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1、专题十七圆锥曲线与方程1.（15北京理科）已知双曲线，y 2 =i g 0）的一条 渐 近 线 为 瓜+）,=。，则。=_【答案】3【解析】试题分析：双曲线匚-尸=1（。0）的渐近线方程为y =L X ,也X+y =0=y aa 0:则=-5/3,a =a3考点：双曲线的几何性质2 2 万2.（15北京理科）已知椭圆C：方=l（o b 0）的离心率为 半，点尸（0,1）和点A（m,）（机#0）都在椭圆C上，直线P A交x轴于点M .（I ）求椭圆C的方程，并求点M的 坐 标（用加，表示）；（II）设。为原点，点8与点A关于x轴对称，直线P B交x轴于点N.问：y轴上是否存在点。，使得/O Q
2、M=N O N。？若存在，求点。的坐标；若不存在，说明理由.【答案】【解析】试题分析：椭圆C：+方=l（a b 0）的离心率为 半，点P（0,l）在椭圆匕 利用条件列方程组，解出待定系 数/=2,白=1,写出椭圆方程；由点尸（0,1）和点4（也，）（a W 0）,写出PA直线方程,令y =0求出x值,写出直线与x轴交点坐标;由点（0,1）,尔加,-），写出直线 处 的 方程，令y=0求出x值，写出点N的坐标，设。（0,乙），=4 OQM=Z.ONQ,t a n AOQM-t a n N惚 求出 t a n/O QV 和t a n AONQ,利用二者相等，求 出 外=士 也，则存在点Q（0,土
3、也）使得40QM=Z.ONQ.试题解析：（I）由于椭圆C：+，=1（匕 0）过点P（0,1）且离心率为 日，1r2 2 _/2 1 1=1,b=1,e-=-=1-=-.a=2,椭圆 C 的方程为b a1 a1 a1 2/2 +y =1.2尸（0,1）,血力,）,直线用的方程为：y =23x+1,令y=0,x=-,.（“一,0）；1-Z?（ID V产S,1）,6位,-箝），直线期的方程为：y=匕3 x+1,直线？3与x轴交于点N,令必y =0 x=-必一,贝IJ JV（,0）.1+z?1+n设。9,%）wt a n/W =V。L7-L ta n Z W =Q-n）y0/1+n匕（1+口）必 N0
4、OT=/砌 二 tanZW Jf=t a n/瓯则7 工 一=%+,所以y；=-=工=2,（注：点4m,Ml（h在椭圆C上,（1-n）y0 m 1-z?m2y+n2=1）,则y0=土 的，存在点Q（0,土 也）使得NOQ=NQVQ考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.3.（15北京文科）已知（2,0）是双曲线/一 2y=1 （/,0）的一个焦点，则匕=【答案】V3【解析】试题分析：由题意知c =2,a =l,b2=c2-a2=3,所以b =考点：双曲线的焦点.4.(15北京文科)已知椭圆C:/+3 y 2=3,过点D(1,O)且不过点E(2,l)的直线与椭圆C交
5、于A,B两点，直线AE与直线x=3交于点M.(I )求椭圆C的离心率；(II)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(III)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.【答案】(1)立：(2)1；(3)直线BM与直线D E平行.3【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a,b,c的值，再利用e =计算离心率；第二问，由直线AB的a特殊位置，设出A,B点坐标，设出宜线A E的方程，由于直线A E与x=3相交于M点，所以得到M点坐标，利用点B、点
6、M的小.标，求直线BM的斜率；第三问，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线A B和直线A E的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，得到占+x2和代入到凝加T中，只需计算出等于0即可证明册M=&E，即两直线平行.丫2试题解析：(I )椭圆C的标准方程 为 一+y 2=i.3-所以 =百，b =,c=V 2.所以椭圆C的离心率6 =.a 3(I I)因为A B过点。(1,0)且垂直于x轴，所以可设4(1,凶)，8(1,-%).直线A E的方程为y -1 =(1 一%)(%-2).令x =3,得M(3,2 y J.所以直线BM
7、的斜率心”=九=1.（I l l）直线B M与直线DE平行.证明如下:当直线A B的斜率不存在时，由（I I）可知却“=1.又因为直线D E的 斜 率=匕9 =1,所以B M/D E.2-1当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x l）（k丰1）.设4（公,%），B（X2,y2）,则直线AE的方程为y-1%2令x =3,得点M（3,+二 一3）%2由卜+=3,得（1 +3%2口2_ 6心 +3%2_ 3=0y=k（x-Y）山2 6k2 3 k2-3所以-7,XX,=-1+3/1 2 1+3公必+一3、，-二3必直 线B M的斜率上碗=二-3-x2因为上3 M T=M A 1）+一3 用为-
8、1）（一 2）（3 ）（一 2）（3电）（/-2）（-1）-X1X2+2（X1+X2）-3）（3 X 2）（X1一2）-3 k2+3（k-凯；+上。-3）1+3/1+3/（32）=0 所以=1 =k球所以综上可知，直 线3 1与直线D三平行.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.r2 v2 55.（1 5年广东理科）已知双曲线C：,一 方=1的 离 心 率（?=*,且 其 右 焦 点 用（5,0）,则双曲线C的方程为2 2 2 2 2 2 2 2x y .x y x y x y.A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=14 3 1 6 9 9 1 6 3 4【答案
9、】B.【解析】因为所求双曲线的右焦点为居（5,0）且离心率为6 =,=，所以c =5,a=4,r2 v2从=,2。2=9所以所求双曲线方程为土一2 _=,故选8.1 6 9【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题.6.（1 5年广东理科）已知过原点的动直线/与圆6：/+2-6 x+5 =0相交于不同的两点 A ,B.（1）求圆G的圆心坐标；（2）求线段4 8的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数4,使得直线:=女（-4）与曲线。只有一个交点：若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）（3,0）；（2）3 34,4;女 解析(1)由 x?+产 一 6
10、 x +5 =0 得(x -3)2+/=4,圆G的圆心坐标为（3,0）；（2）设M（尤,y）,则,点M为弦A8中点即G M _ L A 3,如以=-1即号q=-1，线段AB的4点M的轨迹的方程为（3）由（2）知点M的轨迹是以C（g,0）为圆心r =3为半径的部分圆弧EE（如下图所示,不包括两端点），且 石仁,半,F g，-半，乂直线力：旷=%-4）过定点。（4,0）,/：2-4|-0当直线L 与圆C相切时，由 /)=3 得k =3，又VF7F 2 4n(2V -L,I 3 J 2 7 5kpE 一 DF q 一 4-3线 L：y =k(x-4)与曲线C 只 有 个交点.结合上图可知当H M u
11、,孚半卜，直【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用,属于中高档题.6.（1 5 年广东文科）已知椭圆工+鼻=1 （/0 ）的左焦点为耳（-4,0）,则加=（）25 mA.9 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】试题分析：由题意得：加2=25 4?=9,因为机（）,所以m=3,故选C.考点：椭圆的简单几何性质.2 27.（15年安徽理科）设椭圆E的方程为5+3=1 仅60），点 O为坐标原点，点 A的坐标为（4,0）,点 B的坐标为（0,b）,点 M 在线段AB上，满足忸M|=2|M A|,直线O M的斜率为无.10（I）求 E的离心率e；（II）设点
12、C 的坐标为（0,-3），N为线段AC 的中点，点 N关于直线AB的对称点的纵坐标为士7，求 E的方程.2苴774=-1,从而有，7解汨6:3.解:(1)由题设条件知,点M的 坐 标 为(斗，乎 八 乂 2备,从 吗 尸 余进而得=6 b.e=JM-U=26.故/=二：三工.a 5(II)由题设条件和(I)的计蚌结果可得.11线4 8的力我为三+=I.点N的 坐 标 为(斗.-；b).b 2 2设点.v关于出线1的对称点s的坐标为5 ,v -则 线 段 格 的 中 点T的坐标为2=14 4 2 2(C)X2-=1 (D)-y2=12 2【答案】A【解析】试题分析：由双曲线的渐进线的公式可行选项
13、A的渐进线方程为)=2%，故选A.考点：渐近线方程.2 29.(15年安徽文科)设椭圆E的 方 程 为=+仁=(a b 0),点O为坐标原点，点A的a b坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b)，点M在线段A B上，满足忸M|=2|M A|,直线OM的斜 率 为。一 10(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点，证明；M N l A B o【答案】（1）5（2）详见解析.【解析】试题分析：.二（I）四/|=2口司且4（。），B（0可得又；OM的斜率为今-3_,2a3=，根据椭圆的性质，即可求出离心率；（II）由题意可知N点的坐标为（fg）102 2K11txb
14、=-KAS=-,K g.1g=1,即可证明结果.a-a试题解析：3）忸/=2|3纠 且 X （久0）,B（Osd）。申L、）又 丁 皿 的 斜 率 为 哈a 1 0h2 1 a1-c2 1c 2 4 25/5r =-n-=_=r=_=e=-a2 5 a 2 5a 2 5 5（II）由题意可知N点 的 坐 标 为2）2 2K M N1 1力”23 2 _ 6 _ 5b3K bSB=一-a2 a a 2a a6-.M N A B5b22a考点：1椭圆的离心率；2.直线与椭圆的位置关系.X210.（15年福建理科）若 双 曲 线-92乙=1的左、右焦点分别为耳,入，点P在双曲线161 2E上,且 陷
15、|=3,则 归 周 等 于（)A.11B.9 C.5D.3【答案】B【解析】试题分析：由双曲线定义得仍”|归尸2|=2 =6,即13T p曰=6,解得|P段=9,故选B.考点：双曲线的标准方程和定义.2 2万11.（15年福建理科）已知椭圆E：=+3 =l（a b 0）过点（0,0）,且离心率为丫一.a b 2（I ）求椭圆E的方程；o（11）设直线了=）、1,（m R）交椭圆E于A,B两点，判断点G（-二，0）与以线段A B为4直径的圆的位置关系，并说明理由.Y-y-Q【答案】（1）上+乙=1;（H）G（-二0）在以A B为直径的圆外.4 2 4【解析】试题分析：（I）由题意得方=J I.根
16、据离心率为。=走以及=求。，进而求桶扇方程；（II）a 2判断点和扇的位置关系，可以利用定义，即点到圆心距离和半径比较大小，将直线方程和椭圆E方程联立,利用韦达定理求弦.包的中点日（即圆心坐标，利用），利用两点之间距离公式求|8|,利用弦长公式求|.45|,从而可求的半径，进而比较大小判断点和圆的位置关系；也可以构造向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：亩 就0 0点G在圆外；GN-万=0。点G在圆上.试题解析：解法一：（I）由已知得b=y/2,C _ V2 a-T，a2=b2+c2,i a=2解得c =41所以椭圆E的 方 程 为 三+二=1 .4 2（11）设点乂（再丫1）刀（
17、巧,右）：2中点为H（%y。.x=my-1由/y2，得(m,2)-2*3=0,+=14 2所以 y i -y 2=-4-z:y y ：=，从而 y。=-m +2 m +2 m +2,5、2 2,、，、2 5 25+y0*=(m y0+-)*+y0=(m-l)y0*-m y0+.|A B_(再一七。+Gi-_(m:TXji1 4 Q所以G H=（%+：(HTT)(TI+y,f-4 i、y r,2、=-J二=(m TXy。-yx y2),故|GH-L =|m y0+(m2+l)y y2+|-=5m22(m?+2)3画+1)+25=1 7/+20m2+2 T?-16(n?+2)所以|GH|四，故G（
18、-，0）在以AB为直径的圆外.解法二：（I）同解法一.（II）设点 A（玉 yJ,B（X2，y2）,，则GA=（+：,%）,GB=（%2 +；,%）i x=my-1f2m 3由i f 丁 得(m2+2)y2-2/町-3=0,所以y|+y 2=F 7 7，y2=FZ 1+=1 m+2 m+2I 4 2 9从而 GA GB=(X1+-)(X2+()+%=(my+：)(my2+()+%=(m2+l)y,y2+/n(y,+y,)+=-1 2 4 1 2 16 2(m2+2)3(m2+l)+25m2+2 16Um2+2 八-5 016(m2+2)所以cos丽，丽 0,又 隹，丽 不 共线，所以DAGB为
19、锐角.9故点G （-一，0）在以AB为直径的圆外.4考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系.X2 V212.（15年福建文科）已知椭圆E:三+=1（。60）的右焦点为/;.短轴的一个端点a b为 ，直线/:3%-分=0交椭圆后于4,8两 点.若|A E|+忸丹=4,点M到直线/的距4离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A.（。告 B.（。,（0 曰,1）D.4,1）【答案】A【解析】试题分析：设左焦点为尸，连接一巧，BFX.则四边形B f l F是平行四边形，故 门 司=忸 尸|,所以|aF|+|a司=4 =2a,所以a=3 设-1/Q 5）,则 与2
20、1，故5 2 1,从而a c*21,0 c*0C2=2 1（。0）的焦点，点4 2,机）在抛物线E 上,且|4歹|=3.（I）求抛物线E的方程；（I I）已知点G（-1,0）,延长A/交抛物线E于点6 ,证明：以点P为圆心且与直线G A相切的圆，必与直线G 8相切.【答案】（I）y2=4x；（I I）详见解析.【解析】试题分析：（I）利用抛物线定义，符抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化.本题由|A可=3可得2+=3,可求p的值，进而确定抛物线方程；（H）欲证明以点尸为圆心且与直线G4相切的圆，必与直线G8相切.可证明点F到直线GA和直线GB的距离相 等（此时需确定两条直线方程）；也可以
21、证明NAGF=N B G F,可转化为证明两条直线的斜率互为相反数.试题解析：解 法：（I）山抛物线的定义得|AF|=2+g因为|AF|=3,即2+5 =3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.（II）因为点A（2,?）在抛物线E:y2=4x匕所以加=2五，由抛物线的对称性，不妨设A（2,2J5）.由A（2,2V2）,F（1,O）可得直线AF的方程为y=2正（x 1）.y-2/2（x-l）2由，）,得2/一5工+2=0,-4 x解得x=2或x=；,从而又 G（-1,0）,所 以 嗫=*=述，曝=户=一迪2-（-1）3 1,（_1）3所以女GA+G B=0,从而NAGF=N B G F,
22、这表明点F到有线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.解法二：（I）同解法一.（II）设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A（2,机）在抛物线E:丁=4%上，所以加=2五，山抛物线的对称性，不妨设A（2,2&）.由A(2,2 V2),F(1,O)可得直线AF 的方程为y =20(x 1).y=2A/2(X-1)9由 I ),W 2X2-5X+2 =0,y2=4 x解得x =2或 x =；,从而B(g,-0).乂 G (-1,0),故直线G A的方程为2 瓜-3 y +2&=0 ,卜0 +2 囱4 亚从而 r=J-L=/=.V8 +9 V1 7又
23、直线G B 的方程为2 瓜+3 y +2 7 2 =0,|2 5/2 +2 V2|4 行所以点F 到直线G B 的距离d=J.1=*=r .V8 +9 V1 7这表明以点F 为圆心且与直线G A相切的圆必与T 线G B 相切.考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系.1 4.(1 5年新课标1理科)一个圆经过椭圆1+二=1的三个顶点，且圆心在x轴上,1 6 v则该圆的标准方程为o【答案】(尤|)2+/弓【解析】设圆心为(a,0),则半径为则(4-|“|)2=|歼+2 2,解得。=故圆的方程为(x 1+2=卷.1 5.(1 5 年新课标2理科)过三点A (1,3),B(4,2),C(1,
24、-7)的圆交于y 轴于M、N 两点,则|M N 卜(A)2 7 6 (B)8(C)4 7 6 (D)1 0【答案】Cr【解析二 由 已 知 得 乙=二=一L 匕2 =三上=一3,所以长3匕2=-1,所以/1 4 C JC A 4 y i G JC1-4 3 4-1%三角形，其外接圆圆心为Q2),半径为5,所以外接圆方程为(x-1)：+0+2)：=2 5,令x=0,得/=2#-2,所以战训=4备，故选C.,1 6.(1 5年新课标2理 科)已 知A,B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，A A B例为等腰三角形，且顶角为1 2 0。，则E的离心率为(A)0(B)2 (C)也(D)也【答案】D 薜
25、而-:T设双曲线方程为工-M=1 3 0/0),如图所示，MB|=恢切|,乙=1 2 0,过点M作MV _ xa V轴，垂足为N，在&MMN中，By=a,的 用=b。,故 点M的 坐 标 为 代 入 双 曲 线1 7.(1 5年新课标2理 科)已 知 椭 圆C：9x2+y2=m2(m 0),直 线/不 过 原 点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点4,B,线段A8的中点为M。(1)证明：直 线0朋 的斜率与/的斜率的乘积为定值；(2)若/过 点(/,?)，延长线段O M与C交于点P,四边形O A P B能否为平行四边形？若能，求 此时1的斜率；若不能，说明理由。(20)解：(I)设直线/：yn
26、*x+b 伏/0,/，03/t(xy,).8(X：.%).将=云+5 代入9x+y：-得(i2+9)x!+2kbx+Z:-m:=0.故占+X】*,“n-夕.X，=F P T?n rv 9于是支线0 M 的斜率AM=上=一工，即大小*=-9.X 所以八线。”的斜率,/的斜率的乘枳为定值.(If)四边形(“F 8 傕为千行四边形./、的 以/不过即点笊啊C 行两个交点的七要条“：出因为 直 线/过 点(亍 m)，所以/彳 必 以 J七 0,4/3.9由(I)得。”的方程为设点户的横坐标为x，9,rm,得X 市 而=m r 0)的准线经过双曲线f 1 2=i的一个焦点，则p=_ _ _ _ _ _
27、_【答案】2及【解析】流题分析，抛物统炉=2R(p 0)的准线方程是x=-,双 触后为抛物妓，=2px(p 0)的准线经过双曲妓f-p =1的一个焦点，所以-：=7 5,解得p=2正/所以答案应埴：2万.考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质.2 0.(15年陕西理科)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为【答案】1.2【解析】试题分析：建近空间直角坐标系，如图所示:原始的最大流量是1x(10+10 2 x 2)x 2 =1 6,设抛物线的方程为f=2 p y (p 0),75 75 2因
28、为该抛物线过点(5,2),所以2 P x 2 =5 2,解得=亍，所以即),=福 丁,所以当前最大流量是(口一真土小一身=(2 x 5 -53H2 x(-5)一 看(-54=冷,故原始的最大流量与当前最大流量的比值是 =1.2，所以答案应填：1.2.3考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义.2 22 1.(15年陕西理科)已知椭圆E：t +=1 (。匕 0)的半焦距为c,原点0到经过a h两点(c,0),(0/)的直线的距离 为;c.(I)求椭圆E的离心率；(H)如图，AB是圆M:(x +2 +(y l)2=g的一条直径，若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.【答案】(I)
29、;(I I)+-=1.2 12 3【解析】试题分析：(I)先写过点(c,0),(0,3的直线方程，再计算原点O到该直线的距离，进而/y =&(x +2)+l可得椭圆E的离心率;(I I)先由(I)知椭圆E的方程，设AB的方程，联。乂 ，x2+4 y2=4/72消去y,可得玉+和玉/的值，进而可得,再利用|回|=而 可 得/的值，进而可得椭圆E的方程.试题解析:(I)过点(c,0),(0,b)的直线方程为b x+c y-b c =Q,则原点o到直线的距离d=,bc=yjb2+c2 a由4=-c 得a =2 b =c r-c 解得离心率一=2a 2(H)解 法 一:由(I)知,椭 圆E的方程为无2
30、+4 y 2=4/.依题意,圆心M(-2,1)是线段A B的中点，R.|A B|=V 1 0.易知，A B不与x轴垂直，设其直线方程为y=k(x+2)+l,代入(1)得(l+4%2)x 2+8 k(2 k+l)x+4(2 k+l)2 -4/=0、几“、8k(2%+1)4(2攵+1y-4/设4(菁,丫1)田(,丫2),则玉 +=-一1 l +=-1+4K l+4k由,西+,=-4A,得ZH 8k(-2k+1)=-4,解.得,攵=一1.1-1+4/2从而不光2=8-2b2.J-是 I AB|=+I /一 X21=/(X1+X2)2-4X1X2=Jl0(b2-2).由|AB|=J而，得J10(L2)
31、=而,解得/=3.v2故椭圆E的方程为一+=112 3解法二：由(1)知，椭圆E的方程为一+分2 =4/.(2)依题意，点A,B关于圆心M(-2,1)对称，且|A B|=9.设4M,%)上(彳2，丫2),则为2+4%2=4b2,x22+4y22=4b2,两式相减并结合/+工2 =-4,y,+y2=2,得-4(/-、2)+8(y-乃)=易知，AB不与x轴垂直，则王所以AB的斜率k =2二 包=.xi-x2 2因此AB直线方程为y=g(x+2)+l,代 入 得V+4x+8-2=0.所以3+%2=_4,xtx2=8-2b2.是|AB|=Jl+(g)x-x2 与+%)2-4中2 =110(/一 2).
32、lb|AB|=V10,得 2)=布,解得=3.2 2故椭圆E的方程为土+匕=1.12 3考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单儿何性质；4、椭圆的方程;5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.22.(15年陕西文科)已知抛物线j/=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标 为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)【答案】B【解析】试题分析：由 抛 物 线=2 P x(P 0)得准线X =,因为准线经过点(一 1,1)，所以p =2 ,所以抛物线焦点坐标为(1,0),故答案选8考点：抛物线方程.2 3.(1 5
33、年陕西文科)如图，椭圆E：W +4 =l(a b 0)经过点A(0,-l),且离心率为.a b2(I)求椭圆E的方程；(H)经过点(1,1),且斜率为的直线与椭圆E交于不同两点P,Q (均异于点4),证明:直线AP与 AQ的斜率之和为2.【答案】1-+/=1；(H)证明略,详见解析.【解析】试题分析：由题意知=1，由。2=/+/,解得。=正，继而得椭圆的方程a 22为-1-=1 ；2(I I)设尸(否/),。(2)，刀 科2工0由题设知，直线尸。的方程为y =k(x-l)+l 仪工2),代入丫2y+y2=1 ,化简得(1 +2 k2)x2-4 k(k-l)x +2 k(k-2)=0 ,则4 k
34、(k-l)2 k(k-2)Xi+X j-y X iX j 1-1 +2 /1 2 i +2 k2由 已 知 A。，从而直线 A P 4 4。的斜率之和KL AP十 鼠AQ _ y+l y2+l _kxt+2-k kx2+2-k十 一 1x1 x2 X j x化简得 k.p+kA0=2左 +(2=2Z+(2 =2Z (2Z 1)=2.xxx2 2k(k-2)r-v/2试题解析：(1)由题意知*=,b=,a 2综合/=匕 2+,2,解得.=应，所以，椭圆的方程 为 二+尸=1.2-）由题设知，直线P。的方程为y =k（x l）+l（Zw2）,代 入 二+y 2 =i,得(1+2/)x2 _ 4k(
35、k-l)x+2k(k-2)-0,由已知 （）,设。（苞必）,Q（2 2），XlX2 *0则 X +x24k(k-1)2k(k-2)l+2k2，XX2 1 +2/从而直线AP与AQ的斜率之和_%+1%+1 _ 3+2-,kxz+2-kKA P十KAQ 一 十一 十X x2 Xj 再r 1 1 )2k+(2-k)+=2k+(2 k)I X x2 y玉+x2xx22/+(2_k)4*伙1)=2k_(2k-l)=2.2k(k 2)考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.2 4.（1 5年天津理科）已知双曲线-乐=1（。02 0）的一条渐近线过点（2,6）,且双曲线的一个焦点在抛物线）2 =4
36、缶 的准线上，则双曲线的方程为【答案】D【解析】试题分析：双曲线4-4=1，。0,50,的新近线方程为1y =2 X,由点1 石，在渐近发一所以a b a2 =4,双曲线的一个焦点在抛物线/=40 x准 线 方 程 x =-方 上，所 以、=6，内此可解得a =2,b =所 以 双 曲 线 方 程 为 匕=1,故 选）4 3考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.2 5.（1 5年天津理科）已知椭圆、+=1 伍 8 0）的左焦点为F （-C,0）漓心率为a b 3、h4 4 J 3点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=搦得的线段的长为c,|F M|=
37、工.4 3（I）求直线FM的斜率；（H）求椭圆的方程；（0 1）设动点P在椭圆上，若直线F P 的斜率大于血，求直线O P （O为原点）的斜率的取值范围.【答案】；（1 1）+=1 ；（i n）（一叫也，空.3 3 2 1 3 乂 3 3 J【解析】试题分析：（I）由椭圆知识先求出。，仇，的关系，设直线直线尸M 的方程为？=%（*+。）,求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率的值；（I I）由设椭圆方程为2 24 Ag +g=l，直线与椭圆方程联立，求出点M 的坐标，由怛M|=*u j求出c,从而可求椭圆方程.（H I）设出直线尸尸：y=f（x +l）,与椭圆方程联立，求得土J5,求出x的范
38、围，即可求直线。P的斜率的取值范围.1试题解析：山已知 有 二=,乂 由/=+2,可得”2=3C2,=2/,a 3设直线尸M的斜率为火(0),则直线月例 的 方程为y=A(x +c),山已知有(I I)由(I)得椭圆方程为苏+步=L直线F M的方程为y=M x +c),两个方程联立，消去y,整理得3/+2 cx 5。2=0,解得x =2。或x =c,因为点 在 第一象限，可得用 的 坐标为3，由-M=J(C +C)2+o)=竽，解得c=l,所以椭圆方程为1f 2 V 3 c,-C3 J2 2x y+=3 2(1 1 1)设点Q的坐标为(兀),直线尸产的斜率为人 得，=工 一，即y=f(x +l
39、)(x w 1),x +ly=f(x +l)与 椭 圆 方 程 联 丁，消去y,整理得2X2+3,2(X+1)2=6,乂山已知，得 3 2 2 血，解得3 x 1 或一1 x 0 ,2设直线OP的斜率为W，得 机=上，即y=g(xH0),与椭圆方程联：，整理可得XsX2 3当 X E-|，1 时，有 y=f(x +l)0,于是 2 =Jg-g,得p 2百)m e 二 ，Z当工(一1,0)时，有y=r(x +1)0 ,因此机 0 0）的一个焦点为尸（2,0）,且双曲线a b的渐近线与圆（X-2）2+y2 =3相切，则双曲线的方程为（)x2(A)-F _ 1-11 37 2(B)u-i=1(C)y
40、2=1(D)【答案】D【解析】试题分析：由双曲线的渐近线分-砂=0 与圆，彳 2：+/=3 相切得=力,由向+/c=J a、+J、=2 .解得a=,b =-J 3.故 选 D.考点：圆与双曲线的性质.2 7.（1 5 年湖南理科）1 3.设F 是双曲线C:=1 的一个焦点，若 C 上存在点P,使线段P F的中点恰为其虚轴的一个端点，典 1 C 的离心率为【答案】75.【解析】试题分析：根据对称性，不妨设尸（c,0）,短轴端点为（0,母，从 而 可 知 点 在 双 曲 线 上,c1 4 2 c-2,=1 g=a b a考点：双曲线的标准方程及其性质.X2 8.（1 5 年山东理科）平面直角坐标系
41、x O y 中，双曲线G :户=l(a0,b0)的渐近线与抛物线。2：犬=2勿5 0）交于点。,4,8,若A 0 A 3的垂心为G的焦点，则G的离心率为一.解析：。|：之一1=1（。0力0）的 渐 近 线 为 尸 则A（渺，强1）,8（辿，型3cC h a a a a a2-P 2 2=2加 0）的焦点则加=2=；,即4=：二=巴 半=上=.2 2点 b a 4 a a 4 a 2ax2 22 9.（1 5年山东理科）平面直角坐标系X。中，已知椭圆。：=+彳=1（。/?0）的离心a b率 为 平，左、右焦点分别是片,尸2,以为圆心，以3为半径的圆与以死为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上
42、.（I ）求椭圆C的方程；（H）设椭圆后：+方=1,P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线y =H +机交椭圆E于A,B两点，射线P0交椭圆E于点Q.（i ）求 史 型 的值；（i i）求A A B。面积最大值.|0 P|解 析：（I ）由 椭 圆C:*+r =1（。b0）的 离 心 率 为 可 知e =1视，而。2=/+。2贝|。=2人。=耳，左、右焦点分别是6（,0）,（何,0）,圆耳：（x +屏 +/=9,圆B：（X 麻）2 +y 2 =i,由两圆相交可得2 2麻 4,即1 耳 2,交点（，士 J l （k）2）,在椭圆C上,则43b2-4b2=1 ,2整理得4/5+1 =0,解得（舍去）
43、4故=1,/=4,椭圆C的方程为工+y 2=i.4（I I）（i ）椭圆E的 方 程 为 二+匕=1,1 6 4设点尸(%，为)，满足、+%2=1，射线P O：y =%x(x x 0 0),4%代入二+亡=1 可得点 2(-2 x0,-2 y0)，了是!二正27)2+(-2%)二11 6 4 s。1 0 Pl 7 7(i i )点。(-2%,-2%)到直线AB距离等于原点0到直线A3距离的3倍：d=|一2丘0-2尤+?|=3 I IJ 1 +/J 1 +/y=kx+m o|AB=f；j：J 1 6(1 6二+4-加2)。1 I x n I J ,|m|.-2 m I J 6 k2 +4 一m
44、2S.-A B d=一3 !-4 yjl6k+4-m=6J!-z-2 2 1+4/1+4&20,BP l+4 k2 m2,则上述，“2 =8r+2不成立，等号不成立，设 t=G （0,1 ,则 SA=61 m 1,1 6 1 2*=6*45 在（0,1 为增函数，&+4/l +4 k于是当1 +软2 =6 2时s&m x =6 7（4-1）-1 =6百，故A A 8 Q面积最大值为1 2.3 0.（1 5年江苏）在平面直角坐标系x O y中，P为双曲线尤2一），2 =i右支上的一个动点。若点P到直线x -y +1 =0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为【答案】旦2【解析】试题分析：设 P
45、（x,y）,（X 训，因为直线X -y +1 =0平行尸渐近线x -y =0 ,所以c的最大值为直线x-y +l =O 与渐近线x-y =O 之间距离，为右=注.V2 2考点：双曲线渐近线，恒成立转化V2 V23 1.（1 5年江苏）如图，在平面直角坐标.系x O y 中，已知椭圆亍+会=1（。0）的离心率为 注，且右焦点尸到左2准线/的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过尸的直线与椭圆交于A,8两点，线段AB的垂直平分线分别交直线/和AB于点P,C,若 PC=2 A 8,求直线48的方程.2【答案】y-+y2=1 (2)y =x-l 或 y =-x +l.【解析】试题分析：（1）求桶圆
46、标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为 正，二是右焦点F到 左 雌1的距离为3,解方程组即得（2）因为直线AB过F,所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关飕就是根 据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与饰图方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利 用PC=2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程.试题解析：（1）由题意，得=走 且c+土 =3，a 2 c解得 a=c=1 贝II 6=1,所以桶圆的标准方程为千+F =i.（2）当AB
47、_Lx轴时，AB=后，又CP=3,不合题意.当AB与 轴不垂直时,设直线AB的方程为y=2（x 7）,A（xI,y1）,B（x2,y2）,将AB的方程代入椭圆方程,得（1+2/）/一4/+2（/-1）=0,则 _ 2：2 ,2（1 +公）丸2 I.,2C的坐标为2k2 k、1 +2/1+2/且AB=J U+E/=+=2；：j）-1十乙K若k=0,则线段AB的垂直平分线为 轴，与左准线平行，不合题意.k 1 f 2k从而女中0,故直线PC的方程为 +1工7=-7%-Tl+2k2 k l+2k2f 5k2+21 2（3/+l）Jl+（则P点的坐标为-2,不 TV ,从而PC=一7）l 乂1 +2 小 网（1 +2公）因为PC=2A B,所 以 T/八 阳+2公）4V2（l+）t2）1 +21 2-解得左=1.此时直线AB方程为 =-1或y=-x+i.考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系