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1、2017年 高 考 真 题-立 体 几 何 部 分 学 校:姓 名：班 级:考 号：一、解 答 题 1.（12 分）如 图，四 棱 锥 P-ABCD中，侧 面 P A D 为 等 比 三 角 形 且 垂 直 于 底 面 ABCD,（2）点 M 在 棱 P C 上，且 直 线 B M 与 底 面 ABCD所 成 锐 角 为,求 二 面 角 M-AB-D的 余 弦 值 2.（12分）如 图，在 四 棱 锥 P-A8CD中，AB/CD,且 I 一（1）证 明：平 面 外 B_L平 面 R4D；若 PA=PD=AB=DC,E J，求 二 面 角 A-PB-C的 余 弦 值.3.（12分）如 图，四 面
2、 体 ABCD中，4ABC是 正 三 角 形，AACD是 直 角 三 角 形，ZABD=ZCBD,AB=BD.DAB(1)证 明：平 面 ACDJ_平 面 ABC；(2)过 AC的 平 面 交 BD于 点 E,若 平 面 AEC把 四 面 体 ABCD分 成 体 积 相 等 的 两 部 分，求 二 面 角 D-AE-C 的 余 弦 值.4.如 图，在 四 棱 锥 P-ABCD中，底 面 A8CD为 正 方 形，平 面 PAD_L平 面 ABC。，点 M 在 线 段 P8 上，PD 平 面 MAC,PA=PD=回，AB=4.(I)求 证：M 为 P8的 中 点；(II)求 二 面 角 B-PD-
3、A的 大 小;(III)求 直 线 M C 与 平 面 BDP所 成 角 的 正 弦 值.5.如 图，在 三 棱 锥 P-A8C中，以，底 面 ABC,1=I.点 D,E,N 分 别 为 棱 川,PC,8c的 中 点，M 是 线 段 A D 的 中 点，%=AC=4,48=2.(I)求 证：平 面 8DE；(II)求 二 面 角 C-EM-N的 正 弦 值：(III)已 知 点”在 棱 以 上，且 直 线 N H 与 直 线 8E所 成 角 的 余 弦 值 为 0,求 线 段 A”的 长.6.17.如 图，几 何 体 是 圆 柱 的 一 部 分,它 是 由 矩 形 宓 C D(及 其 内 部)
4、以 边 所 在 直 线 为 旋 转 轴 旋 转 12。得 到 的，G是 上 厂 的 中 点.(I)设 尸 是 全 上 的 一 点，且,求 尸 的 大 小；(口)当 J 5=3,也)=2，求 二 面 角 E T G-C 的 大 小.7.(本 题 满 分 15分)如 图,已 知 四 棱 锥 P-ABCZ),以。是 以 AO为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形，BC/AD,CDVAD,PC=AD=2DC=2CB,E为 P。的 中 点.(1)证 明：CE 平 面 B4B：(II)求 直 线 CE与 平 面 尸 8c所 成 角 的 正 弦 值.1.(1)详 见 解 析(2)参 考 答 案【解 析】
5、(1)取 臼 中 点 回，连 接 臼、日、区 分 别 为 a、叵 中 点 H，又,:日 目，四 边 形 日 为 平 行 四 边 形 日 平 面 回(2)取 日 中 点 冈，连 叵，由 于 日 为 正 三 角 形 又.平 面 平 面 目，平 面 目 平 面 r i.日 平 面 目，连 叵,四 边 形 目 为 正 方 形。；国 平 面 目，；.平 面 日 平 面 目 而 平 面 日 平 面 I 1 1过 作 I x 1,垂 足 为 日，二 Q-J 平 面 目 日 为 叵 与 平 面 目 所 成 角，1 X 17.r i在 日 中，r i,|x|,设【x】，N I，I*I，目 H J,在 中，.日，
6、目，r i以 a 为 坐 标 原 点，s、a 叵）分 别 为 日、臼、臼 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系,I X|1-1I-1设 平 面 目 的 法 向 量 为 三 目，而 平 面 目 的 法 向 量 为 I X Ia设 二 面 角 I-1 的 大 角 为 日（日 为 锐 角）2.（1）详 见 解 析；（2）日【解 析】（1）由 已 知 1 0,得 AB_LAP,CD1PD.由 于 AB CD,故 AB1.PD,从 而 AB_L平 面 PAD.又 AB a 平 面 PAB,所 以 平 面 PAB_L平 面 PAD.（2）在 平 面 日 内 做，垂 足 为 S,由（1）可 知，日 平 面
7、 日，故 鼻 3,可 得 目 平 面 目.以 可 为 坐 标 原 点，回 的 方 向 为 H轴 正 方 向，叵 为 单 位 长，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 I X|.由(1)及 已 知 可 得 国 国 国 日 所 以【X I设 i I 是 平 面 国 的 法 向 量，则 田 I X|,即 可 取【X I设 I X 1 是 平 面 目 的 法 向 量，则,即 国 可 取 r i则 所 以 二 面 角 的 余 弦 值 为 因.3.(1)见 解 析,_a 0(2)二 面 角 的 余 弦 值 为.【解 析】(1)由 题 设 可 得，.又 田 是 直 角 三 角 形，所 以
8、取 AC 的 中 点 0,连 接 DO,B0,则 DOJ_AC,D0=A0又 由 于 所 以(2)D由 题 设 及（1）知,两 两 垂 直，以 目 为 坐 标 原 点，区 的 方 向 为 目 轴 正 方 向，国 为 单 位 长，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 目，则 由 题 设 知，四 面 体 ABCE的 体 积 为 四 面 体 ABCD的 体 积 的 日，从 而 E 到 平 面 ABC的 距 离 为 D到 平 面 ABC的 距 离 的 I,即 E 为 DB的 中 点,得 E 叵.故 设 是 平 面 DAE的 法 向 量，则 可 取 设 臼 是 平 面 AEC的 法 向
9、 量，则 同 理 可 得【X 1则所 以 二 面 角 D-AE-C的 余 弦 值 为 04.(I)详 见 解 析(II)二 面 角 L J 为 锐 角 的 大 小 为 日.；(Ill)直 线 3 与 平 面 目 所 成 角 的 正 弦 值 为 凶.【解 析】解：(I)设 目 交 点 为 日，连 接 回.因 为 日 平 面 目，平 面 日 平 面 17,所 以 W J因 为 目 是 正 方 形，所 以 国 为 国 的 中 点，所 以 因 为 叵 的 中 点.di)取 闫 的 中 点 日，连 接 区,a.因 为 N J,所 以 N I.又 因 为 平 面 0 平 面 目，且 回 平 面 可，所 以
10、 目 平 面 目.因 为 日 平 面 目，所 以 W I.因 为 日 是 正 方 形，所 以 鼻 I.如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 目，则 I X|,X】,X,设 平 面 目 的 法 向 量 为 N J,则 区),即 令 臼，则 国，目.于 是 X.由 题 知 二 面 角 匚 M l 为 锐 角，所 以 它 的 大 小 为 1.(Ill)由 题 意 知 H l g，I X I所 以 直 线 a 与 平 面 g 所 成 角 的 正 弦 值 为 日.5.证 明 见 解 析 3 目 或 日【解 析】试 题 分 析：本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 平 面 平 行、二 面 角、异
11、面 直 线 所 成 的 角 等 基 础 知 识.考 查 用 空 间 向 量 解 决 立 体 几 何 问 题 的 方 法.考 查 空 间 想 象 能 力、运 算 求 解 能 力 和 推 理 论 证 能 力.试 题 解 析：如 图，以 A 为 原 点，分 别 以 0,S,臼 方 向 为 X 轴、y 轴、Z 轴 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系.依 题 意 可 得 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(I)证 明：回 二(0,2,0),a=(2,0,区).设 N 3，为 平 面
12、BDE的 法 向 量,则 区,即 叵,不 妨 设 口，可 得 目.又 因 二(1,2,3),可 得因 为 L d 平 面 BDE,所 以 MN 平 面 BDE.（II）易 知 N I 为 平 面 CEM的 一 个 法 向 量.设 1 1 为 平 面 EMN的 法 向 量，则 H,因 为 r i,x 1,所 以 目 得 1=I.因 此 有 I X 1,于 是【X 所 以，二 面 角 cEMN 的 正 弦 值 为 国.（III）依 题 意，设 AH=h（日），则 H（0,0,h）,进 而 可 得 I x I由 已 知，得，整 理 得 解 得 区|,或 区|.所 以，线 段 AH的 长 为 三 或
13、小.不 妨 设 a,可 X I6.（I）.d i）a.【解 析】解：（I）因 为 三 3，a,a 日 平 面 叵,一 所 以 日 平 面 区，又 回 平 面 目，所 以 N I,又,因 此 1=I（II）解 法 一：取 0 的 中 点 回，连 接 口，a,a.因 为 i-,所 以 四 边 形 目 为 菱 形，所 以 I _ _.取 区 中 点 凶，连 接 回，a,a.则【x】,r i,所 以 日 为 所 求 二 面 角 的 平 面 角.又 日，所 以 1 在 口 中，由 于 i 一,由 余 弦 定 理 得-J所 以 LHJ,因 此 目 为 等 边 三 角 形,故 所 求 的 角 为 a.解 法
14、 二：以 日 为 坐 标 原 点，分 别 以 回，回，回 所 在 的 直 线 为 日，a，目 轴，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系.由 题 意 得,|x I,|X,故|X,I X|，I X|，设 r i 是 平 面 目 的 一 个 法 向 量.由 3 可 得 目取 国，可 得 平 面 日 的 一 个 法 向 量 1设 一 是 平 面 日 的 一 个 法 向 量.由 a 可 得 目 取 回，可 得 平 面 目 的 一 个 法 向 量 r i所 以 一|因 此 所 求 的 角 为 H.7.(I)见 解 析;(I I)0.【解 析】本 题 主 要 考 查 空 间 点、线、面 位
15、 置 关 系，直 线 与 平 面 学 科&网 所 成 的 角 等 基 础 知 识,同 时 考 查 空 间 想 象 能 力 和 运 算 求 解 能 力。满 分 15分。(I)如 图，设 出 中 点 为 F,连 结 EF,FB.因 为 E,尸 分 别 为 P。，用 中 点，所 以 所 4)且 1又 因 为 BC 4D,B C=2A D,所 以 EF BC且 EF=BC,即 四 边 形 BCEF为 平 行 四 边 形，所 以 CE BF,因 此 CE 平 面 布 注(II)分 别 取 BC,AO的 中 点 为 M,N.连 结 PN交 EF于 前 Q,连 结 MQ.因 为 E,F,N分 别 是 尸,P
16、A,A。的 中 点，所 以。为 EF中 点，在 平 行 四 边 形 BCEF中，M Q CE.由 4抬。为 等 腰 直 角 三 角 形 得 PNLAD.由。C_LA,N是 AO的 中 点 得 BNLAD.所 以 AO_L平 面 由 BC A。得 8C_L平 面 尸 BN,那 么，平 面 PBC_L平 面 P8N.过 点 Q作 尸 8的 垂 线，垂 足 为“，连 结 是 MQ在 平 面 PBC上 的 射 影，所 以 NQMH是 直 线 CE与 平 面 P8C所 成 的 角.设 C=1.在 APCZ）中，由 PC=2,C=1,P D=&得 CE=也,1在 AP8N中，由 PN=BN=l,得 QH=Z,1在 R SM Q H中，QH=k M Q=&,史 所 以 sin/Q M/=，所 以，直 线 CE与 平 面 P8C所 成 角 的 正 弦 值 是 亘