2022届甘肃省兰州市高三第五次模拟考试数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高 考 数 学 模 拟 试 卷 注 意 事 项 1.考 试 结 束 后，请 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.2.答 题 前，请 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 用 0.5毫 米 黑 色 墨 水 的 签 字 笔 填 写 在 试 卷 及 答 题 卡 的 规 定 位 置.3,请 认 真 核 对 监 考 员 在 答 题 卡 上 所 粘 贴 的 条 形 码 上 的 姓 名、准 考 证 号 与 本 人 是 否 相 符.4.作 答 选 择 题，必 须 用 2B铅 笔 将 答 题 卡 上 对 应 选 项 的 方 框 涂 满、涂 黑；如 需 改 动，请 用 橡

2、皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案.作 答 非 选 择 题，必 须 用 05毫 米 黑 色 墨 水 的 签 字 笔 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 作 答，在 其 他 位 置 作 答 一 律 无 效.5.如 需 作 图，须 用 2B铅 笔 绘、写 清 楚，线 条、符 号 等 须 加 黑、加 粗.一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.已 知 曲 线 f=4 y,动 点 P 在 直 线 了=一 3上，过 点 P 作 曲 线 的 两 条 切 线 4,

3、切 点 分 别 为 A 6,则 直 线 截 圆*2+丁 _ 6丁+5=0 所 得 弦 长 为（）A.G B.2 C.4 D.2垂）2.已 知 函 数/（x）=2cos%-sin x+机（加 e R）的 部 分 图 象 如 图 所 示.则 与=（）3.设/（）=,点。（0,0）,4（0,1）,4（“，“），e N*,设=4 对 一 切 eN*都 有 不 等 式 包 2+旦 举+空 区+竺%/一 2/-2 成 立，则 正 整 数，的 最 小 值 为（）I2 22 32 n2A.3 B.4 C.5 D.64.已 知（J,5=0 2-c=b g，则（）A.a b c B.b a c C.b c a D

4、.a c b5.随 着 人 民 生 活 水 平 的 提 高，对 城 市 空 气 质 量 的 关 注 度 也 逐 步 增 大，下 图 是 某 城 市 1月 至 8月 的 空 气 质 量 检 测 情 况，图 中 一、二、三、四 级 是 空 气 质 量 等 级，一 级 空 气 质 量 最 好，一 级 和 二 级 都 是 质 量 合 格 天 气，下 面 叙 述 不 正 确 的 是（）A.1月 至 8 月 空 气 合 格 天 数 超 过 20天 的 月 份 有 5个 B.第 二 季 度 与 第 一 季 度 相 比，空 气 达 标 天 数 的 比 重 下 降 了 C.8月 是 空 气 质 量 最 好 的

5、一 个 月 D.6月 份 的 空 气 质 量 最 差.6.网 格 纸 上 小 正 方 形 边 长 为 1单 位 长 度，粗 线 画 出 的 是 某 几 何 体 的 三 视 图，则 此 几 何 体 的 体 积 为（）37.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，其 中 正 视 图 是 边 长 为 4 的 正 三 角 形，俯 视 图 是 由 边 长 为 4 的 正 三 角 形 和 一 个 半 圆 构 成,则 该 几 何 体 的 体 积 为（）正 视 的 M 视 困 统 视 图 AQ 兀 n。2下）兀 4内 万.8下 兀 A.8+-B.8+-C.4+-D.4+-3 3 3 32 28.已 知

6、 双 曲 线 C:三 一/=1（。0力 0）的 右 焦 点 为。为 坐 标 原 点，以 为 直 径 的 圆 与 双 曲 线 C 的 一 条 渐 近A.*2 r _13线 交 于 点。及 点 A2=12 2D.士-匕=16 29.若（l+ax）（l+x）5的 展 开 式 中 犬,/的 系 数 之 和 为 一 0,则 实 数”的 值 为（）A.-3 B.-2 C.-1 D.110.已 知 数 列,满 足 log3+1=log3rt+1（e N*）,且 生+4+4=9，则 log；（%+4+%）的 值 是（）9A.5 B.-3 C.4 D.913 x-4 y+1 0 2 011.设 x,满 足 约

7、束 条 件 0,则 z=x+2y的 最 大 值 是（）2 x+y 8=0A.4 B.6 C.8 D.1（）12.为 实 现 国 民 经 济 新“三 步 走”的 发 展 战 略 目 标，国 家 加 大 了 扶 贫 攻 坚 的 力 度.某 地 区 在 2015年 以 前 的 年 均 脱 贫 率（脱 离 贫 困 的 户 数 占 当 年 贫 困 户 总 数 的 比）为 70%.2015年 开 始，全 面 实 施“精 准 扶 贫”政 策 后，扶 贫 效 果 明 显 提 高,其 中 2019年 度 实 施 的 扶 贫 项 目，各 项 目 参 加 户 数 占 比（参 加 该 项 目 户 数 占 2019年

8、贫 困 户 总 数 的 比）及 该 项 目 的 脱 贫 率 见 下 表:实 施 项 目 种 植 业 养 殖 业 工 厂 就 业 服 务 业 参 加 用 户 比 40%40%10%10%脱 贫 率 95%95%90%90%那 么 2019年 的 年 脱 贫 率 是 实 施“精 准 扶 贫”政 策 前 的 年 均 脱 贫 率 的（）27 47 48 7A.二 倍 B.二 倍 C.仁 倍 D.二 倍 28 35 35 5二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分。13.定 义 在 封 闭 的 平 面 区 域。内 任 意 两 点 的 距 离 的 最 大 值 称 为 平 面 区

9、 域。的“直 径”.已 知 锐 角 三 角 形 的 三 个 点 A,B,C,在 半 径 为 G 的 圆 上，且 N8AC=。，分 别 以 M C 各 边 为 直 径 向 外 作 三 个 半 圆，这 三 个 半 圆 和 AM C 构 成 平 面 区 域。，则 平 面 区 域。的“直 径”的 最 大 值 是.14.在 一 块 土 地 上 种 植 某 种 农 作 物，连 续 5 年 的 产 量(单 位：吨)分 别 为 9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.则 该 农 作 物 的 年 平 均 产 量 是 吨.15.已 知 平 面 向 量 与 否 的 夹 角 为 9，=(6,一 1),h=,贝!)

10、2.16.若 函 数/(无)=/+菱.为 奇 函 数，则。=.三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(12分)设 函 数/(x)=(l+e-2”+Ax-l(其 中 xe(0,+8),且 函 数 f(x)在 x=2 处 的 切 线 与 直 线(e2+2)x-y=0 平 行.(1)求 Z 的 值；(2)若 函 数 g(x)=-xlnx,求 证:/(x)g(x)恒 成 立.18.(12分)设 数 列 r-5 的 前 一 项 和 为-，且-；-_+：,数 列 r-_、满 足-，点-、在 t 一 二 j-一 十，二 j 一 二，一 二

11、十“二 一 二+2=0上，Z e Z(1)求 数 列 二 二 的 通 项 公 式；(2)设 _ 求 数 列 二 一:的 前 二 项 和 二 一.C=19.(12分)如 图，三 棱 柱 ABC-AI8 IG 中，侧 面 BCGBi是 菱 形，AC=BC=2,N C B B 4,点 A 在 平 面 BCGBi上 的 投 影 为 棱 的 中 点 E.C,(1)求 证：四 边 形 ACG小 为 矩 形；(2)求 二 面 角 E d iG A i的 平 面 角 的 余 弦 值.20.(12 分)设 函 数 l+ln(+l)(x 0).(1)若/()二 恒 成 立，求 整 数 攵 的 最 大 值；(2)求

12、 证：(1+1X 2(1+2X3)l+*(+l)e2-3.21.(1 2分)如 图，在 四 棱 锥 尸-A5CZ)中，底 面 A3CZ)是 边 长 为 2 的 菱 形，ZA D C=6 0,P A D为 等 边 三 角 形,平 面 平 面 ABC。，M,N 分 别 是 线 段 尸。和 B C的 中 点.(1)求 直 线 CM与 平 面 口 8 所 成 角 的 正 弦 值；(2)求 二 面 角 D-AP-B的 余 弦 值；(3)试 判 断 直 线 M N与 平 面 弘 5 的 位 置 关 系，并 给 出 证 明.22.(1 0分)某 大 型 单 位 举 行 了 一 次 全 体 员 工 都 参 加

13、 的 考 试，从 中 随 机 抽 取 了 2 0人 的 分 数.以 下 茎 叶 图 记 录 了 他 们 的 考 试 分 数(以 十 位 数 字 为 茎，个 位 数 字 为 叶)：若 分 数 不 低 于 9 5分，则 称 该 员 工 的 成 绩 为“优 秀”.(1)从 这 2 0人 中 任 取 3 人，求 恰 有 1人 成 绩“优 秀”的 概 率；(2)根 据 这 2 0人 的 分 数 补 全 下 方 的 频 率 分 布 表 和 频 率 分 布 直 方 图，并 根 据 频 率 分 布 直 方 图 解 决 下 面 的 问 题.组 别 分 组 频 数 频 率 频 率 组 距 160,70)O.05

14、厂 一 1i I0 0 4I l I l I2 70,80)3 80,90)4 90,1000 60 70 S O 90 100 估 计 所 有 员 工 的 平 均 分 数（同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 作 代 表）；若 从 所 有 员 工 中 任 选 3 人，记 X 表 示 抽 到 的 员 工 成 绩 为“优 秀”的 人 数，求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.参 考 答 案 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.C【解

15、 析】设 彳 不?,，3，。，-3）,根 据 导 数 的 几 何 意 义，求 出 切 线 斜 率,方 程，抽 象 出 直 线 方 程，且 过 定 点 为 已 知 圆 的 圆 心，即 可 求 解.【详 解】圆*2+,2_6,+5=0 可 化 为 1+（尸 3）2=4.设 A 不 才、6 2,才,P（，,-3）,V 4 J 1 4 J则 4,4的 斜 率 分 别 为 k/，h*,进 而 得 到 切 线 方 程，将。点 坐 标 代 入 切 线2所 以 4 4 的 方 程 为 4：y=5（x%）+,即 y=2/2：y=（x-/）+十 即 丁=手 一%，-3=1-y2 1由 于 4 4 都 过 点/，-

16、3）,所 以-3=-t-y22 2即 4（4 色）,8（,%）都 在 直 线-3=,7 上，Y所 以 直 线 AB的 方 程 为 一 3=5 一，恒 过 定 点（0,3）,即 直 线 AB过 圆 心（0,3）,则 直 线 A 3截 圆 f+/一 6y+5=0所 得 弦 长 为 4.故 选:C.【点 睛】本 题 考 查 直 线 与 圆 位 置 关 系、直 线 与 抛 物 线 位 置 关 系，抛 物 线 两 切 点 所 在 直 线 求 解 是 解 题 的 关 键，属 于 中 档 题.2.C【解 析】由 图 象 可 知/川=-1,可 解 得 m=-g,利 用 三 角 恒 等 变 换 化 简 解 析

17、式 可 得 小）=2若 令/（力=0,即 可 求 得 天.【详 解】依 题 意,-1,P 2cos-sin+/n=3 6,乃 解 得 m=一 一；因 为/(x)=2cosx-sin x+一 2 I 62 cos x-2_2=gsinxcosx+cos2 x=sin 2x+cos 2x-sin 2x+2 2 2 I 6T T T T 77r所 以 2%+7=2上 万+一，当=1时，x0=.6 2 6故 选:C.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 由 三 角 函 数 的 图 象 求 解 析 式 和 已 知 函 数 值 求 自 变 量，考 查 三 角 恒 等 变 换 在 三 角 函 数 化 简 中

18、 的 应 用，难 度 一 般.3.A【解 析】先 求 得?邙=-_=_L一 _ 1 _,再 求 得 左 边 的 范 围，只 需/一 2一 2 2 1,利 用 单 调 性 解 得 t 的 范 围.n n n+1【详 解】由 题 意 知 sin 6 n n2+n.sin2?_ 1 _ 1 1 9 _ _ 2 rn n n n+1.sin2a sin22 sin23I2+嘤=+.n2 2 2 3 3 4 n,随 n 的 增 大 而 增 大,11 n+1 n+1 1 l,即/一 2，一 1 2 0,又 f(t)=/-2 f l 在 皑 1 上 单 增，f(2)=-KO,f(3)=20,正 整 数/的

19、最 小 值 为 3.【点 睛】本 题 考 查 了 数 列 的 通 项 及 求 和 问 题，考 查 了 数 列 的 单 调 性 及 不 等 式 的 解 法，考 查 了 转 化 思 想，属 于 中 档 题.4.B【解 析】利 用 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 单 调 性，将 数 据 和（）做 对 比，即 可 判 断.【详 解】由 于、0.2、227 7-10.2 2=4log,2 a c.故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 利 用 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 单 调 性 比 较 大 小，属 基 础 题.5.D【解 析】由 图 表 可 知 5月 空 气 质 量 合 格 天 气

20、 只 有 13天，5月 份 的 空 气 质 量 最 差.故 本 题 答 案 选 D.6.A【解 析】采 用 数 形 结 合，根 据 三 视 图 可 知 该 几 何 体 为 三 棱 锥，然 后 根 据 锥 体 体 积 公 式，可 得 结 果.【详 解】根 据 三 视 图 可 知：该 几 何 体 为 三 棱 锥 如 图 该 几 何 体 为 三 棱 锥 A-3 8,长 度 如 上 图 所 以 SbMBD=SEC=X 1 X 2=L Sgj1cN=X lx 1=、3所 以 S ABCD=2 义 2-S GMBD S&DEC S4BCN=所 以 匕=1故 选：A【点 睛】本 题 考 查 根 据 三 视

21、图 求 直 观 图 的 体 积，熟 悉 常 见 图 形 的 三 视 图：比 如 圆 柱，圆 锥，球，三 棱 锥 等；对 本 题 可 以 利 用 长 方 体，根 据 三 视 图 删 掉 没 有 的 点 与 线，属 中 档 题.7.A【解 析】由 题 意 得 到 该 几 何 体 是 一 个 组 合 体，前 半 部 分 是 一 个 高 为 2 6 底 面 是 边 长 为 4 的 等 边 三 角 形 的 三 棱 锥，后 半 部 分 是 一 个 底 面 半 径 为 2的 半 个 圆 锥，体 积 为 丫=_1且 4 2 2百+1 1 乃 4 2 6=8+血 呢 3 4 2 3 3故 答 案 为 A.点 睛

22、：思 考 三 视 图 还 原 空 间 几 何 体 首 先 应 深 刻 理 解 三 视 图 之 间 的 关 系，遵 循“长 对 正，高 平 齐，宽 相 等”的 基 本 原 则，其 内 涵 为 正 视 图 的 高 是 几 何 体 的 高，长 是 几 何 体 的 长；俯 视 图 的 长 是 几 何 体 的 长，宽 是 几 何 体 的 宽；侧 视 图 的 高 是 几 何 体 的 高，宽 是 几 何 体 的 宽.由 三 视 图 画 出 直 观 图 的 步 骤 和 思 考 方 法：1、首 先 看 俯 视 图，根 据 俯 视 图 画 出 几 何 体 地 面 的 直 观 图；2、观 察 正 视 图 和 侧 视

23、 图 找 到 几 何 体 前、后、左、右 的 高 度；3、画 出 整 体，然 后 再 根 据 三 视 图 进 行 调 整.8.C【解 析】根 据 双 曲 线 方 程 求 出 渐 近 线 方 程：=立 从 而 可 求 出 再 由 c73 3【详 解】2 2由 双 曲 线 一 方=1（。0力 0）b则 渐 近 线 方 程：y=-x,a.b=ci 93y）T C!连、接 C l VC2-3 h 加 E 4,则+T=-7=-=A O V3 fl 3所 以 2=/+廿=4,解 得 力=3,尸 1故 双 曲 线 方 程 为 士：/=.3再 将 点 A1|,日）代 入 可 得=连 接 4,根 据 圆 的 性

24、 质 可 得 2=a2+b2即 可 求 解.L 解 得 c=2,=1.故 选：C【点 睛】本 题 考 查 了 双 曲 线 的 几 何 性 质，需 掌 握 双 曲 线 的 渐 近 线 求 法，属 于 中 档 题.9.B【解 析】由(1+0X)(1+X)5=(1+X)5+0X(1+X)5,进 而 分 别 求 出 展 开 式 中 X2的 系 数 及 展 开 式 中 X3的 系 数，令 二 者 之 和 等 于-1 0,可 求 出 实 数”的 值.【详 解】由(1+词(1+x)5=(1+%)5+ax(+x)s,则 展 开 式 中 x2的 系 数 为 C；+aC=10+5 a,展 开 式 中 的 系 数

25、为 C；+C52=10+10,二 者 的 系 数 之 和 为(10+5。)+(10。+10)=15。+20=-1 0,得。=2.故 选:B.【点 睛】本 题 考 查 二 项 式 定 理 的 应 用，考 查 学 生 的 计 算 求 解 能 力，属 于 基 础 题.10.B【解 析】由 logM+l=logMT，可 得=3 4,所 以 数 列%是 公 比 为 3的 等 比 数 列，9所 以 出+。4+6=%+9 2+8肛=9 3=9,则%,则 log I(%+%+%)=log(3。2+27。2+243a2)=log13=-3,故 选 B3 3 3点 睛：本 题 考 查 了 等 比 数 列 的 概

26、念，等 比 数 列 的 通 项 公 式 及 等 比 数 列 的 性 质 的 应 用，试 题 有 一 定 的 技 巧，属 于 中 档 试 题，解 决 这 类 问 题 的 关 键 在 于 熟 练 掌 握 等 比 数 列 的 有 关 公 式 并 能 灵 活 运 用，尤 其 需 要 注 意 的 是，等 比 数 列 的 性 质 和 在 使 用 等 比 数 列 的 前“项 和 公 式 时，应 该 要 分 类 讨 论，有 时 还 应 善 于 运 用 整 体 代 换 思 想 简 化 运 算 过 程.11.D【解 析】作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域，由 目 标 函 数 的 几 何 意 义，通 过

27、 平 移 即 可 求 z 的 最 大 值.【详 解】作 出 不 等 式 组 的 可 行 域，如 图 阴 影 部 分，作 直 线/。：x+2 y=0在 可 行 域 内 平 移 当 过 点 A时，z=x+2y取 得 最 大 值.3 x-4 y+1002 x+y 8W0得：A（2,4）,Zmax=10故 选：D【点 睛】本 题 主 要 考 查 线 性 规 划 的 应 用，利 用 数 形 结 合 是 解 决 线 性 规 划 题 目 的 常 用 方 法，属 于 基 础 题.12.B【解 析】设 贫 困 户 总 数 为。，利 用 表 中 数 据 可 得 脱 贫 率 P=2 X 40%X 95%+2 X 1

28、0%X 9 0%,进 而 可 求 解.【详 解】设 贫 困 户 总 数 为%脱 贫 率 P=2x40%x95%a+2xl0%x90%a=94%,a所 以 94%70%4735故 2019年 的 年 脱 贫 率 是 实 施“精 准 扶 贫”政 策 前 的 年 均 脱 贫 率 的 倍.35故 选：B【点 睛】本 题 考 查 了 概 率 与 统 计，考 查 了 学 生 的 数 据 处 理 能 力，属 于 基 础 题.二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分。【解 析】先 找 到 平 面 区 域 D 内 任 意 两 点 的 最 大 值 为|+V3sinB+x/3 sin

29、 C,再 利 用 三 角 恒 等 变 换 化 简 即 可 得 到 最 大 值.【详 解】由 已 知 及 正 弦 定 理，得=，丝=-=2/?=2 6,所 以 8c=3,sin B sin C sin AAC=26 sin 8,A6=2GsinC，取 AB 中 点 E,AC 中 点 尸，BC 中 点 G,如 图 所 示 显 然 平 面 区 域 任 意 两 点 距 离 最 大 值 为-+V3sinB+V3sinC,2而+Gsin 8+百 sin C=/+百 sin B+sin(-y-B)=+5/3(sin B+cos B)=+3sin(B+)3，2 2 2 2 6 2TT当 且 仅 当 3=可 时

30、，等 号 成 立.9故 答 案 为：2【点 睛】本 题 考 查 正 弦 定 理 在 平 面 几 何 中 的 应 用 问 题，涉 及 到 距 离 的 最 值 问 题，在 处 理 这 类 问 题 时，一 定 要 数 形 结 合，本 题 属 于 中 档 题.14.10【解 析】根 据 已 知 数 据 直 接 计 算 即 得.【详 解】上 用-9.4+9.7+9.8+10.3+10.8,八 由 题 得，x=-=10.5故 答 案 为：10【点 睛】本 题 考 查 求 平 均 数，是 基 础 题.15.V13【解 析】根 据 已 知 求 出|B|,利 用 向 量 的 运 算 律，求 出|2-即 可.【详

31、 解】由=(V3,-l)可 得 I=百+(_)2=2,所 以 12a-5 1=yl(2a-b)2=-4 a b+b=V13 故 答 案 为:V13【点 睛】本 题 考 查 向 量 的 模、向 量 的 数 量 积 运 算，考 查 计 算 求 解 能 力，属 于 基 础 题.16.-2【解 析】由 f W 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数,可 知 对 任 意 的 X,/(-X)=-/(X)都 成 立，代 入 函 数 式 可 求 得“的 值.【详 解】由 题 意,f(x)的 定 义 域 为 R,/(X)=Y+算 j=/1 1+f M 是 奇 函 数，则/(一 为=一/(幻,即 对 任 意 的(

32、一%丫 卜+=一 炉(1+式 1都 成 立，故 1+=+整 理 得 a+2=0,解 得 a=-2.2+1 I 2+1J故 答 案 为：-2.【点 睛】本 题 考 查 奇 函 数 性 质 的 应 用，考 查 学 生 的 计 算 求 解 能 力，属 于 基 础 题.三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(1)k=(2)证 明 见 解 析【解 析】(1)求 导 得 到.f(2)=(l+e-2)e2+k=e2+2,解 得 答 案.(2)变 形 得 到(l+e2)e*l x xlnx,令 函 数(x)=1 x-xlnx,求 导 得 到

33、函 数 单 调 区 间 得 到力(幻 力(2)=1+0-2,E(x)/7(0)=(l+e-2),得 到 证 明.【详 解】(1)fx)=(1+e-2)ex+k,f(2)=(l+e-2)e2+k=e2+2,解 得 女=1.(2)/(x)g(x)得(l+e。)？+x-l-xlnx,变 形 得(l+e0)e*1-x-xlnx,令 函 数/?(x)=l-x-xlnx,(x)=-2 l n x,令-2lnx=0 解 得.=/2,当 x e(0,e2)时 h(x)0,xe(e-2,+oo)时 力(x)F(0)=(l+e-2),二 F(x)F(0)=(l+e-2)2 A(x)=1-x-xlnx,即(l+e-

34、2)e*1-x-xlnx,即(1+/2)e*-i+x-x In x,/(x)g(x)恒 成 立.【点 睛】本 题 考 查 了 根 据 切 线 求 参 数，证 明 不 等 式，意 在 考 查 学 生 的 计 算 能 力 和 转 化 能 力，综 合 应 用 能 力.18.(1)二 二=3 二，二 二=1+(二-=2 二 一/【解 析】(1)利 用-与-的 递 推 关 系 可 以-的 通 项 公 式；-点 代 入 直 线 方 程 得-_ 1,可 知 数 列 L、是 等 差 数 列,一 二 一 二-Z-Z+1 _二 _ _ t-ZJ用 公 式 求 解 即 可.(2)用 错 位 相 减 法 求 数 列

35、的 和.【详 解】。)由 二 二+/=2二 二+1可 得 二 二=2二 二-+2(1 2)两 式 相 减 得 二 二 十;-二 二=二 二 二+L 3口 口(口 2y又 二，=2 二，+；=3,所 以 二；=3 二,故 二 _：)是 首 项 为 1，公 比 为 3 的 等 比 数 列 所 以 二 _=3 二.由 点 二(二 二，二 二+Q在 直 线 二-0+2=。上，所 以 二 二+7-二 二=7则 数 列 二 7 是 首 项 为 1,公 差 为 2 的 等 差 数 列.贝 1 1二 _=,；+(二 _ j).二=二 一,；两 式 相 减 得：.【点 睛】用 递 推 关 系-=-_-广 求 通

36、 项 公 式 时 注 意-的 取 值 范 围，所 求 结 果 要 注 意 检 验-一：的 情 况；由 一 个 等 差 数 一 口 1 口 1 口 一 八-4 列 和 一 个 等 比 数 列 的 积 组 成 的 数 列 求 和，常 用 错 位 相 减 法 求 解.19.(1)见 解 析(2)-上 7【解 析】(1)通 过 勾 股 定 理 得 出 C E L B g,又 耳，进 而 可 得 _L平 面 M C,则 可 得 到 44,，A C,问 题 得 证；(2)如 图，以 E 为 原 点，EC,EB 4 所 在 直 线 分 别 为 X 轴，)，轴，二 轴，求 出 平 面 与。的 法 向 量 和

37、平 面 A q C的 法 向 量，利 用 空 间 向 量 的 夹 角 公 式 可 得 答 案.【详 解】(1)因 为 AE_L平 面 B 4 G C,所 以 AEJ.8旦，1 JI又 因 为 8 七=耳 8 4=1,B C=2,Z E B C=,所 以 CE=G，因 此 B E2+C E2=B C2,所 以 C E，BB,因 此 平 面 A C,所 以 8B|_LAC,从 而 A A A C,又 四 边 形 A C A 为 平 行 四 边 形，则 四 边 形 A C G A 为 矩 形；(2)如 图，以 E 为 原 点,EC,EB,E 4 所 在 直 线 分 别 为 x 轴，,轴，z轴，所 以

38、 A(0,0,1),4(0,2,1),4(0,l,0),C(V3,0,0),平 面 EB】C 的 法 向 量 m=(0,0,1),设 平 面 A4 c 的 法 向 量 n=(x,y,z),由 n C8,=(x,y,z)(y=V 3x,由 拉 _L4A=(%,y,z)(0,1,1)=0=y+z=0,令 九=y=6,z=/3,即=(1,G,6),gr：K|/_、所 以，cos=-f=-,1x77 7所 以，所 求 二 面 角 的 余 弦 值 是 一 叵.7【点 睛】本 题 考 查 空 间 垂 直 关 系 的 证 明，考 查 向 量 法 求 二 面 角 的 大 小，考 查 学 生 计 算 能 力，是

39、 中 档 题.20.(1)整 数 k 的 最 大 值 为 3；(2)见 解 析.【解 析】,、I 一、k-x八，(x+l)+(x+l)ln(尢+1)一 皿/、(x+l)+(x+l)ln(x+l)(1)将 不 等 式/(力 1 变 形 为 一匕 L,构 造 函 数=L L,利 用 导 数 研 究 函 数 y=h(x)的 单 调 性 并 确 定 其 最 值，从 而 得 到 正 整 数 k 的 最 大 值；(2)根 据(1)的 结 论 得 到 ln l+(+l)2-蒲 切 利 用 不 等 式 的 基 本 性 质 可 证 得 结 论.【详 解】由/(x)+E(x+l)上 得、(x+l)+(x+l)ln

40、(x+l),x x+1 X令 3=(t+i)+(x+i)皿 廿 i),/=上 一 任+)X X令 g(x)=x-l-l n(x+l),.,.g 0对 V x 0恒 成 立，X+1所 以，函 数 y=g(x)在(0,+。)上 单 调 递 增，.-g(0)=-l 0,g 0,g(2)0,故 存 在 X。2,3)使 得 g(%)=0,即/-1=山(+1)，从 而 当 x 为 时,有 g(x)g(%)=O,所 以,函 数 y=(x)在(如+8)上 单 调 递 增;当 尤/时，有 g(x)g(%)=0,(x)/恒 成 立,./(x+i)工 L _ I=2一 _-2-,X x+l x+l X+1 X3 2

41、-(/?+1)f l 1 A=2 3-n/?+1+1)2-3(，-ln(l+lx 2)2-3 ln(l+2x3)2-317 7+1上 述 等 式 全 部 相 加 得 In(l+lx 2)+ln(l+2x3)+lnl+(+l).)2 3,所 以，In(l+lx 2)(l+2x3).+2/2 3,因 此，(1+1X 2)(1+2 X 3)口+“x(+l)e2-3【点 睛】本 题 考 查 导 数 在 函 数 单 调 性、最 值 中 的 应 用，以 及 放 缩 法 证 明 不 等 式 的 技 巧，属 于 难 题.21.(1)(2)一(3)直 线 M N/平 面 证 明 见 解 析 10 5【解 析】取

42、 AZ)中 点 O,连 接。C,则 O C LA。，再 由 已 知 证 明 平 面 A B C D,以。为 坐 标 原 点，分 别 以 OC,OD,0P所 在 直 线 为 x,丁，z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 平 面 Q 钻 的 一 个 法 向 量 为.(1)求 出 局 的 坐 标，由;与 oM所 成 角 的 余 弦 值 可 得 直 线 CM与 平 面 Q 钻 所 成 角 的 正 弦 值；(2)求 出 平 面 PAD的 一 个 法 向 量，再 由 两 平 面 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 可 得 二 面 角。-A P-8 的 余 弦 值；(3)求 出 痴 的 坐

43、标，由 二 痴=()，结 合 MN(Z平 面 Q4B，可 得 直 线 M N/平 面【详 解】底 面 ABC。是 边 长 为 2 的 菱 形，ZAC=60,.AACD为 等 边 三 角 形.取 A O中 点。，连 接 0 C,则 OC_LA,.AE4O为 等 边 三 角 形，：.O P A D,又 平 面 Q4T_L平 面 ABC。，且 平 面 2 4。门 平 面 ABC。=A D,.OP_L 平 面 ABCD.以。为 坐 标 原 点，分 别 以 o c,O D,。所 在 直 线 为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系.则 A(0,-1,0),)(0,1,0),c庄,0,0),B

44、(曲,2,0),P(0,0,G),M(0,L 乌，N(B-1,0).2 2A%=(O,1,百)，A%=(4-l,0)，设 平 面 的 一 个 法 向 量 为：=(x,y,z)n-A P-y+f3z=0 r 一 由，取 y=j 3,得=(1,瓜 _1An-AB=J3x-y=0(1)证 明：设 直 线 CM与 平 面 RU3所 成 角 为。，加=(-6,马，贝|sin 0=|cos|=。看=,|；|.|C M|辰 2 10即 直 线 CM与 平 面 P 4 B所 成 角 的 正 弦 值 为 1 5；10（2）设 平 面 D 4P的 一 个 法 向 量 为;=（i,o,o）,n m 1 5由 COS

45、=-T-L=r=-=，n-m 7 5 x 1 5得 二 面 角 D-A P-B 的 余 弦 值 为-亚；5(3)加=(收 _巧,_争，n-MN=y/3-+=0,2 2又 M N(Z平 面 直 线 例 N/平 面【点 睛】本 题 考 查 线 面 平 行 的 证 明，考 查 二 面 角 的 余 弦 值 的 求 法，考 查 空 间 中 线 线、线 面、面 面 间 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题.Q 322.(1)(2)8 2,分 布 列 见 解 析，E(X)=B【解 析】(D 从 2 0人 中 任 取 3 人 共 有 C；。种

46、结 果，恰 有 1人 成 绩“优 秀”共 有 C：G：种 结 果，利 用 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 计 算 即 可；(2)平 均 数 的 估 计 值 为 各 小 矩 形 的 组 中 值 与 其 面 积 乘 积 的 和；要 注 意 X 服 从 的 是 二 项 分 布，不 是 超 几 何 分 布,利 用 二 项 分 布 的 分 布 列 及 期 望 公 式 求 解 即 可.【详 解】(1)设 从 2 0人 中 任 取 3 人 恰 有 1人 成 绩“优 秀”为 事 件 A,贝 UP(A)=第 1=2,所 以，恰 有 1人“优 秀”的 概 率 为 白.(2)组 别 分 组 频 数 频

47、率 频 率 组 距 160,70)21100.01270,80)63100.03380,90)8250.04490,1004_50.02频 率/组 距 1 3 4 2 65x+75x+85x+95x=82,10 10 10 10估 计 所 有 员 工 的 平 均 分 为 824 1 X 的 可 能 取 值 为 0、1、2、3,随 机 选 取 1人 是“优 秀”的 概 率 为=五=丁:.P(X=0)=125P(X=3)=X 的 分 布 列 为 X 0 1 2 3P6412548125121251125.数 学 期 望 E(X)=3xg=|.【点 睛】本 题 考 查 古 典 概 型 的 概 率 计 算 以 及 二 项 分 布 期 望 的 问 题，涉 及 到 频 率 分 布 直 方 图、平 均 数 的 估 计 值 等 知 识，是 一 道 容 易 题.