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1、第二章数列2.3等差数列的前n项和第2课时等差数列前n项和的性质及应用课后篇巩固提升基础巩固1.在等差数列an中,Sn是其前n项和,a1=-11,=2,则S11=()A.-11B.11C.10D.-10解析an为等差数列,为等差数列,首项=a1=-11,设的公差为d,则=2d=2,d=1,=-11+10d=-1,S11=-11.答案A2.某等差数列共有13项,其中偶数项之和为30,则奇数项之和为()A.34B.35C.36D.不能确定解析由题意可得,偶数项的S偶=a2+a4+a12=30,由等差数列的性质可知,6a7=30,即a7=5,因为共有13项,S奇=S偶+a7=35.答案B3.已知等差
2、数列an和bn的前n项和分别为Sn和Sn,如果(nN*),则的值是()A.B.C.D.解析由等差数列前n项和的性质,得.答案C4.已知数列an为等差数列,a2=0,a4=-2,则其前n项和Sn的最大值为()A.B.C.1D.0解析因为a2=0,a4=-2,所以公差d=-1,所以a1=1.又因为a2=0,所以数列an的前n项和Sn的最大值为1.答案C5.等差数列an,bn的前n项和分别为Sn和Tn,若,则=()A.B.C.D.解析,则根据等差数列的性质可知.答案D6.在数列an中,an=2n-8,则|a1|+|a2|+|a20|=.解析由题知an是首项为-6,公差为2的等差数列,且前4项为非正数
3、,从第5项起为正数,|a1|+|a2|+|a20|=-a1-a2-a3-a4+a5+a20=(a1+a2+a20)-2(a1+a2+a3+a4)=S20-2S4=284.答案2847.已知等差数列an,|a5|=|a9|,公差d0,则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是.解析由|a5|=|a9|,且d0,得a50,且a5+a9=0,即2a1+12d=0,即a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且为最小值.答案6或78.设等差数列an的前n项和为Sn,a10,nN*,若S120,S130,nN*,S120,S130,13a70,a7-a70.而-a7-a8,则数列|an|的最小项是a
4、7.答案a79.已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为-4.(1)求数列an的前n项和Sn;(2)求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公差为d,由题意,得即解得所以Sn=3n+(-1)=-n2+n.(2)由(1),得=-n+,所以=-(n+1)+=-,即数列是首项为=3,公差为-的等差数列,故Tn=3n+=-n2+n.10.在等差数列an中,a1=-60,a17=-12,求数列|an|的前n项和.解等差数列an的公差d=3,故an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.由an0,得3n-630,即n21.故数列an的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn
5、分别表示数列an,|an|的前n项和,当n20时,Sn=-Sn=-=-n2+n;当n21时,Sn=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+3-2=n2-n+1260.故数列|an|的前n项和为Sn=能力提升1.在数列an中,a1=-60,an+1=an+3,则这个数列前30项的绝对值之和为()A.495B.765C.46D.76解析由已知可以判断数列an是以-60为首项,3为公差的等差数列,因此an=3n-63.a10,a21=0,a220,数列前30项的绝对值之和为S30-2S21=30(-60)+3-2=765.答案B2.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,
6、且,则使得为整数的正整数n有()A.2个B.3个C.4个D.5个解析=7+.当n=1,2,3,5,11时,为整数,即当n=1,2,3,5,11时,为整数.答案D3.在等差数列an中,其前n项和为Sn,nSn+1(n+1)Sn(nN*),且(n+1)Sn,得,即0.而,所以d0.因为-1,所以0,即a7(a7+a8)0,因此数列an是递增数列,所以a70,所以a70,所以在Sn中最小值是S7.答案A4.(2020全国高考,理4)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一
7、层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块解析由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为an.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为an为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=279+
8、9=3402.故选C.答案C5.在等差数列an中,Sn是其前n项和,且S2 011=S2 014,Sk=S2 009,则正整数k为.解析因为等差数列an的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S2011=S2014,Sk=S2009,可得,解得k=2016.答案2 0166.已知数列an是以3为公差的等差数列,Sn是其前n项和,若S10是数列Sn中的唯一最小项,则数列an的首项a1的取值范围是.解析依题意,得解得-30a10,其前n项和为Sn,且数列也为等差数列.(1)求an的通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和.解(1)设等差数列an的公差为d(d0),
9、则S1=a1=1,S2=2+d,S3=3+3d.数列为等差数列,2=1+,解得d=2.an=1+2(n-1)=2n-1.(2)由(1)知an+1=2n+1,Sn=n+2=n2,bn=.设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=+=1-.8.在等差数列an中,a10=23,a25=-22.(1)数列an的前多少项和最大?(2)求数列|an|的前n项和Sn.解(1)设an的公差为d,由a10=23,a25=-22,得解得所以an=a1+(n-1)d=-3n+53.令an0,得n0;当n18,nN*时,an0,故数列an的前17项和最大.(2)当n17,nN*时,|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=-n2+n;当n18,nN*时,|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a17-a18-a19-an=2(a1+a2+a17)-(a1+a2+an)=n2-n+884.故Sn=4