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1、 第四章 地震作用计算（一）本章应思考的问题：本章应思考的问题：用什么物理量描述地震作用？地震作用大小与哪些因素有关？地震作用计算所依据的基本原理是什么。本章要点：地震作用计算的主要方法；各种方法的主要区别和适用对象；反应谱的概念，加速度反应谱的特征，影响反应谱特征的主要因素，设计反应谱的特征参数。14.0 概述 一、地震作用 地震时由于地面加速度在结构上产生的惯性力称为结构的地震作用。(地震波 地面运动 上部结构的受迫振动 惯性力)地震作用的简化：两个水平方向，一个竖向。二、地震反应 地震作用下，在结构中产生的内力、变形、位移、速度和加速度等称为结构的地震反应（地震作用效应）。24.0 概述
2、 三、地震反应分析 用计算的方法来确定结构的地震反应，也就是考虑地震作用的结构计算方法。（地震力理论）抗震计算设计的过程：计算地震作用（荷载）计算结构的地震作用效应（内力、变形）承载力计算 变形验算 地震作用效应的计算是一个复杂的动力学问题，涉及到地震的影响、结构本身的动力特性（自振周期、阻尼）、场地的特性等。34.0 概述 44.0 概述 四、对结构地震反应分析的基本认识 难以准确计算原因：1.需准确知道地面运动，而这是不确定的；2.结构材料的力学性能的不确定性；3.结构和地基的相互影响、协同工作的不确定性。54.0 概述 五：地震作用的确定方法结构抗震设计理论发展过程主要经历三个阶段:1.
3、静力理论阶段-静力法 1920年，日本大森房吉提出。假设建筑物为绝对刚体。2.反应谱理论-振型分解反应谱法 1940年美国皮奥特教授提出。是目前世界上普遍采用的方法。3.直接动力分析理论-时程分析法 1960年以后，随着计算机的应用推广而产生，将实际地震加速度时程记录（简称地震记录 earth-quakerecord）作为动荷载输入，进行结构的地震响应分析。用于大震分析计算以及大型、复杂结构的地震反应计算。64.1 早期的等效静力法 根据牛二定律，结构上的质量乘以加速度等于惯性力。以x代表位移，x对时间的微分为速度，二阶微分为加速度。将结构看做刚体，则结构与地面具有相同的加速度。结构第i层受到
4、的最大惯性力为：式中：mi为第i层的总质量，Gi为第i层的重力，K成为地震系数（日本称之为“震度”，所以该方法成为震度法）取K=0.274.1 早期的等效静力法 最初的等效静力法只考虑了结构的质量和烈度（地运动加速度），其主要特点是：1）将建筑物看作一个刚体与地面一起运动；2）将地震对建筑的影响等效为静荷载“静力”；3）没有考虑结构和场地的动力特性；4）偏于保守。8大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点 可以互相讨论下，但要小声点94.1 早期的等效静力法 考虑到实际结构并非刚体，具有弹性或弹塑性性质，多数情况下顶部的位移、速度以及加速度都较下部为大，所以引入了“高度变化系数”
5、。地震力沿高度变化如下图示：后来引入了“区域差异系数”、“结构类型系数”、“高度变化系数”，一定程度考虑了场地因素、结构种类和变形的影响。但是仍无法考虑结构刚度、震动持续时间的影响，也未反映远震近震的影响。104.1 早期的等效静力法由此提出新的问题：l 为什么烈度相同的不同场地上结构的地震反应存在差别？l 为什么烈度相同震中距不同也会造成地震反应的差异？l 在相同的干扰作用下，结构所受惯性力仅仅与质量相关么？114.2 结构动力学方法弹性解答4.2.1 结构体系的振动模型及通常的简化假定体系的自由度：一个自由质点,若不考虑其转动,则相对于空间坐标系有3个独立的唯一分量,因而有三个自由度,而在
6、平面内只有两个自由度。一个自由刚体具有六个自由度，即沿三个坐标轴的位移分量和绕三个轴的转动分量。如果忽略直杆的轴向变形，则在平面内与直杆相连的质点只有一个位移分量，即只有一个自由度。n层房屋就具有n个自由度。具体如图所示：124.2 结构动力学方法弹性解答4.2.1 结构体系的振动模型及通常的简化假定体系的自由度：单质点单自由度3质点3自由度单质点2自由度134.2 结构动力学方法弹性解答4.2.1 结构体系的振动模型及通常的简化假定根据上述可以对某些结构进行简化，如下图示：b、水塔建筑 a、单层房屋主要质量：屋面部分梁、柱、屋面质量集中到屋顶标高处 单质点体系主要质量：水箱部分次要质量：塔柱
7、部分水箱全部质量部分塔柱质量集中到水箱质心144.2 结构动力学方法弹性解答4.2.1 结构体系的振动模型及通常的简化假定根据上述可以对某些结构进行简化，如下图示：c、多、高层建筑d、烟囱主要质量：楼盖部分多质点体系结构无明显主要质量部分结构分成若干区域 集中到各区域质心 多质点体系各跨质量 集中到各跨屋盖标高处154.2 结构动力学方法弹性解答4.2.1 结构体系的振动模型及通常的简化假定地震作用有三个方向：两个水平方向，一个竖向 一般情况下，应允许在建筑结构的两个主轴方向分别计算水平地震作用并进行抗震验算，各方向的水平地震作用应由该方向抗侧力构件承担。有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于
8、15 时，应分别计算各抗侧力构件方向的水平地震作用。164.2 结构动力学方法弹性解答4.2.2 振动微分方程及解答一、单自由度体系fIfSfR假定地基完全刚性地面水平位移，可由地震时地面运动实测记录求得。质点对于地面的相对弹性位移或相对位移反应。作用在质点上的三种力：弹性恢复力 fs阻尼力 fR 使质点从振动位置回到平衡位置的力 k 刚度系数使结构振动衰减的力，由外部介质阻力、构件和支座部分连接处的摩擦和材料的非弹性变形以及通过地基散失能量（地基振动引起）等原因引起 C 阻尼系数 惯性力 fI质量与绝对加速度的乘积174.2 结构动力学方法弹性解答4.2.2 振动微分方程及解答一、单自由度体
9、系质点m的绝对加速度:由牛顿第二定律:相当于地震产生的作用于结构上的强迫力单质点弹性体系在地震作用下的微分方程184.2 结构动力学方法弹性解答4.2.2 振动微分方程及解答运动方程的解：单质点弹性体系在地震作用下的微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程特解1.齐次微分方程的通解自由振动在没有外力激励的情况下结构体系的运动几个基本物理量：圆频率：周期：频率：阻尼比：一般结构的阻尼比0.010.1之间，一般取0.05194.2 结构动力学方法弹性解答4.2.2 振动微分方程及解答运动方程的解：通解（有阻尼的圆频率）当 很小时204.2 结构动力学方法弹性解答4
10、.2.2 振动微分方程及解答各种阻尼状态下单自由度体系的自由振动214.2 结构动力学方法弹性解答4.2.2 振动微分方程及解答2.非齐次微分方程的特解杜哈曼积分（强迫振动）利用数值积分的思路进行求解：1、将地震的地面加速度分成有限个脉冲2、讨论在单一脉冲作用后结构的响应3、单一脉冲作用后结构的响应为自由振动，解的形式已知（只是初速度不同）。4、在所有脉冲作用下结构的响应为每一自由振动的叠加（积分）224.2 结构动力学方法弹性解答4.2.2 振动微分方程及解答2.非齐次微分方程的特解杜哈曼积分（强迫振动）234.2 结构动力学方法弹性解答4.2.2 振动微分方程及解答2.非齐次微分方程的特解
11、杜哈曼积分（强迫振动）体系地震反应x（t）=自由振动反应x1（t）+强迫振动反应x2（t）体系的自由振动由体系初位移和初速度引起，而体系的强迫振动由地面运动引起。若体系无初速度和初位移，则体系地震反应中的自由振动项为零。即使体系有初位移和初速度，由于体系有阻尼，由x1（t）式子可知，体系的自由振动项也会很快衰减，一般可不考虑。因此，可仅取体系强迫振动项，即x2（t），计算单自由度体系的地震位移反应。【例】：已知一水塔结构，可简化为单自由度体系，m=10000kg，k=1kN/cm，求该结构的自振周期。244.2 结构动力学方法弹性解答4.2.2 振动微分方程及解答二、多自由度体系 如图所示，将
12、质量集中于各楼面标高处并视为指点，一般忽略竖向位移和转动，基础为刚性底盘，从而形成自由度与质点数相对应的多自由度体系。系数行列式：由此可求出n个圆频率，其中最小的叫第一圆频率。将wi依次回代方程可得到相对的振幅Xi，即为振型。254.2 结构动力学方法弹性解答4.2.2 振动微分方程及解答二、多自由度体系例:若为两个自由度,令n=2，则有264.2 结构动力学方法弹性解答4.2.2 振动微分方程及解答二、多自由度体系例:若为两个自由度,令n=2，则有 将求出的w1、w2分别代回方程，可求出X1、X2的相对值。对应于w1为第一振型：对应于w2为第二振型：274.2 结构动力学方法弹性解答4.2.
13、2 振动微分方程及解答284.2 结构动力学方法弹性解答4.2.2 振动微分方程及解答【例】：设图示钢架横梁刚度为无限大，集中于楼面和屋面的质量m1=m2=m层间侧移刚度k1=k2=k，试求该钢架水平振动时的自振频率和阵型。294.2 结构动力学方法弹性解答4.2.2 振动微分方程及解答 3质点体系弯曲振动的3个振型：304.3 反应谱法 反应谱法是我国及世界上其他国家抗震规范中地震作用计算的基本方法。4.3.1 反应谱的含义 在特定的干扰作用下，单自由度弹性体系的最大反应与自振周期T的变化关系曲线即反应谱。基本思路：实际应用时根据结构体系的自振周期找到对应的加速度反应峰值，在结合结构上的质量
14、（或重力荷载）求出结构所受地震作用力和结构变形。计算出的结构体系的最大反应随自振周期的变化曲线就是反应谱。314.3 反应谱法加速度反应谱原理示意图324.3 反应谱法 在震动干扰下，结构体系的反应有位移、速度和加速度，与之对应就有最大位移反应谱、最大速度反应谱、最大加速度反应谱。最常用的时加速度反应谱。反应谱方法与等效静力法的最主要区别在于：考虑了地震反应的大小随结构自身的动力特性（自振周期）而变化。334.3 反应谱法4.3.2 反应谱的获得 以给定的地震加速度时程曲线作为干扰作用，运用结构动力学原理得到单自由度体系的弹性最大反应。该最大反应随体系自身的动力学特性（自振周期T）的变化而变化
15、，取不同的T值分别计算最大响应，得到最大响应与T的变化关系曲线，即反应谱。344.3 反应谱法4.3.2 反应谱的获得 给定：结构阻尼比结构自振周期T地震地面加速度记录计算单自由度体系绝对加速度反应时程曲线由绝对加速度反应的时程曲线确定最大的绝对加速度Sa在Sa-T坐标系中绘制坐标为(Sa(T，)，T)的点设定新的T354.3 反应谱法4.3.2 反应谱的获得 364.3 反应谱法4.3.2 反应谱的获得（1）利用杜哈米积分，得出单自由度弹性体系的位移解答：（2）微分后还可求出速度反应：（3）同理可写出加速度反应：374.3 反应谱法4.3.2 反应谱的获得 其实在结构抗震设计中，我们更多地关
16、心结构在地震持续过程中经受的最大地震作用以及质点振动响应的最大值。（4）写出最大反应。简化时取384.3 反应谱法4.3.2 反应谱的获得 当地面运动 及结构的阻尼 确定后，可以看出结构的反应仅与结构的自振周期 有关。绘出的曲线称为反应谱。如图所示，用Elcentro波作为干扰作用计算得到的反应谱394.3 反应谱法4.3.2 反应谱的获得 最大速度反应谱 最大速度反应谱u对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。404.3 反应谱法4.3.2 反应谱的获得 最大加速度反应谱 最大加速度反应谱u对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，大于某个值时，
17、快速下降。414.3 反应谱法4.3.2 反应谱的获得 最大位移反应谱 最大位移反应谱u对于位移反应谱，幅值随周期增大。424.3 反应谱法4.3.2 反应谱的获得 周期（周期（s)s)岩石 岩石坚硬场地 坚硬场地厚的无粘性土层 厚的无粘性土层软土层 软土层不同场地条件对反应谱的影响 不同场地条件对反应谱的影响u 软弱的场地使地震反应的峰值范围加大，曲线下降段升高434.3 反应谱法4.3.2 反应谱的获得 不同震级和震中距对反应谱的影响 不同震级和震中距对反应谱的影响 烈度相同的条件下，震中距较远时，反应谱曲线峰值右移；震中距较近时，反应谱曲线峰值左移。444.4 设计反应谱反应谱计算时所采
18、用的地运动加速度时程曲线来自以往的强震记录。地震是随机的，每一次地震的加速度时程曲线都不相同，则加速度反应谱也不相同。抗震设计时，我们无法预计将发生地震的时程曲线。用于设计的反应谱应该是一个典型的具有共性的可以表达的一个谱线。设计反应谱考虑了烈度、场地及震中距因素以及结构自身的动力特性（自振周期、阻尼）的影响。454.4 设计反应谱4.4.1 设计地震分组 4.4.2 设计反应谱一、水平地震作用基本公式 由牛顿第二定律和质点的平衡条件，质点上的惯性力：式中：k为结构侧移刚度系数，其倒数为柔度系数464.4 设计反应谱4.4.2 设计反应谱 由牛顿第二定律和质点的平衡条件，质点上的惯性力：式中：
19、k为结构侧移刚度系数，其倒数为柔度系数 上式左边为地震作用时质点产生的相对位移x(t),而等号右边为该瞬时惯性力使质点产生相对位移。474.4 设计反应谱4.4.2 设计反应谱 上式左边为地震作用时质点产生的相对位移x(t),而等号右边为该瞬时惯性力使质点产生相对位移。因此，可以认为在某瞬时地震作用使结构产生的相对位移是该瞬时的惯性力引起的，惯性力看作是反映地震影响的等效力。利用它的最大值来对结构进行抗震计算，把动力问题转化为静力问题计算。484.4 设计反应谱4.4.2 设计反应谱 将惯性力看做反映地震对结构影响的等效力，取最大值做为“最不利状态”。式中：G重力荷载代表值，即质点的重量，单位
20、为Kn（力）k地震系数，表示地面运动的剧烈程度 放大系数，称为动力系数 无量纲的系数，称为水平地震影响系数k494.4 设计反应谱二、地震系数k 地震系数k定义为地震动峰值加速度与重力加速度之比，即 通过地震系数可以将地震动加速度幅值对地震反应谱的影响分离出来。地面运动加速度峰值越大，地震烈度越大，即地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系。根据统计分析，烈度每增加一度，地震系数大致增加一倍。下表是根据抗规采用的基本烈度与地震系数、水平地震影响系数的对应关系。504.4 设计反应谱二、地震系数k 地震系数k定义为地震动峰值加速度与重力加速度之比，即 通过地震系数可以将地震动加速度幅值对地震反应谱
21、的影响分离出来。地面运动加速度峰值越大，地震烈度越大，即地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系。根据统计分析，烈度每增加一度，地震系数大致增加一倍。下表是根据抗规采用的基本烈度与地震系数、水平地震影响系数的对应关系。514.4 设计反应谱二、地震系数k表4-4 与基本烈度对应的地震系数和水平地震影响系数注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度为0.15g和0.3g的地区，g为重力加速度 设计基本地震加速度k*g：50年设计基准期超越概率10%的地震加速度的设计取值。524.4 设计反应谱三、动力系数 动力系数是单质点弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面最大加速度之比，即 结构相当于一个放大
22、器，地震输入一个振动，结构的反应为Sa，放大了 倍。的大小与结构的自振周期T和阻尼比有关，-T曲线称为 反应谱，实质上是规则化了的加速度反应谱。另外 还与场地类别、设计地震分组等有关。通过大量的分析计算，我国地震规范取最大的动力系数 max为2.25。534.4 设计反应谱四、地震影响系数 地震影响系数定义为当基本烈度确定，地震系数为常数，仅随变化建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。引入地震影响系数可以使地震作用力的计算公式：在此的意义可以表述为：地震时结构所受惯性力是重力荷载的倍。k值是以重力加速度的倍数表达的地面最大加速度，值是以重力加速度
23、的倍数表达的质点的最大加速度。544.4 设计反应谱四、地震影响系数 如图抗规中给出的谱曲线：-地震影响系数；-地震影响系数最大值；-结构周期；554.4 设计反应谱形状特征：0T0.1区段，为向上倾斜的直线，随T而增大0.1TTg区段，=max，max=maxk=2.25kTgT5Tg区段，曲线为陡降曲线，随T的增大而较快减小5TgT6s区段，为直线下降段，下降缓慢564.4 设计反应谱五、阻尼对地震影响系数的影响-曲线下降段的衰减指数；-直线下降段的斜率调整系数；-阻尼调整系数，小于 0.55时，应取0.55。574.4 设计反应谱五、阻尼对地震影响系数的影响 建筑结构的地震影响系数应根据
24、烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。其水平地震影响系数最大值按表4-5采用；特征周期应根据场地类别和涉及地震分组按表4-6采用，计算8、9度罕遇地震时，特征周期应增加0.05s。表4-5 水平地震影响系数最大值注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度为0.15g和0.3g的地区584.4 设计反应谱五、阻尼对地震影响系数的影响表4-6 特征周期Tg 设计特征周期：坚硬场地Tg小，软弱的场地Tg大；第一组Tg小，第三组Tg大。设计地震分组场 地 类 别I01 第一组0.20 0.25 0.35 0.45 0.65第二组0.25 0.30 0.40 0.55 0.75第三组0
25、.30 0.35 0.45 0.65 0.90594.4 设计反应谱五、阻尼对地震影响系数的影响 有了反应谱，对于单质点弹性体系结构，知道G（重量）、设防烈度、场地、结构的自振周期 T后，就可求出地震作用。前面提到的地震影响系数是对应于基本烈度的。先行规范的“三水准，两阶段设计法”是在多遇烈度下计算截面承载力，在罕遇烈度下验算弹性变形。多遇烈度=基本烈度-1.55度罕遇烈度=基本烈度+1度左右由此可得出对应于多遇烈度和罕遇烈度的max 值，用于设计。604.4 设计反应谱反应谱法的缺点：不能反映出动态过程；它只是在弹性范围内的理论，弹塑性阶段不适用；通常只用一个加速度指标描述地震作用，考虑问题不全面。614.4 设计反应谱【例1】单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，类场地；屋 盖 处 的 重 力 荷 载 代 表 值 G=700kN，框 架 柱 线 刚 度,阻尼比为0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。h=5m624.4 设计反应谱【例2】已知一水塔结构，可简化为单自由度体系，m=10000kg，k=1kN/cm，位于类场地第二组，基本烈度为7度（地震加速度为0.1g），阻尼比=0.03，求该结构多遇地震下的水平地震作用。63