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1、华侨大学高等数学 A(下册) 期末考试试题 【A 卷】考试日期： 2009 年 6 月 26 日院（系）别班级学号姓名成绩大题一二三四五六七小题1 2 3 4 5 得分一、填空题：（本题共 5 小题，每小题4 分，满分20 分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a、b满足0ab，2a，2b，则a b2、设ln()zxxy，则32zx y3、曲面229xyz在点(1,2, 4)处的切平面方程为4、设( )f x是周期为2的周期函数，它在,)上的表达式为( )fxx，则( )fx的傅里叶级数在3x处收敛于，在x处收敛于5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lxy ds以下各题
2、在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名 、学号、班级二、解下列各题：（ 本题共 5 小题，每小题7 分，满分35 分）1、求曲线2222222393xyzzxy在点0M(1, 1,2)处的切线及法平面方程2、求由曲面2222zxy及226zxy所围成的立体体积3、判定级数11( 1) lnnnnn是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设(,)sinxzf xyyy，其中f具有二阶连续偏导数，求2,zzxx y5、计算曲面积分,dSz其中是球面2222xyza被平面(0)zhha截出的顶部三、（本题满分 9 分）精选学习资料 - - - - - -
3、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页抛物面22zxy被平面1xyz截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值四、（本题满分 10 分）计算曲线积分(sin)(cos)xxLeym dxeymx dy，其中m为常数，L为由点( ,0)A a至原点(0,0)O的上半圆周22(0)xyaxa五、（本题满分 10 分）求幂级数13nnnxn的收敛域及和函数六、（本题满分 10 分）计算曲面积分332223(1)Ix dydzy dzdxzdxdy，其中为曲面221(0)zxyz的上侧七、（本题满分 6 分）设( )f x为 连 续 函 数 ，( 0 )
4、fa，222( )()tF tzf xyzdv， 其 中t是 由 曲 面22zxy与222ztxy所围成的闭区域，求30( )limtF tt- 备注：考试时间为2 小时；考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。高等数学 A(下册 ) 期末考试试题【B 卷】 （补考卷）参考答案与评分标准2009 年 6 月（8 月）一. 填空题【 共 5 小题，每小题4 分，共 20 分】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页1、3； 2 、612xxyC eC e；3、113210 xyz； 4、1
5、4xy；5、12a二. 试解下列各题【共 5 小题，每小题7 分，共 35 分】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页1、解：该平面的法线向量12137231ijknijk. 【3】所求的平面方程为(1)3(2)7(3)0 xyz，即37280 xyz. 【7】2、解：令1tx，则级数化为为1nntn. 【1】1limlim11nnnnanan，. 【3】1R，收敛区间1t即02x【4】当2x时，级数成为11nn，发散；当0 x时，级数成为1( 1)nnn，收敛 . 【6】所求的收敛域为0, 2). 【7】3、解：( ,
6、 ) 0,01Dx yxyy， . 【2】原式13001ydyxyy dx . 【4】12333/2100112211(1)|299yy dyy 【7】4、解：2111( )3212f xxxxx 【1】又01( 1)(1)1nnnxxx 【3】1001111( 1) ()( 1)(2)221/ 2222nnnnnnnxxxxx 【5】21100011( )( 1)( 1)( 1) (1)(1)3222nnnnnnnnnnnxf xxxxxx 【7】5、解：1222zxfyfx 【2】2zx y1112221222 ( 2 )2 22 ( 2 )2 x fyfxfy fyfx 【6】22212
7、221124()4()fxyfxy ff 【7】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页三、 【9 分】解：令23639026180 xyfxyfyx，得驻点(5,6)，(1, 6). 【4】又6 ,6,2xxxyyyAfx BfCf. 在驻点(5,6)处，2240,ACB且300A，该函数在(5,6)处取得极小值(5,6)88f. . 【7】在驻点(1, 6)处，2240,ACB该函数在(1, 6)处没有极值 . 【9】四、 【10 分】解：联立222zxy与22zxy消去z，解得221xy，从而该立体在xOy面上的投影
8、区域22( ,)1xyDx y xy. 【2】故所求的体积为2221200Vdvdddz. 【6】12202( 2) d1423/2018 272(2)346 【10】五、 【10 分】取1为1z22(1)xy的上侧，记为由与1所围成的空间闭区域. 由高斯公式，12222()x dydzy dzdxz dxdyxyz dv 【 4】2()2xy dvzdv2221002xyzzdzdxdy13022z dz 【6】又221122221xyx dydzy dzdxz dxdyz dxdydxdy【9】22I. 【10】六、 【10 分】解： (1)证:令211( , )1()()P x yy f
9、 xyyfxyyy，222( ,)()1()xxQ x yy f xyxfxyyy. 则当0y时，21()()Pf xyxyfxyyy，21()()Qf xyxyfxyxy. 【4】或211001112002(cossin)42(1)2ddz dzdzdzd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页从而Py、Qx在上半平面内处处连续，且恒有QPxy. 曲线积分I在上半平面内与路径无关. 【5】（2）由于I与路径无关，故可取积分路径L为由点2(3,)3A到(3,2)B，再到(1,2)C的折线段，则22211()()1AB BC
10、xIy f xy dxy f xydyyy212223331(3 )114(2 )2y fydyfx dxy.【8】212122/333313(3 )32(2 )2xfy dyfx dxy62264( )( )4f t dtf t dt.【10】七、 【6 分】证明：所给级数的部分和11223341()()()( 1)()nnnnsuuuuuuuu111( 1)nnuu 【3】又由lim1nnnu，得1limlimlim0nnnnnunun， 【4】从而1nsu（n） 【5】因此，所给级数收敛. . . 【6】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页