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1、专 题 六 数 列 1.(15北 京 理 科)设 凡 是 等 差 数 列.下 列 结 论 中 正 确 的 是 A.若 贝 1 42+。3 0 B.若+为，贝 1J+%D.若 4 0【答 案】c【解 析】试 题 分 析：先 分 析 四 个 答 案 支，A 举 一 反 例 q=2,a2=一 L%=6+对。而+6 0,A错 误，B 举 同 样 反 例 q=2,a2=一 L q=一,，勾+%。，3 错 误，下 面 针 对 C 进 行 研 究，a.是 等 差 数 列，若 06 0,设 公 差 为 d,则 d 0,数 列 各 项 均 为 正，由 于 a：-=(q+/)2-马(4+2=+d?-父-2aM=1
2、 0,贝 Ua；aa=q,选 C.考 点：1.等 差 数 列 通 项 公 式；2.作 差 比 较 法 2.(1 5 北 京 理 科)已 知 数 列 a满 足：qeN*,qW36,且 记 集 合 M=a“|“eN*.(I)若 q=6,写 出 集 合 M 的 所 有 元 素；(II)若 集 合 M 存 在 一 个 元 素 是 3 的 倍 数，证 明：M 的 所 有 元 素 都 是 3 的 倍 数；(III)求 集 合 M 的 元 素 个 数 的 最 大 值.【答 案】(1)M=6,12,24,(2)证 明 见 解 析,(3)8【解 析】试 题 分 析：(I)由 q=6,可 知 aZ=12,4=24
3、,4=12,则 M=6,12,24；(II)因 为 集 合“存 在 一 个 元 素 是 3 的 倍 数，所 以 不 妨 设 4 是 3 的 倍 数，用 数 学 UI纳 法 注 明 对 任 意 八%是 3 的 倍 汝，=1肘,则 M 中 的 所有 元 素 都 是 3 的 倍 数，如 果 4 1时，因 为 a.=2a-或 2a-36,所 以 2a.是 3 的 倍 数，于 是 a 1 是 3 的 倍 数，类 似 可 得，ak_2,.4 都 是 3 的 倍 数，从 而 对 任 意 n N 1,a.是 3 的 倍 数，因 此 M 的 所 有 元 素 都 是 3 的 倍 数.第：步 集 合 存 在 一 个
4、 兀 素 是 3 的 倍 数，所 以 不 妨 设%是 3 的 倍 数，由 已 知 am=12%，4-8,用 数 2。“-36,18学 归 纳 法 证 明 对 任 意 k,a,是 3 的 倍 数；第 三 步 由 于 中 的 元 素 都 不 超 过 36,M中 的 元 素 个 数 最 多 除 了 前 面 两 个 数 外，都 是 4 的 倍 数，因 为 第 二 个 数 必 定 为 偶 数，由 为 的 定 义 可 知，第 三 个 数 及 后 面 的 数 必 定 是 4 的 倍 数，由 定 义 可 知，a,用 和 2为 除 以 9的 余 数 样，分 约 中 有 3 的 倍 数 和 当 中 没 有 3 的
5、 倍 数 两 种 情 况，研 究 集 合 MH 的 元 素 个 数，最 后 得 出 结 论 集 合 M 的 元 素 个 数 的 最 大 值 为 8.试 题 解 析：(【)由 已 知 用=产“，。,08,可 知：n+l 12ali-36,勺 18a=6,a2=12,3=24,%=12,M=6,12,24(I D 因 为 集 合 必 存 在 一 个 元 素 是 3 的 倍 数，所 以 不 妨 设 4 是 3 的 倍 数，由 已 知 18,可 用 用 数 学 归 纳 法 证 明 对 任 意 k,a“是 3 的 倍 数，当 36,cin 18A=1时，则 M 中 的 所 有 元 素 都 是 3 的 倍
6、 数，如 果 4 1时，因 为 为=2a._i或 2a一 36,所 以 2%是 3 的 倍 数，于 是 4 1 是 3 的 倍 数，类 似 可 得，a.,.a.都 是 3 的 倍 数，从 而 对 任 意 1,露 是 3 的 倍 数，因 此 M 的 所 有 兀 素 都 是 3 的 倍 数.(III)由 于 中 的 元 素 都 不 超 过 36,由 苗 36,易 得 4 36,类 似 可 得 为 36,其 次 中 的 元 素 个 数 最 多 除 了 前 面 两 个 数 外，都 是 4 的 倍 数，因 为 第 二 个 数 必 定 为 偶 数，由 纥 的 定 义 可 知，第 三 个 数 及 后 面 的
7、 数 必 定 是 4 的 倍 数，另 外，M 中 的 数 除 以 9的 余 数，由 定 义 可 知，an+l和 2纥 除 以 9 的 余 数 一 样，溺 4 中 有 3 的 倍 数，由（2）知：所 有 的 a,都 是 3 的 倍 数，所 以 4 都 是 3 的 倍 数，所 以 4 除 以 9 的 余 数 为 为 3,6,3,6,或 6,3,6,3，或 9,0,0.而 除 以 9余 3且 是 4 的 倍 数 只 有 i2,除 以 9余 6且 是 4 的 倍 数 只 有 24,除 以 9余 2且 是 4 的 倍 数 只 有 36,则 M 中 的 葩 从 第 三 项 起 最 多 2项,加 上 前 面
8、 两 项，最 多 4 项.4 中 没 有 3 的 倍 数，则 4 都 不 是 3 的 倍 数，时 于 当 除 以 9 的 余 数 只 能 是 L 4,7,2,5,8 中 的 一 个,从 a,起，可 除 以 9 的 余 数 是 1,2,4,8,7,5,1,2,4,8.，不 断 的 6 项 循 环（可 能 从 2,4,8,7或 5开 始），而 除 以 9 的 余 数 是 L 2,4,8,5且 是 4 的 倍 数（不 大 于 36）,只 有 28,20,4,8,16,32,所 以 M 中 的 项 加 上 前 两 项 最 多 8 项，贝 ij%=1时，/=1,2,4,8 16,32,28,20）,项
9、数 为 8,所 以 集 合”的 元 素 个 数 的 最 大 值 为 8.考 点：1.分 段 函 数 形 数 列 通 项 公 式 求 值；2.归 纳 法 证 明；3.数 列 元 素 分 析.3.（15北 京 文 科）已 知 等 差 数 列%满 足+%=1 0，a4-a3=2.（I）求 4 的 通 项 公 式；（II）设 等 比 数 列 也 满 足 H=%，4=%，问：%与 数 列%的 第 几 项 相 等?【答 案】=4+2（1）=2+2；（2）区 与 数 列%的 第 63项 相 等.【解 析】试 题 分 析：本 题 主 要 考 查 等 差 数 列、等 比 数 列 的 通 项 公 式 等 基 础
10、知 识，考 查 学 生 的 分 析 问 题 解 决 问 题 的 能 力、转 化 能 力、计 算 能 力.第 一 问，利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式，将 4,七,%，。4转 化 成 q 和 d,解 方 程 得 到 和 d 的 值，直 接 写 出 等 差 数 列 的 通 项 公 式 即 可；第:问，先 利 用 第 一 问 的 结 论 得 到 和&的 值，再 利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式，将 H 和 瓦 转 化 为 仇 和 q，解 出 仇 和 q 的 值，得 到 外 的 值，再 代 入 到 上 一 问 等 差 数 列 的 通 项 公 式 中，解 出 n 的 值，即 项 数.
11、试 题 解 析：（I）设 等 差 数 列 4 的 公 差 为 d.因 为%-%=2,所 以 4=2.又 因 为 q+%=1 0,所 以 2 q+d=1 0,故=4.所 以 4=4+2(1)=2+2(=1,2,).（II）设 等 比 数 列 出 的 公 比 为 q.因 为 仇=%=8,4=%=16,所 以 g=2,=4.所 以。6=4 X 26T=128.由 128=2+2,得=63.所 以 以 与 数 列%的 第 63项 相 等.考 点：等 差 数 列、等 比 数 列 的 通 项 公 式.4.（15年 广 东 理 科）在 等 差 数 列。“中，若%+%+。5+。6+。7=25，则 的+。8=【
12、答 案】10.【解 析】因 为 4“是 等 差 数 列，所 以%+&7=&+。6=“2+。8=2%，%+%+%+%+%=5%=25 即=5,%+%=2a5=1 0,故 应 填 入 10.【考 点 定 位】本 题 考 查 等 差 数 列 的 性 质 及 简 单 运 算，属 于 容 易 题.M 25.（15年 广 东 理 科）数 列。“满 足 4+2a2+=4 一 三 了，r i w N*.（1）求 的 值;求 数 列 q,前 项 和 北；令 伉=%,4=+（1+；+；_|-F（n 2）.证 明：数 列,的 前 项 和 S“满 足 S“2+21n【答 案】（1）；（2）2-（；）；（3）见 解 析
13、.【解 析】(1)依 题 犯=也-2%-3%1|4-2 七|=4一 七 一 4一 1；=士，2 1 2 y 4.1 生=丁(-)依 题 当 2 1 时，叫,=(q-29-S)T ai-az-(T)%I=42 1 2/.2、s-1)a,=：，又=4 一 上 二=1也 适 合 此 式，.,.数 列 4；是 首 项 为 i,公 比 为 二 的 等 比 数 列，故=4(3)依 题 由,=%+%+%T+(1+1，+.+_1%知 仇=6,仇=L+/I+_ L n(2 n)2 v 2 J生 一 生 3 2 3 J-记 f x=Inx-，则/(x)=-L=U-0，x x x*x*f l x l在 认-x l上
14、 是 噌 函 数，又 一=0即 又 上 2 2且 左 三.V*时，1,左-1J r 女 I k I=ln-二 一 0 即 八 代 一 1,！左 一 1 k-kk-1.1 2 1 1 M R I K 1 1 1 2 3 y i i2 1 3 2 n 7?-l 2 3 n 1 2 k-1 1 1 1、2 x 1-2-21n?艮 R S v 2+2111k.!、2 3 nJ 二【考 点 定 位】本 题 考 查 递 推 数 列 求 项 值、通 项 公 式、等 比 数 列 前.项 和、不 等 式 放 缩 等 知 识,属 于 中 高 档 题.6.（15年 广 东 文 科）若 三 个 正 数 a,b,c 成
15、 等 比 数 列，其 中。=5+2指，c=5-2瓜,则 匕=.【答 案】1【解 析】试 题 分 析：因 为 三 个 正 数 a,b,c 成 等 比 数 列，所 以/=c=（5+2庭）（5 2遥）=1,因 为。0,所 以 b=l,所 以 答 案 应 填：1.考 点：等 比 中 项.7.（15年 广 东 文 科）设 数 列 为 的 前 项 和 为 S“，G N*.已 知=1,a2=-,a3=-,且 当 2 2 时,4s油+55,=85向+5 1.（1）求 的 值；（2）证 明：%为 等 比 数 列；（3）求 数 列 4 的 通 项 公 式.【答 案】（1）（；（2）证 明 见 解 析；（3）%=（
16、2”1）x（；）.【解 析】试 题 解 析：（1）当 外 n=2 时，4s4+5S：=8S3+S,即 4 1+：+：+4；3、1-g;-2 a：，所 以 数 列:a一 生 是 以 a i生 _=1为 首 项，公 比 为 1 的 等 比 数 列 由 回 知:数 列&_ 1是 以 生-=1为 首 项,公 比 为 1 的 等 比 数 列.所 以 a“:1 门 产 丁 F即 冬 T-3=4,所 以 数 列 m 彳,是 以 导=2为 首 项，公 差 为 4 的 等 差 软 列，所 以 aMV=2+(-1)X4=4,7-2,BPai,=(4-2)x 1-1(i Y-u；=(2 T)x0,所 以 数 列 4
17、 的 通 项 公 式 是%=(2-)x；彳;考 点：1、等 比 数 列 的 定 义；2、等 比 数 列 的 通 项 公 式；3、等 差 数 列 的 通 项 公 式.8.（15年 安 徽 理 科）设 eN*,x“是 曲 线 y=x：坐 标，2+3+1在 点（1,2）处 的 切 线 与 x轴 交 点 的 横（1）求 数 列%的 通 项 公 式;记 7；=X：考 总 T，证 明 7；（D M:,料*+1）=（2|1+2）户”,曲 线 产“+1在 点（1.2）处 的 切 线 舒 率 为 2n+2.从 而 切 线 方 程 为.”2=（2“+2）（X-1）.公）=0.解 科 切 线 与*轴 交 点 的 横
18、 坐 标 x.=.n.l*1 1）证：由 题 设 和（i）中 的 计 算 结 果 知/X、乙&L=（十）（产 彳 当 n=l 时.7;=二-.必 由 4 J,2 n-l 1（2-l）（2 n-i）2-l 2n-2 0-】当 nMX时（因 为*W=（万）=而 尸（2n），=亏 5 徐 工 可 当 时 任 意 的 n e N.均 有 7.#；.4/19.（15年 安 徽 文 科）已 知 数 列 出,中，4=1,%=%_+（N 2）,则 数 列 缶“的 前 9 项 和 等 于。【答 案】27【解 析】试 题 分 析：.“2 2时，a*=a”.i+:且 生=q+：提:以 巧 为 首 项，:为 公 差
19、的 等 差 数 列 工 9xW 1.S9=9x l+x 1=9+18=27考 点：1.等 差 数 列 的 定 义；2.等 差 数 列 的 前 n 项 和.10.（15年 安 徽 文 科）已 知 数 列%是 递 增 的 等 比 数 列，且 为+%=9,。2。3=8.（1）求 数 列 许 的 通 项 公 式;（2）设 S,为 数 列 4 的 前 n 项 和,%=匹!一,求 数 列 也 的 前 n 项 和 7 s“s+【答 案】（1）a“=2T(2)2n+1-22n+,-l【解 析】=9./、a=1试 题 分 析：（I）S J 是 递 噌 的 等 比 数 列，且 用+%=9,小 巧=8；。1 Y q
20、=q q=81 q=S=q=2 an=axq=2=8 a 1 由 可 g=W*W=2 J2n 1 1一(2-1乂 2”-1-1)-2-1 2-1-l,1 2n+l-22n+l-l 2n+l-l考 点：1.等 比 数 列 的 性 质；2.裂 项 相 消 法 求 和.11.（15年 福 建 理 科）若“力 是 函 数/（x）=f px+q（p 0,q 0）的 两 个 不 同 的 零 点,S.a,b,-2这 三 个 数 可 适 当 排 序 后 成 等 差 数 列，也 可 适 当 排 序 后 成 等 比 数 列，则 p+q的 值 等 于（）A.6 B.7 C.8 D.9【答 案】D【解 析】试 题 分
21、 析：由 韦 达 定 理 得 a+b=p,a b=q,则。0 1 0,当 a,仇-2 适 当 排 序 后 成 等4比 数 列 时，-2 必 为 等 比 中 项，故。必=q=4,b=-.当 适 当 排 序 后 成 等 差 数 列 时，-2 必 a4 4不 是 等 差 中 项，当。是 等 差 中 项 时，2a=一 一 2,解 得。=1,b=4；当 一 是 等 差 中 项 时，a ao-=a-2,解 得 a=4,b=l,综 上 所 述，a+b=p=5,所 以 p+q=9,选 D.a考 点：等 差 中 项 和 等 比 中 项.12.(15年 福 建 文 科)若“也 是 函 数/(x)=x2 px+q(
22、p 0,q 0)的 两 个 不 同 的 零 点，且 田 仇-2 这 三 个 数 可 适 当 排 序 后 成 等 差 数 列，也 可 适 当 排 序 后 成 等 比 数 列，则 p+q的 值 等 于.【答 案】9【解 析】试 题 分 析：由 韦 达 定 理 得 a+5=p，a-b=q,则 4 0力 0,当 冬 花-2适 当 排 序 后 成 等 比 数 列 时，-2必 为 等 比 中 项，故 a-5=g=4,b=.当 适 当 排 序 后 成 等 差 数 列 时，-2必 不 是 等 差 中 项，当 a 是 等 差 中 a4 4 R项 时，2 a=-2,解 得 a=l,5=4；当 一 是 等 差 中
23、项 时，-=a-2,解 得 a=4,b=l,综 上 所 述,a a aa+b=p=5 所 以 p+g=9.考 点：等 差 中 项 和 等 比 中 项.13.(15年 福 建 文 科)等 差 数 列 4 中，=4，%+%=15.(I)求 数 列 2 的 通 项 公 式；(I I)设 刀=2%.+,求 4+4+&+.+%的 值.【答 案】(1)a“=+2；(H)2101.【解 析】试 题 分 析：(I)利 用 基 本 量 法 可 求 得,进 而 求 2 的 通 项 公 式：(I I)求 数 列 前 n项 和，首 先 考 虑 其 通 项 公 式，根 据 通 项 公 式 的 不 同 特 点，选 择 相
24、 应 的 求 和 方 法，本 题 bn=T+n,故 可 采 取 分 组 求 和 法 求 其 前 10项 和.试 版 解 析：(I)设 等 差 数 列 6 的 公 差 为 d.+d=4由 已 知 得、/、，(q+3d)+(q+64)=15解 得 a,1=3.d=l所 以 a“-l)d=+2.(I I)由(I)可 得 久=丁+k.所 以 4+0+凤+九=n+l i+F+2|+(F+3|+-+(2”+10|=(2+2:+23+-+21O|+I1+2+3+-+1OI2(1-21：，)(1+101x10-1-2 2=(2u-2|+5 5=2u+53=2101.考 点：1、等 差 数 列 通 项 公 式；
25、2、分 组 求 和 法.14.(15年 新 课 标 2 理 科)等 比 数 列 册 满 足。1=3,q+%+5=21,贝 1|。3+。5+7=()(A)21(B)42(C)63(D)84【答 案】B工 辞 京 i-:w 段 等 比 数 列 公 比 为 q，则+阳=2 1,又 因 为 a=3,所 以/+炉-6=0,解 得.=2,所 以 勾+生+&-=(q+生+生)2=32，故 选 3.15.(15年 新 课 标 2 理 科)设 S,是 数 列”“的 前 项 和，且 q=1,4 M=S“S,M，则 S-【答 案】n【解 析】由 已 知 得 凡+1=S川-5,=S.+S”，两 边 同 时 除 以 S
26、“+S“，得 L=_1,S+i s 故 数 列 是 以 一 1为 首 项，一 1为 公 差 的 等 差 数 列，则 1-=1(1)=，所 以 S.ss=-n16.（15年 新 课 标 2 文 科）设 Sn是 等 差 数 列%的 前 项 和，若 q+q+%=3，则$5=（）A.5 B.7 C.9 D.11【答 案】A【解 析】试 题 解 析：q+%+%=3a3=3=%=L S5=-=5%=5.故 选 A.考 点：等 差 数 列 17.（15年 新 课 标 2 文 科）已 知 等 比 数 列 也 满 足=；吗/=4（。4-1），则。2=（）A.2 B.l C.-D.-2 8【答 案】C【解 析】试
27、 题 分 析：由 题 意 可 得 3%=%2=4（%1）=。4=2,所 以 4 3=8=4=2，故 1”2=砧=5，选 C.考 点：等 比 数 列.18.（1 5年 陕 西 理 科）中 位 数 1010的 一 组 数 构 成 等 差 数 列，其 末 项 为 2 0 1 5,则 该 数 列 的 首 项 为【答 案】5【解 析】试 题 分 析：设 数 列 的 首 项 为，则 4+2 0 1 5=2x1010=2 0 2 0,所 以 q=5,故 该 数 列 的 首 项 为 5,所 以 答 案 应 填：5.考 点：等 差 中 项.19.（1 5年 陕 西 文 科）中 位 数 为 1010的 一 组 数
28、 构 成 等 差 数 列，其 末 项 为 2 0 1 5,则 该 数 列 的 首 项 为 _【答 案】5【解 析】试 题 分 析：若 这 组 数 有 2”+1个，则 47=1010,q2=2015,又 0+%7=勿 2,所 以 q=5；若 这 组 数 有 2 个，则。=1010 x2=2020,a：n=2015.又 q+%,=。*+。央，所 以。1=5：取 答 案 为 8.考 点：等 差 数 列 的 性 质.20.(15 年 陕 西 文 科)fn(x)=x+x2 4-Fxn-l,n e N9n 2.(I)求 才(2);(H)证 明：(x)在 内 有 且 仅 有 一 个 零 点(记 为%),且
29、0%一；(|).【答 案】：(2)=(-1)2+1；(H)证 明 略，详 见 解 析.【解 析】试 题 分 析：山 题 设：(x)=l+2x+i,所 以 f：(2)=l+2x2+2T,此 式 等 价 于 数 列-2-1 的 前 n项 和，山 错 位 相 减 法 求 得 力(2)=(-1)2+1；(II)因 为 0)=-1 0,所 以 力(x)在(0,9 内 2至 少 存 在 一 个 零 点，又：(x)=l+2x+0,所 以 工(力 在(0,)内 单 调 递 增，因 此，力(x)在(0,1)内 有 且 只 有 个 零 点 4,由 于 工(幻=三 一 1,所 以 0=/(%)=产-1-由 此 可
30、得 知=；+；媪 川；-an 2 2 2故!%2,继 而 得 0 勺 _工=!4 向=Lxj22 3 2 2 2 3 试 题 解 析：山 题 设 力(x)=l+2x+”xT,所 以：(2)=l+2x2+2T 由 2/：(2)=1x2+2x22+.-+2”一 得=1+2+22+2n-n21-22-2=(1)21,所 以 4(2)=(-1)2+1(II)因 为/(0)=10.2所 以（x）在（0/）内 至 少 存 在 个 零 点，又：（x）=l+2x+xT 02所 以（力 在（0，f）内 单 调 递 增，因 此，任）在（0,（）内 有 且 只 有 一 个 零 点%，1 _ r由 于 力（幻=产 一
31、 1，1-X-a 所 以 0=/“（%）=一 1由 此 可 得。“=+1%田 故 一%-2 32考 点：1.错 位 相 减 法；2.零 点 存 在 性 定 理；3.函 数 与 数 列.21.（15 年 天 津 理 科）已 知 数 列%满 足 4+2=4%（q 为 实 数，且 qwl），n e N*,q=1,“2=2，且 a2+a3,a3+%,%+生 成 等 差 数 列.（I）求 q 的 值 和 也,的 通 项 公 式;(H)设 么=lg2,“加，e N*,求 数 列 b“的 前 n项 和.a2n-【答 案】(I)a=2彳,为 偶 数.一【解 析】试 题 分 析：(I)由(%+%)=(4+%)-
32、(%+4)得。4 一。2=%一 43 先 求 出 4 分 为 奇 数 与 偶 数 讨 论 即 可；(H)求 出 数 列 a 的 通 项 公 式，用 错 位 相 减 法 求 和 即 可;试 题 解 析：(I)由 已 知，有(%+4)_(%+%)=(%+%)-(%+4)，即 4 q=5 一。3，所 以 42(q-l)=3(4 1)，又 因 为 7/1，故。3=。2=2，由。3=。“，得 4=2,“-1当 n=2k 1(几 e N*)时，an-a2k_=2A-1=2 2n当 n=2k(n G N*)时，an=a2k=2k=2?,所 以 为 的 通 项 公 式 为。“=2,为 奇 数,2之 为 偶 数
33、.二:，由 二，得;地 生 二 事，设 数 列;4；的 前 万 项 和 为 S*,则 2-1 2e,1 c 1 o 1 1思=lx 呼+2 x/+3 x m+NX 萍，1 e,1 c 1 o 1 1产=1x1+2x-4-3x-+-i-x 两 式 相 减 得 11 C,1,1 1 1 n 一 夕 2*2 22 23 2*T2整 理 得 号=4-零 所 以 数 列；4；的 前 万 项 和 为 4-贵*e 曾*考 点：1.等 差 中 项 定 义；2.等 比 数 列 及 前 项 和 公 式.3.错 位 相 减 法.22.（15 年 天 津 文 科）已 知 也 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数
34、 列，也 是 等 差 数 列，且 a=b=1 也+4=2。3,%-3 3=7.（I）求%和 也 的 通 项 公 式；（II）设%=。也,n N*,求 数 列 的 前 n 项 和.【答 案】（I）%=2T,eN*,a=2 l,eN*；（II）S“=（2 3）2+3【解 析】试 题 分 析：（I）列 出 关 于 q 与 d 的 方 程 组，通 过 解 方 程 组 求 出 q,d,即 可 确 定 通 项；（II）用 错 位 相 减 法 求 和.试 题 解 析：设 4 的 公 比 为 q,也 的 公 差 为 d,由 题 点 4 0，由 已 知，有,2:-3d=2,消 去 d 得 q4-2q28=0,解
35、 得 q=2,d=2，所 以 也 的 通 项 公 式 为 q-3J=10,a=2T,e N*,也,的 通 项 公 式 为 2=2 1,“e N*.（II）由 有%=（2 I一,设%的 前 n 项 和 为 S“，则 Sn=1X 20+3 X 21+5 X 22+-+（2/I-1）X 2,-1,25=1x2+3x22+5x23+-+（2n-1）x2,两 式 相 减 得-S=l+22+23+-+2z,-（2n-l）x2=-（2n-3）x2n-3,所 以 S“=（2 3）2+3.考 点：1.等 差、等 比 数 列 的 通 项 公 式；2.错 位 相 减 法 求 和.23.（15年 天 津 文 科）已
36、知 函 数/（x）=4x-xx R,（I）求/（x）的 单 调 性；（II）设 曲 线 y=/（x）与 x 轴 正 半 轴 的 交 点 为 P,曲 线 在 点 P 处 的 切 线 方 程 为 y=g（x）,求 证：对 于 任 意 的 正 实 数 X,都 有 f（x）g（x）；a1（川）若 方 程 x）=a（a为 实 数）有 两 个 正 实 数 根 孙 2,且 玉，求 证：X2-X1-+4【答 案】（I）/（x）的 单 调 递 增 区 间 是（-8,1）,单 调 递 减 区 间 是（1,+8）：（II）见 试 题 解 析:(Ill)见 试 题 解 析.【解 析】试 题 分 析：由/(X)=4-4
37、/.可 得/i j o 的 单 调 递 增 区 间 是-oo,h.单 调 递 诚 区 间 是 11,+8 I；(二)(二)：证 明 口 X 在 I-00,而 I单 调 递 W：在 I%,田|单 调 递:所 以 对 任 意 的 实 数.Fl x，工 口%I=0:对 于 任 意 的 正 实 数 了 都 有/(x)g(x)；二 二)设 龙;=a 的 1根 为 X；可 得 煮；=-2+4*由 g g 在 I-00,+00i单 调 递 遍 得 g i/之 I=a=gix；I 不 以 设 曲 线、=力 力 在 原 点 处 的 切 线 为;/=%/，方 程 加 k=的 根 为 G 鬲 为=?由 4加 xi=
38、4x 在 在 I-OD,+OOI 单 调 递 常：且 加=以=再 工 加 再:可 得 彳；二 思 所 以 1X2-X1 o，即 X 1 时，函 数/(x)单 调 递 增；当/(力 0,所 以 当 xXo，+8)此/(x)0,所 以 F(x)在(-8,4)单 调 递 增，在(x0,+oo)单 调 递 减，所 以 对 任 意 的 实 数 x/F(x)F(xo)=O，对 于 任 意 的 正 实 数 x,都 有 f(x)g(x)./1（二）由（二）知=彳 一 4：设 方 程 g=i=4 的 根 为 五；：可 得=-W+4：因 为 g，在 I/121-03,-H单 调 递 减:又 由（二）知 即 今|之
39、 八|=。=且|弓 I 所 以 叼 Mx；.类 似 的 追 曲 线 1y=/，r 在 原 点 处 的 切 线 为 y=加 R,可 得 加 R=4X:对 任 意 的 xe 1 TO,+O 有 力 xi-A x=-x4 0 即 加 不 设 方 程 加 x，=a 的 根 为 x；.可 得=色.因 为 加 x，=4 x 在 在，-oo,+81 学 倜 读 噌 巴 41加 公=以=/1 加 公 因 此 x/xp所 以 x2-x10,64 0 B.O yd 0,dS4 0,64 0 D.ad 0【答 案】B.【解 析】试 题 分 析 8.等 差 数 列 4，生，4，生 成 等 比 数 列，八 5（4+id
40、）=（a+2t/）9i+a）=q=-3 v 0,5二=一 三 才 0,故 选 3.3 3 3考 点：L 等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 其 前 项 和；2.等 比 数 列 的 概 念 25.（15年 湖 南 理 科）设 S 为 等 比 数 列 4 的 前 项 和，若=1,且 3百,2邑,53成 等 差 数 列，则。=.【答 案】-2n+3.【解 析】试 题 分 析：二.等 差 数 列。月，.S=2+d,邑=。1+%+为=3+3小 2(2+d)=3+3+如=d=2,=2n+3.考 点：等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 其 前 n 项 和.26.（15年 山 东 理 科）设 数 列,
41、的 前 项 和 为 S“，已 知 2S“=3+3.(I)求 数 列 6 的 通 项 公 式；(II)若 数 列 也 满 足 anbn=log3 an,求 数 列 也 的 前 n 项 和 7；.解：(I)由 25.=3+3可 得%=51=?(3+3)=3,%=S,-Sz=；(3+3)-；(3T+3)=3-(2),f 3,=1,而=3 H 3,则 可=i3 1.（i,）由 他=*及%=*=L一+亍 44 31.231233-卜+2=+9133 3 一 T H1-32/i+12 j_ _ 3_ _ n-9+2-2-18-2-313 2n+l-12-4-3,-127.（15年 江 苏）数 列 凡 满
42、足=1,且 见+|-%=+l（”e N*）,则 数 列 的 前 10项 和 为 _70【答 案】【解试 题 分 析：由 题 意 得：.、.、.、,(+1)an=(an an-)+(4l 一%-2)+.+(出-q)+4=+-1+，+2+1=-1 c/1 1、。八 1、2。20所 以-=2(-).5,=2(1一 一 510=a”n n+1 n+1 n+1 11考 点：数 列 通 项，裂 项 求 和 28.(15年 江 苏)设 4,42，%，4 是 各 项 为 正 数 且 公 差 为 弘 4/)的 等 差 数 列(1)证 明：2a,2%,2%,2%依 次 成 等 比 数 列；(2)是 否 存 在,d
43、,使 得 依 次 成 等 比 数 列，并 说 明 理 由；(3)是 否 存 在 q,d 及 正 整 数 小 k,使 得。；,。片,。丁 2*,司+*依 次 成 等 比 数 列，并 说 明 理 由.【答 案】(1)详 见 解 析(2)不 存 在(3)不 存 在【解 析】试 题 分 析：(1)根 据 等 比 数 列 定 义 只 需 喊 证 每 一 项 与 前 一 项 的 比 值 都 为 同 一 个 不 为 零 的 常 数 即 可(2)本 题 列 式 蔺 单，变 形 较 难，首 先 令，=色 将 二 元 问 题 转 化 为 一 元，再 分 别 求 解 两 个 高 次 方 程，利 用 消 最 高 次
44、的 方 法 得 到 方 程：7/T r+3=O,无 解，所 以 不 存 在(3)同(2)先 令 r=色 将 二 元 问 题 转 化 为 一 元，为 降 次,%所 以 两 边 取 对 数，消 去 n,k得 到 关 于 t 的 一 元 方 程 4hi(l+3r)ln(l+r)-ln(l+3r)ln(l+)-31n(l+2r)ln(l+f)=0,从 而 将 方 程 的 解 转 化 为 印 允 函 数 g(r)=4hi(l+3r)ln(l+r)hi(l+3r)hi(l+3)3 3 1+)ln(l+r)零 点 情 况，这 个 函 数 需 要 利 用 二 次 求 导 才 可 确 定 其 在(01+工)上
45、无 零 点 试 题 解 析：(1)证 明：因 为 三=2 4=2=1,2，3)是 同 一 个 常 数，所 以 邛，2生，2 3 2&依 次 构 成 等 比 数 列.(2)令 q+d=。，则 a，g，%1(分 别 为 a d,a,。+d,Q+2d(ci d,a 2d,d w 0).假 设 存 在,d,使 得 力,城，a；,依 次 构 成 等 比 数 列,则/=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令 t=4,则 l=(l f)(l+f)3,且(l+f)6=(l+2f tO),化 简 得 广+2*-2=0(*),且/=f+l.将 r=/+1代 入(*)式，t(t+1)+2(t
46、+1)-2=t2+3t=t+l+3t=4t+1=0,则 t=.显 然，=-工 不 是 上 面 方 程 得 解，矛 盾.，所 以 假 设 不 成 女，4因 此 不 存 在 q,d,使 得,a1,al，a：依 次 构 成 等 比 数 列.（3）假 设 存 在,d 及 正 整 数，k,使 得 a：,a；*,a；+2k,+3*依 次 构 成 等 比 数 列,则 a；（q+2 d）皿=（q+d 产 田,且（%+d 户（4+3d）/*=（q+2 d 严”）.分 别 在 两 个 等 式 的 两 边 同 除 以 一（2）及。产+2%），并 令/=（Z-1,o）,%3则（1+2/广=（1+严*）,且（i+r（i
47、+3f）-=（i+2炉 皿）将 上 述 两 个 等 式 两 边 取 对 数,得（,+2k）ln（l+2f）=2（+k）ln（l+f）,且(+k)ln(l+f)+(+3k)ln(l+3f)=2(+2k)ln(l+2r).化 简 得 2kln(l+2f)ln(l+f)=”21n(l+f)ln(l+2。,且 3女 ln(l+3f)ln(l+f)=”31n(l+，)一 ln(l+3。.再 将 这 两 式 相 除，化 简 得 ln(l+3f)ln(l+2f)+31n(l+2f)ln(l+t)=41n(l+3f)ln(l+f)(*).令 ga)=41n(l+3r)ln(l+ln(l+3f)ln(l+2f)
48、-31n(l+2E)ln(l+。,则 g(f)2(l+3r)2 ln(l+3r)-3(l+2/)2 ln(l+2f)+3(l+r)2 ln(l+/)J(l+f)(l+2f)(l+3f)令 9(，)=(l+3f)2 1n(l+3f)3(l+2f)2 1n(l+2f)+3(l+r)2 ln(l+f),则 d(f)=6(l+3f)ln(l+3f)_2(l+2f)ln(l+2f)+(l+r)ln(l+f).令 0=),则 夕：(。=63111(1+3。-4111。+2。+1 1 1(1+。.12令 阳）=（）则 必=（*）（1+2祖 1+夕）”由 8（0）=9（0）=0（0）=%（0）=0,以“）0，知 02。），口”），。），g（f）在 J。和（0,+8）上 均 单 调.I 3/故 g（。只 有 唯 一 零 点 f=0,即 方 程（*）只 有 唯 一 解，=0，故 假 设 不 成 忆 所 以 不 存 在 4,d 及 正 整 数 n，k,使 得，a,a；+2k,可+3*依 次 构 成 等 比 数 列.考 点：等 差、等 比 数 列 的 定 义 及 性 质，函 数 与 方 程