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1、2022年6月湖北省普通高中学业水平合格性模拟考试数学试题一、单选题1.已知复数z满足z(l-i)=3-i,则|z|=()A.73 B.y/5 C.25/2 D.回【答案】B【分析】根据复数代数形式的除法法则化简复数z,再根据复数模的计算公式计算可得;【详解】解：因为 z(l i)=3 i,所以 z=乎=3+；L=2+i,l-i+2所以忖=+12=5；故选：B2.设集合人=即082(%+1)2,集合8=也 2-3%-1 0 0,则 A c B=()A.|x|-2 x3 C.乂-2%5 D.x3x 2,由合log2(x+l)2,解得X3,所以 A=x|x3,又因为 B=#-3 尤-100,由解得
2、-2 X5,所以8=|-2*3 C 刘-2 a 5=R3 a 5.故选：D.3.己知平面向量)=(2,1),囚=(3 x,x+l),若1.人 则x 的 值 为()113 2A.B.-C.-D.-3 5 2 5【答案】B【分析】依题意可得7B =o,根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】解：因为。=(-2,1),b=(3x,x+1)S.ab,所以，B=-2X（3X）+1X（X+1）=0,解得 X =g；故选：B4.某校高一（6）班有男生3 0 人，女生2 0 人，现采用分层随机抽样的方法从该班级抽取 1 0 人参加“楚天杯”有奖知识竞答，且 这 1 0 人中要选取2人担任领队，则 2名
3、领队中至少有1 名男生的概率为（）7 c 4 1 3A.B.-C.D.1 5 5 1 5 1 0【答案】c【分析】先按照分层抽样的原理求出男生和女生的人数，再计算领队全为女生的概率，再根据对立事件求解即可.【详解】根据分层抽样原理，男生人数为2 x 1 0 =6,女生人数为4,领 队 全 为 女 生 的 概 率 尸=寻=祗，”至少有1 名男生”与“全为女生”是对立事件,至少有1 名男生的概率为q=1=1，故选：C.5.下列函数的图象关于y 轴对称的是（）AA./r z（%）x =-e-+2e-BD.f.（.x.）=-e -evx2C./（x）=ln（f+2 x）D.=【答案】A【分析】根据偶函
4、数的定义判断即可；【详解】解：对于A：/（幻=士 匚 定 义 域 为|刀 片 0 ,所以厂e-*+e*ev+e-t（-X）X故/（*）=二为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故A正确；厂对于B：/。）=与 定 义 域 为 区，目./（一 ）=三 二=一 萨 =-/（），故/（幻=匚”为奇函数，函数图象关于原点对称，故 B错误；对于C：/。）=1!1 2 +2%）定义域为（3,-2）口（0,y）,定义域不关于原点对称,故函数/（幻=1 1 1 3+2%）是非奇非偶函数，故 C错误;rI 1对于D：/(x)=一 定 义 域 为 x lx w l,定义域不关于原点对称，X 1Y 4-1故函数/(%)=
5、是非奇非偶函数，故 D 错误；故选：A6.已知正实数x、y 满足x+2y=2,则2 的取值可能为()x yA.1 B.H C.32 3 5【答案】D【分析】利用基本不等式求得，+2 的最小值判断.【详解】解：因为正实数x、y 满足x+2y=2,所以一1 +_2 =二if|_1 +_2 .、l fc 2y 2x(x+2y)=-5+-+一x V 21x y)2 x y)2%x匕9当且仅当“2 v=一2x，即x=丫=o;时，等号成立,x y 3故选：D5+2,7.在正三棱柱48C A B C 中,AA=2AB=2,点M 为棱CG的中点，则异面直线AB与 A”所成角的余弦值为()A.B.C.5 3 4
6、【答案】CDT【分析】作出异面直线AB与A M 所成角，利用余弦定理求得该角的余弦值.【详解】根据正三棱柱的性质可知AB/A4，所 以 是 异 面 直 线 AB与A”所成角，设N4AM=a,在三角形A g M 中，4 4 =1，4 =4 =血，由余弦定理得cos a =.2xlxV2 4故选：C8.设。、Z?eR,记 P：a-b 0,4：In a In Z?,则。是 4 的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：当。0/0时，ln n无意义，故不充分；当lna时，因为y=lnx在（0,+ao
7、）上递增，则a ,即。一6 0),/(l)=e-5 0,所以函数的零点在(1,2)内，又因为心=”一6=后-底 后 一 底=后-底 0,所以函数的零点在(T，2)内.故选：C.1 1.已知 tan8 =2,贝!J sin 凶 一 cos 2。的 值 为()A.-B.-C.-4 3 5【答案】D【分析】利用同角关系计算即可.【详解】tan 0=Sn=-2,/.sin0 =-2 cos,sin2 0 +cos2 0=l,cos2 0 =cos，5sin2 一 cos2 =2 sin，cos，一（2COS?=-6 cos2 0 +1 =-1；故选：D.1 2.在矩形A B C D 中，点 E为边A。
8、的中点，点加为对角线AC上一点，且 A M=2 M C,记 AE=p,C D =q,则 A M =()4 一 2 4 2 4 2 4 2 A.p q B.p+q C.p q D.p+-q3 3 3 3 3 3 3 3【答案】c【分析】作图，根据图中的几何关系，将 通，而 作为基底即可.【详解】如图：故选：c.1 3.某高校数学与应用数学专业计划招收190名本科新生，现 有 1000名考生达到该校最低录取分数线且均填报了该校数学与应用数学专业，该高校对这1000名考生组织了一次数学学科能力测试（满 分 100分），按成绩由高到低择优录取，并绘制了考试成绩的频率分布直方图，据此可以估计该校数学与应
9、用数学专业的最低录取分数线为（）频率A.86 分 B.87 分 C.88 分 D.90 分【答案】B【分析】根据录取率为0.1 9,利用频率分布直方图求解.【详解】解：设该校数学与应用数学专业的最低录取分数线为X,由题意得（90-X）X0.03+0.01X10=0.19,解得x=87,故选：B1 4.现有甲、乙两个不透明的盒子，里面均装有大小、质地一样的红球和白球各1个，从两个盒子各取出1 个球，记事件A 为“从甲盒子中取出红球”，记事件B为“从乙盒子中取出红球“，记事件C 为“从两个盒子中取出的球颜色相同”.下列说法正确的是（）A.A与B,A 与C 均相互独立 B.A 与5 相互独立，A 与
10、C 互斥C.A 与5,A 与C 均互斥 D.A与B互斥,A 与C 相互独立【答案】A【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概念判断即可；【详解】解：因为事件A 为“从甲盒子中取出红球”，事件8 为“从乙盒子中取出红球”，所以事件A 与5 相互独立，且 P（A）=g,P（B）=g,事件A与事件B可以同时发生，故事件A 与事件8 不互斥，又 P（C）=H+1期刊今所以 P(A C)=；x；=；，即尸(A C)=P(A).P(C),所以事件A与事件C相互独立，故选：A15 .将函数/(x)=s i n(2 x+9)(M|的图像向右平移?个单位长度后得到的函数图像关于y轴对称，则实数夕的值为()兀c 乃
11、 C 冗 r 兀A.-B.-C.D.-3 4 12 6【答案】D【分析】根据给定条件，求出平移后的解析式，再利用正余弦函数的性质列式作答即可.【详解】依题意，平移后所得图象对应的函数解析式是：T T 24/(x)=s i n 2(x-y)+=s i n 2 x+(夕-),因函数/(x)的图象关于y轴对称，即函数/(x)是偶函数，因 止 匕，(P =kjr ,k e Z,即9=+工 ，&e Z,而|夕|0 1【详解】对于A,/(x l n x+1,x=,/,八，当 时 是 增、,、7 1 7 I -l n(x+l),-l x 0 2函数;对于B,/(*)=早2?5=1+总-4，由反比例函数的性质
12、可知，当 时 是1增 函 数;对于 c,7(x)=|er-2|,由于 1 0/v【详解】“X的定义域为：“八，.“0 /x)=log,(-x+2)-log2(x+4)=-log2(-x+2)-log2(x+4)2=-log2(-x?-2x+8)；对于A,错误；对于 B,/(x-l)=-log2(-x+3)-log2(x+3),/(-x-l)=-log2(x+3)-log2(-x+3)=/(x-l)是偶函数，正确；对于C,x=2不在定义域内，错误;对于D,二次函数y =-V-2 尤+8的对称轴是广-1,A f(x)是关于广-1对称的，正确；故选：B D.三、填空题19.函数y =2 s i n
13、(2 x-W)的 单 调 递 减 区 间 为.【答案】k?i A-,kjr T-,ksZL 12 12 J【分析】由题意利用正弦函数的单调性，求得该函数的单调减区间.T T【详解】对于函数y =2 s i n(2 x-),令 2 k 乃+5弱2 k 万+：,k w Z、求得幺乃+包领k +12 12可得它的单调递减区间为枕兀+普，加+答 ，keZ,故答案为k兀+五，左兀k&Z.【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2 0.在三棱锥P-A3C 中，侧棱巴、PB、PC 两两垂直，2 4 =2,PB=6 P C =3,则 该 三 棱 锥 的 外 接
14、球 的 表 面 积 为.【答案】1 6 兀【分析】将三棱锥P-A B C 补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积.【详解】将三棱锥P-A B C 补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R,则 4/?2=(2/?)2=PA2+PB-+P C1=22+(6产 +32=1 6,所以球的表面积为5 =4 兀/?2 =1 6 兀.故选答案为：1 6 兀.B2 1 .已知平面内两个向量z =（2 k,i）,TO,若 与B的夹角为钝角，则实数左的取值范围是.【答案】（e,-l）U（T,（）【分析】当两向量的夹角是钝角时，其数量积
15、是负数，但必须排除两向量反向（夹角为1 8 0 ）.【详解】由题意，=2 +|0,.0 ,竺 当 花 反 向时，有1 k 1则 必 须|机 ，即 1 4,”4 ,2I 2由于m/e l,2,3,4,5,6,数对（根,）共有3 6对，即基本事件为3 6,满足机4,w4 的有（5,5）,（5,6）,（6,5）,（6,6）4 种，.二?4,”4 的概率为之=?；36 9故答案为：.四、解答题23.已知平面向量 =（2cos6,g-sin可，5=（&in ,2）,记函数/（6）=2+加.若/图=6-1,求?的值；（2）求函数/（。）的对称轴方程、单调递减区间和最小值.【答案】-1（2）对称轴为e=,单
16、调递减区间为（觊，氏+-2+m2万（A eZ）,最小值为【分析】（i）根据数量积坐标运算法则计算出/（。）的解析式，将。=?代入即可;（2）用整体代入法直接对/（。）分析即可.【详解】2石=2百 sinecose+2(；-s in*)=6 sin 2 e +cos2e=2sin(2e+?),2/=2sin(26+方+m,将 5代入/712sin71 7t2 6+m=6-l ,/w=-l；由于 e)=2sin(2e+?+m,对称轴为26+巧=6乃+卜，6=3 万+卜（左 2）,7T当 261+工 e 2k7r+-,2 k+6 I 237r时，单调递减,单调递减区间为版+7,而+综上，%-1,对称
17、轴为6=271（ZwZ）,最小值为2+m；4+一2 6（hZ）,单调递减区间为,乃+*腐+笄22k(e Z),最小值为-2+m.24.在四棱锥P ABC。中，底面A3CO为矩形，PA=PB,平面平面A8CO,点M 为以 中点.(1)证明：AB 1 P M ;(2)若上4=A=2/W,四棱锥P-M S的 体 积 为 巫，求直线PC与平面ABC。所成3角的余弦值.【答案】(1)证明见解析 叵8【分析】(1)取AB的中点。，连接OP、O M ,即可得到ABLPO、O M 1 A B,从而得 到 平 面POM，即可得证；(2)令AB=a,即可求出S.4BCO，P 0,再根据面面垂直的性质得到P。J平面
18、ABC。，连接0 C,可得ZPC。即为直线PC与平面A3CD所成角，根据锥体的体积公式求出。，即可求出cos N PC O,从而得解：【详解】(1)证明：取AB的中点0,连接OP、O M ,因为 PA=P B,所以在矩形ABC。中，点 为CO中点，所以OM 3 C,所以。又 POnOM=。，PO,OMu 平面 PON,所 以 他_L平面P O M,尸A/u平面P O M,所以ABLPM；(2)解：令 则 PA=4)=2AB=2a,所以 S,BCD=2a,，P 0=yJpA-OA2=叵，2因为A3 J,尸。，平面PAB _L平面A B C D,平面抬B e平面A B C D =A B,POcz平
19、面P A B,所以POL平面48C3,所 以 匕 =解得a=l,所以尸。=巫r nDU 3/1 D C Z 7 3 2 3 2连接0 C,因为POJ_平面ABC。，所以“C。即为直线PC与平面ABC。所成角，又OC=J o l +BC?=乎,所 以 尸CnJPC+OC?=2 0，叵在RtZVOC中，o c F 庖，即直线尸C与平面A8CO所成角的余弦C O S Z_r CC/=-z=-PC 2 0 8值 为 叵；82 5.已知函数/（司=*+、+9.（1）用定义法证明：函数/（X）在区间（0,+8）上单调递增；判断函数“X）在（-8,0）上的零点个数（不需要证明）.【答案】（1）证明见解析（2
20、）1 个【分析】（1）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；依 题 意 可 得/（x）=x（e+x）,令g（x）=e*+x,0）,利用函数的单调性及特殊点的函数值判断即可；【详解】证明：设VA,9 e（0,+oo）,且为七，则/（王）-/（）=祁 斗+野 一 书收一2=e&（x（e*L&-&）+（玉一 七）（七+七）因为0用，所以占-工2。，+0,所以el+X2 e.所以入户%,所以-电%0,所以+不卜声-2 )(),(与一天)(司+吃)，所以e +f (工声曰一)+(4一看)(芭+工2)0,B P/(X,)-/(X2)0,所以函数f(x)在区间(0,转)上单调递增；(2)解：因为/(x)=x e *+f =x(e *+x),XW(Y,O),令g(x)=”+x,X (-o),因为y =e-与y =x在(田,0)上单调递增,所以g(x)=e +x在(P,0)上单调递增，又g(O)=e,g(-l)=el-1-l =O,所以当 x -l 时g(x)0,当一l x 0,所以当x 0,当-l x 0时x)0,/(-1)=0,所以/(x)在(-。,0)上有且仅有1个零点；