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1、九年级数学中考复习开放探究综合压轴题考前冲刺专题达标测试（附答案）（共12小题，每小题10分，满分120分）1问题的提出：如果点M是锐角ABC内一动点，如何确定一个位置，使点M到ABC的三顶点的距离之和MA+MB+MC的值为最小？（1）问题的转化：把AMC绕点A逆时针旋转60得到AMC，连接MM，这样就把确定MA+MB+MC的最小值的问题转化成确定BM+MM+MC的最小值的问题了，请你利用图1证明：MA+MB+MC=BM+MM+MC（2）问题的解决：当点M到锐角ABC的三顶点的距离之和MA+MB+MC的值为最小时，求AMB的度数问题的延伸：（3）如图2所示，在钝角ABC中，A=60，AB=2，
2、AC=6，点M是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点M到这个三角形各顶点的距离之和的最小值2（1）如图，圆O的半径为2，圆内有一点Q，OQ=1，若弦AB过点Q，则弦AB长度的最大值为_；最小值为_；（2）如图，将ABC放在如图所示的平面直角坐标系中，点A与原点O重合，点B在x轴的正半轴上，AB=123，AC=BC，ACB=120在x轴上方是否存在点M，使得AMB=60，且SAMB=SABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，ABC是李叔叔家的一块空地示意图，其中C=90，AC=80米，BC=60米现在他利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能
3、大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘若李叔叔想建的鱼塘是四边形ACBD，且满足ADB=60，你认为李叔叔的想法能实现吗？若能，求出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值；若不能，请说明理由3如图1，以点O为圆心，OE为半径作优弧EF，连接OE，OF，且OE=3,EOF=120，在弧EF上任意取点A,B(点B在点A的顺时针方向）且使AB=2，以AB为边向弧内作正三角形ABC（1）发现：不论点A在弧上什么位置，点C与点O的距离不变，点C与点O的距离是_；点C到直线EF的最大距离是_（2）思考：当点B在直线OE上时，求点C到OE的距离，在备用图1中画出示意图，并写出计算过程（3）探究：当BC与OE垂直或
4、平行时，直接写出点C到OE的距离4问题：如图1，在RtABC中，C=90,ABC=30，点D是射线CB上任意一点，ADE是等边三角形，且点E在ACB的内部，连接BE探究线段BE与DE之间的数量关系请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明(1)当点D与点C重合时(如图2)，请你补全图形由BAC的度数为_，点E落在_，容易得出BE与DE之间的数量关系为_(2)当AD是BAC的平分线时，判断BE与DE之间的数量关系并证明(3)当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究A,B,D三点是否在以E为圆心的同一个圆上，写出你的猜想并加以证明5如图，已知ABC和ADE均为
5、等腰三角形，AC=BC，DE=AE，将这两个三角形放置在一起（1）问题发现如图，当ACB=AED=60时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则CEB的度数为_，线段AE、BE、CE之间的数量关系是_；（2）拓展探究如图，当ACB=AED=90时，点B、D、E在同一直线上，连接CE请判断CEB的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图，ACB=AED=90，AC=25，AE=2，连接CE、BD，在AED绕点A旋转的过程中，当DEBD时，请直接写出EC的长6如图，在ABC中， tanABC=43，C=45，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DEBC，BD=DE=
6、5，动点P从点B出发，沿B-D-E-C向终点C运动，在BD-DE上以每秒5个单位长度的速度运动，在EC上以每秒22个单位长度的速度运动，过点P作PQBC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点B、点N始终在PQ同侧 设点P的运动时间为t（s）（t0），正方形PQMN与ABC重叠部分图形的面积为S（1）当点P在BD-DE上运动时，用含t的代数式表示线段DP的长（2）当点N落在AB边上时，求t的值（3）当点P在DE上运动时，求S与t之间的函数关系式（4）当点P出发时，有一点H从点D出发，在线段DE上以每秒5个单位长度的速度沿D-E-D连续做往返运动，直至点P停止运动时，点H也停止运动连结HN，直接
7、写出HN与DE所夹锐角为45时t的值7（1）数学理解：如图，ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求证：AF+BE=22AB；（2）问题解决：如图，在任意直角ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB=BE+AF，求DAB+DBA的度数；（3）联系拓广；如图，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，若AM=2，BN=3，求MN的长8小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转a0a180得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC当a+=180时，请问ABC边BC
8、上的中线AD与BC的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）如图2，当ABC为等边三角形时，猜想AD与BC的数量关系为AD=_BC；如图3，当BAC=90，BC=8时，则AD长为_猜想论证：（2）在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC数量关系，并给予证明拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD，C=90，A+B=120，BC=123，CD=6，DA=63，在四边形内部是否存在点P，使PDC与PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC的边DC上的中线PQ的长度；若不存在，说明理由9如图1，P为RtABC所在
9、平面内任意一点(不在直线AC上)，ACB=90，M为AB边中点操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并延长到点E，使ME=PM，连结DE（1）请你利用图2，选择RtABC内的任意一点P按上述方法操作；（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段BC之间有怎样的数量和位置关系？请选择其中的一个图形证明你的猜想；（3）观察两图，你还可得出AC和DE相关的什么结论？请说明理由（4）若以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，其中A、C、D的坐标分别为（0，0），（5，3），（4，2），能否在平面内找到一点M，使以A、C、D、M为点构造成平行四边形，若不能，说明理由，若能，请直接写出
10、点M的坐标10请按照研究问题的步骤依次完成任务【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”， 请说理证明A+B=C+D 【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分BAD、BCD，若ABC=20，ADC=26，求P的度数（可直接使用问题（1）中的结论） 【问题探究】（3）如图3，直线AP平分BAD的外角FAD，CP平分BCD的外角BCE， 若ABC=36，ADC=16，猜想P的度数为 ；【拓展延伸】（4）在图4中，若设C=x，B=y，CAP=13CAB，CDP=13CDB，试问P与C、B之间的数量关系为 （用x、y表示P） ；（5）在图5中，AP平分BAD，CP平分BCD的外角BCE，
11、猜想P与B、D的关系，直接写出结论 11（1）如图1，A是O上一动点，P是O外一点，在图中作出PA最小时的点A（2）如图2，RtABC中，C90，AC8，BC6，以点C为圆心的C的半径是3.6，Q是C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值（3）如图3，矩形ABCD中，AB6，BC9，以D为圆心，3为半径作D，E为D上一动点，连接AE，以AE为直角边作RtAEF，EAF90，tanAEF13，试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由12综合与探究：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=36x2+233x+23与x轴
12、交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C，D两点，连接AC（1）求A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；（2）探索直线l上是否存在点E，使ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P是直线l上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点Q：使以点A，C，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；使以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.参考答案1（解：（1）如图1，由旋转的性质得：MAM=60，MA=MA，AMM是等边三角形，MM=M
13、A，MC=MC，MA+MB+MC=BM+MM+MC；（2）如图2，把AMC绕点A逆时针旋转60度得到AMC，连接MM，由“问题的转化”可知：当B、M、M、C在同一直线上时，MA+MB+MC的值为最小，由（1）可知AMM是等边三角形，则AMM=60，AMB=120；（3）如图3，把AMC绕点A旋转60度得到AMC，且B、M、M、C在同一直线上，过点C作BA延长线的垂线CH，垂足为H，由旋转可得AMCAMC，则AC=AC=6，MAC=MAC，MAC+MAB=BAC=60，MAC+MAB=60，MAM=60，BAC=120，CAH=60，则ACH=30，在RtACH中，AH=12AC=3，CH=AC
14、2AH2=33，点B、M、M、C在同一直线上，在RtBCH中，BC=BH2+CH2=213，即点M到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为2132解：（1）当AB为直径时，弦最长，AB=4，如图，当OQAB时，AB最短，连接OB，OQ=1，OB=2，BQ=3，AB=2BQ=23；故答案为：4，23；（2）存在，理由如下：如图，作CHAB于点H，AB=123，AC=BC，ACB=120，COB=30，OH=BH=63，CH=6，OC=12，以C为圆心，OC长为半径作C，过C作x轴的平行线交C于M1，M2，则OMB=12OCB=60，且SAMB=SABC，点M1，M2符合题意，点C的坐标为63,6，
15、存在点M，坐标为M16312,6，M263+12,6；（3）能，理由如下：如图，ACB=90，AC=80米，BC=60米，AB=100米作AOB，使得AOB=120，OA=OB，以O为圆心，OA长为半径画O，ADB=60，点D在优弧ADB上运动，当点D是优弧ADB的中点时，四边形ACBD面积和周长取得最大值，连接DO并延长交AB于点H，则DHAB，AH=BH，DA=DB，ADB=60，ABD为等边三角形，AD=BD=100，AH=BH=50，DH=1002502=503，这个四边形鱼塘面积最大值为12100503+126080=25003+2400（平方米），这个四边形鱼塘周长的最大值为100
16、+100+60+80=340（米）3（1）解：如图1，连接OA、OB、OC，延长OC交AB于点G，在正ABC中，ABBCAC2OAOB，ACBC，OC垂直平分AB，AG12AB1，在RtAGC中，CGAC2AG2=2212=3，在RtAGO中，OGAO2AG2=3212=8=22，OCOE-CE223,如图2，延长CO交EF于点H，当COEF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，OEOF，COEF，CO平分EOF，EOF=120EOH=12EOF=60，在RtEOH中，cosEOHOHEO，cos60OH3=12，OH32，CHCOOH223+32点C到直线EF的最大距离是223+
17、32（2）如备用图1，当点B在直线OE时，由OA=OB,CA=CB可知，点O,C都在线段AB的垂直平分线上，过点C作AB的垂线垂足为G，则G为AB中点，直线CG过点O.由COM=BOG,CMO=BGO可得OCMOBG，CMBG=OCOB， CM1=2233，CM=13（223）（3）如图3，当BCOE时，设垂足为点M，EOF120，COM180-12060，在RtCOM中，sinCOMCMCO，sin60CMCO=32,CM=32CO=32(223)=632如图4，当BCOE时，过点C作CNOE，垂足为点N，BCOE ，CONGCB30，在RtCON中，sinCONCNCO，sin30CNCO
18、=12,CN=12CO=12(223)=232，综上所述，当BC与OE垂直或平行时，点C到OE的距离为632或2324解：（1）如图，C=90，ABC=30，BAC=60，ADE是等边三角形，AE=CE，点E落在AB的中点处；AE=CE=BE=DE，故答案为：60；AB的中点处；BE=DE；（2）BE=DE，AD平分BAC，BAC=60，BAD=30=ABC=CAD，AD=BD，ADE是等边三角形，DE=AD，DE=DB，C=90，ADC=ADE=60，BDE=60，BDE为等边三角形，BE=DE；（3）如图为所画图形，猜想：A、B、D在以E为圆心的同一个圆上，理由是：设AB中点为F，连接CF
19、，EF，ACB=90，ABC=30，1=60，CF=AF=12AB，ACF是等边三角形AC=AF，ADE是等边三角形，2=60，AD=AE，1=2，1+BAD=2+BAD，即CAD=FAE，在ACD和AFE中，AC=AFCAD=FAEAD=AE，ACDAFE（SAS），ACD=AFE=90，F是AB的中点，EF是AB的垂直平分线，BE=AE，ADE是等边三角形，DE=AE，BE=DE，点E在BD的垂直平分线上，A、B、D在以点E为圆心的同一个圆上.5解：（1）在ABC为等腰三角形，AC=BC，ACB=60，ABC是等边三角形，AC=AB，CAB=60，同理：AE=AD，ADE=EAD=60，E
20、AD=CAB，EAC=DAB，ACEABD（SAS），CE=AD，AEC=ADB，点B、D、E在同一直线上，ADB=180-ADE=120，AEC=120，CEB=60DE=AE，BE=DE+BD=AE+CE，故答案为60，BE=AE+CE； （2）CEB=45,BE=AE+2CE 理由如下：ABC和ADE均为等腰三角形， ACB=AED=90，AD=2AE=2DE,AB=2AC=2BC,EAD=CAB=EDA=45，EAC=DAB，AECADB，ABAC=ADAE=BDCE=2BD=2EC,AEC=ADB，点B、D、E在同一直线上，ADB=180EDA=135,AEC=135，CEB=AEC
21、AED=13590=45,EB=ED+BD=AE+2ECCEB=45,BE=AE+2CE；（3）由（2）知，ACEABD，BD=2CE，在RtABC中，AC=25，AB=2AC=210；当点E在点D上方时，如图，过点A作APBD交BD的延长线于P，DEBD，PDE=AED=APD，四边形APDE是矩形，AE=DE，矩形APDE是正方形，AP=DP=AE=2，在RtAPB中，根据勾股定理得， BP=AB2AP2=6BD=BP-AP=4，CE=12BD=22；当点E在点D下方时，如图，同的方法得，AP=DP=AE=2，BP=4，BD=BP+DP=8，CE=12BD=42，即：CE的长为22或426
22、解：（1）根据题意，BD=DE=5，点P从点B运动到点D，所用的时间为：t=55=1，点P从点D运动到点E，所用的时间为：t=55=1；当0t1时，点P在BD上运动，DP=55t；当1t2时，点P在DE上运动，DP=5t5；（2）如图1中，在RtBDM中，DMB=90，tanB=DMBM=45，BD=5，DM=4，BM=3，DP=DM，5t5=4，解得：t95（3）如图，当1t65时，重叠部分是四边形BQPD，则S=12(5t5+3+5t5)4=20t14；如图，当65t95时，重叠部分是五边形MQPDK，S=42124(5t5)243=503t2+60t38；如图，当95t2时，重叠部分是正
23、方形PQMN，S=16；综上所述，S=20t14(1t65)503t2+60t38(65t95)16(95t2)；（4）如图，作HKNP交NP的延长线于K由题意HNK=45，HKNK，NHK是等腰直角三角形，NK=HK，可得4t+3-3t+5t=4-4t，解得：t=0.1；如图，当2t3时，满足EH=PN，条件成立可得：55(t2)=224222(t2)，解得：t73；如图3-2中，当t3时，满足EH=PN，条件成立可得：5(t3)=224222(t2)，解得：t=237综上所述，满足条件的t的值为0.1或73或2377(1)证明：ABC是等腰直角三角形AC=BC，A=B=45，AB=2AC四
24、边形DECF是正方形DE=DF=CE=CF，DFC=DEC=90A=ADF=45AF=DF=CEAF+BE=BC=ACAB=2(AF+BE)AF+BE=22AB；(2)如图，延长AC，使FM=BE，连接DM，四边形DECF是正方形DF=DE，DFC=DEC=90，在DFM和DEB中， BE=FMDFC=DEBDF=ED,DFMDEB(SAS)DM=DB，AB=AF+BE，AM=AF+FM，FM=BE，AM=AB，且DM=DB，AD=AD，在ADM和ADB，AM=ABDM=DBAD=AD,ADMADB(SSS)，DAC=DAB= 12CAB，同理可得：ABD=CBD= 12ABC，ACB=90，
25、CAB+CBA=90，DAB+ABD= 12(CAB+CBA)=45，(3)四边形DECF是正方形，DE/AC，DF/BC，CAD=ADM，CBD=NDB，MDN=AFD=90，DAC=DAB，ABD=CBD，DAB=ADM，NDB=ABD，AM=MD，DN=NB，在RtDMN中，MN2=MD2+DN2，MN2=AM2+NB2AM=2，BN=3，MN=AM2+NB2=13.8（解：（1）如图2，ABC是等边三角形，把AB绕点A顺时针旋转得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，AB=AC=BC=AB=AC，又AD是ABC边BC上的中线，DB=DC，ADBC，即ADB=90，BAC=60，BAC
26、+BAC=180，BAC=120，B=C=30，在ADB中，ADB=90，B=30，AD=12AB=12BC故答案为：12如图3，BAC=90，BAC+BAC=180，BAC=BAC=90，即ABC和ABC为直角三角形，把AB绕点A顺时针旋转得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，AB=AB，AC=AC，在ABC和ABC中，AB=ABBAC=BACAC=ACBACBAC，BC=BC，AD是ABC边BC上的中线，ABC为直角三角形，AD=12BC=12BC，又BC=8，AD=12BC=128=4故答案为：4（2）AD=12BC，如图5，延长AD到M，使AD=DM，连接BM、CM，图5BD=DC
27、，AD=DM，四边形ACMB是平行四边形，AC=BM=AC，BAC+BAC=180，BAC+ABM=180，BAC=ABM，AB=AB，在BAC和ABM中，AC=BMBAC=ABMAB=ABBACABM，BC=AM，AD=12BC（3）存在，如图6，延长AD交BC的延长线于M，作BEAD于E，作直线BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作PDC的中线PQ，连接DF交PC于O，图6A+B=120，M=180AB=60，C=90，MDC=180MMCD=30，在RtDCM中，CD=6，DCM=90，MDC=30，CM=23，DM=43，M=60，在RtBEM中，BEM=90
28、，BM=BC+CM=143，MDC=30，EM=12BM=73，DE=EMDM=33，AD=63，AE=DE， BEAD，PA=PD，PB=PC，在RtCDF中，CD=6，CF=63，tanCDF=3，CDF=60=CPF，FCPCFD，CD=PF，CD/PF，四边形CDPF是矩形，CDP=90，ADP=ADCCDP=60，ADP是等边三角形，PA=PD=AD=63，BPF=CPF=60，BPC=120，APD+BPC=180，PDC与PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系，在RtPDQ中，PDQ=90，PD=PA=AD=63，DQ=12CD=3，PQ=DQ2+DP2=32+632=3139
29、解：（1）作图如图2：（2）观察图1，图2，猜想线段DE和线段BC数量和位置关系为：DE=BC，DE/BC；选择图1，证明如下：连接BE，PM=ME，PMA=EMB，AM=MB，PMAEMB（SAS）PA=BE，MPA=MEB，PABE平行四边形PADC，PADC，PA=DCBEDC，BE=DC，四边形DEBC是平行四边形DEBC，DE=BC（3）猜想DEAC；理由如下：ACB=90，BCAC，又DEBC，（已证）DEAC（3）如图3分别过点A，C，D作线段CD，AD，AC的平行线,三条直线分别相交于点M1,M2,M3 ,则得到M1,M2,M3即为满足条件的点M，使以A、C、D、M为点构造成平
30、行四边形.理由如下：AC/DM1，CD/AM1，四边形ACDM1为平行四边形，同理可得：四边形ACM2D为平行四边形，四边形ADCM3为平行四边形.设M1的坐标为（x,y）,由于四边形ACDM1为平行四边形，AC/M1D,AC=M1D.可以看做线段AC经过适当的平移到线段M1D.C与D为对应点，A与M1为对应点，易知：点C(5,3)向左平移一个单位，向下平移一个单位得到D(4,2).故点A也向左平移一个单位，向下平移一个单位得到M1(x,y),即0-1=x，0-1=y，所以x=-1，y=-1.点M1的坐标为（-1，-1），同理可得M2的坐标为（9,5），M3的坐标为（1,1）.故存在M点，分别
31、为（1，1）或（-1，-1）或（9，5）使以A、C、D、M为点构造成平行四边形10解：（1）证明：在AOB中，A+B+AOB=180，在COD中，C+D+COD=180，AOB=COD，A+B=C+D；（2）解：如图2，AP、CP分别平分BAD，BCD，1=2，3=4，由（1）的结论得：P+3=1+BP+2=4+D，+，得2P+2+3=1+4+B+D，P=12（B+D）=23；（3）解：如图3，AP平分BAD的外角FAD，CP平分BCD的外角BCE，1=2，3=4，PAD=180-2，PCD=180-3，P+（180-1）=D+（180-3），P+1=B+4，2P=B+D，P=12（B+D）=
32、12（36+16）=26；故答案为：26；（4）由题意可得：B+CAB=C+BDC，即y+CAB=x+BDC，即CAB-BDC=x-y，B+BAP=P+PDB，即y+BAP=P+PDB，即y+（CAB-CAP）=P+（BDC-CDP），即y+（CAB-13CAB）=P+（BDC-13CDB），P=y+CAB-13CAB-CDB+13CDB= y+23（CAB-CDB）=y+23（x-y）=23x+13y故答案为：P=23x+13y；（5）由题意可得：B+BAD=D+BCD，DAP+P=PCD+D，B-D=BCD-BAD，AP平分BAD，CP平分BCD的外角BCE，BAP=DAP，PCE=PCB
33、，12BAD+P=（BCD+12BCE）+D，12BAD+P=BCD+12（180-BCD）+D，P=90+12BCD-12BAD +D=90+12（BCD-BAD）+D=90+12（B-D）+D=180+B+D2，故答案为：P=180+B+D2.11解：（1）连接线段OP交C于A，点A即为所求，如图1所示；（2）过C作CPAB于Q，P，交C于Q，这时PQ最短理由：分别在线段AB，C上任取点P，点Q，连接P，Q，CQ，如图2，由于CPAB，根据垂线段最短，CPCQ+PQ，CO+PQCQ+PQ，又CQCQ，PQPQ，即PQ最短在RtABC中AB=AC2+BC2=82+62=10，SABC=12A
34、CBC=12ABCP，CP=ACBCAB=6810=4.8，PQCPCQ6.83.61.2，BP=BC2CP2=624.82=3.6当P在点B左侧3.6米处时，PQ长最短是1.2（3）ACF的面积有最大和最小值如图3，取AB的中点G，连接FG，DEEAF90，tanAEF=13，AFAE=13AB6，AGGB，ACGB3，又AD9，AGAD=39=13，AFAE=AGADBADBEAF90，FAGEAD，FAGEAD，FGDE=AFAE=13，DE3，FG1，点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，连接AC，则ACD的面积ADCD2=962=27，过G作GHAC于H，交G于F1，GH反向延长线交G
35、于F2，当F在F1时，ACF面积最小理由：由（2）知，当F在F1时，F1H最短，这时ACF的边AC上的高最小，所以ACF面积有最小值，在RtABC中，AC=AB2+BC2=62+92=313sinBAC=BCAC=9313=31313，在RtACH中，GH=AGsinBAC=331313=91313，F1H=GHGF1=913131，ACF面积有最小值是：12ACF1H=12313(913131)=273132；四边形ADCF面积最小值是：27+273132=813132；当F在F2时，F2H最大理由：在G上任取异于点F2的点P，作PMAC于M，作GNPM于N，连接PG，则四边形GHMN是矩形
36、，GHMN，在RtGNP中，NGF290，PGPN，又F2GPG，F2G+GHPN+MN，即F2HPM，F2H是ACF的边AC上的最大高，面积有最大值，F2H=GH+GF2=91313+1，ACF面积有最大值是12ACF2H=12313(91313+1)=27+3132；四边形ADCF面积最大值是27+27+3132=81+3132；综上所述，四边形ADCF面积最大值是81+3132，最小值是81313212解：（1）当y=0时，36x2+233x+23=0解得x1=2，x2=6y=36x2+233x+23=36(x2)2+833点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(6,0)抛物线的对称轴为直
37、线x=2点D的坐标为(2,0)当x=0时，y=23点C的坐标为(0,23)设直线l的表达式为y=kx+b，则b=232k+b=0解得k=3b=23直线l的表达式为y=3x+23（2）结论：直线l上存在点E，使ACE为直角三角形证明：点A的坐标为(2,0)，点D的坐标为(2,0)AD=4又点C的坐标为(0,23)，COADAC=CD=22+(23)2=4AC=CD=ADACD为等边三角形ADC=CAD=60分两种情况：当AE1C=90时，AC=ADCE1=E1D=12CD=2作E1Mx轴于点M，如图：在RtDE1M中，E1DM=60DM=1，E1M=E1Dsin60=232=3 点E1的坐标为(
38、1,3)作E2Nx轴于点N，如图：当CAE2=90时ADC=CAD=60DAE2=30，ADE2=120DE2A=DAE2=30DE2=AD=4在RtDE2N中，E2DN=E1DM=60DN=2，E2N=DE2sin60=432=23ON=OD+DN=4点E2的坐标为(4,23)综上所述：直线l上存在点E，使ACE为直角三角形，点E的坐标为(1,3)或(4，23)；（3）过点C作CQ/x轴交抛物线于点Q，连接DQ，如图： 点C的坐标为(0,23)，CQ/x当y=23时，36x2+233x+23=23x1=4，x2=0（不合题意舍去）点Q的坐标为(4,23)CQ=4点D的坐标为(2,0)DQ=4
39、22+2302=4由（2）可知AC=AD=4AC=CQ=DQ=AD=4四边形ACQD是菱形当点P位于点D处时，抛物线上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为菱形，此时点Q的坐标为(4,23)；过点A作PAAC交直线l于点P，连接BC、BP，如图：PAACCAP=90由（2）可知ACP=60APC=30由（2）可知AC=CD=AD=4PC=2AC=8DC=DP=4点A的坐标为(2,0)，点D的坐标为(2,0)，点B的坐标为(6,0)DA=DB=4，AB=8PC=AB=8四边形APBC是矩形抛物线上存在点Q即点B处，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，此时点Q的坐标为(6,0)学科网（北京）股份有限公司