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1、2019年 高 等 数 学 基 础 期 末 考 试 复 习 试 题 及 答 案 一、单 项 选 择 题 1-1下 列 各 函 数 对 中，（c）中 的 两 个 函 数 相 等.A./(%)=(五 产,g(x)=x B./(x)=7?g(x)=xc.f(x)=lnx3,g(x)=31nx D.f(x)=x+1,g(x)=x2-lX 11-2.设 函 数/（X）的 定 义 域 为（8,+8）,则 函 数/（%）+/（X）的 图 形 关 于（C）对 称.A.坐 标 原 点 B.X 轴 c.y M D.y=x设 函 数/（X）的 定 义 域 为（8,+8）,则 函 数/（尤）一/（一%）的 图 形 关
2、 于（D）对 称.A.y=x B.B 轴 c.y 轴 D.坐 标 原 点.函 数 y-x _ gX 二 一 的 图 形 关 于（A2）对 称.（A）坐 标 原 点 1-3.下 列 函 数 中 为 奇 函 数 是（B）。轴（C）y 轴(D)y=x(B).A.y=ln(l+x2)B.y=xcos xax+c.y=-2D.y=ln(l+x)下 列 函 数 中 为 奇 函 数 是（A）.A.y=x3 x B.y=ex+exc.y=ln(x+l)D.y=xsinx下 列 函 数 中 为 偶 函 数 的 是（D).A y=(1+x)sin x B y=x2xc y=xcos xy=ln(l+x2)2-1下
3、 列 极 限 存 计 算 不 正 确 的 是 D).D(x2A.lim-=1入 e X+2B.limln(l+x)=0 xfOsin JCc.limXT80 D.limxsin=0X TOOX2-2当 X f 0 时，变 量 sinxA.-x（c)当 x-0 时，变 量（c.当 X f 0 时，变 量（D1B.一 X是 无 穷 小 量.,1C.xsin x）是 无 穷 小 量.）是 无 穷 小 量.1A X1A XBBD.ln(x+2)sin xXsin xXC eA-1c r DxD 7ln(x+1)下 列 变 量 中，是 无 穷 小 量 的 为(B)1 1Asin-(xO)B ln(x+l
4、)(x-0)cev(x-oo)x 2D.X2-4x-2)3-1设/（尤）在 点 x=i处 可 导，则 lim/:-0（1二 丝）二 f一（l）=（D）.hD.-2/Xl)D).D-2/U).D).、/g o 2hA.-2/X x0)B.f(x0)C.2 f g D.-尸(%)设/(x)=e*,则 lim 1+词 4 1=(A)A e B.2e c.e D.eA 1。Ax 2 43-2.下 列 等 式 不 成 立 的 是(D).A.exd x=d ex B-sinxdx=4/(cosx)c.yd x=d G D.nxdx=7()2 j x%A.广 B.c.2f(X)设/(x)在/可 导，则!i邛
5、/(见 一 2)一/(%)h(A 八 X。)B 2f(X0)C-/U)/(x0-2/i)-/(x0)_iin-(下 列 等 式 中 正 确 的 是(B).A.d(二)=arctan xdxl+xC.d(2x In 2)=2xdx D.d(tanx)=cotxdx4-1函 数/(x)=%2+4 x-l 的 单 调 增 加 区 间 是(D).A.(oo,2)B.(1,1)C.(2,+8)D.(2,+oo)函 数 y=%2+4 x-5 在 区 间(一 6,6)内 满 足(A).A.先 单 调 下 降 再 单 调 上 升 B.单 调 下 降 c.先 单 调 上 升 再 单 调 下 降 D.单 调 上
6、升.函 数 y=%2 一 6 在 区 间(一 5,5)内 满 足(A)A 先 单 调 下 降 再 单 调 上 升 B 单 调 下 降 C 光 单 调 上 升 再 单 调 下 降 D 单 调 上 升.函 数 y=x?-2 x+6 在 区 间(2,5)内 满 足(D).A.先 单 调 下 降 再 单 调 上 升 B.单 调 下 降 C.先 单 调 上 升 再 单 调 下 降 D.单 调 上 升 1 25-1 若/(%)的 一 个 原 函 数 是 一，则/(%)=(D).A.Inljd B.-C.-D.-X1 1 X X X.若/(x)是/(X)的 一 个 原 函 数，则 下 列 等 式 成 立 的
7、 是(AA f(x)dx=产(x)-F()B F(x)dx=f(b)-/(a)C fx)=F(x)D fhfXx)clx=F(b)-产(a)Ja5-2 若/(x)=COSX,则 j fr(x)dx=(B).A.sin x+c B.c o s x+c c.-sin x+c D.C O S X+C下 列 等 式 成 立 的 是(D).A.J r(x)dx=/(x)B.jd/U)=/U)C.dj f(x)dx=f(x)D.j/(x)d x=/(x)fx2/(x3)dx=(B).dr J9 V(/)口=(D)dr A./(X3)B.Y f y)c 1/(X)D.g/(Y),1 1,A xf(x-)B-
8、/(x)dr c-/(x)D xfx-)dy5.3 若 J/(x)dr=F(x)+c,则 j+/(Vx)dxB).A.F(Vx)+C B.2 F(6)+C C.F(2y/X)4-C D.j=F(y/x)C-yjX补 充：J eAf(ex)(lx=一 尸(e c,产 1无 穷 积 分 收 敛 的 是 dxJi X2函 数 f(x)=10v+1 0-A的 图 形 关 于 y 轴 对 称。二、填 空 题 1.函 数/(x)=-9+ln(l+x)的 定 义 域 是(3,+8).x 3函 数 y=-+J 4-X 的 定 义 域 是(2,3)U(3,4 _ln(x-2)函 数/(x)=ln(x+5)/的
9、定 义 域 是 _(5,2)J2 九 x+Y 02 若 函 数/(X)=(1+X)，X 0sin 2x 八-Y y-0.函 数 f(x)=x 在 X=0 处 连 续，则 左=2k x=0 x+1,x 0函 数 y=的 间 断 点 是 _ x=o_.Isinx,x 0 x2-2 x-3、函 数 y=-的 间 断 点 是 x=3 ox 3函 数 y=-的 间 断 点 是 x=o_-ex3-1.曲 线/（幻=五+1在（1,2）处 的 切 线 斜 率 是 1/2曲 线 f(x)=J x+2 在(2,2)处 的 切 线 斜 率 是 1/4曲 线/(x)=e*+l 在(0,2)处 的 切 线 斜 率 是
10、1.曲 线/(无)=丁+1在(1,2)处 的 切 线 斜 率 是 3.3-2曲 线/(x)=sinx在(5,1)处 的 切 线 方 程 是 丫=1.切 线 斜 率 是 o曲 线 y=sinx在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为 y=x 切 线 斜 率 是 14.函 数 y=ln(l+x2)的 单 调 减 少 区 间 是(-8,o).函 数 f(x)=e 的 单 调 增 加 区 间 是(0,+8).函 数 y=(x+1)?+1 的 单 调 减 少 区 间 是(一 8,一 1).函 数 f(x)=x2+1 的 单 调 增 加 区 间 是(0,+8).函 数 y=ex 2的 单 调 减 少 区
11、 间 是(0,+8).5-ide-l cLr=ex dx.fsinx2d r=sinr2.J-d xJ(tan xYdr=tan x+C.若 J/(x)dr=sin 3x+c,则 f(x)=-9 sin 3 x.5-2 J；(sin 5 x+=3.J：-d x-o.-ln(x+V)dx=_o3 2 JC+1 dx 下 列 积 分 计 算 正 确 的 是(B).A j(ex+ex)dx=0 B j je-e-)dx=O c jx2dx=O D jj x|dx=0三、计 算 题(一)、计 算 极 限(1小 题，11分)(1)利 用 极 限 的 四 则 运 算 法 则，主 要 是 因 式 分 解，消
12、 去 零 因 子。(2)利 用 连 续 函 数 性 质：/(%)有 定 义，则 极 限 lim fix)=/(JCO)Xf Xo类 型 1:利 用 重 要 极 限 limA-0s i nrX=1,limsin kx,-二 k,X tan lalim-二 二 k 计 算 一.sin 6x1-1 求 lim-.I。sin 5x解：sin 6xlim-=a。sin 5xsin 6x=lim-.x.D sin 5xX65卜 tan x1-2 求 h m-1 0 3x解：tan xlim-=1。3x1 tan x lim-=3 1。x1,1：X 1=3 3tan 3x1-3 求 h m-X解：tan 3
13、xlim-=i X.tan 3x _lim-.3i o 3x=1 x 3=3类 型 2：因 式 分 解 并 利 用 重 要 极 限 lim亚 区=1,l i m-3 二”-=化 简 计 算。(x-a)i sin(x-a),v.-1.X 1(X+1)1/1 i c2-1 求 lim-.解：h m-=lim-(尤-1)=1 x(-1-1)=-2xf-i sin(x+l)x-T sin(x+l)上 一 1sin(x+1)sin(x-l)2-2 lim-1f x-I2 sin(x-l).sin(x-l)解：lim-=lim-XTl X2-l XTl(x-l)(%+1)1+1 2f 4x+32-3110
14、1-7 sin(x-3)解:4x+3(x 3)(x1)lim-=lim-=*T 3 sin(x-3)XT3 sin(x-3)lim(x-l)=2类 型 3：因 式 分 解 并 消 去 零 因 子，再 计 算 极 限-6x+8limi x-5 x+41.x2 6x+8(x 4)(x 2).x-2 2解：h m-.=lim-=lim-=-A4 x-5 x+4 v4(x-4)(x-l)x-l 33-2.4-X 6lim-“f-3 x x 12i+x 6 lim-=h mr+3 厂 一 x-12 x+3(x+3)(x-2)(x+3)(x 4)lim=-7limXT2x 3x+2X2-4解 lim.r-
15、2x-3x+2x1-4limx 2-=lim X 1 1(x 2)(x+2)vx+2 4其 他:iimEzis i IK1-xlim2,2i s i IK0,limx-0sinxA/X+1 1rsinlim-=2A-0 1x2 x2+6x+5 x2lim-=lim“T 0 X 4工 一 5 i s 丁 1,.2x2+6xI im-1 3x-4x-5lim与=23厂 3 tan 8x(0807考 题)计 算 h m-sin 4x解:tan8xx tan 8xh m-二 _sin 4x D sin 4/sin x(0801考 题.)计 算 lim-io 2x解 sinx 1.lim-=lim10
16、2x 2 7XsinxX 2._ 2x _ 3(0707 考 题.)lim-“sin(x+l).(x+l).(x-3)=lim-a r sin(x+l)lx(-l-3)=-4（二）求 函 数 的 导 数 和 微 分（1）利 用 导 数 的 四 则 运 算 法 则(1小 题，11分)(M v)f ur M(uv)f=u,v+uv（2）利 用 导 数 基 本 公 式 和 复 合 函 数 求 导 公 式(In xY=x(/)=(sinx)=cosx(cosx)=-sinx(tanx)=sec2 x(cotx)=-esc2 x(sin)=cosu,u(sinx2),=cosx2.(x2)=2xcosx
17、2(sine)-=cose(ex)r=ex cose(xay=axa(e)=e.(ex Y ex.(x2=2xexD，=?sin(sinx),=esinrcosxD=ecs*.(cosx)=esi n x(cosw)=-sin(cos/)=-sin x2(x2y=-2xsinx2(cose)=-sin e(ex)r=-ex s i irv类 型 1：|加 减 法 与 乘 法 混 合 运 算 的 求 导，先 加 减 求 导，后 乘 法 求 导；括 号 求 导 最 后 计 算 i-i y=(xVx+3)e(3 Y(1 V.3 1(1 H 1 2解：y=x2+3 e”+x2+3(ex)=-x V+x
18、2+3 e”=-x2+x2+3 e*J J 2)1-2 y=cotx+x21nx解：yr=(cotx)+(x2 Inx)=-csc2 x4-(x2)rlnx+x2(lnx)r=-esc2 x+2xlnx+x1-3 设 丁=e*tan尤 一 Inx,求 y.解：yf=(ex tan x)r-(In x=(e)tan x+e(tan x-=ex tan x+ex sec2 x x x类 型 2：|加 减 法 与 复 合 函 数 混 合 运 算 的 求 导，先 加 减 求 导，后 复 合 求 导|2-1 y=sinx2+lnx,求 了 解：yf=(sin x2)f+0n x)f=2xcos x2+-
19、x2-2 y=coser-sinx2,求 y解：y=(cose)-(sinx2)=sinex.(ex-cosx2=-ex sineA 2xcosx22-3 y=11?工+51 求 y,解：y=(in5 x-5e5xx类 型 3：|乘 积 与 复 合 函 数 混 合 运 算 的 求 导，先 乘 积 求 导，后 复 合 求 导|2 2 2 2 2y=ex cosx,求 y。解：y=(ex)cosx+e(cosx)f=2xex cosxeA sinx 丫 cos x,其 他：y=2，-,求 y、x,m、，/Cosx、，-一 c(cos xY.x cos x.(x)r-xsinx+cos x解：y=(
20、2)(-)r=2 In 2-=2 In 2+-；-x x x0807.设 y=泗+sinx，求 y 解：y=(nx)r+(sinx2)r=0801.设 y=xex,求 y解：X=(x)e+x(ex2)=ex+2x2ex0707.设 丁=门 一 工 2,求 y 解：y=*x.(sinx)，_(%2)，=cosx/n 2x0701.设 y=Inx+cose,求 y，解：y-(In x)r-sineA.(eA)=-er sinerx(三)积 分 计 算：(2小 题，共 22分)凑 微 分 类 型 1：=J X J X1cos计 算 f 卢 dxJ X解:1cS f 1 1.1-dx=-cos J()
21、=-sin+cX J X X XJ.1sin 0707.计 算 J-2Ldx.1sin f drx解:1 1n=cos+cx x x0701 计 算(dx.J x-解:f-dx=-fevd()J x x J x-eA+c凑 微 分 类 型 2：,1 dv=2 J d-/x,3 f cosVx.计 算 I-f=-dx.J N x解:c o s V _ 2(cosVx6/Vx=2sin Vxy/X，+C、f sin 4,0807.计 算 I-dx.J 7 x解：(s i n=2 卜 in G d G=-2 c o s V xJ V x J+C0801.计 算 J dx解:dr=2j edyfx=2
22、e&+c凑 微 分 类 型 3：f-dx=Jinx,，d x=d(a+lnx)J X J J X J计 算 f-l-d1x,f 1 t r Jinx r 1,解：-dx-=du=ln|Inx|4-c,xlnx J xlnx J Inx J u.计 算 re-2-+-I-n-x-d,x 解：re-2-+-l-n-x d.x=1(2+lnx)d(2+lnx)=-(2+l.nx)x 9=一 51 x 1 x 1 2 I 2类 型 1：|5 定 积 分 计 算 题，分 部 积 分 法|计 算 xlnxdv 解：4=1,jxln jrfx=g JlnAzic?=E x-；*?+cre-1 Ti,2 户,
23、xze 1+e2xmxcfc=mxax=(Inx-)=-力 2J1 2 4 1 4|*c CL Inxdx=(xlnx-x)=(e-e)-(0-1)=1计 算 felnx,八 了 dx 解：a=-2x2=-cX Xfelnx.e.zk z Inx 1.-dx=-lnxd()=(-)X X X X计 算 2jlnxt/Vx=261nx 一 4五+c=21 nxdyx-(2Vxlnx4A/X)=-2+40807,e I-2 re-9-A-2-4Vxlnxdr=(Inxdx2=(x2 inx-x2)=e2+13J 3 9 1 9 90707/e x9 2 Inxdx=1 r e/nxdx?3=(x3
24、lnx x3)=2eA3+l 3J1 3 9 1 9 9（0801考 题）J(x ex l r=x d ex类 型 3：fxsino&=-x c o s a x+-fc o so ra!r=-x c o s o x+4-sin o x+cJ a a af xcos axdx=xsin a x-f sin axdx=J a aJ1.1 xsin ax H-co s ax+ca an K 71=-F x d c o s x=(-x c o sx+sinx)?1-0=1n _ n n 冗 2 xcos xdx-J 2 xdsjn x-(x sin x+cosx)2=-1 八 2xsin2xdx=-x
25、cos 2x+cos 2xdx=-xcos 2x+sin2x+c2 2J 2 4P xsin 2xdx=Jo1 n 1 1 人 1 1 c/I c _ Ju-2 x d co s2 x=(XCOSZXH sin 2 x)7=-0=2 J。2 4 Q 4 41 二 1 产 1-1J。?x cos2xdx-x sin 2 x|j-j02 sin 2xdx=cos2X|Q=-四、应 用 题（1题，1 6分）类 型 1：圆 柱 体 上 底 的 中 心 到 下 底 的 边 沿 的 距 离 为/,问 当 底 半 径 与 高 分 别 为 多 少 时，圆 柱 体 的 体 积 最 大?解：如 图 所 示，圆 柱
26、 体 高/与 底 半 径 r 满 足 h1+r2=I2圆 柱 体 的 体 积 公 式 为 V=7vrh=7t（/2 Z z2）/z求 导 并 令 丫，=兀 俨-3 2）=。,V3,得 力=I,3并 由 此 解 出 一 逅/3即 当 底 半 径/=4/,高 力=必/时，圆 柱 体 的 体 积 最 大.3 3类 型 2：已 知 体 积 或 容 积，求 表 面 积 最 小 时 的 尺 寸。2-1(0801考 题)某 制 罐 厂 要 生 产 一 种 体 积 为 V的 有 盖 圆 柱 形 容 器，问 容 器 的 底 半 径 与 高 各 为 多 少 时 用 料 最 省？9V解：设 容 器 的 底 半 径
27、为 广，高 为 人，则 其 容 积 V=-7-7T.r0、2V表 面 积 为 S=2兀 厂+2兀 泌=2兀 r H-r2V lVSf=4 n r-,由 S=。得 r=?,此 时=2r=r2 V27i由 实 际 问 题 可 知，当 底 半 径 r=J 上 与 高=2 r 时 可 使 用 料 最 省。V 2兀 I 一 体 积 为 的 圆 柱 体，问 底 半 径 与 高 各 为 多 少 时 表 面 积 最 小？|解：本 题 的 解 法 和 结 果 与 2-1完 全 相 同。生 产 一 种 体 积 为/的 无 盖 圆 柱 形 容 器，问 容 器 的 底 半 径 与 高 各 为 多 少 时 用 料 最
28、省？2v 2V解：设 容 器 的 底 半 径 为 r,高 为 力，则 无 盖 圆 柱 形 容 器 表 面 积 为 S=n r2+2nrh=7tr2+，令 S=2 n r-7=0r r得 由 实 际 问 题 可 知，当 底 半 径 r=与 高 6=r 时 可 使 用 料 最 省。V兀 2-2欲 做 一 个 底 为 正 方 形，容 积 为 32立 方 米 的 长 方 体 开 口 容 器，怎 样 做 法 用 料 最 省？(0707考 题)9V解：设 底 边 的 边 长 为 工,高 为，用 材 料 为 y,由 已 知 x=V=32,h=,x9 94V表 面 积 y=x+4x/i=x+，x4 V R V
29、令 y=2x-=0,得 三=2V=64,此 时 x=4,/=2厂 x由 实 际 问 题 可 知，=4 是 函 数 的 极 小 值 点，所 以 当 工=4,。=2 时 用 料 最 省。做 一 个 底 为 正 方 形，容 积 为 62.5 立 方 米 的 长 方 体 开 口 容 器，怎 样 做 法 用 料 最 省？|解：本 题 的 解 法 与 2-2同，只 需 把 V=62.5 代 入 即 可。类 型 3 求|求 曲 线=上 的 点，使 其 到 点 A(a,0)的 距 离 最 短.曲 线 丁=履 上 的 点 到 点 A(a,O)的 距 离 平 方 为 L=(x-a)?+y2=(x-a)2+k xL
30、=2(x Q)+%=0,2x=2 a-k3-1在 抛 物 线=4x 上 求 一 点，使 其 与 x 轴 上 的 点 A(3,O)的 距 离 最 短.解：设 所 求 点 p(X,y),则 满 足 y2=4 x,点 P 到 点 A 的 距 离 之 平 方 为 L=(x-3)2+y2=(X-3)2+4 X令 L=2(x 3)+4=0,解 得 x=l是 唯 一 驻 点，易 知 x=l是 函 数 的 极 小 值 点，当 x=l时，=2 或=-2,所 以 满 足 条 件 的 有 两 个 点(1,2)和(1,-2)3-2求 曲 线=2 x上 的 点，使 其 到 点 4(2,0)的 距 离 最 短.解：曲 线
31、 丁=2%上 的 点 到 点 A(2,0)的 距 离 之 平 方 为=(工-2)2+V=(%一 2尸+2%令 I=2(x 2)+2=0,得 x=l,由 此 y?=2 x=2,y=V2即 曲 线 丁 2=2%上 的 点(i,J)和(1,-J，)到 点 A(2,0)的 距 离 最 短。08074 求 曲 线 上 的 点，使 其 到 点 A(0,2)的 距 离 最 短。解：曲 线=/上 的 点 到 点 A(0,2)的 距 离 公 式 为=J/+(y-2)2=J y+(y 2)2d 与 d?在 同 一 点 取 到 最 大 值，为 计 算 方 便 求 d?的 最 大 值 点，/=y+(y 2)2(/)，
32、=1+2(丁 2)=2 3令(2)=0 得 y=1，并 由 此 解 出 x=半，2 V6 3 V6 3即 曲 线 y=F 上 的 点(光-，/)和 点(-到 点 A(0,2)的 距 离 最 短 一、单 项 选 择 题 1.设 函 数/(X)的 定 义 域 为(一 8,+8),则 函 数“X)+/(X)的 图 形 关 于(C)对 称。A.y=x B.X轴 y 轴 D.坐 标 原 点 2.当 x f 0 时，变 量(D)是 无 穷 小 量。A.Xsin xB.-xC.2XD.ln(x+l)3.A.4.A.下 列 等 式 中 正 确 的 是(B).d(r)=arctan xdx+x2下 列 等 式
33、成 立 的 是(A).f(x)d x=f(x)IB.dx7C.d(2x n2)=2xdx D.d(tarLr)=cotxdx5.A.B.C.f(x)d x=f(x)D.j d f(x)=f(x)下 列 无 穷 积 分 收 敛 的 是(C).B.也 C.If-KO,dx4 3x4D.sin xdx二、填 空 题 1.J/4函 数/(%)=_ 士 的 定 义 域 是 X 2.x-2-2.函 数 y=立 上 2 的 间 断 点 是 X=-1.X+1-3.曲 线/(X)=+在 点(1,1)处 的 切 线 的 斜 率 是 女=-g4.函 数 y=ln(l+)的 单 调 增 加 区 间 是 0,+oo).
34、5.ex dx=ex d x.三、计 算 题 1.计 算 极 限 lim1 6*+8r-4 x2-5 x+4(x-2)(x 4)x 2 2解：原 式 二 hm-=hm-=.I*-l)(x-4)1 4 x i 32.设 y=tanx+x2 1nx,求 y.解：=sec2 x+2xlnjc+x2 x=sec2 x+2xnx+xx3.设 y n x+i n%,求 y.a i 2解：y=5x4+3 In?xx(lnx)r=5x4+x4.设、=0$2%-%5,求 dy.解：yf-2cosx(-sin x)-5x4=-sin 2x-5x4dy=yfdx-(-sin 2x-5x4)dx5.设 丁=(：0$3
35、%-%5,求 dy.解：yf=3cos2 x(-sin x)-5x4=-3cos2 x sin x-5 x4dy-yJx=(-3cos2 x sin x-5 x4)dx6.设、=*门+3 求 dy解：V=*(sinxy+3 1 n 3=*c o s x+3Un3dy-y,dx=(esinx cosx+3v n3)dx7.y=Incosx2,求 dy.解：yr=-(cos x2)r=-(-sin x2)x 2x=-2xtanx2.cos x cos x2x8.设 y=y(x)是 由 方 程/siny=确 定 的 函 数，求 y.y解：方 程 两 边 同 时 对 x求 导 得：2xsin y+/c
36、osW=2)一 产 y移 项 合 并 同 类 项 得：(Yy2 cosy+2x)y=2y 2xy2 sin yh 3 w，2y 2xy2 sin y再 移 项 得：y=-x y cosy+2x9.计 算 不 定 积 分 二 公.7 x解：原 式=2，cosJ7d=2sinJ+C10.计 算 定 积 分（xnxdx.解:一 原 式=lnx2一?(In 无)=T2 2 e2-e H=-1 11.计 算 定 积 分，xsinWr.%仆 一 人 1 2 4 2 4 4 4 471 7 C 7t解:原 式=-xcosx 2-r(-cos%)Jx=(0-0)+sin x 2=10 0 0四、应 用 题 1
37、.求 曲 线 丁 2=上 的 点，使 其 到 点 4（3,0）的 距 离 最 短.解：设 曲 线 y2=x 上 的 点（x,y）到 点 43,0）的 距 离 为 d,则 d=(X-3)2+V=J(X-3)2+X=-Jx2-5x+9求 导 得：d=2x 52/X 5x+9令 优=0 得 驻 点 x=|,将 x 带 入/中 得 y=普，有 实 际 问 题 可 知 该 问 题 存 在 最 大 值，所 以 曲 线 丁=上 的 点（,巫）和 点（*,-典）到 点 A（3,O）的 距 离 最 短.2 2 2 2五、证 明 题 当 x 0 时，证 明 不 等 式 xln（l+x）.证 明：设 y=x-ln(
38、l+x)*/x=0 时，y=01 r求 导 得：y=i一 一 二 二-l+x 1+X当 xo,y 0即 y=x-ln(l+x)为 增 函 数/.当 x 0 时，y=x ln(l+x)0即 xlnK+x)成 立 一、单 项 选 择 题 1.设 函 数/(X)的 定 义 域 为(8,+8),则 函 数/(x)-/(x)的 图 形 关 于(D)对 称.二、填 空 题 A.y=x B.x 轴 C.y 轴 D.坐 标 原 点 2.当 x-0 时，变 量(C)是 无 穷 小 量。1 sin x XA.B.-C.e-1 D.X X X-3.设/(x)=e)则 H m 四 也 二 幽 二 Ar-0 AX(B)
39、.A.2e1B.c C.一 e D.L4 24.=(A).A.xf(x2)B.f(x)dxC.那)D.xf(x2)dx5.下 列 无 穷 积 分 收 敛 的 是(B).r+ooA.exdx B.e dx产 c.-dx产 1D 不 dxJo Jo JiXJ o-x21.函 数 的 定 义 域 是 1 V X K 3 且 xw2.ln(x-1)-x-L x 02.函 数 y=.的 间 断 点 是 工=0.sinx,x 0-3.曲 线/(x)=、G+l在 点(1,2)处 的 切 线 斜 率 是 左=3.4.曲 线/(%)=在 点 x=l处 的 切 线 斜 率 是 5.函 数 y=(x+l)2+l的
40、单 调 减 少 区 间 是(oo,l.6.1(sin x)小=sin x+C.三、计 算 题 1.计 算 极 限 lim2 四.io sin5xsin 6x _ sin 6x-.lim-(解：原 式 二 h m.。二 x 一 二-W x-二 一 io sin5x 5 一 sm 5x 5 5-lim-5x io 5X2.计 算 极 限 lim更 凹.1。sin 5A:sin 2x sin 2x 0 h m 0 9s 2r，x-o 2T，2W：原 式 二 lim-；-x=-；-x=x-o sm 5x 5 sm5x 5 5lim-5x i。5x3.计 算 极 限 lim生 qin吧 5 x.sin
41、3x4.计 算 极 限 lim独 匹.1。sin 2xsin 5xlimsin5x解：原 式=l i m 3 x*=xf 0 5r 5 5x-=-D sin 3x 3lirnsin 3x 3 33x.v-03x解:sin 3x sin3x2 lim原 式 二 lim J；x=D JA O sin 2x 2 sin 2xlim2x 3 2x5.sinx+2*设 y=-求 y.3 3x=2 2f解:y(cosx+2 v ln2)x2-(sinx+2)x 2x _ xcosx+x2 ln2-2sinx+2rM6.设 丁=sin2,求 y.解：yf=2sinex x(sine)=2sine*xcose
42、 xex=ex sin 2ex7.设 y=y(x)是 由 方 程 ycosx=e 确 定 的 函 数，求 4y.解：方 程 两 边 同 时 对 x 求 导 得：yrcosx-ysin x=eyyr移 项 合 并 同 类 项 得：(cosx-e)y=ysinx,ysinx再 移 项 得：y-cos x-e所 以 dy=yrd x=-n x dxcos x 一 e-8.计 算 不 定 积 分 jx8s 3血 r.解：设=x,dv=cos 3xdx,则 成=公，v=-sin3x,所 以 由 分 部 积 分 法 得 3原 式 二-xsin3x-sin2xdx=-xsin3x+cos3x+C3 J3 3
43、 99.计 算 定 积 分 巨 也 公.Ji xrei 合 e 9 4 5解：原 式=J(2+lnx)d(2+lnx)=5(2+lnx)-=-2=5四、应 用 题 1.圆 柱 体 上 底 的 中 心 到 下 底 的 边 沿 的 距 离 为/,问 当 底 半 径 和 高 分 别 为 多 少 时，圆 柱 体 的 体 积 最 大？解：假 设 圆 柱 体 的 底 半 径 为 X,体 积 为 V,则 高 为/广 一 2,所 以 圆 柱 体 的 体 积 为 V=-Sh=-7ix2 V/2 x23 3求 导 得：V，=2 加,/2_%2+1 玄 2 1 2 x=0.(2/2、_ 3丁)3 3 3 7 F 7
44、?7令 V=0得 驻 点 尤=父/(x0)3又 由 实 际 问 题 可 知，圆 柱 体 的 体 积 存 在 着 最 大 值，所 以 当 底 半 径 和 高 分 别 为 4/和 立/时，圆 柱 体 的 体 积 最 大.3 3五、证 明 题 当 尤 0时，证 明 不 等 式 元 arctan%.证 明：设 y=x-arctan xx=0 时，y=01 r2求 导 得：y=i-r=行 当 xo,y 0即 y=x-arctan x 为 增 函 数/.当 x 0 时，y=x-arctanx 0即 x arct ax成 立 一、单 项 选 择 题 1.下 列 各 函 数 对 中，(C)中 的 两 个 函
45、数 相 等.A./(x)=(Vx)2,g(x)=x B.f(x)-g(x)二 XC./(x)=Inx3,g(x)=31nx D./(x)=lnx2,g(x)=21nx2.当 x-0 时，下 列 变 量 中(A)是 无 穷 小 量.A.ln(x2 4-1)B.s,n c.sin _D.exX X3.当 x f 0 时:下 列 变 量 中(A)是 无 穷 小 量.,/2 1、sin x.1A.ln(x+1)B.-C.sm D.exX X4.当 尤 f CT时，下 列 变 量 中(A)是 无 穷 小 量.T,2 I、sin x.1A.ln(x+1)B.-C.sm X X _D.ex5.函 数 y=%
46、2-2x+6 在 区 间(2,5)内 满 足(D).A.先 单 调 下 降 再 单 调 上 升 B.单 调 下 降 C.先 单 调 上 升 再 单 调 下 降 D.单 调 上 升 6.若/(x)的 一 个 原 函 数 是 工，则 尸(x)=(B).X3.曲 线/(x)=J x+2 在 点(2,2)处 的 切 线 斜 率 是 Z=.1A.-p-B.2FCXD.ln|X7.若/(x)的 一 个 原 函 数 是 一，则“x)=(A).X1A.-XB.2FCXD.lr8.下 列 无 穷 积 分 收 敛 的 是(D).p-K OA.sin xdxJoB.r d xJ,XC.D.二、填 空 题 1.若 函
47、 数/(x)：x2+L x 0，则/(0)=sin 2x 二 八 2.函 数/(x)=，-f-X Jx，在 x=0处 连 续,贝 uz=2.k,x=0XJ l-2.函 数/(x)=9 V 1x-1 9Q,X=在(0,+oo)内 连 续，则 a=2.4.函 数 y=(x+1的 单 调 增 加 区 间 是-L+00).5.fsin x26tx=sinx2.dx J-三、计 算 题 X2-91.计 算 极 限 lim.1 3 sin(x-3)解:原 式 二+_ _ _=Um-x lim(x+3)=1 x(3+3)=6z 3 sin(x-3)“f 3 sin(x-3)t2.设 y=e*tanx I n
48、 x,求 y.解：yf=ex tan x+ex sec2 x-x2,设、=6-5 1 1尢 2,求 y.解:yf-2 x c o s x22yjx3.设 y=ln co s2 x,求 y.，1 o/、sin 2xW：y=-x 2 c o s x x(-s in x)=-；.cos x cos x4.设 y=y(x)是 由 方 程/=e*+y3确 定 的 函 数，求 出.解：方 程 两 边 同 时 对 x 求 导 得：+3y2v移 项 合 并 同 类 项 得：(ey-3y2)y=ex再 移 项 得：/=-所 以 dy-y dx-:-dxey-3y5.计 算 不 定 积 分 f二 一 公.J x
49、In x解：原 式=J J-dlnx=ln(lnx)+C6.计 算 定 积 分 坐 公.解：利 用 分 部 积 分 法 得 原 式=_也 0 xg 1 l i e-ax=-1 x2 e x 12e e四、应 用 题 1.在 抛 物 线 V=4%上 求 一 点，使 其 与 轴 上 的 点 A(3,0)的 距 离 最 短.解：设 曲 线 V=4x 上 的 点(x,y)到 点 43,0)的 距 离 为 d,则 d=J(X-3)2+y2=(X-3)2+4 X=x2-2x+9求 导 得：d=2x 2 x 12 J-2x+9 V x 2.x+9令“=0 得 驻 点 x=l,将 x=l带 入 j/=4 x
50、中 得)，=2,由 实 际 问 题 可 知 该 问 题 存 在 最 大 值，所 以 曲 线 丁=4%上 的 点(1,2)和 点(1,-2)到 点 4(3,0)的 距 离 最 短.五、证 明 题 1.证 明：若/(x)在 a,a 上 可 积 并 为 奇 函 数，则/(x)dx=0.证 明：；/(x)在 a,a 上 可 积 并 为 奇 函 数，即 有/(x)=/(x)J fx)dx=j f(x)dx+f(x)dx设 x=T，则 公=一 力，当 x=a 时，t=a；x=0时，z=0,则 上 式 中 的 右 边 第 一 式 计 算 得:H)f0 f0 M raJ./,(%)f(t)dt=-f(x)dx