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1、1/17解三角形一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC 中，ak，b 3k(k0)，A45，则满足条件的三角形有()A0 个B1 个C2 个D无数个2在ABC 中，sin Asin Bsin C323，则 cos C 的值为()A13B12C14D143在ABC 中，A3，BC3，AB 6，则 C()A4或34B34C4D64ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 b6，a2c，B3，则ABC 的面积为()A6 3B12 3C4 3D2 35在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c
2、，且 sin2A2cb2c，则ABC 的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形6设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 a2，B2A，则 b 的取值范围为()A(2 2，2 3)B(2 2，4)C(2，2 3)D(0，4)7如图，在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 ABAD，2AB 3BD，BC2BD，则 sin C 的值为()2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208262/17A33B36C63D668启东中学天文台是启中校园的标志性建筑
3、小明同学为了估算学校天文台的高度，在学校宿舍楼 AB，其高为(155 3)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，天文台顶 C 的仰角分别是 15和 60，在楼顶 A 处测得天文台顶 C 的仰角为 30，假设 AB，CD 和点 M 在同一平面内，则小明估算学校天文台的高度为()A20 mB30 mC20 3 mD30 3 m二、选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分)9在ABC 中，b2，B45，若这样的三角形有两个，则边 a 的取值可以为()
4、A2B94C125D2 210 若ABC 中，AB2，AC 2BC，则 SABC的可能取值为()A2 2B74C2D3 211在ABC 中，a7，b8，cos B17 则()AA3BA4CSABC6 3DSABC3 312 在ABC 中，D 在线段 AB 上，且 AD5，BD3，若 CB2CD，cosCDB55，则()2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208263/17AsinCDB310BABC 的面积为 8CABC 的周长为 84 5DABC 为钝角三角形三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5
5、 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13已知ABC 为钝角三角形，且 C 为钝角，则 a2b2与 c2的大小关系为_14设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c若 bc2a，3sin A5sin B，则角 C_15在ABC 中，ABC90，AB4，BC3，点 D 在线段 AC 上，若BDC45，则 BD_，cosABD_(本题第一空 2 分，第二空 3 分)16海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 A，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 C，D，测得 CD80，AD
6、B135，BDCDCA15，ACB120，则 A，B 两点间的距离为_四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin Bbcos2A 2a(1)求ba；(2)若 c2b2 3a2，求 B18(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208264/17(1)若 a3c，b 2，cos B23，
7、求 c 的值；(2)若sin Aacos B2b，求 sin(B2)的值19(本小题满分 12 分)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且满足 sin A 3cos A2(1)求角 A 的大小；(2)现给出三个条件：a2；B4；c 3b试从中选出两个可以确定ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求ABC 的面积(写出一种方案即可)20(本小题满分 12 分)某观测站在城 A 南偏西 20方向的 C 处，由城 A 出发的一条公路，走向是南偏东 40，在 C 处测得公路距 C 处 31 千米的 B 处有一人正沿公路向城 A 走去，走了 20 千米后到达 D 处，此时 C、
8、D 间的距离为 21千米，问这人还要走多少千米可到达城 A?21(本小题满分 12 分)已知ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，sin Asin B1cos A2cos B(1)求证：2abc；(2)若 cos A45，SABC6，求 a 的值22(本小题满分 12 分)在平面四边形 ABCD 中，ABD 中边 BD 所对的角为 A，BCD 中边 BD 所对的角为 C，已知 ABBCCD2，AD2 3(1)试问3cos Acos C 是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；(2)记ABD 与BCD 的面积分别为 S1和 S2，求出 S21S22的最大值2022级高一家长
9、交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208265/17一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC 中，ak，b 3k(k0)，A45，则满足条件的三角形有()A0 个B1 个C2 个D无数个A由正弦定理得asin Absin B，所以 sin Bbsin Aa621，即 sin B1，这是不成立的所以没有满足此条件的三角形2在ABC 中，sin Asin Bsin C323，则 cos C 的值为()A13B12C14D14A根据正弦定理，a
10、bcsiAsin Bsin C323，设 a3k，b2k，c3k(k0)则有 cos C9k24k29k223k2k133在ABC 中，A3，BC3，AB 6，则 C()A4或34B34C4D6C由BCsin AABsin C，得 sin C22BC3，AB 6，AC，则 C 为锐角，故 C44ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 b6，a2c，B3，则ABC 的面积为()A6 3B12 3C4 3D2 32022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208266/17A法一：因为 a2c，b6
11、，B3，所以由余弦定理 b2a2c22accos B，得 62(2c)2c222cccos3，得 c2 3，所以 a4 3，所以ABC 的面积S12acsin B124 32 3sin36 3故选 A法二：因为 a2c，b6，B3，所以由余弦定理 b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos3，得 c2 3，所以 a4 3，所以 a2b2c2，所以 A2，所以ABC 的面积 S122 366 3故选 A5在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin2A2cb2c，则ABC 的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形B由已知可得1c
12、os A212b2c，即 cos Abc，bccos A法一：由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc，则 bcb2c2a22bc，所以 c2a2b2，由此知ABC 为直角三角形法二：由正弦定理，得 sin Bsin Ccos A在ABC 中，sin Bsin(AC)，从而有 sin Acos Ccos Asin Csin Ccos A，即 sin Acos C0在ABC 中，sin A0，所以 cos C0，由此得 C2，故ABC 为直角三角形6设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 a2，B2A，则 b 的取值范围为()A(2 2，2 3)B(2 2，4)
13、2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208267/17C(2，2 3)D(0，4)A在锐角三角形 ABC 中，B2A，02A2，且 BA3A，C3A03A2，6A4，22cos A32a2，B2A，由正弦定理得basin 2Asin A2cos A，b4cos A，2 24cos A2 3，则 b 的取值范围为(2 2，2 3)7如图，在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 ABAD，2AB 3BD，BC2BD，则 sin C 的值为()A33B36C63D66D设 BDa，则 BC2a，ABAD32
14、a在ABD 中，由余弦定理，得cos AAB2AD2BD22ABAD32a232a2a2232a32a13又A 为ABC 的内角，sin A2 23在ABC 中，由正弦定理得，BCsin AABsin Csin CABBCsin A32a2a2 23668启东中学天文台是启中校园的标志性建筑小明同学为了估算学校天文台的高度，在学校宿舍楼 AB，其高为(155 3)m，在它们之间的地面上的点2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：5271208268/17M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，天文台顶 C 的仰角
15、分别是 15和 60，在楼顶 A 处测得天文台顶 C 的仰角为 30，假设 AB，CD 和点 M 在同一平面内，则小明估算学校天文台的高度为()A20 mB30 mC20 3 mD30 3 mB在直角三角形 ABM 中，AMABsin 15，在ACM 中，CAM301545，AMC1801560105，故ACM1804510530，由正弦定理，AMsinACMCMsinCAM，故 CMsinCAMsinACMAM 2ABsin 15在直角三角形 CDM 中，CDCMsin 60 6AB2sin 15 6155 32642430(m)故选 B二、选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 2
16、0 分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分)9在ABC 中，b2，B45，若这样的三角形有两个，则边 a 的取值可以为()A2B94C125D2 2BC由题意得ba，sin Aasin Bb2，2a412a2，x2 2x，解得 2 22x2 22，故当 x23时，SABC取得最大值 2 2，故选 A 不选 D；当 x1 时，SABC74，故选 B；当 x2 时，SABC2，故选 C，应选 ABC11在ABC 中，a7，b8，cos B17 则()AA3BA4CSABC6 3DSABC3 3AC在ABC 中，因为 cos B1
17、7，所以 sin B 1cos2B4 37由正弦定理得 sin Aasin Bb32 由题设知2B，所以 0A2，所以 A3在ABC 中，因为 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B3 314，所以 SABC12783 3146 3，故选 AC12 在ABC 中，D 在线段 AB 上，且 AD5，BD3，若 CB2CD，cosCDB55，则()AsinCDB310BABC 的面积为 82022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：52712082610/17CABC 的周长为 84 5DABC
18、为钝角三角形BCD因为 cosCDB55，所以 sinCDB 1cos2CDB2 55，故A 错误；设 CDa，则 BC2a，在BCD 中，BC2CD2BD22BDCDcosCDB，解得 a 5，所以 SDBC12BDCDsinCDB123 52 553，所以 SABC353SDBC8，故 B 正确；因为ADCCDB，所以 cosADCcos(CDB)cosCDB55，在ADC 中，AC2AD2CD22ADDCcosADC，解得 AC2 5，所以 CABCABACBC(35)2 52 584 5，故 C 正确；因为 AB8 为最大边，所以 cos CBC2AC2AB22BCAC350，即 C
19、为钝角，所以ABC 为钝角三角形，故 D 正确 故选 BCD三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13已知ABC 为钝角三角形，且 C 为钝角，则 a2b2与 c2的大小关系为_a2b2c2cos Ca2b2c22ab，且 C 为钝角，cos C0，a2b2c20，故 a2b20，故 cos B22，所以 B4518(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c(1)若 a3c，b 2，cos B23，求 c 的值；(2)若sin Aacos B2b，求 sin(B2)的值解(1)因为 a3c，b 2，cos B23
20、，由余弦定理 cos Ba2c2b22ac，得233c2c2 2223cc，即 c213所以 c33(2)因为sin Aacos B2b，由正弦定理asin Absin B，得cos B2bsin Bb，所以 cos B2sin B从而 cos2B(2sin B)2，即 cos2B4(1cos2B)，故 cos2B45因为 sin B0，所以 cos B2sin B0，从而 cos B2 55因此 sinB2 cos B2 5519(本小题满分 12 分)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且满足 sin A 3cos A2(1)求角 A 的大小；(2)现给出三个条件：
21、a2；B4；c 3b试从中选出两个可以确定ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求ABC 的面积(写出一种方案即可)解(1)依题意得 2sinA3 2，2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：52712082614/17即 sinA3 1，0A，3A31 不成立，这样的三角形不存在20(本小题满分 12 分)某观测站在城 A 南偏西 20方向的 C 处，由城 A 出发的一条公路，走向是南偏东 40，在 C 处测得公路距 C 处 31 千米的 B 处有一人正沿公路向城 A 走去，走了 20 千米后到达 D 处，此时
22、 C、D 间的距离为 21千米，问这人还要走多少千米可到达城 A?解如图所示，设ACD，CDB在CBD 中，由余弦定理得2022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：52712082615/17cos BD2CD2CB22BDCD2022123122202117，sin 4 37而 sin sin(60)sin cos 60sin 60cos 4 371232175 314在ACD 中，21sin 60ADsin，AD21sin sin 6015(千米)所以这人还要再走 15 千米可到达城 A21(本小题满分 12 分)
23、已知ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，sin Asin B1cos A2cos B(1)求证：2abc；(2)若 cos A45，SABC6，求 a 的值解(1)证明：sin Asin B1cos A2cos B，2sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A，可得 2sin Asin Bsin Acos Bsin Bcos Asin Bsin(AB)sin BsinC，所以由正弦定理可得 2abc(2)cos A45，A 为三角形内角，sin A 1cos2A35又 SABC6，612bcsin A，bc20，2022级高一家长交流QQ群：10271931
24、32学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：52712082616/17由余弦定理可得 cos Ab2c2a22bcbc22bca22bc4a22bca22bc3a22bc2bc3a2404045整理得 a224，解得 a2 6(负值舍去)22(本小题满分 12 分)在平面四边形 ABCD 中，ABD 中边 BD 所对的角为 A，BCD 中边 BD 所对的角为 C，已知 ABBCCD2，AD2 3(1)试问3cos Acos C 是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；(2)记ABD 与BCD 的面积分别为 S1和 S2，求出 S21S22的最大值解(1)在
25、ABD 中，由余弦定理得BD24128 3cos A168 3cos A，在BCD 中，由余弦定理得 BD2448cos C88cos C，所以 168 3cos A88cos C，则 8(3cos Acos C)8，所以3cos Acos C1，所以3cos Acos C 为定值 1(2)S11222 3sin A2 3sin A，S21222sin C2sin C，则 S21S2212sin2A4sin2C16(12cos2A4cos2C)，由(1)知：3cos A1cos C，代入上式得S21S221612cos2A4(3cos A1)224cos2A8 3cos A12，配方得 S21S2224cos A36214，所以当 cos A36时，S21S22取到最大值 142022级高一家长交流QQ群：1027193132学习资料分享-组班团课一对一提优-优秀教师推荐，可与小娜老师沟通QQ：527120826