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1、2 0 2 2年 6 月 福 建 省 普 通 高 中 学 业 水 平 合 格 性 考 试 数 学 彷 真 试 题（三）（考 试 时 间：90分 钟；满 分：100分）本 试 卷 分 第 I卷（选 择 题）和 第 n 卷（非 选 择 题）两 部 分.考 生 注 意：i.答 题 前，考 生 务 必 将 自 己 的 考 生 号、姓 名 填 写 在 试 题 卷、答 题 卡 上.考 生 要 认 真 核 对 答 题 卡 上 粘 贴 的 条 形 码 的“考 生 号、姓 名”与 考 生 本 人 考 生 号、姓 名 是 否 一 致.2.第 I 卷 每 小 题 选 出 答 案 后，用 2 B 铅 笔 把 答 题
2、卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑，如 需 改 动，用 橡 皮 擦 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.第 n 卷 用 黑 色 字 迹 签 字 笔 在 答 题 卡 上 作 答.在 试 题 卷 上 作 答，答 案 无 效.3.考 试 结 束，监 考 员 将 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 收 回.参 考 公 式：样 本 数 据 不，,Z 的 标 准 差 S=可 2+（尤 2-可 2+（X”-可 其 中 7 为 样 本 平 均 数 柱 体 体 积 公 式 v=s，其 中 s 为 底 面 面 积，为 高 台 体 体 积 公 式 v=；（s+其 中 s,s 分 别
3、为 上、下 底 面 面 积，力 为 高 锥 体 体 积 公 式 v=其 中 s 为 底 面 面 积，为 高 3,4,球 的 表 面 积 公 式 S=4）/?2,球 的 体 积 公 式 V=%R 3,其 中 R 为 球 的 半 径 3第 I 卷（选 择 题 4 5分）一、选 择 题（本 大 题 有 1 5小 题，每 小 题 3 分，共 4 5分.每 小 题 只 有 一 个 选 项 符 合 题 意）1.已 知 集 合 同=1,2,3,4,8=x|2x45,则 A Q B=（）A.2,3 B.3,4 C.2,3,4 D.3,4,5【答 案】BA 0 8=1,2,3,4 nM 2 x 4 5=3,4.
4、故 选：B.2.复 数 z=2-i（i为 虚 数 单 位）的 虚 部 为（）A.-1 B.1 C.i D.-i【答 案】A复 数 z=2-i的 虚 部 是-1.故 选:A3.命 题 Wxe(-l,0),x2+x 0 B.(-l,O),x2+x0 D.3x0 e(-l,O),xo2+x0 0【答 案】D因 为 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题，所 以 命 题“匕(-1,0),/+=cos-C.y=sin4x D.y=tan 3x【答 案】CA 选 项：7=?=万，错 误；B 选 项：丁 2 2=4,错 误；C 选 项：7=4=；,正 确；D 选 项：T=f4 2 3，错 误.故 选
5、：C.6.某 高 校 调 查 了 400名 学 生 每 周 的 自 习 时 间(单 位：小 时)，绘 制 成 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图，其 中 自 习 时 间 的 范 围 是 17.5,30,样 本 数 据 分 组 为 17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.则 根 据 直 方 图 这 400名 学 生 中 每 周 的 自 习 时 间 不 足 22.5小 时 的 人 数 是()A.60 B.90 C.130 D.150【答 案】B由 图 可 得 自 习 时 间 不 足 22.5小 时 的 频 率 为(0.02+0.07)x2
6、.5=0.225贝 I 人 数 为 400 x0.225=90故 选：B7.下 列 各 组 函 数 表 示 同 一 函 数 的 是()A./(x)=x,g(x)=B./(x)=l,g(x)=x。C.f(x)=x+l,g(x)=LxD.f(x)=G*,g(x)=(/y【答 案】A解：对 于 A,两 个 函 数 的 定 义 域 都 是 R,g(x)=MF=x,对 应 关 系 完 全 一 致，所 以 两 函 数 是 相 同 函 数，故 A 符 合 题 意；对 于 B,函 数 x)=l的 定 义 域 为 R,函 数 g(x)=X。的 定 义 域 为 x|x X 0,故 两 函 数 不 是 相 同 函
7、数，故 B 不 符 题 意；对 于 C,函 数/(x)=x+1的 定 义 域 为 R,函 数 g(x)=正 口 的 定 义 域 为 巾*1,X 1故 两 函 数 不 是 相 同 函 数，故 c 不 符 题 意；对 于 D,函 数 f(x)=G 的 定 义 域 为 R,函 数 g(x)=(&的 定 义 域 为 0，+8),故 两 函 数 不 是 相 同 函 数，故 D 不 符 题 意.故 选：A.8.已 知 向 量：=。,2),b=,若 刃/5,贝 I 实 数 机 的 值 为()A 1 B-2 2【答 案】AC.3 D.-3a/b,/.1 2m=0,得 加=.2故 选：A9.不 等 式-2/+X
8、+15W0的 解 集 为()A.卜-泊”B.lx-：或 x2 3C.D.x|x|-1【答 案】B解：依 题 意 可 得 2 W-x-1 5 2 0,故(2x+5)(x-3)N(),解 得 x 4 一|或 血 3,所 以 不 等 式 的 解 集 为 卜 卜 4-1 或 xN3故 选:B.10.如 图 是 一 个 长 方 体 的 展 开 图，如 果 将 它 还 原 为 长 方 体，那 么 线 段 A 8与 线 段 C。所 在 的 直 线()A.平 行 B.相 交 C.是 异 面 直 线 D.可 能 相 交，也 可 能 是 异 面 直 线【答 案】C如 图，将 展 开 图 还 原 成 长 方 体，易
9、 得 线 段 A 8与 线 段 C O是 异 面 直 线，故 选：C11.若 角”的 终 边 经 过 点（T,3）,贝 i s in a=（）4 4 3 3A.-B.C.-D.5 5 5 4【答 案】C.3 3由 题 意 知：S，n a=_4）2+32=5-故 选：C.I 1 51 2.已 知“=c=1g2 y 则 a，4 c 的 大 小 关 系 为（）A.a b c B.c b a C.c a b D.b a c【答 案】c针 吗 卜（小 图，既 沁 一。,.&l a O c.故 选：C.1 3.正 方 体 的 外 接 球 与 内 切 球 的 表 面 积 之 比 是（）A.1 B.3 C.3
10、百 D.昱 3 9【答 案】B设 正 方 体 的 棱 长 为。，则 其 外 接 球 的 半 径 为 3“，内 切 球 的 半 径 为?。，3D.-5故 选：B1 4.我 国 数 学 家 陈 景 润 在 哥 德 巴 赫 猜 想 的 研 究 中 取 得 了 世 界 领 先 的 成 果，哥 德 巴 赫 猜 想 的 内 容 是：每 个 大 于 2 的 偶 数 都 可 以 表 示 为 两 个 素 数 的 和，例 如：4=2+2,6=3 4-3,8=3+5,那 么 在 不 超 过 1 2的 素 数 中 随 机 选 取 两 个 不 同 的 数，其 和 为 奇 数 的 概 率 为（）3 2A.B.一 10 5
11、【答 案】B不 超 过 12的 素 数 为：2,3,5,7,1 1,共 5 个，从 中 随 机 选 取 两 个，有:2,3,2,5,2,7,2,11,3,5,3,7,3,11,5,7,5,11,7,1 1,共 10种,其 中 和 为 奇 数 的 为：2,3,2,5,2,7,2,11,共 4 种，4 2所 以 和 为 奇 数 的 概 率 为 故 选：BIll/(_.)=_ _=/(x),所 以 函 数 为 偶 函 数，图 像 关 于 y轴 对 称，可 排 除 B,D选 项，又“力=5 7 2 2 0 恒 成 立，可 排 除 C选 项 故 选：A第 I I卷(非 选 择 题 55分)二、填 空 题
12、(本 大 题 有 5 小 题，每 小 题 3 分，共 1 5分)16.若 复 数 z=O?-9)+(/+2相-3)i是 纯 虚 数，其 中 阳 R,则|z|=.【答 案】12因 为 复 数 z=而-9)+(m2+2/72-3)i是 纯 虚 数，Q Q所 以 2 J 八，解 得 机=3，所 以 z=12i,|z|=1 2.故 答 案 为：1217.已 知 忖=4烟=5,且 今=45,则 在 石 上 的 投 影 的 数 量 为.【答 案】2 0由 题 意 知：2在 B 上 的 投 影 的 数 量 为 卜 卜 0$(石)=2忘.故 答 案 为：26.18.己 知 AABC 中，AB=2,AC=6,Z
13、A=,则 AABC 的 面 积 为 _.6【答 案】357r由 已 知 AB=2,AC=6,NA=,6则 S ARC=AC sin ZA=x 2 x 6 x=3,A B C 2 2 2故 答 案 为：3.19.求 方 程 V-2 x-3=0在 区 间(L 2)内 的 实 数 根，用 二 分 法 确 定 的 下 一 个 有 根 的 区 间 是.【答 案】(+32)令/(x)=V-2 x-3,因 为/(1)=1-2-3=-4 0,/(2)=f2 _2x-3=-6=-0,2 2 8 83所 以 下 一 个 有 根 的 区 间 是 弓,2).故 答 案 为：(|,2)2 120.已 知。0,b0 f且
14、 为+b=l,则 的 最 小 值 是 _.a b【答 案】92（2 1 2b 2a=、J 2b 2,八 解：F=IFgj（2a+b）=F+5 2J-+5=9 当 且 仅 当 竺=学，即=1 时 取 等 号，故 2+1 的 最 小 值 为 9.a b 3 a b故 答 案 为：9三、解 答 题（本 大 题 有 5 小 题，共 40分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤）21.（本 小 题 满 分 6 分）在 如 图 所 示 的 坐 标 纸 中（每 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1）,用 直 尺 和 圆 规 画 出 下 列 向 量.O|砺 卜 3,点
15、A 在 点 O 北 偏 西 45。方 向:画=2夜，点 B 在 点。正 南 方 向.【答 案】（1）答 案 见 解 析；（2）答 案 见 解 析.（1）|）卜 3,点 4 在 点。北 偏 西 45。方 向，.以。为 圆 心，3 为 半 径 作 圆 与 图 中 正 方 形 对 角 线。尸 的 交 点 即 为 A 点:（2）；|丽 1=2 0=5/1+22,点 B 在 点。正 南 方 向，以。为 圆 心，图 中。Q 为 半 径 化 圆，圆 弧 与 O R 的 交 点 即 为 8 点：oR22.（本 小 题 满 分 8 分）已 知 函 数/（x）=sin 2x+/3 cos R.求 函 数.“幻 的
16、 最 小 正 周 期；7T 求 函 数/（X）在 xe 0,-上 的 最 值.【答 案】（1）万 最 大 值 为 2,最 小 值 为-6 解：r f M=sin 2X+A COS2X=2sin2x+yj,x e R,二.7=千 27r=%，即 函 数 x）的 最 小 正 周 期 为 力.解：在 区 间 O.y 上，2x+e y,-y-,一 3 1-2 J x）=2sin（2x+3-2,二 x）的 最 大 值 为 2,/*）的 最 小 值 为-g.23.（本 小 题 满 分 8 分）如 图，在 三 棱 锥 PA 8 C 中，PC _L底 面 ABC,ABLBC,D,E 分 别 是 AB,P B
17、的 中 点.求 证：E7/平 面 PAC；求 证：A B 1 P BP【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）证 明 见 解 析.(1).点、E 分 别 是 棱 AB、的 中 点，DE/PA,又,平 面 PAC,E 4 u 平 面 P A C；QE/平 面 PAC.(2)/PC J底 面 ABC,ABt 底 面 A8C,PC LAB,AB1BC,PC cB C=C,P C B C u 平 面 P8C,A3_L 平 面 PBC,又；P B u 平 面 ABYPB.24.(本 小 题 满 分 8 分)某 学 校 1000名 学 生 在 一 次 百 米 测 试 中，成 绩 全 部 介 于 13秒
18、与 18秒 之 间，抽 取 其 中 50个 样 本，将 测 试 结 果 按 如 下 方 式 分 成 五 组：第 一 组 口 3,14),第 二 组 14,15),.第 五 组 17,18,右 图 是 按 上 述 分 组 方 法 得 到 的 频 率 分 布 直 方 图.请 估 计 学 校 1000名 学 生 中，成 绩 在 第 二 组 和 第 三 组 的 人 数；请 根 据 频 率 分 布 直 方 图，求 样 本 数 据 的 平 均 数 和 中 位 数(所 有 结 果 均 保 留 两 位 小 数).【答 案】540；(2)平 均 数 15.70：中 位 数 15.74.成 绩 在 第 二 组 和
19、 第 三 组 的 频 率 0.16+0.38=0.54,所 以 学 校 1000名 学 生 中 成 绩 在 第 二 组 和 第 三 组 的 人 数：1000 x 0.54=540.(2)样 本 数 据 的 平 均 数：%=13.5x0.06+14.5x0.16+15.5x0.38+16.5x0.32+17.5x0.08=15.70，中 位 数:第 一 二 组 的 频 率 为 lx0.06+lx0.16=0.220.5,所 以 中 位 数 一 定 落 在 第 三 组，299设 中 位 数 为 X,Plilx0.06+lx0.16+(x-15)x0.38=0.5,解 得 x=上。15.74.25.
20、(本 小 题 满 分 10分)已 知 函 数/(x)是 R 上 的 奇 函 数，当 x N O 时，/(X)=2X2+X.当 x 0 时，求/&)解 析 式；(2)若/(1-。)+/(2。+1)0,求 实 数。的 取 值 范 围.【答 案】幻=-2/+(2)(9,-2)因 为 函 数 f(x)是 R 上 的 奇 函 数，当 x N O 时,f M=2x2+x,所 以 当 x 0,所 以/(-*)=2(-x)?+(-x)=2x?-x,因 为 f(x)=-/()，所 以/(*)=-2/+彳，故 当 x0)由(1)知，仆)=_2八；(1)当 2 0 时,f(x)=2x2+x,易 知 此 时 函 数 单 调 递 增，由 奇 函 数 性 质 得,当 x 0 时，f(x)也 单 调 递 增，所 以 函 数 是/?上 的 增 函 数，因 为 f(l_q)+/(2a+l)0,所 以/(l_q)_/(2a+l)=/(_2a_l),即 f(1-a)/(-2a-1),又 因 为 函 数/(x)是 R 上 的 增 函 数，所 以-加 一 1,解 得 a-2.故 实 数。的 取 值 范 围 为：(一 2).