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1、2021-2022高 考 数 学 模 拟 试 卷 请 考 生 注 意：1.请 用 2B铅 笔 将 选 择 题 答 案 涂 填 在 答 题 纸 相 应 位 置 上，请 用 0.5 毫 米 及 以 上 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 主 观 题 的 答 案 写 在 答 题 纸 相 应 的 答 题 区 内。写 在 试 题 卷、草 稿 纸 上 均 无 效。2.答 题 前，认 真 阅 读 答 题 纸 上 的 注 意 事 项，按 规 定 答 题。一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合
2、 题 目 要 求 的。1.已 知 函 数/(x)=g 奴 若 对 区 间 0,1内 的 任 意 实 数 斗、&、x3,都 有/(西)+/口 2)27(%)，则 实 数。的 取 值 范 围 是()A.1,2 B.e,4 C.1,4 D.l,2)ue,4PF2.抛 物 线 丁=4工 的 焦 点 为 R 点 P(x,y)为 该 抛 物 线 上 的 动 点，若 点 A(-l,0),则 的 最 小 值 为()PAA.1 B.也 C D.还 2 2 2 33.已 知 等 式(1-口+%2)3.(1-2炉)4=%+%+的 L+4 4/成 立，则+。4+%4=()A.()B.5 C.7 D.134.已 知 椭
3、 圆。：,+丁=1内 有 一 条 以 点 A.3x3y 2=0 B.为 中 点 的 弦 A B，则 直 线 A B 的 方 程 为(3x 3y+2=0)C.3x+3y 4=0 D.3x+3y+4=05.已 知 S,为 等 比 数 列 为 的 前 项 和，%=16,。3。4=-32,则 S s=()A.-21 B-24 C.85 D.-856.已 知 双 曲 线 二 一 1=1(tz0,6 0)的 左、右 顶 点 分 别 为 4，4,虚 轴 的 两 个 端 点 分 别 为 耳，B2,若 四 边 a b形 4 A 4 层 的 内 切 圆 面 积 为 18万，则 双 曲 线 焦 距 的 最 小 值
4、为()A.8 B.16 C.6夜 D.1272(x-l)zrs sin-,1%37.已 知 函 数 2,2/(x-2),3x100大 值 为 优 也,?也，则(+)的 值 为(/=1若 函 数/(X)的 极 大 值 点 从 小 到 大 依 次 记 为;4?%，并 记 相 应 的 极)A.250+2449 B.250+2549 C.249+2449 D.249+25498.已 知 双 曲 线 C：0-g=l与 双 曲 线 炉=1没 有 公 共 点，则 双 曲 线 q 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是（）A.（1,6 B.G,+）C.（1,75 D.6,+）9.执 行 如 图 所 示 的 程
5、 序 框 图，则 输 出 的 S 的 值 是（）/输 出$/A.8 B.32 C.64 D.12810.设 a,/是 方 程/一%一 1=0 的 两 个 不 等 实 数 根，记 a“=a+/T（e N*）下 列 两 个 命 题（）数 列 4 的 任 意 一 项 都 是 正 整 数;数 列 4 存 在 某 一 项 是 5 的 倍 数.1 1.若 复 数 z满 足 忸=1,则|z-i|（其 中 i为 虚 数 单 位）的 最 大 值 为（）A.正 确，错 误 B.错 误，正 确 C.都 正 确 D.都 错 误 A.1 B.2 C.3 D.41 2.复 数 三=三（i为 虚 数 单 位），则 忖 等
6、于（）A.3 B.2y/2C.2 D.V2二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分。13.已 知 三 棱 锥 P-A B C 的 四 个 顶 点 都 在 球。的 球 面 上，PA=PB=PC,A B=2,B C，AC=3,E,3分 别 为 A C,P B的 中 点，E F=-,则 球。的 体 积 为 _.22 414.直 线 LX+融 一 2=。（根 0,0）过 圆 C：f+y 2-2工 一 2y一 1 二 0 的 圆 心，则 一+一 的 最 小 值 是.m n15.一 个 房 间 的 地 面 是 由 12个 正 方 形 所 组 成，如 图 所 示.今 想 用 长
7、方 形 瓷 砖 铺 满 地 面，已 知 每 一 块 长 方 形 瓷 砖 可 以 覆 盖 两 块 相 邻 的 正 方 形，即 或，则 用 6 块 瓷 砖 铺 满 房 间 地 面 的 方 法 有 种.该 圆 的 标 准 方 程 为.三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.（12分）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，直 线/的 参 数 方 程 为 J _（f为 参 数），直 线/与 曲 线 C:（x-1）一+丁 2=1 交 于 A 8 两 点.求|A目 的 长；在 以。为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 的 极
8、坐 标 系 中，设 点 的 极 坐 标 为（20，手），求 点 P到 线 段 A 6 中 点”的 距 离.18.（12分）已 知 椭 圆 C：三+*_=1.。0）的 左、右 焦 点 分 别 为 耳，F2,焦 距 为 2,且 经 过 点 了（一 1,一 斜 率 为 攵（左 0）的 直 线 经 过 点 M（0,2）,与 椭 圆 C 交 于 G,H 两 点.（1）求 椭 圆。的 方 程；（2）在 x 轴 上 是 否 存 在 点 P（，,0）,使 得 以 PG,P”为 邻 边 的 平 行 四 边 形 是 菱 形？如 果 存 在，求 出 机 的 取 值 范 围，如 果 不 存 在，请 说 明 理 由.3
9、19.（12 分）如 图，在 四 边 形 中，Z D=2ZB,A D=2 D C=4,sinZB=-4（1）求 A C 的 长；（2）若 AABC的 面 积 为 6,求 sin N C钻-sin N A C B的 值.20.（1 2分）某 市 调 研 机 构 对 该 市 工 薪 阶 层 对“楼 市 限 购 令”态 度 进 行 调 查，抽 调 了 5 0名 市 民，他 们 月 收 入 频 数 分 布 表 和 对“楼 市 限 购 令”赞 成 人 数 如 下 表：月 收 入（单 位：百 元）15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)频 数 5C10 5 5频 率 0.1
10、ab 0.2 0.1 0.1赞 成 人 数 4 8 12 5 2 1（1）若 所 抽 调 的 5 0名 市 民 中，收 入 在 35,45）的 有 1 5名，求。，b,C的 值，并 完 成 频 率 分 布 直 方 图.（2）若 从 收 入（单 位：百 元）在 5 5,65）的 被 调 查 者 中 随 机 选 取 2 人 进 行 追 踪 调 查，选 中 的 2 人 中 恰 有 X 人 赞 成“楼 市 限 购 令”，求 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望.（3）从 月 收 入 频 率 分 布 表 的 6 组 市 民 中 分 别 随 机 抽 取 3 名 市 民，恰 有 一 组 的 3 名 市 民
11、 都 不 赞 成“楼 市 限 购 令”，根 据 表 格 数 据，判 断 这 3 名 市 民 来 自 哪 组 的 可 能 性 最 大？请 直 接 写 出 你 的 判 断 结 果.21.（1 2分）武 汉 有“九 省 通 衢”之 称，也 称 为“江 城”，是 国 家 历 史 文 化 名 城.其 中 著 名 的 景 点 有 黄 鹤 楼、户 部 巷、东 湖 风 景 区 等 等.（1）为 了 解“五 一 劳 动 节 当 日 江 城 某 旅 游 景 点 游 客 年 龄 的 分 布 情 况,从 年 龄 在 22岁 到 5 2岁 的 游 客 中 随 机 抽 取 了 1000人，制 成 了 如 图 的 频 率
12、分 布 直 方 图：现 从 年 龄 在 4 2,5 2 内 的 游 客 中，采 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 10人，再 从 抽 取 的 1 0人 中 随 机 抽 取 4 人，记 4 人 中 年 龄 在 47,5 2 内 的 人 数 为 a 求 P 传=3）；（2）为 了 给 游 客 提 供 更 舒 适 的 旅 游 体 验，该 旅 游 景 点 游 船 中 心 计 划 在 2020年 劳 动 节 当 日 投 入 至 少 1艘 至 多 3 艘 A 型 游 船 供 游 客 乘 坐 观 光.由 2010到 2019这 10年 间 的 数 据 资 料 显 示 每 年 劳 动 节 当 日 客 流
13、 量 X（单 位：万 人）都 大 于 1.将 每 年 劳 动 节 当 日 客 流 量 数 据 分 成 3 个 区 间 整 理 得 表：劳 动 节 当 日 客 流 量 X 1 X 3 3 X 5频 数（年）2 4 4以 这 10年 的 数 据 资 料 记 录 的 3 个 区 间 客 流 量 的 频 率 作 为 每 年 客 流 量 在 该 区 间 段 发 生 的 概 率，且 每 年 劳 动 节 当 日 客 流 量 相 互 独 立.该 游 船 中 心 希 望 投 入 的 A 型 游 船 尽 可 能 被 充 分 利 用，但 每 年 劳 动 节 当 日 A 型 游 船 最 多 使 用 量（单 位：艘）要
14、 受 当 日 客 流 量 X（单 位：万 人）的 影 响，其 关 联 关 系 如 下 表：劳 动 节 当 日 客 流 量 X 1 X 3 3 X 5A型 游 船 最 多 使 用 量 1 2 3若 某 艘 A 型 游 船 在 劳 动 节 当 日 被 投 入 且 被 使 用，则 游 船 中 心 当 日 可 获 得 利 润 3 万 元；若 某 艘 A 型 游 船 劳 动 节 当 日 被 投 人 却 不 被 使 用，则 游 船 中 心 当 日 亏 损 0.5万 元.记 丫（单 位：万 元）表 示 该 游 船 中 心 在 劳 动 节 当 日 获 得 的 总 利 润，V的 数 学 期 望 越 大 游 船
15、中 心 在 劳 动 节 当 日 获 得 的 总 利 润 越 大，问 该 游 船 中 心 在 2020年 劳 动 节 当 日 应 投 入 多 少 艘 A 型 游 船 才 能 使 其 当 日 获 得 的 总 利 润 最 大？22.（1 0分）已 知 椭 圆 C：三+/=1（。人。）的 离 心 率 为 坐，且 椭 圆 C 的 一 个 焦 点 与 抛 物 线 V=4百 x 的 焦 点 重 合.过 点 E（LO）的 直 线/交 椭 圆。于 N（%,%）两 点，。为 坐 标 原 点.（1）若 直 线/过 椭 圆 C 的 上 顶 点，求 A M O N的 面 积；（2）若 A,8 分 别 为 椭 圆 C 的
16、 左、右 顶 点，直 线 AM,NB,MB的 斜 率 分 别 为 勺，k2,&，求%（仁+&）的 值.参 考 答 案 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.C【解 析】分 析：先 求 导，再 对 a 分 类 讨 论 求 函 数 的 单 调 区 间，再 画 图 分 析 转 化 对 区 间 0,1 内 的 任 意 实 数 占、3,都 有%)+/()之/(七)，得 到 关 于 a 的 不 等 式 组，再 解 不 等 式 组 得 到 实 数 a 的 取 值 范 围.详
17、解：由 题 得 fr(x)=ax-ex+(x-l)eA=ax-xex=x(aex).当 a l 时，/(x)0,所 以 函 数 f(x)在 0,1 单 调 递 减，因 为 对 区 间 0,1 内 的 任 意 实 数 玉、毛，都 有/(玉)+/()之 一(七)，所 以/+/2/(0)，所 以 L a+aNl,2 2故 史 1,与 a V l 矛 盾，故 a V l 矛 盾.当 lWae时，函 数 f(x)在 0,lna 单 调 递 增，在(Ina,1 单 调 递 减.1 2所 以 f(x)niax=/(ln)=aln-a-aln+a,因 为 对 区 间 0 内 的 任 意 实 数 X、4 X3,
18、都 有/(%)+/(与)2/(七)，所 以 f(O)+f(l)2f(lna),1 1 2所 以 l+a 2 alnQ-Qlna+Q,2 21 2 1即 一 c?ln-Q-41n+一。-1 40A 1 2 1g(d)=an a-a n a a-1,(1 a e)9所 以 g(a)=g(ln2q-1)0,所 以 函 数 g(a)在(1,e)上 单 调 递 减,所 以 g（a）m”=g 6=-，所 以 当 lwae时，满 足 题 意.当 aNe时，函 数 f（x）在（0,1）单 调 递 增，因 为 对 区 间 0,1 内 的 任 意 实 数 西、毛，都 有/（玉）+/（）之/（七），所 以/（0）+
19、/（0）之/（1）,故 1+1N a,2所 以 4.故 e4。W 4.综 上 所 述，aG 1,4.故 选 C.点 睛：本 题 的 难 点 在 于“对 区 间 0,1 内 的 任 意 实 数 内、/、毛，都 有/（百）+/（工 2）2/（七）的 转 化 曲 于 是 函 数 的 问 题，所 以 我 们 要 联 想 到 利 用 函 数 的 性 质（单 调 性、奇 偶 性、周 期 性、对 称 性、最 值、极 值 等）来 分 析 解 答 问 题.本 题 就 是 把 这 个 条 件 和 函 数 的 单 调 性 和 最 值 联 系 起 来，完 成 了 数 学 问 题 的 等 价 转 化，找 到 了 问 题
20、 的 突 破 口.2.B【解 析】PF通 过 抛 物 线 的 定 义，转 化 P F=P N,要 使 片 3 有 最 小 值，只 需 N A P N 最 大 即 可，作 出 切 线 方 程 即 可 求 出 比 值 的 最 IPAI小 值.【详 解】解：由 题 意 可 知，抛 物 线 y2=4x的 准 线 方 程 为=-1,A（-l,0）,过 P 作 P N 垂 直 直 线 x=l于 N,由 抛 物 线 的 定 义 可 知 PF=P/V,连 结 Q 4,当 Q 4 是 抛 物 线 的 切 线 时，有 最 小 值，则 N A P N 最 大，即 N P A E 最|PA|大，就 是 直 线 Q 4
21、 的 斜 率 最 大,设 在 外 的 方 程 为：y=k（x+）,所 以 y 二 女（工+1）y1=4x解 得：42f+（2 F 一 4）%+攵 2=0,所 以 A=(2&2-4)2-4/=0,解 得=i,所 以 Z7VPA=45,I SPAcos ZNPA=2故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 抛 物 线 的 基 本 性 质，直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系，转 化 思 想 的 应 用，属 于 基 础 题.3.D【解 析】根 据 等 式 和 特 征 和 所 求 代 数 式 的 值 的 特 征 用 特 殊 值 法 进 行 求 解 即 可.【详 解】由(1 x+X?)(1 2x)4
22、a。+ct-,x+,+可 知:令 x=0,得 1=%=%=1；令 x=,得 1=4+q+2-1-+a4 H-l-al4=14,而 a()=l,所 以 生+/+%4=1 3.故 选：D【点 睛】本 题 考 查 了 二 项 式 定 理 的 应 用，考 查 了 特 殊 值 代 入 法，考 查 了 数 学 运 算 能 力.4.C【解 析】Y 2 Y 2 2 2设 A（%,y）,3（w，%），则 上+短=1，t+为 2=1，相 减 得 到 大+大 左=0,解 得 答 案.3 3 3 3【详 解】2 2设 A&y）,B（x2M，设 直 线 斜 率 为 3 则 工+城=1,今+%2=1,相 减 得 到：（九
23、 一 二!一+尤 2）+（、+yJ（y _%）=o，A B 的 中 点 为 2 2 4即 一+k=0,故 攵=一 1,直 线 A 8 的 方 程 为：y=尤+一.3 3 3故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 了 椭 圆 内 点 差 法 求 直 线 方 程，意 在 考 查 学 生 的 计 算 能 力 和 应 用 能 力.5.D【解 析】由 等 比 数 列 的 性 质 求 得 G d=i6,a，Y=-3 2,通 过 解 该 方 程 求 得 它 们 的 值，求 首 项 和 公 比，根 据 等 比 数 列 的 前 项 和 公 式 解 答 即 可.【详 解】设 等 比 数 列%的 公 比 为 q,*/
24、5=1 6,。3 4=-32,/.ai4=1 6,a2q5=-32,:q=-2,则 4=1,则 以=为 丁-8 5,故 选：D.【点 睛】本 题 主 要 考 查 等 比 数 列 的 前 项 和，根 据 等 比 数 列 建 立 条 件 关 系 求 出 公 比 是 解 决 本 题 的 关 键，属 于 基 础 题.6.D【解 析】根 据 题 意 画 出 几 何 关 系，由 四 边 形 AB14B2的 内 切 圆 面 积 求 得 半 径，结 合 四 边 形 4 4 A 2与 面 积 关 系 求 得 c与 出?等 量 关 系，再 根 据 基 本 不 等 式 求 得，的 取 值 范 围，即 可 确 定 双
25、 曲 线 焦 距 的 最 小 值.【详 解】根 据 题 意，画 出 几 何 关 系 如 下 图 所 示:B,设 四 边 形 A 与 的 内 切 圆 半 径 为 r,双 曲 线 半 焦 距 为 c,贝！=/?,所 以 也 闻=A/屋+庐=c，四 边 形 4 与 4 岛 的 内 切 圆 面 积 为 18万，则 18%=/，解 得|0C|=r=3近,典 I S四 边 形 危 约=；必 阕 忸 闻=4x；M 闻.|0C|,即,2a-20=4xL-c-3收 2 2cT+b2故 由 基 本 不 等 式 可 得 二=a j 2 _ c?,即 cZ6拒，一 30 一 3 0 一 6&当 且 仅 当 a=人 时
26、 等 号 成 立.故 焦 距 的 最 小 值 为 12&.故 选：D【点 睛】本 题 考 查 了 双 曲 线 的 定 义 及 其 性 质 的 简 单 应 用，圆 锥 曲 线 与 基 本 不 等 式 综 合 应 用，属 于 中 档 题.7.C【解 析】对 此 分 段 函 数 的 第 一 部 分 进 行 求 导 分 析 可 知，当 x=2时 有 极 大 值/(2)=1,而 后 一 部 分 是 前 一 部 分 的 定 义 域 的 循 环,而 值 域 则 是 每 一 次 前 面 两 个 单 位 长 度 定 义 域 的 值 域 的 2倍，故 此 得 到 极 大 值 点 见 的 通 项 公 式 4=2，且
27、 相 应 极 大 值hn=r,分 组 求 和 即 得【详 解】.x 71 7VX 71当 时，/(x)=-cosl-显 然 当 x=2时 有，/(幻=0,.经 单 调 性 分 析 知 x=2为/(x)的 第 一 个 极 值 点 又 3 x=6,x=8,，均 为 其 极 值 点,/函 数 不 能 在 端 点 处 取 得 极 值 an=2n,1 n neZ.对 应 极 值=2i,ln49+以 2%=22449z=i 2 1-2故 选：C【点 睛】本 题 考 查 基 本 函 数 极 值 的 求 解，从 函 数 表 达 式 中 抽 离 出 相 应 的 等 差 数 列 和 等 比 数 列，最 后 分 组
28、 求 和，要 求 学 生 对 数 列 和 函 数 的 熟 悉 程 度 高，为 中 档 题 8.C【解 析】先 求 得 的 渐 近 线 方 程，根 据 G，C2没 有 公 共 点，判 断 出 G 渐 近 线 斜 率 的 取 值 范 围，由 此 求 得 C 离 心 率 的 取 值 范 围.【详 解】2 2 2 2双 曲 线。2：3-犬=1的 渐 近 线 方 程 为 三 口，由 于 双 曲 线 0-方=1与 双 曲 线 没 有 公 共 点，所 以 双 曲 线 G 的 渐 近 线 的 斜 率 2,所 以 双 曲 线 G 的 离 心 率 a故 选：C【点 睛】本 小 题 主 要 考 查 双 曲 线 的
29、渐 近 线，考 查 双 曲 线 离 心 率 的 取 值 范 围 的 求 法，属 于 基 础 题.9.C【解 析】根 据 给 定 的 程 序 框 图，逐 次 计 算，结 合 判 断 条 件，即 可 求 解.【详 解】由 题 意，执 行 上 述 程 序 框 图，可 得 第 1次 循 环，满 足 判 断 条 件，S=l#=l；第 2次 循 环，满 足 判 断 条 件，s=2,=2；第 3次 循 环，满 足 判 断 条 件，S=8,攵=3；第 4次 循 环，满 足 判 断 条 件，S=64欢=4；不 满 足 判 断 条 件，输 出 S=64.故 选：C.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 循 环 结
30、 构 的 程 序 框 图 的 计 算 与 输 出，其 中 解 答 中 认 真 审 题，逐 次 计 算，结 合 判 断 条 件 求 解 是 解 答 的 关 键，着 重 考 查 了 推 理 与 运 算 能 力，属 于 基 础 题.10.A【解 析】利 用 韦 达 定 理 可 得 a+4=1,a尸=-1,结 合 an=a”+夕 可 推 出 生 用=an+a,一 再 计 算 出=1=3，从 而 推 出 正 确;再 利 用 递 推 公 式 依 次 计 算 数 列 中 的 各 项,以 此 判 断 的 正 误.【详 解】因 为 a,/是 方 程 f _ 1=o 的 两 个 不 等 实 数 根，所 以 a+夕
31、=l,a尸=-1,因 为 a=a+/T,所 以 凡+1=。向+夕 加=(+夕)a+(a+J3)J3-pna-an ft=(a+夕)(a+f3)-a/3(an-+0=(a+)+(a”T+QR)=%+%,即 当 2 3 时，数 列%中 的 任 一 项 都 等 于 其 前 两 项 之 和，又 4-a+/3,a2=a2+01=（a+4 2 3=3,所 以“3=%+。=4,%=%+。2=7,“5=%+%=1 1，以 此 类 推，即 可 知 数 列 为 的 任 意 一 项 都 是 正 整 数，故 正 确；若 数 列 4 存 在 某 一 项 是 5 的 倍 数，则 此 项 个 位 数 字 应 当 为 0 或
32、 5,由 q=1,4=3，依 次 计 算 可 知，数 列 中 各 项 的 个 位 数 字 以 134,7,1,8,9,7,6,3,9,2为 周 期，故 数 列 4 中 不 存 在 个 位 数 字 为 0 或 5 的 项，故 错 误；故 选:A.【点 睛】本 题 主 要 考 查 数 列 递 推 公 式 的 推 导，考 查 数 列 性 质 的 应 用，考 查 学 生 的 综 合 分 析 以 及 计 算 能 力.11.B【解 析】根 据 复 数 的 几 何 意 义 可 知 复 数 z对 应 的 点 在 以 原 点 为 圆 心，1为 半 径 的 圆 上，再 根 据 复 数 的 几 何 意 义 即 可
33、确 定 即 可 得|z-i|的 最 大 值.【详 解】由 忖=1知，复 数 Z对 应 的 点 在 以 原 点 为 圆 心，1为 半 径 的 圆 上，|z-i|表 示 复 数 二 对 应 的 点 与 点（0,1）间 的 距 离，又 复 数 z对 应 的 点 所 在 圆 的 圆 心 到（0）的 距 离 为 1,所 以|zL=1+1=2.故 选：B【点 睛】本 题 考 查 了 复 数 模 的 定 义 及 其 几 何 意 义 应 用，属 于 基 础 题.12.D【解 析】利 用 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 化 简 白 从 而 求 得 Z,然 后 直 接 利 用 复 数 模 的 公 式
34、求 解.【详 解】2i=2i(l+i)z(l+z)=-l+z,所 以 z=恸=及，故 选：D.【点 睛】该 题 考 查 的 是 有 关 复 数 的 问 题，涉 及 到 的 知 识 点 有 复 数 的 乘 除 运 算，复 数 的 共 辗 复 数，复 数 的 模，属 于 基 础 题 目.二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分。13.4岳【解 析】可 证 NABC=9 0,则 E 为 AABC的 外 心，又 Q4=P 3=P。则 PE J_平 面 ABC即 可 求 出 必，P E的 值，再 由 勾 股 定 理 求 出 外 接 球 的 半 径，最 后 根 据 体 积 公
35、式 计 算 可 得.【详 解】解：AB=2.BC=逐，AC=3A B2+8 c 2=A C2:.ZABC=9Q,因 为 E 为 A C的 中 点，所 以 七 为 A 4 3 c的 外 心，因 为 PA=P B=P C,所 以 点 尸 在 A 4B C内 的 投 影 为 AABC的 外 心 E，所 以 P E _L平 面 ABC,.8 u 平 面 A B C:.PE 上 BE,所 以 P B=2EF=3,所 以 PE=y/PB2-BE2=-V3,2又 球 心。在 PE 上，设=贝(乎 一，+(|)=/，所 以=百，所 以 球 0 体 积，V=g 乃，=4缶.故 答 案 为：4后【点 睛】本 题
36、考 查 多 面 体 外 接 球 体 积 的 求 法，考 查 空 间 想 象 能 力 与 思 维 能 力，考 查 计 算 能 力，属 于 中 档 题.14.3+2扬【解 析】求 出 圆 心 坐 标，代 入 直 线 方 程 得 加，的 关 系，再 由 基 本 不 等 式 求 得 题 中 最 小 值.【详 解】圆 C：2+y22x 2 一 1=0 的 标 准 方 程 为(x l)2+(y 1)2=3,圆 心 为 c(l)，由 题 意 m+一 2=0,即 优+=2,.2 4 z 1 2、/、,2m、c c 12m_ n,rr 出 口 p 业 2m n I(I)(77?+ri)=3H-1 2 3+2./
37、x=3+2/2,当 且 仅 当 二 即 m n m n n m n m n mm=2(72 1),=2(2-V2)时 等 号 成 立，故 答 案 为：3+2血.【点 睛】本 题 考 查 用 基 本 不 等 式 求 最 值，考 查 圆 的 标 准 方 程，解 题 方 法 是 配 方 法 求 圆 心 坐 标，“1”的 代 换 法 求 最 小 值，目 的 是 凑 配 出 基 本 不 等 式 中 所 需 的，定 值”.15.11【解 析】将 图 形 中 左 侧 的 两 列 瓷 砖 的 形 状 先 确 定，再 由 此 进 行 分 类，在 每 一 类 里 面 又 分 按 两 种 形 状 的 瓷 砖 的 数
38、 量 进 行 分 类，在 其 中 会 有 相 同 元 素 的 排 列 问 题，需 用 到“缩 倍 法”.采 用 分 类 计 数 原 理，求 得 总 的 方 法 数.然 后 再 贴 剩 下 的 部 分，按 如 下 分 类:5个 5!5!=13个 1个(2)左 侧 两 列 如 图 贴 砖 然 后 贴 剩 下 的 部 分:1个，2个：2!=2,L 综 上，一 共 有 1+4+3+1+2=11(种).故 答 案 为：U.【点 睛】本 题 考 查 了 分 类 计 数 原 理，排 列 问 题，其 中 涉 及 到 相 同 元 素 的 排 列，用 到 了“缩 倍 法”的 思 想.属 于 中 档 题.16.(x
39、-l)2+(y-2)2=5【解 析】由 题 意 可 得 圆 的 面 积 求 出 圆 的 半 径，由 圆 心 在 曲 线 上，设 圆 的 圆 心 坐 标，到 直 线 的 距 离 等 于 半 径，再 由 均 值 不 等 式 可 得 k 的 最 大 值 时 圆 心 的 坐 标，进 而 求 出 圆 的 标 准 方 程.【详 解】设 圆 的 半 径 为，由 题 意 可 得 万 户=5万，所 以 r=逐，由 题 意 设 圆 心 C(a,K),由 题 意 可 得。0,ak由 直 线 与 圆 相 切 可 得+1+R,所 以|2。+人+1|=5,而 攵 0,。0,所 以 5=24+122、/2a 人+1,即 2
40、 反，解 得 左 2,a V c ik所 以 人 的 最 大 值 为 2,当 且 仅 当 2。=时 取 等 号，可 得。=1,a所 以 圆 心 坐 标 为：(1,2),半 径 为 逐，所 以 圆 的 标 准 方 程 为：(x iy+(y 2)2=5.故 答 案 为：(i f+(一)2=5.【点 睛】本 题 考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 及 均 值 不 等 式 的 应 用，考 查 函 数 与 方 程 思 想、转 化 与 化 归 思 想，考 查 逻 辑 推 理 能 力、运 算 求 解 能 力，求 解 时 注 意 验 正 等 号 成 立 的 条 件.三、解 答 题：共 70分。解 答
41、应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(1)72；(2)叵.2【解 析】(1)将 直 线 的 参 数 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程，由 点 到 直 线 距 离 公 式 可 求 得 圆 心 到 直 线 距 离，结 合 垂 径 定 理 即 可 求 得|A6|的 长；(2)将 尸 的 极 坐 标 化 为 直 角 坐 标，将 直 线 方 程 与 圆 的 方 程 联 立，求 得 直 线 与 圆 的 两 个 交 点 坐 标，由 中 点 坐 标 公 式 求 得 加 的 坐 标，再 根 据 两 点 间 距 离 公 式 即 可 求 得【详 解】x=t(1)直 线/的 参
42、 数 方 程 为(f为 参 数)，y=t化 为 直 角 坐 标 方 程 为 丁=%，即 x-y=0直 线/与 曲 线(7:(犬 一 1)2+:/=1交 于 4 8 两 点.则 圆 心 坐 标 为(1,0),半 径 为 1,则 由 点 到 直 线 距 离 公 式 可 知 d=军,V2 2所 以 网=2 x卜 一 q=6.(2)点 P 的 极 坐 标 为(2血,日)，化 为 直 角 坐 标 可 得(一 2,2),直 线/的 方 程 与 曲 线 C 的 方 程 联 立,遂 2，化 简 可 得 Y-X=0,卜-1)+y-=1解 得 x=0,x=1,所 以 4 B 两 点 坐 标 为(0,0)、(1,1
43、),所 以 M由 两 点 间 距 离 公 式 可 得|PM|=【点 睛】本 题 考 查 了 参 数 方 程 与 普 通 方 程 转 化，极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 转 化，点 到 直 线 距 离 公 式 应 用，两 点 间 距 离 公 式 的 应 用,直 线 与 圆 交 点 坐 标 求 法，属 于 基 础 题.r2 v218.(1)+2-=1(2)存 在；实 数 加 的 取 值 范 围 是 4 3【解 析】(D 根 据 椭 圆 定 义 计 算。，再 根 据。，b,。的 关 系 计 算 即 可 得 出 椭 圆 方 程；(2)设 直 线 4方 程 为 y=Ax+2,与 椭 圆 方 程 联
44、立 方 程 组，求 出 的 范 围，根 据 根 与 系 数 的 关 系 求 出 G”的 中 点 坐 标，求 出 G”的 中 垂 线 与 x 轴 的 交 点 横,得 出 团 关 于 攵 的 函 数，利 用 基 本 不 等 式 得 出 机 的 范 围.【详 解】(1)由 题 意 可 知 c=l,耳(TO),2(1,0).又 2a=|可|+1*|=J(-l+Ip+(-J+J(-i-1)2+(一|)2=|+|=4,：,a=2,:.b=C t2 C1=yf3 92 2二 椭 圆。的 方 程 为：土+21=1.4 3(2)若 存 在 点 P(，n,O),使 得 以 P G,P H 为 邻 边 的 平 行
45、四 边 形 是 菱 形，则 尸 为 线 段 G 的 中 垂 线 与 x 轴 的 交 点.设 直 线/1 的 方 程 为：y=kx+2,G(X1,x),H(X2,y2),y=kx+2联 立 方 程 组 Q X 2,消 元 得：(3+4F)%2+I6Ax+4=(),+=14 3=256公 _16(3+4产)0,又%0,故 k L216左 由 根 与 系 数 的 关 系 可 得%+%=一 7 7，设 G”的 中 点 为(%,-0),J 十 TKnil8k 7 c 6则 将=一 二/%=线+2=彳 记 二 线 段 G”的 中 垂 线 方 程 为：、=一；(*+广 Q)+丁 7，K D 十 TK J 十
46、 QK-2k _ 2 2令 y=0可 得、=丁/一 一，即 二 一 二 k k：k,故 3+4%.2、区 5=4 6,当 且 仅 当?=4%即 时 取 等 号，2 k k k 22 8P lem.-=一-,且 Z().4V3 6，加 的 取 值 范 围 是-,0).【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 椭 圆 的 性 质，考 查 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，意 在 考 查 学 生 对 这 些 知 识 的 理 解 掌 握 水 平 和 分 析 推 理 能 力.919.(1)A C=722(2)sin Z C A B-sin Z A C B=【解 析】(1)利 用 余 弦 定 理 可 得
47、 A C 的 长；(2)利 用 面 积 得 出 a c,结 合 正 弦 定 理 可 得.【详 解】解：(1)由 题 可 知 cos/D=cos2ZB=l-2sin2/B=-L8在 M C D 中，A C2=A D2+C D2-2 A C CDcosZD=22，所 以 A C=丘.(2)SB C=A B BCsinB=6,则？18 8 0=16.BC AB A C 4722_ 3 _ XX _ fsinZGAB sinZACB sinZB 3所 以 sinNC4BsinNACjB=16x（=.14 2 J 22【点 睛】本 题 主 要 考 查 利 用 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 解 三
48、角 形，已 知 角 较 多 时 一 般 选 用 正 弦 定 理，已 知 边 较 多 时 一 般 选 用 余 弦 定 理.20.（1）a=0.2=0.3,c=10,频 率 分 布 直 方 图 见 解 析；（2）分 布 列 见 解 析，E（X）=|；（3）来 自 65,75）的 可 能 性 最 大.【解 析】（1）由 频 率 和 为 1可 知 a+8=0.5,根 据=奈 求 得。乃，从 而 计 算 得 到 频 数 c,补 全 频 率 分 布 表 后 可 画 出 频 率 分 布 直 方 图；（2）首 先 确 定 X 的 所 有 可 能 取 值，由 超 几 何 分 布 概 率 公 式 可 计 算 求
49、得 每 个 取 值 对 应 的 概 率，由 此 得 到 分 布 列；根 据 数 学 期 望 的 计 算 公 式 可 求 得 期 望；（3）根 据 65,75）中 不 赞 成 比 例 最 大 可 知 来 自 65,75）的 可 能 性 最 大.【详 解】(1)由 频 率 分 布 表 得：0.1+a+Z?+0.2+0.1+0.1=l,即 a+/?=0.5.收 入 在 35,45)的 有 15名，.=0.3,;.“=0.2,.”,=0.2*50=10,则 频 率 分 布 直 方 图 如 下：（2）收 入 在 设 5,65）中 赞 成 人 数 为 2,不 赞 成 人 数 为 3,.X可 能 取 值 为
50、 04,2,贝=0)=1=得；P(X=1)=管=；P(X=2)=3=,X 的 分 布 列 为:X 01 2P31035110(、3 3 1 4(X)=0 x-+lx-+2x-=10 5 10 5（3）来 自 65,75）的 可 能 性 更 大.【点 睛】本 题 考 查 概 率 与 统 计 部 分 知 识 的 综 合 应 用，涉 及 到 频 数、频 率 的 计 算、频 率 分 布 直 方 图 的 绘 制、服 从 于 超 几 何 分 布 的 随 机 变 量 的 分 布 列 与 数 学 期 望 的 求 解、统 计 估 计 等 知 识；考 查 学 生 的 运 算 和 求 解 能 力.421.（1）P传