2015年湖南省高考数学试卷.pdf

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1、2015 年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 1（5 分）已知=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=（）A1+i B 1i C1+i D1i 2（5 分）设 A、B是两个集合，则“AB=A”是“A B”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3，则输出的 S=（）A B C D 4（5 分）若变量 x、y 满足约束条件，则 z=3x y 的最小值为（）A7 B1 C1 D2 5（5 分）设函数 f（x）=ln（1+x）ln（1x），则 f（x）是（）A奇函

2、数，且在（0，1）上是增函数 B奇函数，且在（0，1）上是减函数 C偶函数，且在（0，1）上是增函数 D偶函数，且在（0，1）上是减函数 6（5 分）已知（）5的展开式中含 x的项的系数为 30，则 a=（）A B C6 D6 7（5 分）在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布 N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若 XN=（，a2），则 P（X+）=0.6826 p（2X+2）=0.9544 A2386 B2718 C3413 D4772 8（5 分）已知 A，B，C在圆 x2+y2=1 上运动，且 AB BC，若点 P的坐标为（2，

3、0），则|的最大值为（）A6 B7 C8 D9 9（5 分）将函数 f（x）=sin2x 的图象向右平移（0）个单位后得到函数 g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2 的 x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）A B C D 10（5 分）某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A B C D 二、填空题，共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11（5 分）（x1）dx=12（5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图

4、所示 若将运动员成绩由好到差编号为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则 其 中 成 绩 在 区 间 139，151 上 的 运 动 员 人 数是 13（5 分）设 F是双曲线 C：=1 的一个焦点若 C上存在点 P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C的离心率为 14（5 分）设 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 a1=1，且 3S1，2S2，S3成等差数列，则 an=15（5 分）已知函数 f（x）=若存在实数 b，使函数 g（x）=f（x）b 有两个零点，则 a 的取值范围是 三、简答题，共 1 小题，共 75 分，16、17、18 为选修题，任选两小题作答，如果全做

5、，则按前两题计分选修 4-1：几何证明选讲 16（6 分）如图，在O中，相交于点 E的两弦 AB，CD的中点分别是 M，N，直线 MO与直线 CD相交于点 F，证明：（1）MEN+NOM=180（2）FEFN=FMFO 选修 4-4：坐标系与方程 17（6 分）已知直线 l：（t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的坐标方程为=2cos（1）将曲线 C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点 M的直角坐标为（5，），直线 l 与曲线 C的交点为 A，B，求|MA|MB|的值 选修 4-5：不等式选讲 18设 a0，b0，且 a+b=+证明：（）a+b2；（）a2

6、+a2 与 b2+b2 不可能同时成立 七、标题 19设ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，a=btanA，且 B为钝角（）证明：BA=；（）求 sinA+sinC 的取值范围 20某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；（2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X的分布列和数学期望

7、 21如图，已知四棱台 ABCD A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，AA1=6，且 AA1底面 ABCD，点 P、Q分别在棱 DD1、BC上（1）若 P是 DD1的中点，证明：AB1PQ；（2）若 PQ 平面 ABB1A1，二面角 PQD A的余弦值为，求四面体 ADPQ 的体积 22（13 分）已知抛物线 C1：x2=4y 的焦点 F也是椭圆 C2：+=1（ab0）的一个焦点C1与 C2的公共弦长为 2（）求 C2的方程；（）过点 F的直线 l 与 C1相交于 A、B两点，与 C2相交于 C、D两点，且与同向（1）若|AC|=|BD|，求直线 l 的斜率；（2）

8、设 C1在点 A处的切线与 x 轴的交点为 M，证明：直线 l 绕点 F 旋转时，MFD 总是钝角三角形 23（13 分）已知 a0，函数 f（x）=eaxsinx（x0，+）记 xn为 f（x）的从小到大的第 n（nN*）个极值点证明：（）数列f（xn）是等比数列；（）若 a，则对一切 nN*，xn|f（xn）|恒成立 2015 年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题，共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 1（5 分）已知=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=（）A1+i B 1i C1+i D1i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得 z 的值【

9、解答】解：已知=1+i（i 为虚数单位），z=1i，故选：D【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题 2（5 分）设 A、B是两个集合，则“AB=A”是“A B”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可【解答】解：A、B是两个集合，则“AB=A”可得“A B”，“AB”，可得“AB=A”所以 A、B是两个集合，则“AB=A”是“A B”的充要条件 故选：C【点评】本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用 3（5 分）执行如图所示的程序框图，如果

10、输入 n=3，则输出的 S=（）A B C D【分析】列出循环过程中 S 与 i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：判断前 i=1，n=3，s=0，第 1 次循环，S=，i=2，第 2 次循环，S=，i=3，第 3 次循环，S=，i=4，此 时，i n，满 足 判 断 框 的 条 件，结 束 循 环，输 出 结 果：S=故选：B【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力 4（5 分）若变量 x、y 满足约束条件，则 z=3x y 的最小值为（）A7 B1 C1 D2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：

11、由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为 A，联立，解得 C（0，1）由解得 A（2，1），由，解得 B（1，1）z=3x y 的最小值为 3（2）1=7 故选：A 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题易错点是图形中的 B点 5（5 分）设函数 f（x）=ln（1+x）ln（1x），则 f（x）是（）A奇函数，且在（0，1）上是增函数 B奇函数，且在（0，1）上是减函数 C偶函数，且在（0，1）上是增函数 D偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可【解答】解：函数 f（x）=ln（1+x）ln

12、（1x），函数的定义域为（1，1），函数 f（x）=ln（1x）ln（1+x）=ln（1+x）ln（1x）=f（x），所以函数是奇函数 排除 C，D，正确结果在 A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0 时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）ln（1）=ln31，显然 f（0）f（），函数是增函数，所以 B错误，A正确 故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力 6（5 分）已知（）5的展开式中含 x的项的系数为 30，则 a=（）A B C6 D6【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1 项，整理成最简形式，令 x

13、的指数为求得 r，再代入系数求出结果【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr+1=；展开式中含 x的项的系数为 30，r=1，并且，解得 a=6 故选：D【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具 7（5 分）在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布 N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若 XN=（，a2），则 P（X+）=0.6826 p（2X+2）=0.9544 A2386 B2718 C3413 D4772【分析】求出 P（0X1）=0.6

14、826=0.3413，即可得出结论【解答】解：由题意 P（0X1）=0.6826=0.3413，落入阴影部分点的个数的估计值为 100000.3413=3413，故选：C【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 8（5 分）已知 A，B，C在圆 x2+y2=1 上运动，且 AB BC，若点 P的坐标为（2，0），则|的最大值为（）A6 B7 C8 D9【分析】由题意，AC为直径，所以|=|2+|B为（1，0）时，|2+|7，即可得出结论【解答】解：由题意，AC为直径，所以|=|2+|所以 B为（1，0）时，|2+|7

15、所以|的最大值为 7 另解：设 B（cos，sin），|2+|=|2（2，0）+（cos2，sin）|=|（cos6，sin）|=，当 cos=1 时，B为（1，0），取得最大值 7 故选：B【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 9（5 分）将函数 f（x）=sin2x 的图象向右平移（0）个单位后得到函数 g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2 的 x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）A B C D【分析】利用三角函数的最值，求出自变量 x1，x2的值，然后判断选项即可【解答】解：因为将函数 f（x）=sin2x 的周期为，函数的图象向右平

16、移（0）个单位后得到函数 g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1x2|min=，不妨 x1=，x2=，即 g（x）在 x2=，取得最小值，sin（22）=1，此时=，不合题意，x1=，x2=，即 g（x）在 x2=，取得最大值，sin（22）=1，此时=，满足题意 另解：f（x）=sin2x，g（x）=sin（2x2），设 2x1=2k+，kZ，2x22=+2m，m Z，x1x2=+（km），由|x1x2|min=，可得=，解得=，故选：D【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力

17、，是好题，题目新颖有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答 10（5 分）某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A B C D【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为 1，高为 2，求解体积 利用几何体的性质得出此长方体底面边长为 n 的正方形，高为 x，利用轴截面的图形可判断得出 n=（1），0 x2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为 1，高为 2，V=2=加工成一个体积尽可能大的长方体新工

18、件，此长方体底面边长为 n 的正方形，高为 x，根据轴截面图得出：=，解得；n=（1），0 x2，长方体的体积=2（1）2x，=x24x+2，=x24x+2=0，x=，x=2，可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，最大值=2（1）2=，原工件材料的利用率为=，故选：A【点评】本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题 二、填空题，共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11（5 分）（x1）dx=0 【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值【解答】解：（x1）dx=（x）|=0；故答案为：0【点评】本题考查了定积分的计算；关键是求出

19、被积函数的原函数 12（5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示 若将运动员成绩由好到差编号为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则 其 中 成 绩 在 区 间 139，151 上 的 运 动 员 人 数 是 4 【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间139，151 上的运动员人数是 20，用系统抽样方法从 35 人中抽取 7 人，成绩在区间139，151 上的运动员应抽取 7=4（人）故答案为：4【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础

20、题目 13（5 分）设 F是双曲线 C：=1 的一个焦点若 C上存在点 P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C的离心率为 【分析】设 F（c，0），P（m，n），（m 0），设 PF 的中点为 M（0，b），即有 m=c，n=2b，将中点 M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到【解答】解：设 F（c，0），P（m，n），（m 0），设 PF的中点为 M（0，b），即有 m=c，n=2b，将点（c，2b）代入双曲线方程可得，=1，可得 e2=5，解得 e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题 1

21、4（5 分）设 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 a1=1，且 3S1，2S2，S3成等差数列，则 an=3n1 【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式【解答】解：设等比数列的公比为q，Sn为等比数列an的前 n 项和，若 a1=1，且 3S1，2S2，S3成等差数列，可得 4S2=S3+3S1，a1=1，即 4（1+q）=1+q+q2+3，q=3 an=3n1 故答案为：3n1【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查 15（5 分）已知函数 f（x）=若存在实数 b，使函数 g（x）=f（x）b 有两个零点，则 a 的取值范围是 a|a 0 或

22、 a1 【分析】由 g（x）=f（x）b 有两个零点可得 f（x）=b 有两个零点，即 y=f（x）与 y=b 的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求 a 的范围【解答】解：g（x）=f（x）b 有两个零点，f（x）=b 有两个零点，即 y=f（x）与 y=b 的图象有两个交点，由 x3=x2可得，x=0 或 x=1 当 a1 时，函数 f（x）的图象如图所示，此时存在 b，满足题意，故 a1满足题意 当 a=1 时，由于函数 f（x）在定义域 R上单调递增，故不符合题意 当 0a1 时，函数 f（x）单调递增，故不符合题意 a=0 时，f（x）单调递增，故不符合题

23、意 当 a0 时，函数 y=f（x）的图象如图所示，此时存在 b 使得，y=f（x）与 y=b有两个交点 综上可得，a0 或 a1 故答案为：a|a 0 或 a1【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想 三、简答题，共 1 小题，共 75 分，16、17、18 为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修 4-1：几何证明选讲 16（6 分）如图，在O中，相交于点 E的两弦 AB，CD的中点分别是 M，N，直线 MO与直线 CD相交于点 F，证明：（1）MEN+NOM=180（2）FEFN=FMFO 【分析】（1）证明 O，M，E，N四点共圆，即

24、可证明MEN+NOM=180（2）证明FEM FON，即可证明 FEFN=FMFO【解答】证明：（1）N为 CD的中点，ON CD，M为 AB的中点，OM AB，在四边形 OMEN 中，OME+ONE=90+90=180，O，M，E，N四点共圆，MEN+NOM=180（2）在FEM与FON中，F=F，FME=FNO=90，FEM FON，=FEFN=FMFO【点评】本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 选修 4-4：坐标系与方程 17（6 分）已知直线 l：（t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的坐标方程为=2c

25、os（1）将曲线 C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点 M的直角坐标为（5，），直线 l 与曲线 C的交点为 A，B，求|MA|MB|的值【分析】（1）曲线的极坐标方程即 2=2cos，根据极坐标和直角坐标的互化公式得 x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线 l 的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论【解答】解：（1）=2cos，2=2cos，x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x1）2+y2=1；（2）直线 l：（t 为参数），普通方程为，（5，）在直线 l 上，过点 M作圆的切线，切点为 T，则|MT|2=（51）2+31=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA

26、|MB|=18【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题 选修 4-5：不等式选讲 18设 a0，b0，且 a+b=+证明：（）a+b2；（）a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立【分析】（）由 a0，b0，结合条件可得 ab=1，再由基本不等式，即可得证；（）运用反证法证明 假设 a2+a2 与 b2+b2 可能同时成立 结合条件 a0，b0，以及二次不等式的解法，可得 0a1，且 0b1，这与 ab=1 矛盾，即可得证【解答】证明：（）由 a0，b0，则 a+b=+=，由于 a+b0，则 ab=1，即有 a+b2=2，当且仅当 a=b 取得等号 则 a+b2；（

27、）假设 a2+a2 与 b2+b2 可能同时成立 由 a2+a2 及 a0，可得 0a1，由 b2+b2 及 b0，可得 0b1，这与 ab=1 矛盾 a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立【点评】本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题 七、标题 19设ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，a=btanA，且 B为钝角（）证明：BA=；（）求 sinA+sinC 的取值范围【分析】（）由题意和正弦定理可得 sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（）由题意可得 A（0，），可得 0sinA，化简可得 sinA+sinC=2（si

28、nA）2+，由二次函数区间的最值可得【解答】解：（）由 a=btanA 和正弦定理可得=，sinB=cosA，即 sinB=sin（+A）又 B为钝角，+A（，），B=+A，BA=；（）由（）知 C=（A+B）=（A+A）=2A0，A（0，），sinA+sinC=sinA+sin（2A）=sinA+cos2A=sinA+1 2sin2A=2（sinA）2+，A（0，），0sinA，由二次函数可知2（sinA）2+sinA+sinC 的取值范围为（，【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题 20某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖

29、都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；（2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X的分布列和数学期望【分析】（1）记事件 A1=从甲箱中摸出一个球是红球，事件 A2=从乙箱中摸出一个球是红球，事件 B1=顾客抽奖 1 次获一等奖，事件 A2=顾客抽奖 1 次获二等奖，事件 C=顾客抽奖 1 次能获奖，利用 A1，A2相互独立，互斥，B1，B2互斥，然后求出所

30、求概率即可（2）顾客抽奖 1 次可视为 3 次独立重复试验，判断 XB求出概率，得到 X的分布列，然后求解期望【解答】解：（1）记事件 A1=从甲箱中摸出一个球是红球，事件 A2=从乙箱中摸出一个球是红球，事件 B1=顾客抽奖 1 次获一等奖，事件 B2=顾客抽奖 1次获二等奖，事件 C=顾客抽奖 1 次能获奖，由题意 A1，A2相互独立，互斥，B1，B2互斥，且 B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为 P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）=，P（B2）=P（）+P（）=+=，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=（2）顾客抽奖

31、 1 次可视为 3 次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为：所以XB于是，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=故 X的分布列为：X 0 1 2 3 P E（X）=3=【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响 21如图，已知四棱台ABCD A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，AA1=6，且 AA1底面 ABCD，点 P、Q分别在棱 DD1、BC上（1

32、）若 P是 DD1的中点，证明：AB1PQ；（2）若 PQ 平面 ABB1A1，二面角 PQD A的余弦值为，求四面体 ADPQ 的体积 【分析】（1）首先以 A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱 BC上，从而可设 Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设 P（0，y2，z2），根据 P 在棱 DD1上，从而由即可得到 z2=122y2，从而表示点 P 坐标为 P（0，y2，122y2）由 PQ 平面 ABB1A1便知道与平面 ABB1A1的法向量垂直，从而得出 y1=y2，从而 Q点坐标变成 Q（6，y2，0），设平面PQD

33、 的法向量为，根据即可表示，平面 AQD 的一个法向量为，从而由即可求出 y2，从而得出 P点坐标，从而求出三棱锥 PAQD 的高，而四面体 ADPQ 的体积等于三棱锥 PAQD 的体积，从而求出四面体的体积【解答】解：根据已知条件知 AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱 BC上，设 Q（6，y1，0），0y16；（1）证明：若 P是 DD1的中点，则 P；，；AB1PQ；（2）设 P（0，y2，z2），y2

34、，z20，6，P在棱 DD1上；，01；（0，y26，z2）=（0，3，6）；z2=122y2；P（0，y2，122y2）；平面 ABB1A1的一个法向量为；PQ 平面 ABB1A1；=6（y1y2）=0；y1=y2；Q（6，y2，0）；设平面 PQD的法向量为，则：；，取 z=1，则；又平面 AQD 的一个法向量为；又二面角 PQD A的余弦值为；解得 y2=4，或 y2=8（舍去）；P（0，4，4）；三棱锥 PADQ 的高为 4，且；V四面体 ADPQ=V三棱锥 PADQ=【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直

35、线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式 22（13 分）已知抛物线 C1：x2=4y 的焦点 F也是椭圆 C2：+=1（ab0）的一个焦点C1与 C2的公共弦长为 2（）求 C2的方程；（）过点 F的直线 l 与 C1相交于 A、B两点，与 C2相交于 C、D两点，且与同向（1）若|AC|=|BD|，求直线 l 的斜率；（2）设 C1在点 A处的切线与 x 轴的交点为 M，证明：直线 l 绕点 F 旋转时，MFD 总是钝角三角形【分析】（）根据两个曲线的焦点相同，得到 a2b2=1，再根据 C1与 C2的公共弦长为 2，得到=1，

36、解得即可求出；（）设出点的坐标，（1）根据向量的关系，得到（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线 l 的方程，分别与 C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于 k 的方程，解得即可；（2）根据导数的几何意义得到 C1在点 A处的切线方程，求出点 M的坐标，利用向量的乘积AFM 是锐角，问题得以证明【解答】解：（）抛物线 C1：x2=4y 的焦点 F的坐标为（0，1），因为 F也是椭圆 C2的一个焦点，a2b2=1，又 C1与 C2的公共弦长为 2，C1与 C2的都关于 y 轴对称，且 C1的方程为 x2=4y，由此易知 C1与 C2的公共点的坐标为（，），所

37、以=1，联立得 a2=9，b2=8，故 C2的方程为+=1（）设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），（1）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而 x3x1=x4x2，即 x1x2=x3x4，于是（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线的斜率为 k，则 l 的方程为 y=kx+1，由，得 x24kx4=0，而 x1，x2是这个方程的两根，所以 x1+x2=4k，x1x2=4，由，得（9+8k2）x2+16kx64=0，而 x3，x4是这个方程的两根，所以 x3+x4=，x3x4=，将代入，得 16（k2+1）=+，即 16（k2

38、+1）=，所以（9+8k2）2=169，解得 k=（2）由 x2=4y 得 y=x，所以 C1在点 A处的切线方程为 yy1=x1（xx1），即 y=x1xx12，令 y=0，得 x=x1，M（x1，0），所以=（x1，1），而=（x1，y11），于是=x12y1+1=x12+10，因此AFM 是锐角，从而MFD=180 AFM 是钝角，故直线 l 绕点 F旋转时，MFD 总是钝角三角形【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于 k 的方程，计算量大，属于难题 23（13 分）已知 a0，函数 f（x）=eaxsinx（x0

39、，+）记 xn为 f（x）的从小到大的第 n（nN*）个极值点证明：（）数列f（xn）是等比数列；（）若 a，则对一切 nN*，xn|f（xn）|恒成立【分析】（）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为 0 的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（）由 sin=，可得对一切 nN*，xn|f（xn）|恒成立即为 nea（n）恒成立，设 g（t）=（t 0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证【解答】证明：（）f（x）=eax（asinx+cosx）=eaxsin（x+），tan=，0，令 f（x）=0，由 x0，x+=m，即 x

40、=m，m N*，对 kN，若（2k+1）x+（2k+2），即（2k+1）x（2k+2），则 f（x）0，因此在（m 1），m）和（m，（m+1）上 f（x）符号总相反 于是当 x=n，nN*，f（x）取得极值，所以 xn=n，nN*，此时 f（xn）=ea（n）sin（n）=（1）n+1ea（n）sin，易知 f（xn）0，而=ea是常数，故数列f（xn）是首项为 f（x1）=ea（）sin，公比为ea的等比数列；（）由 sin=，可得对一切 nN*，xn|f（xn）|恒成立 即为 nea（n）恒成立，设 g（t）=（t 0），g（t）=，当 0t 1 时，g（t）0，g（t）递减，当 t 1 时，g（t）0，g（t）递增 t=1 时，g（t）取得最小值，且为 e 因此要使恒成立，只需g（1）=e，只需 a，当 a=，tan=，且 0，可得，于是，且当 n2 时，n2，因此对 nN*，axn=1，即有 g（axn）g（1）=e=，故亦恒成立 综上可得，若 a，则对一切 nN*，xn|f（xn）|恒成立【点评】本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题