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1、电电大大高高等等数数学学基基础础期期末末考考试试复复习习试试题题及及答答案案 HEN system office room【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】高等数学（高等数学（1 1）学习辅导）学习辅导(一一)第一章 函数理解函数的概念；掌握函数 y f(x)中符号f()的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。若对任意x，有f(x)f(x)，则f(x)称为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称。若对任意x，有f(x)f(x)，则f
2、(x)称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。掌握奇偶函数的判别方法。掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。基本初等函数是指以下几种类型：常数函数：y c 幂函数：y x(为实数)指数函数：y ax(a 0,a 1)对数函数：y logax(a 0,a 1)三角函数：sin x,cosx,tan x,cot x 反三角函数：arcsin x,arccosx,arctanx了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。如函数可以分解y eu，u v2，v arctanw，w 1 x。分解后的函数前三个都是基本初等函
3、数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。会列简单的应用问题的函数关系式。例题选解一、填空题一、填空题1设f()x 1 x2(x 0)，则f(x)。x11解：设t，则x，得xt1 1 x2故f(x)。x15 x的定义域是。函数f(x)ln(x 2)解：对函数的第一项，要求x 2 0且ln(x 2)0，即x 2且x 3；对函数的第二项，要求5 x 0，即x 5。取公共部分，得函数定义域为(2,3)(3,5。函数f(x)的定义域为0,1，则f(ln x)的定义域是。解：要使f(ln x)有意义，必须使0 lnx 1，由此得f(ln x)定义域为1,e。函数y 解：要使y x29的定义域为。x 3x
4、3x29有意义，必须满足x29 0且x 3 0，即成立，解不x 3x 3x 3或x 3等式方程组，得出，故得出函数的定义域为(,3(3,)。x 3ax ax设f(x)，则函数的图形关于对称。2解：f(x)的定义域为(,)，且有即f(x)是偶函数，故图形关于y轴对称。二、单项选择题二、单项选择题下列各对函数中，（）是相同的。A.f(x)x2,g(x)x；B.f(x)ln x2,g(x)2ln x；x21,g(x)x 1C.f(x)ln x,g(x)3ln x；D.f(x)x 13解：A 中两函数的对应关系不同,x2 x x，B,D 三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以 A B,D 都不是正确
5、的选项；而选项 C 中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项 C 正确。设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)f(x)的图形关于（）对称。x；轴；轴；D.坐标原点解：设F(x)f(x)f(x)，则对任意x有即F(x)是奇函数，故图形关于原点对称。选项 D 正确。3设函数的定义域是全体实数，则函数f(x)f(x)是（）A.单调减函数；B.有界函数；C.偶函数；D.周期函数解：A,B,D 三个选项都不一定满足。设F(x)f(x)f(x)，则对任意x有即F(x)是偶函数，故选项 C 正确。ax1(a 0,a 1)（）函数f(x)xxa 1 A.是奇函数；B.是偶函数；C.既奇函数又是偶函数
6、；D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。所以 B 正确。11若函数f(x)x22，则f(x)（）xx A.x2；B.x2 2；C.(x 1)2；D.x21。111解：因为x22 x2 222 (x)22xxx11所以f(x)(x)2 2xx2则f(x)x 2，故选项 B 正确。第二章极限与连续知道数列极限的“N”定义；了解函数极限的描述性定义。理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较。无穷小量的运算性质主要有：有限个无穷小量的代数和是无穷小量；有限个无穷小量的乘积是无穷小量；无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。熟练掌握极限的计算方法：包括
7、极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用无穷小量的运算性质，有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方法。求极限有几种典型的类型（1）limx0a2 xk a(a2 xk a)(a2 xk a)1 limkk2kx02axx(a x a)(x x0)(x x1)x2 ax b（2）lim lim x0 x1xx0 xx0 x x0 x x00n ma0 xn a1xn1 an1x ana0（3）limn mxx0b xmb xm1b01m1x bmb0n m熟练掌握两个重要极限：11xlim(1)e（或lim(1 x)x e）x0 xx重要极限的一般形式：1f(x)e（或lim(1 g
8、(x)g(x)e）lim(1g(x)0f(x)f(x)利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。间断点的分类：已知点x x0是的间断点，1若f(x)在点x x0的左、右极限都存在，则x x0称为f(x)的第一类间断点；若f(x)在点x x0的左、右极限有一个不存在，则x x0称为f(x)的第二类间断点。理解连续函数的和、差、积、商（分母不为 0）及复合仍是连续函数，初等函数在其定义
9、域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。典型例题解析典型例题解析一、填空题一、填空题x2sin极限limx0sinx1x2sinx lim(xsin1x)limxsin1limx 01 0解：limx0 x0 x0sin xx sin xxx0sin x1注意：limxsin 0（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）x0 xx111sin xlim lim1，其中lim=1 是第一个重要极限。x0sin xx0sin xx0sin x1xlimx0 xx1xsinx 0函数f(x)的间断点是x。xx 1x 0解：由f(x)是分段函数，x 0是f(x)的分段点，考虑函数在x 0处的连续性。
10、1因为limxsin 0 lim(x 1)1 f(0)1x0 x0 x所以函数f(x)在x 0处是间断的，又f(x)在(,0)和(0,)都是连续的，故函数f(x)的间断点是x 0。设f(x)x23x 2，则 f f(x)。解：f(x)2x 3，故函数y ln(1 x2)的单调增加区间是。二、单项选择题二、单项选择题函数在点处（）1x。A.有定义且有极限；B.无定义但有极限；C.有定义但无极限；D.无定义且无极限解：f(x)在点处没有定义，但1limxsin 0（无穷小量有界变量=无穷小量）x0 x故选项 B 正确。下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。1sinxA.ex,(x )；B.,
11、(x )；xx 1 1,(x 0)C.ln(1 x),(x 1)；D.x解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以而 A,C,D 三个选项中的极限都不为 0，故选项 B 正确。三、计算应用题三、计算应用题计算下列极限：x23x 2x 3x)lim2lim(x2x 4x 12xx 11 x 1(x 1)10(2x 3)5lim(3)lim（4）15x0 xsin3x12(x 2)x23x 2(x 1)(x 2)x 1解：2x 4x 12(x 2)(x 6)x 6x23x 2x 11lim2=limx2x 4x 12x2x 6811(1)xlim(1)x1x 3xx 1xe11nxx)lim()l
12、imlim(x34nx 1nx 3n3xee3(1)lim(1)33xnx 题目所给极限式分子的最高次项为分母的最高次项为12x15，由此得（4）当x 0时，分子、分母的极限均为 0，所以不能用极限的除法法则。求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。x13x1111 limlim =limx03x0sin3xx01 x 1326sin3x(1 x 1)2.设函数问（1）a,b为何值时，f(x)在x 0处有极限存在？（2）a,b为何值时，f(x)在x 0处连续？解：（1）要f(x)在x 0处有极限存在，即要limf(x)limf(x)成立。x0 x0因为limf(x)lim(xsi
13、nx0 x01b)bxsin x1x0 x0 x所以，当b 1时，有limf(x)limf(x)成立，即b 1时，函数在x 0处有极限limf(x)limx0 x0存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是于是有b 1 f(0)a，即a b 1时函数在x 0处连续。第三章第三章导数与微分导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点：理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。f(x)在点x x0处可导是指极
14、限存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限函数f(x)在点x x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y f(x)上点(x0,f(x0)处切线的斜率。曲线y f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为函数y f(x)在x0点可导，则在x0点连续。反之则不然，函数y f(x)在x0点连续，在x0点不一定可导。了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法（1）导数的四则运算法则（2）复合函数求导法则（3）隐函数求导方法（4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，
15、求导时采用取对数求导法，(x 1)2例如函数y，求 y。x在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。如果我们把函数先进行变形，即再用导数的加法法则计算其导数，于是有这样计算不但简单而且不易出错。x 2显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得两端求导得整理后便可得若函数由参数方程的形式给出，则有导数公式能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。熟练掌握微分运算法则微分四则运算法则与导数四则运算法则类似一阶微分形式的不变性微分的计算可以归结为
16、导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。了解高阶导数的概念；会求显函数的二阶导数。函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。要求函数的n阶导数就要先求函数的n1阶导数。第三章第三章 导数与微分典型例题选解导数与微分典型例题选解一、填空题设函数f(x)在x 0邻近有定义，且f(0)0,f(0)1，则f(x)lim。x0 xf(x)f(x)f(0)lim f(0)1解：limx0 x0 xx 0故应填 1。1曲线y 在点（1，1）处切线的斜率是。x又例如函数y x 13，求y。解：由导数的几何意义知，曲线f(x)
17、在xx0处切线的斜率是f(x0)，即为函数11在该点处的导数，于是yx2,y(1)x22233x 1121。2设f(x)x24x5，则ff(x)。解：f(x)2x4，故故应填4x224x37二、单项选择题f(x)f(2)设函数f(x)x2，则lim（）。x2x2A.2x；D 不存在f(x)f(2)解：因为limf(2)，且f(x)x2，x2x2所以f(2)2xx 24，即 C 正确。1设f()x，则 f(x)（）。x1111A.；B.；C.2；D.2xxxx解：先要求出f(x)，再求f(x)。11111因为f()x，由此得f(x)，所以f(x)()21xxxxx即选项 D 正确。3设函数f(x
18、)(x1)x(x1)(x2)，则f(0)（）；D.2解：因为f(x)x(x1)(x2)(x1)(x1)(x2)(x1)x(x2)(x1)x(x1)，其中的三项当x0时为 0，所以故选项 C 正确。4曲线yxex在点（）处的切线斜率等于 0。A.(0,1)；B.(1,0)；C.(0,1)；D.(1,0)解：y1ex，令y0得x0。而y(0)1，故选项 C 正确。5ysinx2，则y（）。故应填A.cosx2；B.cosx2；C.2xcosx2；D.2xcosx2解：ycosx2(x2)2xcosx2故选项 C 正确。三、计算应用题设ytan 2x2sinx，求dyx2解：由导数四则运算法则和复合
19、函数求导法则由此得设yf(ex)ef(x)，其中f(x)为可微函数，求 y。解y f(ex)ef(x)f(ex)ef(x)=f(ex)exef(x)f(ex)ef(x)f(x)=f(ex)exef(x)f(ex)ef(x)f(x)=ef(x)f(ex)ex f(ex)f(x)求复合函数的导数时，要先搞清函数的复合构成，即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要分清复合函数的复合层次，然后由外层开始，逐层使用复合函数求导公式，一层一层求导，关键是不要遗漏，最后化简。xdy3.设函数y y(x)由方程xy ey ln确定，求。ydx解：方法一：等式两端对x求导得整理得方法二：由一阶微分形式不
20、变性和微分法则，原式两端求微分得左端 d(xy ey)d(xy)d(ey)ydx xdy eydyxyxyydx xdy右端 d(ln)d()2yxyxy由此得整理得4.设函数y y(x)由参数方程dy确定，求。dx解：由参数求导法5设y (1 x2)arctan x，求y。1解y 2xarctanx(1 x2)2xarctanx 121 x第四章导数的应用典型例题一、填空题1.函数y ln(1 x2)的单调增加区间是.2x解：y，当x 0时y 0.故函数的单调增加区间是(,0).21 xln x2.极限lim.x11 x解：由洛必达法则13.函数f(x)(exex)的极小值点为。21解：f(
21、x)(exex)，令 f(x)0，解得驻点x 0，又x 0时，f(x)0；21x 0时，f(x)0，所以x 0是函数f(x)(ex ex)的极小值点。2二、单选题1.函数y x21在区间2,2上是（）A）单调增加 B）单调减少C）先单调增加再单调减少 D）先单调减少再单调增加解：选择 Dy 2x，当x 0时，f(x)0；当x 0时，f(x)0；所以在区间2,2上函数y x21先单调减少再单调增加。2.若函数y f(x)满足条件（），则在(a,b)内至少存在一点(a b)，使得成立。A）在(a,b)内连续；B）在(a,b)内可导；C）在(a,b)内连续，在(a,b)内可导；D）在a,b内连续，在
22、(a,b)内可导。解：选择 D。由拉格朗日定理条件，函数f(x)在a,b内连续，在(a,b)内可导，所以选择 D 正确。3.满足方程 f(x)0的点是函数 y f(x)的（）。A）极值点 B）拐点C）驻点 D）间断点解：选择 C。依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。4.设函数f(x)在(a,b)内连续，x0(a,b)，且f(x0)f(x0)0，则函数在x x0处（）。A）取得极大值 B）取得极小值C）一定有拐点(x0,f(x0)D）可能有极值，也可能有拐点解：选择 D函数的一阶导数为零，说明x0可能是函数的极值点；函数的二阶导数为零，说明x0可能是函数的拐点，所以选择 D。三、解答
23、题 1.计算题求函数y x ln(1 x)的单调区间。解：函数y x ln(1 x)的定义区间为(1,)，由于令y 0，解得x 0，这样可以将定义区间分成(1,0)和(0,)两个区间来讨论。当1 x 0时，y 0；当0 x 是，y 0。由此得出，函数y x ln(1 x)在(1,0)内单调递减，在(0,)内单调增加。2.应用题欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？解：设底边边长为x，高为h，所用材料为y108且x2h 108,h 2x令y 0得2(x3 216)0 x 6，且因为x 6,y 0;x 6,y 0，所以x 6,y 108为最小值.此时h
24、3。于是以 6 米为底边长，3 米为高做长方体容器用料最省。3证明题：当x 1时，证明不等式证 设函数f(x)ln x，因为f(x)在(0,)上连续可导，所以f(x)在1,x上满足拉格朗日中值定理条件，有公式可得其中1 c x，即1又由于c 1，有1c故有lnx x 1两边同时取以e为底的指数，有eln x ex1ex即x e所以当x 1时，有不等式成立.第第 5 5 章学习辅导（章学习辅导（2 2）典型例题解析典型例题解析一、填空题曲线在任意一点处的切线斜率为2x，且曲线过点(2,5)，则曲线方程为。解：2xdx x2c，即曲线方程为y x2 c。将点(2,5)代入得c 1，所求曲线方程为已
25、知函数f(x)的一个原函数是arctanx2，则f(x)。2x解：f(x)(arctan x2)41 x已知F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(ax b)dx。解：用凑微分法二、单项选择题设f(x)dx xlnx c，则f(x)（）。A.ln x 1；B.ln x；C.x；D.xln x解：因故选项 A 正确设F(x)是f(x)的一个原函数，则等式（）成立。dA.(f(x)dx)F(x)；B.F(x)dx f(x)c；dxdC.F(x)dx F(x)；D.(f(x)dx)f(x)dx解：正确的等式关系是故选项 D 正确设F(x)是f(x)的一个原函数，则xf(1 x2)dx（）。A.F(1
26、 x2)c；B.F(1 x2)c；1C.F(1 x2)c；D.F(x)c2解：由复合函数求导法则得故选项 C 正确三、计算题计算下列积分：x1 x2dx1 x2dxx2解：利用第一换元法利用第二换元法，设x sint，dx costdt计算下列积分：ln xarcsin xdx2dxx解：利用分部积分法利用分部积分法高等数学（高等数学（1 1）第六章学习辅导）第六章学习辅导综合练习题综合练习题（一）单项选择题（一）单项选择题（1）下列式子中，正确的是（）。A.f(x)dx 0 B.f(x)dx f(x)dx22C.10 x2dx 1ab0 x dx D.103x2dx3t2dt10ba (2)
27、.下列式子中，正确的是（）/02costdt cosx A.B.xcostdt cosx0 xxC.costdt 0 D.costdt cosx00(3)下列广义积分收敛的是（）。A0exdx .B.1dx1xC.cosx dx D.01x12dx)。(4)若f(x)是a,a上的连续偶函数，则f(x)dx (aaA.f(x)dx B 0a0C2f(x)dx Df(x)dxa00a(5)若f(x)与g(x)是a,b上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x a,x b所围图形的面积().bbA.f(x)g(x)dx B.(f(x)g(x)dxaa C.(g(x)f(x)dx D.ab(f(x)g(
28、x)dxab答案：答案：（1）A；（2）D；（3）D；（4）C；（5）A。解：（1）根据定积分定义及性质可知 A 正确。而f(x)dx f(x)dx B 不正确。baab在（0，1）区间内x2 xx2dx x dx0011 C 不正确。根据定积分定义可知，定积分值与函数及定积分的上、下限有关，而与积分变量的选取无关。故 D 不正确。(2)由变上限的定积分的概念知x0costdt cosx,costdt cosxA、C 不正确。0 x由定积分定义知 B 不正确。D 正确。(3)exdx lim01bxb0e dx(e e)A 不正确。lim0bb1bb11dx limdx limln x1xxb
29、blim(lnb ln1)B。不正确。bcosx dx lim0bcosx dx lim(sinbsin0)0bbC。不正确。不存在。DD 正确（4）由课本 344 页（642）和 345 页（643）知 C。正确。（5）所围图形的面积始终是在上面的函数减去在下面的函数 A 正确。（二）（二）填空题填空题(1)(2)设F(x)1xlimx00costdtx _te2dt,x则 F(x)_.(3)在区间0,2上，曲线y sin x和x轴所围图形的面积为_。(4)204 x2dx _ (5)p _,无穷积分答案：解：（1）lima1dx 发散 (a0 p0)pxx0costdtxx21x0limt
30、cosx cos0 11x0 F(x)(etdt,)ex(x2)2x ex1x222（2）F(x)e dt,（2）（3）（4）（5）所围图形的面积 S=2sin xdx 2cosx00 2coscos0 4由定积分的几何意义知:定积分的值等于21224 x dx 2 y=所围图形的面积04 x24p1 时无穷积分发散。（三）（三）计算下列定积分(1）2 xdx04(2）10 x(1x)dx（3）1 ln xdx1xe（4）122x1 x dx（5）xsin2xdx答案：(1）2 xdx(2 x)dx(x 2)dx (2x 00242402012x)2201(x2 2x)242 4(2）1021
31、x(1x)dx (x2x2)32e310762e1e1 ln x1dx(1 ln x)d(1 ln x)(1 ln x)（3）11x23220（4）122x1 x dx01xsin2xdx xcos(5)解 t 2x):设x sint(0222020121cos2xdx sin2xdx costdt2044220420121cos4t1sin 2tdt dt(x044028求由曲线yx 1,及直线y x,y 2所围平面图形的面积20（四）定积分应用（四）定积分应用1原式 2sin2tcos2tdt1sin4t4)16解：画草图求交点由 y=x,xy=1 得 x=1.y=1y 2y=2y=x 0
32、 xy=1所求平面图形面积11A(y)dy (y2ln y)1y2221第七章综合练习题第七章综合练习题3ln22x（一）单项选择题（一）单项选择题1、若（）成立，则级数an发散，其中Sn表示此级数的部分和。n1A、limsn 0；B、an单调上升；nC、liman 0 D、liman不存在nn2、当条件（）成立时，级数(anbn)一定发散。n1A、an发散且bn收敛；B、an发散；n1n1n1C、bn发散；D、an和bn都发散。n1n1n13、若正项级数an收敛，则（）收敛。n12A、an B、ann1n1C、(an c)D、(an c)2n1n14、若两个正项级数an、bn满足，an bn
33、(n 1,2,)则结论（），是正确n1n1的。A、an发散则bn发散；B、an收敛则bn收敛；n1n1n1n1C、an发散则bn收敛；D、an收敛则bn发散。n1n1n1n15、若 f(x)=anxn,则an=()。n01(f(0)(n)f(n)(0)f(n)(x)A、B、C D、n!n!n!n!答案：1、D 2、A 3、B 4、A 5、C（二）填空题（二）填空题1、当q_时，几何级数anqn收敛。n02、级数(n111)是_级数。nn5n03、若级数an收敛，则级数an_。n04、指数函数 f(x)=ex展成 x 的幂级数为_。5、若幂级数any的收敛区间为（9，9），则幂级数an(x 3)
34、2n的收敛区间nn0n0为_。xn答案：1、1nnann3(n)!nn 11nen(1)nnn3nn!则由比值判别法可知n发散。n1n11 an1,n 1,2,.nn 1nn1(1)n1及liman lim 0，由莱布尼兹判别法知级数收敛。nnnnn12、求下列幂级数的收敛半径 由于是交错级数，且an=xn(x 1)2nnn4 nn1n1an1因此收敛半径 R=1，解：limn1 limnann 1n(1)nyn 令(x 1)y,得幂级数nn14 n2可知4，所 liman1nan（一）单项选择题（一）单项选择题八章综合练习题及参考八章综合练习题及参考yn的收敛半径为n1n14 nn1n1以原
35、幂级数的收敛半径 lim4(n 1)lim1nn4(n 1)4第第n4 n答案答案1、下列阶数最高的微分方程是（）。A、；yy(y)3 sin(x y)B、xy5y y5 6y x3；C、y6y 4x 2 D、(y)2 2yy x 02、下列一阶微分方程中为可分离变量的微分方程是（）。A、；xy 6y x3 B、5y xyexyC、y xy y D、y 2y sin(x y)3、微分方程 y y 0的通解为（）。A、y c1ex c2e2x B、y c1ex c2e2xC、y c1sin x c2cosx D、y c1sin2x c2cos2xy4、微分方程y 0的通解为（）。x11A、c；B
36、、y x cyxC、y x；D、ln y ln x5、微分方程y 2y y excos x的特解应设为y（）。xcos xA、y xex(c1cos x c2sin)B、y x2ex(c1cos x c2sin)Cy cexcos x D、y ex(c1cos x c2sin)答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D（二）填空题（二）填空题6、一阶线性微分方程的y p(x)y q(x)通解公式为_。7、二阶线性微分方程y6y13y 0的特征根为_。8、二阶线性微分方程的通解中含有_独立的任意常数。9、二阶微分方程y x的通解为_。10、若y是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，y c1y1
37、c2y2为其相应的齐次微分方程的通解，则非齐次微分方程的通解为_。p(x)dxp(x)dx(q(x)edx c)2、3 2i 3、两个答案：1、y e 4、y 13x c1x c2 5、y y c1y1 c2y26（三）计算题（三）计算题3、求一阶微分方程的y e2xy满足 y(0)0的特解求一阶微分方程的xy y sin x满足y()0的特解解：微分方程变为eydy e2xdx，两边积分得方程的通解为111由条件y(0)0得c，故微分方程的的特解eye2x222方法一由一阶线性微分方程的通解公式得1由条件 y()0得c 1,故微分方程的的特解y(cosx 1)x方法二1由微分方程可得(xy)
38、sin x，两边积分得方程的通解为y(cosx c)x1由条件y()0得c 1,故微分方程的的特解y(cosx 1)x2、求微分方程y5y 6y 3e2x的通解解：原方程对应的齐次方程的特征方程为25 6 0特征根为1 3,2 2，故齐次微分方程的通解y c1e3x c2e2x（其中c1,c2为任意常数）3设原方程的一个特解应为y Ae2x，代入方程得20Ae2x 3e2x得A 2032xe c1e3x c2e2x（其中c1,c2为任意常数）故微分方程的通解y 20求微分方程y 4y 4y e2xsin5x的通解解：原方程对应的齐次方程的特征方程为2 4 4 0得特征根为12 2，故齐次微分方程的通解y (c1 c2x)e2x（其中c1,c2为任意常数）设原方程的一个特解应为y e2x(Acos5x Bsin5x)，代入方程得故微分方程的通解y 12xesin5x (c1 c2x)e2x（其中c1,c2为任意常数）25