《高中数学选择性必修二 4.2.2 等差数列的前n 项和的性质及应用(第2课时) 教案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学选择性必修二 4.2.2 等差数列的前n 项和的性质及应用(第2课时) 教案.pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、4.2.2 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 性 质 及 应 用(第 2 课 时)教 学 设 计 课 题 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 性 质 及 应 用 单 元 第 一 单 元 学 科 数 学 年 级 高 二 教 材 分 析 本 节 课 是 2019版 高 中 数 学(人 教 版)选 择 性 必 修 第 二 册，第 四 章 数 列。本 节 课 主 要 学 习 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 性 质 及 应 用。数 列 是 高 中 代 数 的 主 要 内 容，它 与 数 学 课 程 的 其 它 内 容(函 数、三 角、不 等 式 等)有 着 密 切 的 联 系，又 是
2、今 后 学 习 高 等 数 学 的 基 础，所 以 很 重 要。等 差 数 列 前 n 项 和 公 式 的 推 导 过 程，体 现 了 代 数 变 换 在 数 列 研 究 中 的 价 值，蕴 含 着 数 列 求 和 的 一 般 方 法，以 及 分 类 讨 论 的 数 形 思 想，让 学 生 体 验 从 特 殊 到 一 般 的 研 究 法，培 养 学 生 灵 活 运 用 公 式 的 能 力，发 展 学 生 逻 辑 推 理、直 观 想 象、数 学 运 算、数 学 建 模 等 核 心 素 养。教 学 目 标 与 核 心 素 养 1数 学 抽 象：等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 2 逻 辑
3、 推 理：等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 性 质 3 数 学 运 算：等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 应 用 4 数 学 建 模：等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 具 体 应 用 5 直 观 想 象：等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 与 相 应 二 次 函 数 的 关 系 6 数 据 分 析：等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 的 灵 活 运 用 重 占 求 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 最 值 难 点 等 差 数 列 的 前 n项 和 的 性 质 及 应 用 教 学 过 程 教 学 环 节 教 师 活 动 学 生 活 动 设 计 意 图 导
4、入 新 课 1 等 差 数 列 前 n 项 和 公 式？提 示：n(ax+an)S=2n(n-1)sn=nai+2 d 推 导 等 差 数 列 前 n 项 和 的 方 法”倒 序 相 加 法”.方 程(组)思 想 的 应 用，“知 三 求 一“知 三 求 二 S=步+(%-凯 等 差 数 列 前 n 项 和 可 以 转 化 为 关 于 n 的 一 元 二 次 函 数(d H 0)或 一 次 函 数(d=0).复 习 导 入 复 习 上 一 节 所 学 的 内 容，为 本 节 课 的 继 续 深 入 奠 定 基 础讲 授 新 课 拓 展 等 差 数 列 前 n 项 和 的 常 用 性 质 设 等
5、 差 数 列 an 的 前”项 和 为 右,则 1.数 列 斯 是 等 差 数 列 o=pn2+qn（p、q 为 常 数）Q 数 列 3 是 等 差 数 列.2.等 差 数 列 的 依 次 k 项 之 和,5土，S2k-Sk,S3 k-S2 k,.组 成 公 差 为 k2d的 等 差 数 列.3.若 S奇 表 示 奇 数 项 的 和，S偶 表 示 偶 数 项 的 和，公 差 为 d,当 项 数 为 偶 数 2n时，s 奇 卷=念 当 项 数 为 偶 数 2-1时，S奇 TLS奇-5偶=小，彳=何，$2-1=Q 熊-1）即 例 8 某 校 新 建 一 个 报 告 厅，要 求 容 纳 800个 座
6、 位，报 告 厅 共 有 2 0排 座 位，从 第 2 排 起 后 一 排 都 比 前 一 排 多 2 个 座 位，问 第 1排 应 安 排 多 少 个 座 位.分 析：将 第 1 排 到 第 2 0排 的 座 位 数 依 次 排 成 一 列，构 成 数 列%.设 数 列 册 的 前 n 项 和 为 Sn.由 题 意 可 知，册 是 等 差 数 列，并 且 公 差 及 前 2 0项 的 和 己 知，所 以 可 利 用 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 求 首 项.解：设 报 告 厅 的 座 位 从 第 1 排 到 第 2 0排，各 排 的 座 位 依 次 排 成 一 列，构 成 等
7、差 数 列 an,其 前 n 项 和 为%.根 据 题 意，数 列 似 九 是 一 个 公 差 为 2 的 等 差 数 列，且 S20=800.由 520=20al+2 X（；T）x 2=8 0 0,可 得%=21.因 此，第 1排 应 安 排 2 1个 座 位.通 过 等 差 数 列 前 n 项 在 实 际 问 题 中 的 应 用，发 展 学 生 数 学 抽 象、数 学 建 模 的 核 心 素 养例 9 已 知 等 差 数 列 的 前 n 项 和 为 工,若%=1 0,公 差 d=-2,则 S.是 否 存 在 最 大 值？若 存 在，求 土 的 最 大 值 及 取 得 最 大 值 是 n 的
8、 值；若 不 存 在，说 明 理 由.分 析：由%0 和 d 0,可 以 证 明 即 是 递 减 数 列，且 存 在 正 整 数 k,使 得 当 n 2 k时，0,S”递 减.这 样，就 把 求 治 的 最 大 值 转 化 为 求 即 的 所 有 正 数 项 的 和.另 一 方 面，等 差 数 列 的 前 n项 和 公 式 可 写 成 5n=n2+(ax-)n所 以 当 d 力 0时，S”可 以 看 成 是 二 次 函 数 y=-x2+a1-x(x e R)当 x=n时 的 函 数 值.如 图 4.2-4,当 d 0时，Sn关 于 n 的 图 象 是 一 条 开 口 向 下 的 抛 物 线 上
9、 的 一 些 点.因 此，可 以 利 用 二 次 函 数 求 出 相 应 的 n,Sn的 值.s“.30-28,24-18 io o|2 4 6 8 10*12 n图 4.2-4解 法 1 由 W+i-an=-2 0,得%i+i 所 以 an 是 递 减 数 列.又 由 un=10+(n-1)x(2)=-2n+12,可 知：当 n 0；当 ri=6时，an=0；当 71 6时，Qn V 0.所 以 Si S7.也 就 是 说，当 n=5或 6 时，Sn最 大.因 为=|x 2 x 10+(5-1)x(-2)=30,所 以%的 最 大 值 为 30.解 法 2:因 为 Sn=?/+(a一 兀=-
10、+1171=(n 一 2)2+詈,所 以，当 n 取 与 日 最 接 近 的 正 数 即 5 或 6 时，Sn最 大，最 大 值 为 30.思 考 在 例 9 中，当 d=-3.5时，Sn有 最 大 值 吗？结 合 例 9考 虑 更 一 般 的 等 差 数 列 前 项 和 的 最 大 值 问 题.提 示：结 合 土 对 应 的 二 次 函 数 知，S有 最 大 值，当 n=3时，Sn取 到 最 大 值.拓 展：等 差 数 列 前 n 项 和 5n的 最 值(1)二 次 函 数 法：n(n 1)d,dSn=n a i+2 d=2 n+(i 2)n将 配 方，转 化 为 二 次 函 数 的 最 值
11、 问 题，借 助 函 数 单 调 性 来 解 决。但 要 注 意 TieN*当 d 0 时，Sn有 最 小 值；当 d 0 时，sn有 最 大 值；且 n 取 最 接 近 对 称 轴 的 自 然 数 时，S取 到 最 值.(2)图 象 法：利 用 二 次 函 数 图 象 的 对 称 性 来 确 定 n 的 值，使Sn取 得 最 值.(3)邻 项 变 号 法：当%0,d 0时，满 足 的 项 数 n使 Sn取 得 最 大 值.当 的 0时，满 足 售 0 的 项 数 11使 又 取 得 最 小 值.课 堂 练 习：1(例 题 改 编)已 知 一 个 等 差 数 列 即 前 10项 的 和 是 3
12、10,前 20项 的 和 是 1220,求 第 21项 到 第 30项 的 和.解 法 1：设 等 差 数 列 即 的 首 项 为 即，公 差 为 d,得 Si。=310,S20 Sio 910.所 以(10 x910%+-d=310)20 x 19(20%+-d=1220解 方 程 组，得 阿=4t d=6所 以 02i=4+20 x 6=124,于 是 10 x9。21+a22-b。30=10 X 124 d-X 6=1510所 以 第 21项 到 第 30项 的 和 为 1510.解 法 2：数 列 Sio,S20-Si。，S30-S2 0构 成 等 差 数 列 即 310,910,S3
13、0 S20成 等 差 数 列 所 以 2x910=310+(030-520)所 以 S30 Szo=15102 在 等 差 数 列%3中，Qi 4-a2 4-a3=18,a18+的 9+。2 0=7 8,则 此 数 列 前 2 0项 的 和 等 于 多 少？解：等 差 数 列 即 中，Q 1+。2+。3=18，%8+019+020=78,Q+。3+。1 8+。1 9+。20=3（。1+。20）=18+78=96,Q+。2 0=32,此 数 列 前 2 0项 的 和 20 z、S20=（%+a2o）=10 x 32=320所 以，此 数 列 前 2 0项 的 和 等 于 320.3 已 知 数
14、列 册,bn）均 为 等 差 数 列，其 前 n 项 和 分 别 为 5,加 且 孩=鬻，则 祟=,解：由 等 差 数 列 的 性 质 知 di+Q g C L-1+C lg.a5 _ 2 _ 2 X9 _ S9 _ 2X9+2 _ 5b-bi+b9.bi+b9 Ta 9+3-3 2 24 等 差 数 列 斯 共 有 2+l 项，所 有 的 奇 数 项 之 和 为 1 3 2,所 有 的 偶 数 项 之 和 为 1 2 0,则 n 等 于 解 法 1：S 奇.Q+Q 3+2n+l=132,S 偶=C L?+。4+。2九=1 2 0*,S奇 一 S偶=。2九+1 nd=即+1 12cC nro（
15、2 几+1）（%+如+1）s2n+i=$奇+S 偶=252=2=（2n+l）an+1=12（2n+1）=2 5 2解 得 n=10解 法 2：由 题 意 可 得(1+2n+l)(n+1)/2=(几+l)an+1=132(a2+a2 n)n _2 n an+l-12上 面 两 式 相 比，得 72+1 _ 132n 120解 得 n=05 在 等 差 数 列 即 中，设 又 为 其 前 项 和，且 由 0,S 3=S u，当%取 得 最 大 值 时，n 的 值 为 _.解 法 1:(函 数 法)由 S3=S u，可 得 3 x 2 11 x 103%+2 d=11%+2&即 d=-1 的 从 而
16、 Sn=如+(%几=一 号(n 7)2+4913 1因 为 的 0,所 以 一 骂 0故 当 n=7时，Sn最 大.解 法 2：(邻 项 变 号 法)由 解 法 1 知 d=-5 的 欲 使 为 最 大，则 需 n V n1azi+1 S ual+n(-al)解 得 6.5 n 7.5故 当 n=7时，Sn最 大.解 法 3：(等 差 数 列 的 性 质)依 题 意，数 列 单 调 递 减，公 差 d 0，a 8 V s故 当 n=7时，Sn最 大.课 堂 小 结 等 差 数 列 前 n 项 和 的 常 用 性 质 1.数 列 即 是 等 差 数 列 O S n=p M+qn(p、q 为 常 数)=数 列 g 是 等 差 数 列.2.等 差 数 列 的 依 次 k 项 之 和，5上，S2k-Sk,S3 k-S2 k,.组 成 公 差 为 k2d的 等 差 数 列.等 差 数 列 前 n 项 和 Sn的 最 值(1)二 次 函 数 法：(2)图 象 法：(3)邻 项 变 号 法：板 书 1等 差 数 列 前 n 项 和 的 常 用 性 质 2 例 题 3 等 差 数 列 前 n 项 和 S”的 最 值 4 课 堂 练 习 教 学 反 思