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1、1/14平面向量一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中，正确命题的个数是()单位向量都共线；长度相等的向量都相等；共线的单位向量必相等；与非零向量 a 共线的单位向量是a|a|A3B2C1D02已知向量 a(2，1)，b(1，k)，a(2ab)0，则 k()A12B6C6D123如图，在ABC 中，ADAB，BC 3BD，|AD|1，则ACAD()A2 3B32C33D 34 已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2OAOBOC0，则()AAO2ODBAOODCAO3ODD2AOOD5
2、已知向量 a(1，2)，b(2，3)若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c()A79，73B73，79C73，79D79，736一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3的作用而处于平衡状态已知F1与 F2的夹角为 60，且 F1，F2的大小分别为 2 N 和 4 N，则 F3的大小为()2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208262/14A6 NB2 NC2 5 ND2 7N7如图，已知点 C 为OAB 边 AB 上一点，且 AC2CB，若存在实数 m，n，使得OCmOAnOB，则 mn 的
3、值为()A13B0C13D238已知 A(1，3)，B8，12，且 A，B，C 三点共线，则点 C 的坐标可以是()A(9，1)B(9，1)C(9，1)D(9，1)二、选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得0 分)9已知向量 a，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使 a，b 共线的是()A2a3b4e 且 a2b2eB存在相异实数，使ab0Cxayb0(其中实数 x，y 满足 xy0)D已知梯形 ABCD，其中ABa，CDb10如图所示，两射线 OA 与 OB 交于 O，
4、则下列选项中向量的终点落在阴影区域内(不含边界)的有()AOA2OBB34OA13OBC12OA13OBD34OA15OB11如图所示，四边形 ABCD 为梯形，其中 ABCD，AB2CD，M，N 分2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208263/14别为 AB，CD 的中点，则下列结论正确的是()AACAD12ABBMC12AC12BCCMNAD14ABDBCAD12AB12 ABC 是边长为 3 的等边三角形，已知向量 a，b 满足AB3a，AC3ab，则下列结论中正确的有()Aa 为单位向量Bb
5、BCCabD(6ab)BC三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13已知向量 a(4，3)，b(6，m)，且 ab，则 m_14已知点 A(2，5)，B(3，2)，则向量AB_，与向量AB同向的单位向量为_(本题第一空 2 分，第二空 3 分)15已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AEBD_16已知向量 a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若 ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量MN的模为_四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10
6、分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面向量 a(2，3)，b(2，4)，c(1，1)(1)求证：(ab)(ac)垂直；(2)若 ab 与 c 是共线向量，求实数的值18(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)(1)求以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208264/14(2)设实数 t 满足(ABtOC)OC0，求 t 的值19(本小题满分 12 分)如图，在OAB 中，已知 P 为
7、线段 AB 上的一点，OPxOAyOB(1)若BPPA，求 x，y 的值；(2)若BP3PA，|OA|4，|OB|2，且OA与OB的夹角为 60时，求OPAB的值20(本小题满分 12 分)设两个向量 e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为 60，若向量 2te17e2与 e1te2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围21(本小题满分 12 分)在ABC 中，已知 A(2，4)，B(1，2)，C(4，3)，ADBC 于点 D(1)求点 D 的坐标；(2)求证：AD2BDDC22(本小题满分 12 分)已知 A(1，0)，B(0，2)，C(3，1)，ABAD5，AD210(1)
8、求 D 点坐标；(2)若 D 点在第二象限，用AB，AD表示AC；(3)若AE(m，2)，3ABAC与AE垂直，求AE的坐标2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208265/14一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中，正确命题的个数是()单位向量都共线；长度相等的向量都相等；共线的单位向量必相等；与非零向量 a 共线的单位向量是a|a|A3B2C1D0D根据单位向量的定义，可知明显是错误的，对于，与非零向量a 共线的单
9、位向量是a|a|或a|a|，故也是错误的2已知向量 a(2，1)，b(1，k)，a(2ab)0，则 k()A12B6C6D12D2ab(4，2)(1，k)(5，2k)，由 a(2ab)0，得(2，1)(5，2k)0，所以 102k0，解得 k123如图，在ABC 中，ADAB，BC 3BD，|AD|1，则ACAD()A2 3B32C33D 3D设|BD|x，则|BC|3x，ACAD(ABBC)ADBCAD|BC|AD|cosADB 3x11x 34 已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2OAOBOC0，则()AAO2ODBAOODCAO3ODD2AOOD2022级高一
10、家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208266/14B因为 D 为 BC 的中点，所以OBOC2OD所以 2OA2OD0，所以OAOD，所以AOOD5已知向量 a(1，2)，b(2，3)若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c()A79，73B73，79C73，79D79，73D设 c(x，y)，则 ca(1x，2y)，ab(3，1)，由已知可得22y3x10，3xy0，解得x79，y73，即 c79，73 6一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3的作用而处于平衡状态已知F1与 F2的夹角为 60，且 F
11、1，F2的大小分别为 2 N 和 4 N，则 F3的大小为()A6 NB2 NC2 5 ND2 7ND由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2|F1F2|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 6022422241228，所以|F3|2 7 N7如图，已知点 C 为OAB 边 AB 上一点，且 AC2CB，若存在实数 m，n，使得OCmOAnOB，则 mn 的值为()A13B0C13D23AOCOBBCOB13BAOB13BO13OA13OA23OB，所以 mn13故选 A2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师
12、沟通QQ：5271208267/148已知 A(1，3)，B8，12，且 A，B，C 三点共线，则点 C 的坐标可以是()A(9，1)B(9，1)C(9，1)D(9，1)C设点 C 的坐标是(x，y)，因为 A，B，C 三点共线，所以ABAC因为AB8，12(1，3)7，72，AC(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以 7(y3)72(x1)0，整理得 x2y7，经检验可知点(9，1)符合要求二、选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得0 分)9已知向量 a，b 是两个非零向量，在
13、下列四个条件中，一定能使 a，b 共线的是()A2a3b4e 且 a2b2eB存在相异实数，使ab0Cxayb0(其中实数 x，y 满足 xy0)D已知梯形 ABCD，其中ABa，CDbAB对于 A，向量 a，b 是两个非零向量，2a3b4e 且 a2b2e，a27e，b87e，此时能使 a，b 共线，故 A 正确；对于 B，存在相异实数，使ab0，要使非零向量 a，b 是共线向量，由向量共线定理即可证明，故 B 正确；对于 C，xayb0(其中实数 x，y 满足 xy0)如果 xy0 则不能使 a，b 共线，故 C 不正确；对于 D，已知梯形 ABCD 中，ABa，CDb，如果 AB，CD
14、是梯形的上下底，则正确，否则错误；故选 AB10如图所示，两射线 OA 与 OB 交于 O，则下列选项中向量的终点落在阴2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208268/14影区域内(不含边界)的有()AOA2OBB34OA13OBC12OA13OBD34OA15OBAB依题意，在题图中的阴影区域内任取点 E，连接 OE 交 AB 于点 F(图略)，则有OEOFxOA(1x)OBxOA(1x)OB，其中 0 x1，注意到x(1x)1；注意到 1231，341334141，1213561，34151920
15、1，故选 AB11如图所示，四边形 ABCD 为梯形，其中 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 AB，CD 的中点，则下列结论正确的是()AACAD12ABBMC12AC12BCCMNAD14ABDBCAD12ABABDACADDCAD12AB，A 正确；MCMAAC12BAAC12BCACAC12AC12BC，B 正确；MNMAADDN12ABAD14ABAD14AB，C 错误；BCBAADDCABAD12ABAD12AB，D 正确故选 ABD12 ABC 是边长为 3 的等边三角形，已知向量 a，b 满足AB3a，AC3ab，则下列结论中正确的有()2022级高一家长交流QQ群：1027
16、193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208269/14Aa 为单位向量BbBCCabD(6ab)BCABD对于 A，AB3a，a13AB，则|a|13|AB|1，A 正确；对于 B，AC3abABb，bACABBC，bBC，B 正确；对于 C，ab13ABBC1332cos230，所以 a 与 b 不垂直，C 错误；对 于 D，(6ab)BCABACACAB AC2 AB2 0，所 以(6ab)BC，D 正确故选 ABD三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13已知向量 a(4，3)，b(6，m)
17、，且 ab，则 m_8向量 a(4，3)，b(6，m)，ab，则 ab0，463m0，m814已知点 A(2，5)，B(3，2)，则向量AB_，与向量AB同向的单位向量为_(本题第一空 2 分，第二空 3 分)(1，7)210，7 210由向量的坐标定义，可知，AB(32，25)(1，7)|AB|12725 2与向量AB同向的单位向量为：AB|AB|15 2，75 2 210，7 210 15已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AEBD_2法一：AEBDAD12AB(ADAB)AD212AB22212222法二：以 A 为原点建立平面直角坐标系如图所示 则 A(0，0)
18、，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：52712082610/14AE(1，2)，BD(2，2)从而AEBD(1，2)(2，2)1(2)22216已知向量 a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若 ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量MN的模为_8 2ab，2(2)(1)x0，解得 x4，b(4，2)，ab(6，3)，bc(1，2y)(ab)(bc)，(ab)(bc)0，即 63(2y)0，解得 y4，MN(yx，xy)(8，8)，
19、|MN|8 2四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面向量 a(2，3)，b(2，4)，c(1，1)(1)求证：(ab)(ac)垂直；(2)若 ab 与 c 是共线向量，求实数的值解(1)证明：因为 a(2，3)，b(2，4)，c(1，1)，所以 ab(4，1)，ac(1，4)从而(ab)(ac)41(1)40，且(ab)与(ac)均为非零向量，所以(ab)(ac)垂直(2)因为 a(2，3)，b(2，4)，所以 ab(22，34)，又 c(1，1)，且 ab 与 c 是共线向量，所以
20、(22)(1)(34)10，解得5218(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，2)，B(2，2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：52712082611/143)，C(2，1)(1)求以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满足(ABtOC)OC0，求 t 的值解(1)由题设，知AB(3，5)，AC(1，1)，则ABAC(2，6)，ABAC(4，4)所以|ABAC|2 10，|ABAC|4 2故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10(2)由题设
21、，知OC(2，1)，ABtOC(32t，5t)由(ABtOC)OC0，得(32t，5t)(2，1)0，从而 5t11，所以t11519(本小题满分 12 分)如图，在OAB 中，已知 P 为线段 AB 上的一点，OPxOAyOB(1)若BPPA，求 x，y 的值；(2)若BP3PA，|OA|4，|OB|2，且OA与OB的夹角为 60时，求OPAB的值解(1)BPPA，BOOPPOOA，即 2OPOBOA，OP12OA12OB，即 x12，y12(2)BP3PA，BOOP3PO3OA，即 4OPOB3OA，OP34OA14OBx34，y142022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资
22、料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：52712082612/14OPAB34OA14OB(OBOA)14OBOB34OAOA12OAOB14223442124212920(本小题满分 12 分)设两个向量 e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为 60，若向量 2te17e2与 e1te2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围解由向量 2te17e2与 e1te2的夹角为钝角，得2te17e2e1te2|2te17e2|e1te2|0，即(2te17e2)(e1te2)0整理得：2te21(2t27)e1e27te220(*)|e1|2，|e2|1，e
23、1，e260e1e221cos 601(*)式化简得：2t215t70解得7t12当向量 2te17e2与 e1te2夹角为 180时，设 2te17e2(e1te2)(0)对比系数得2t，7t0，14，t142.所求实数 t 的取值范围是7，142142，12 21(本小题满分 12 分)在ABC 中，已知 A(2，4)，B(1，2)，C(4，3)，ADBC 于点 D(1)求点 D 的坐标；(2)求证：AD2BDDC解(1)设 D 点坐标为(x，y)，则AD(x2，y4)，BC(5，5)，BD(x1，y2)2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优
24、秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：52712082613/14因为 ADBC，所以ADBC0，即 5(x2)5(y4)0所以 xy6又因为 B，D，C 三点共线，所以BDBC，所以 5(x1)5(y2)0，所以 xy1联立，解得x72，y52，所以点 D 的坐标为72，52(2)证明：因为AD32，32，BD92，92，DC12，12，所以|AD|2949492，|BD|9229229 22，|DC|12212222，从而|BD|DC|9 222292故|AD|2|BD|DC|，即 AD2BDDC22(本小题满分 12 分)已知 A(1，0)，B(0，2)，C(3，1)，ABAD5，AD210
25、(1)求 D 点坐标；(2)若 D 点在第二象限，用AB，AD表示AC；(3)若AE(m，2)，3ABAC与AE垂直，求AE的坐标解(1)设 D(x，y)，AB(1，2)，AD(x1，y)2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：52712082614/14由题得ABADx12y5，AD2x12y210，即x2y4，x12y210.x2，y3或x2，y1.D 点坐标为(2，3)或(2，1)(2)D 点在第二象限，由(1)知 D(2，3)AD(1，3)AC(2，1)，设ACmABnAD，则(2，1)m(1，2)n(1，3)，2mn，12m3n，m1，n1.ACABAD(3)3ABAC3(1，2)(2，1)(1，7)，AE(m，2)，(3ABAC)AE0，m140，m14AE(14，2)2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826