a
8、 4-b)2-2ab=(a +h)2 2(a +b)=(a +h l)2 1 8,故圆的面积7 T(Q2+b2)8 7 r.故选：A,6由题意可求得2+；=1,即a +b =a b,要求圆面积的最小值，转化为求解。2+炉 的a b最小值，结合已知及基本不等式可求.本题主要考查了圆的方程及基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，体现了转化思想的应用.二、多选题(本大题共4 小题，共 20.0分)9.若函数/(x)=s i n(a)x +s)(3 0,-兀 3 兀)的最小 二 r正周期为乃，其图象如图所示，则下列结论中正确的有()：.c nA.3 =2,0 =gB.函数/(x)图象的对称轴
9、方程是x =+?(k e z)C.函数/(x)的减区间是成+而 看+e Z)D.函数“%)的图象向右平移三个单位长度后得到函数y =s in 2 x 的图象【答案】A C D【解析】解：根据函数的图象，已知函数的最小正周期为，所以3 =2,由于 =押，/($=0,整理得2 x +0 =/O T(k e z),解得0 =而 冶，由于一 (p 0 矛盾，故舍去，当k =l 时，3 =与符合题意.故函数的关系式为/(x)=s in(2+争，故 4 错误；对于3：当2%+.=?时,X =-+y(f c e Z),故 3错误；对于 C：令万 +2/CTT 2x+2kji+(k 6 Z),解 得-+k7
10、i x 0,且f(x+l)为奇函数，那么下列结论中正确的有()A.函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称B.对于任意的与丰打，不等式智:警 一1 恒成立%1 一 4 2C.曲线y=/(x)上存在一点，使得该点处切线的倾斜角是4 5。D.不等式/Q)+%1 的解集是(1,+8)【答案】A B CD【解析】解:+1)是在R上 的 奇 函 数,+1)的图象关于原点对称,又 /(X+1)的图象向右平移1 个单位得到函数/(外图象，函 数 图 象 关 于 点(1,0)成中心对称，4 对：:/(X)+1 0,二 可取/(殉)=1 成立，又ta n4 5。=1,.,.此时曲线y=/(%)在x=&处的切
11、线的倾斜角是4 5。，；.C 对；令g(x)=f(x)+x,g (x)=/(x)+1 0,可知函数g(x)在 R上是增函数.不等式f(x)+x 1 得/(x)+x /+1,即g(x)g(l)，又；g(x)在 R上是增函数，x 1,.不等式/(x)+x 1 的解集是(1,+8),D 对：g(X)=f(x)+%是在R上的增函数，二 对 任 意 小 e R，%】一次与g(%i)-。(不)同号,.)毋 必)0,即“与)+打一”*)-*2 0得不等式33 -1 恒成立，.B对;Xj-%2%-%一 2故选：A B CD.根据“X+1)为奇函数，图象关于原点对称可判断A选项；根据/(X)+1 0,结合导数几
12、何意义、直线斜率与倾斜角可判断C选项：令g(x)=/(x)+x,g，(x)=/(x)+1 。可知函数在R上是增函数，可 判 断 选 项.本题考查图象对称、导数性质及应用、函数单调性、直线倾斜角与斜率、数形结合思想、运算能力及推理能力，属于中档题.三、单空题(本大题共4小题，共 2 0.()分)1 3.若x 0,关于x 的不等式/-+9 2 0 恒成立，则实数。的最大值是【答案】6第8页，共18页【解析】解：若x 0,关于x 的不等式/-ax +9京0 恒成立，可得a W x+：对x 0 恒成立，由x+?N2”=6,当且仅当x=3 时，取得等号.X X所以x+g 的最小值为6,所以a 0)的焦点
13、厂的直线/交抛物线C于 A,B两点，线段 A B的长为8,且 4 B的中点的横坐标为3,则 焦 点 尸 的 坐 标 是 .【答案】(1.0)【解析】解：设点4(%),B(x2,y2)由于线段A 8的中点E的横坐标为3,则生产=3,由抛物线的焦点弦长公式得A B =x1+x2+p =6 +p=8,解得p =2,因此，抛物线C的方程为y 2 =4 x；抛物线的焦点坐标(1,0).故答案为：(1,0)设点A(x 1,y i),8(物/2)，可 得 出 华=3,利用焦点弦长公式可求得p的值，进而可得出抛物线的焦点坐标.本题考查抛物线方程的求解，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，是中档题.1 5 .
14、干支纪年法是我国的一种传统纪年方法，如 1 91 1 年“辛亥革命”中 的“辛亥”.天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.地支：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.“十天干”以“甲”字开始，“十二地支”以“子”字开始两者按干支顺序相配,组成了干支纪年，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、癸酉；甲戌、乙亥、丙子、.癸未；甲申、乙酉、丙戌、癸已；甲寅、乙卯、丙辰、癸亥.如此配对，周而复始，循环使用在上世纪中，除了 1 91 1 年，年也是辛亥年.【答案】1 971【解析】解：天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以1
15、 0为公差的等差数列，地支是以1 2 为公差的等差数列，即周期是6 0年，1 91 1 年 是“干支纪年法”中的辛亥年，则1 91 1 +6 0=1 971,所 以 1 971 年也是辛亥年，故答案是：1 971.从 1 91 1 到 1 999年经过8 8 年，由简单的合情推理结合阅读，理解 干支纪年法”，通过运算可得解.本题考查了简单的合情推理及阅读能力，属基础题.1 6.在三棱锥P 4 B C 中，PA =B C=2 6，PA 1 B C,三棱锥P-4 B C 外接球的半径为遍，则三棱锥P-A B C 外 接 球 的 体 积 是 ,三棱锥P-4 B C 体积的最大值是【答案】8 V 6;
16、r 2/3【解析】解：=萼=处等=8 几兀，因为P A 为定长，当 P A 为三棱锥P-4BC的高时体积才可能最大，所以P4 _L 平面AB C,过。作。M 1 B C,O N 1 P 4 O P =04 =O B =O C =R =AV 6 所以O M =O N =百，三棱锥P-4 8。的体积要最大，高为定值，只需底面 A B C 的面积最大即可，因为三棱锥P-A B C 外接球的半径为历，所以O K?+A K 2 =力。2 =6,因为尸为A P 中点，所以AF =O K,所以4 K =g，K 为 AB C 外接圆圆心，所以由正弦定理可得一=2 A K,所以s i n/&4 B =l,即人4
17、3=三s m z C i 4 B 2所以阳 +A C2=1 2,而册 +A C2=1 2 2A B -A C,所以4 B -A C /3.三棱锥P-4 B C 外接球的体积直接利用球的体积公式进行求解即可，因为P A为定长，当 P A 为三棱锥P-A B C 的高时体积才可能最大，三棱锥P-4 B C 的体积要最大，高为定值，只需底面4 B C 的面积最大即可，利用基本不等式求出底面面积的最值即可求出所求.本题主要考查了球的体积公式，以及三棱锥的体积计算，同时考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)1 7.在 ,+?+?-h Sk+i 且
18、品+i 0,所以d =2,q 3,所以an=3 +2(n-1)=2n +1,bn=(-3)n-5,所以Sn=3 n +X 2=n(n +2).选条件，因为京)，所以5+六+/+31 1 1 1 1 1 1 1113 2 4 3 5 n-1 n +1 n n +27=3 1+京 一 熹)=1-2-n-+-3-,一3 1 使得不+7+7+V 1 对任意的7 1 6 N*恒成立,3 1 2上的最小值为1.选条件，令2/c +1 =(3)2,当k=4,。=7 时，等式成立,故存在正整数k =4,使得以是数列 为 中的项.选条件，假设存在整数%,使得品Si 且又+(f c +l)(f c +3).(/c
19、 +l)(k +3)(k +2)(k +4)解得-1 f c 故假设不成立,所以不存在整数k,使得品 S+i 且品+i 0,利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出的，bn,利用裂项求和法即可求解，解方程即可求解，列关于k的不等式组即可求解.本题主要考查等差数列与等比数列的综合，等差数列前 项和公式，裂项求和法的应用,考查方程思想与运算求解能力，属于中档题.1 8.在平面凸四边形 A B C D 中，AB 1 BD,AB：CD；BD=2：3：4.(1)若求 AB C 的面积与A A C。的面积之比;(2)若N C D B =p 求COSNABC的值.【答案】解：(1)设 8。与 A C交于E,
20、因为/BA E.ABC=所以 A B E 为等腰直角三角形，AB=BE=-BD,BE=DE=-BD,2 2所以 SAABE=AED S&ABE=AECD，所以44 8 c =S“C D SM BC=SAACD=1 A B C 的面积与 AC。的面积之比1：1；(2)/C D B 中,设B D =4,则)。=3,由余弦定理得 B O?=1 6 +9-2 x4x3x1=1 3,故BC=后,由正弦定理得C DsinzCBDB CsinzCDB，所以 sin/CBD/13百,2所以 s i n“B D =所以 COSNABC=COS(ACBD+-)=-sinCBD=.2 26第1 2页，共1 8页【解
21、析】(1)先由已知分析两三角形的底与高的关系，然后结合三角形面积关系可求比值；(2)先由余弦定理求BC,再由正弦定理可求sin 4 CB。，结合诱导公式可求.本题主要考查了三角形面积之比的求解，还考查了正弦定理，余弦定理及诱导公式，属于中档题.1 9.如图，在长方体4 B C D-4 1 8也1。1 中，4 8=2 4 4 1，点E在棱&B i 上，且4 遇1=4 4 亚，点 F 在棱44上.(1)求证：平面A E F 1 平面4BF；(2)若 B F 与平面4 4 道中所成的角为4 5。，求二面角F 一4E-B的余弦值.【答案】(1)证明：设直线A E 与交于点P,因为AB =2 a A1，
22、A1B1=A B =4&E,所以生 =1=工，支/1 1 A B 2故4 A ArE A ArB,所以乙4 i B A=Z.E A A1,又 力 4+Z.PA B=9 0,所以*y BA+PA B=9 0 ,所以4 4 P B =9 0。，即4 1 B 1 4 E,又在长方体中，4/J 平 面 4 8 8 M 1，S.A E u 平面4 B B 1 4,所以&F _ L 4 E,又A/n 4/=4,&F,u 平面4 iB F,所以AE J _ 平面&B F,又A E u 平面A E F,故平面4 E F 1 平面4BF；(2)解:在 长 方 体 中,4 B1平面A4/1 D,所以直线B F 与
23、平面4 4 山山所成的角即为N B F4 =4 5。，所以4 B =4F,又因为44=248,所以N&4 F =6 0。，A A F Ar=3 0 ,以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设4 8=2,则4(0,0,0),F(i,0,l),B(2,0,0),F(0(V 3,l);所 以 荏=G，O,1),方=(0,百,1),设平面AE尸的法向量为元=(x,y,z),r 伍-AE=+z=0则有 一2，(n-A F=V3y+z=0令x=2,则z=-l,y =,故元=(2,今一 1),又平面A E B的一个法向量为沅=(0,1,0),所以18$元万1=焉=三 =：,由图可知，二面角/一力E
24、-8的平面角为钝角,故二面角F A E 8的余弦值为一：.4【解析】(1)利用比例关系证明A&ES AA&B,再利用角之间的关系证明&B，力E,结合4 F J.A E,即可证明力E 1平面4 B F,再由面面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量，分别求出两个平面的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可.本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.20.2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺
25、.目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2.用分层抽样的方法，收集了 100户家庭2019年家庭年收入数据(单位：万元)，绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区.(1)完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关.第 14页，共 18页P(K2 fc)0.1 0 00.0 5 00.0 1 00.0 0 1k2.7 0 63.8 4 16.6 3 51 0.8 2 8(2)根据这1 0 0 个样本数据，将频率视为概率.为了更好地落实党中央精准扶
26、贫的决策，从 2 0 2 0 年 9月 到 1 2 月，每月从该县2 0 1 9 年家庭年收入不超过1.5 万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X,求 X的分布列和数学期望E(X).【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，超过1.5 万元的频率为(0.5+0.4+0.1)x 0.5 =0.5,所以超过1.5 万元的户数有1 0 0 x 0.5 =5 0 户，又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2,抽取了 1 0 0 户，故平原地区的共有6 0 户，山区地区的共有4 0 户，又样本中家庭年收入超过1.5 万元的有1 0 户居住在山区，所以超过1.
27、5 万元的有4 0 户居住在平原地区，不超过1.5 万元的有2 0 户住在平原地区，有 3 0 户住在山区地区，故 2 0 1 9 年家庭年收入与地区的列联表如下：2=一迹应=】OOX(4OX3O-】OX2O)Z=&6 6 7 1 0,8 2 8,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60 x40 x50 x50 3超过1.5 万元不超过1.5 万元总计平原地区4 02 06 0山区1 03 04 0总计5 05 01 0 0所以有9 9.9%的把握认为该县2 0 1 9 年家庭年收入超过1.5 万元与地区有关;(2)由(1)可知，选 1 户家庭在平原的概率为|,山区的概率为|,X的可能取值
28、为0,1,2,3,4,所以P(X =0)=/(|)0(|)4 =,P(X=I)=CM|)(|)3=急，P(X =2)=Q(|)2(|)2=|g,P(X =3)=C|)3(|)】=|,%=4)=屐(|)，(|)。=枭所以x的分布列为：X01234P1 66 2 59 66 2 52 1 66 2 52 1 66 2 58 16 2 5因为X服从二项分布XB(4,|),所以X的数学期望E(X)=4 x|=当=2.4.【解析】(1)通过频率分布直方图和分层抽样的特点，分别计算出平原地区和山区的超过1.5 万元和不超过1.5 万元的户数，列出列联表即可，然后在利用题中的计算公式求出K2,与临界值中的数
29、值进行比较即可得到答案；(2)确定X的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列，求解数学期望即可.本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.2 1.过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线与椭圆交于点“，N,我 们 把 线 段 称 为 椭 圆的通径.在平面直角坐标系x Oy 中，椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，通径长为3,圆。以椭圆E的短轴为直径，且通径被圆。截得的弦长为或.(1)求椭圆E的标准方程和圆。的方程.(2)设直线/：y =k x -1 与椭圆E交于A,2两点，与圆。交于P,。两点，是否存 在 实 数 使 得 P,
30、。是线段A8的三等分点？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.【答案】解：设 椭圆方程为捺+=l(a b 0),M(c,|),住+堂=1所以，.，解得a =2,b =c =l,=2d =b2+C2所以椭圆的方程为?+?=1，圆。的方程为/+y2=3.设 4 Q 1，y i),B(x2,y2),第 16页，共 18页(y=kx 1联立y 2 得(3+4 U)/一8收 一 8=0,(-1-3=1_ 8k1 2 1 严，/必=诉设。3，%)，Q(.x4,y4),由+y 2 _ 3，得(1+1)/-2kx-2 =0,所以卜3 一 2 西回=诉因为|A B|=41+k2d(X、+寸 2)2 4
31、%1卜 2 =+,2 4：；：；广,PQ=V i +f c2V(x3+x4y -4X3X4=VTTP笠3当 P,Q为线段A8 的三等分点是，|P Q|所以后中叵 平:VTTF竺 至 罕，1+k2 3 3+4k2所 以 先 逻 巴 处=延，41+2k2 1+k2 3令随着U的增大而增大，所以当R 2 =0时,g(t)m in=3A/2 竽，所以不存在实数上满足条件.2 2 o【解析】(1)设 椭 圆 方 程 为 左=l(a b 0),M(c,|),由通径长为3,圆。以椭圆E的短轴为直径，且通径被圆。截得的弦长为或，列方程组，解得a,b,c,进而可得答案.(2)设4(%,y )，B(x2,y2),
32、分别联立直线/与椭圆的方程，圆的方程，集合韦达定理可得1+刀 2，尤 1%2，x3+x4,x3x4,利用弦长公式可得|4B|,|P Q|,再由P Q|=g|4B|,判断是否有解，即可得出答案.本题考查椭圆的方程,直线椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.2 2.已知函数/(%)=l n(x+1)-%.(1)求函数/(%)的极值；(2)若数列 an 满足%=2,%i+i=Q%i，求证：当ri E N*时，a 九 0,f(x)在(一 1,0)单调递增,当x=0时，/(x)=/(0)=0,当x 6(0,+8)时，(x)0时，ln(x+1)-%0,即ln(x+l)V x,ln(l+劫
33、V,4 an+i=1n an+皿 1+专)V伉+专,lnan+1-lnan 3时，有)an=(m0n-Znan_x)+(an_i-/nan_2)4-F(lna2 Ina)ii i ii i i 记 不+正 于+1+苗+京+而 砺 不 =2 一 言 2，,)0n 2,即，na九 Ine2,an e2,又e2 4e,当?1 6 N*时，an 4e成立.【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可；(2)求出ln(l+*)*,得 到/an 房房9+翥 2,得到 许 4e,从而证明结论成立.本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是难题.第18页，共18页