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1、湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2013?湖南）复数z=i?（1+i ） （i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A第 一象限B第二象限C第三象限D第四象限2 （5 分） （2013?湖南）某校有男、女学生各500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A抽 签法B随机数法C系统抽样法D分层抽样法3 （5 分） （2013?湖南）在锐角 ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为a，b若
2、 2asinB=b，则角 A 等于（）ABCD4 （5 分） （2013?湖南）若变量x，y 满足约束条件，则 x+2y 的最大值是（）AB0CD5 （5 分） （2013?湖南）函数f（x） =2lnx 的图象与函数g（x）=x24x+5 的图象的交点个数为（）A3B2C1D06 （5 分） （2013?湖南）已知， 是单位向量， 若向量满足， 则的取值范围为 （）ABCD7 （5 分） （2013?湖南）已知棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A1BCD8 （5 分） （2013?湖南）在等腰直角三角形ABC 中， AB=AC=4 ，点
3、P是边 AB 边上异于AB 的一点，光线从点P出发，经 BC ，CA 反射后又回到点P（如图 1） ，若光线QR 经过 ABC 的重心，则AP 等于（）A2B1CD二、填空题：本大题共8 小题，考生作答7 小题，第小题5 分，共 35 分 （一）选做题（请考生在第9，10，11 三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12 16 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页9 （2013?湖南）在平面直角坐标系xOy 中，若直线l：， （t 为参数）过椭圆C：（ 为参数）的右顶点，则常数a的值为_10
4、 （5 分） （2013?湖南）已知a， b，c R，a+2b+3c=6，则 a2+4b2+9c2的最小值为_11 （5 分） （2013?湖南）如图，在半径为的 O 中，弦 AB，CD 相交于点P，PA=PB=2 ，PD=1，则圆心 O 到弦CD 的距离为_12 （5 分） （2013?湖南）若，则常数T 的值为_13 （5 分） （2013?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为_14（5 分）（2013?湖南）设 F1， F2是双曲线C：（a0， b0） 的两个焦点， P 是 C 上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2=30 的最小内角为30
5、 ，则 C 的离心率为_15 （5 分） （2013?湖南）设Sn为数列 an 的前 n 项和，n N*，则（1）a3=_；（2）S1+S2+ +S100=_16 （5 分） （2013?湖南）设函数f（ x）=ax+bxcx，其中 ca0，cb0（1）记集合 M= （a，b，c）|a，b，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a=b，则（ a，b，c） M 所对应的f（x）的零点的取值集合为_（2）若 a，b，c 是ABC 的三条边长，则下列结论正确的是_ （写出所有正确结论的序号） ?x （ ，1） ，f（x） 0； ?x R，使 ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长； 若ABC 为
6、钝角三角形，则?x （1，2） ，使 f（x）=0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分） （ 2013?湖南）已知函数，（I）若 是第一象限角，且，求 g（ ）的值；（II）求使 f（ x） g（ x）成立的x 的取值集合18 （12 分） （ 2013?湖南）某人在如图所示的直角边长为4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位
7、： kg）与它的“ 相近 ” 作物株数 X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“ 相近 ” 是指它们之间的直线距离不超过1 米（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“ 相近 ” 的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望19（12 分）（ 2013?湖南）如图，在直棱柱ABCD A1B1C1D1中， ADBC， BAD=90 ， AC BD， BC=1 ， AD=AA1=3（I）证明： ACB1D；（II）求直线B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值20 （13 分） （2013?湖南
8、）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条 “ L 路径 ” 如图所示的路径MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“ L 路径 ” 某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy 内三点 A（ 3，20） ，B（ 10，0） ，C（ 14，0）处现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心（I）写出点P到居民区A 的“ L 路径 ” 长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O 为圆心，半径为1 的圆的内部是保护区，“ L 路径 ” 不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的 “ L
9、路径 ” 长度之和最小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页21 （13 分） （ 2013?湖南）过抛物线E： x2=2py（p0）的焦点F 作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且 k1+k2=2l1与 E 交于点 A，B，l2与 E 交于 C，D，以 AB ，CD 为直径的圆M，圆 N（M，N 为圆心）的公共弦所在直线记为l（I）若 k10，k2 0，证明：；（II）若点 M 到直线 l 的距离的最小值为，求抛物线E 的方程22 （13 分） （ 2013?湖南）已知a0，函数（I）记 f（x）在区间
10、 0，4上的最大值为g（a） ，求 g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数 y=f（ x）在区间（ 0， 4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2013?湖南）复数z=i?（1+i ） （i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A第 一象限
11、B第二象限C第三象限D第四象限考点 ： 复数的代数表示法及其几何意义专题 ： 计算题分析：化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案解答：解： z=i?（1+i） =1+i，故复数 z 对应的点为（1，1） ，在复平面的第二象限，故选 B点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题2 （5 分） （2013?湖南）某校有男、女学生各500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A抽 签法B随机数法C系统抽样法D分层抽样法考点 ： 分层抽样方法专题 ： 概率与统计分析：若总体由差异明显的几部
12、分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1故拟从全体学生中抽取100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法故选 D 点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题3 （5 分） （2013?湖南）在锐角 ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为a，b若 2asinB=b，则角 A 等于（）ABCD考点 ： 正弦定理专题 ： 计算题；解三角形分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A解答：解：在 ABC 中， 2asinB=b，由正弦定理=2R 得： 2sinAsinB=sinB， sinA=，又 AB
13、C 为锐角三角形， A=故选 D点评：本题考查正弦定理，将“ 边” 化所对 “ 角” 的正弦是关键，属于基础题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页4 （5 分） （2013?湖南）若变量x，y 满足约束条件，则 x+2y 的最大值是（）AB0CD考点 ： 简单线性规划专题 ： 计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移，可得当x=， y=时， x+2y 取得最大值为解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的 ABC 及其
14、内部，其中A（，1） ，B（，） ，C（2， 1）设 z=F（x，y）=x+2y ，将直线l：z=x+2y 进行平移，当 l 经过点 B 时，目标函数z 达到最大值 z最大值=F（，）=故选： C 点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题5 （5 分） （2013?湖南）函数f（x） =2lnx 的图象与函数g（x）=x24x+5 的图象的交点个数为（）A3B2C1D0考点 ： 根的存在性及根的个数判断专题 ： 函数的性质及应用分析：本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx 的图象与函
15、数g（ x）=x24x+5 的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案解答：解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx 的图象与函数g（x）=x24x+5 的图象如下图：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页由图可知，两个函数图象共有2 个交点故选 B点评：求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案6 （5 分） （2013?湖南）已知， 是单位向量， 若向量满足， 则的取值范围为 （）ABCD考点 ： 等差数列；平面
16、向量数量积的运算专题 ： 平面向量及应用分析：令，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值解答：解：令，如下图所示：则，又，所以点C 在以点 D 为圆心、半径为1 的圆上，易知点 C 与 O、 D 共线时达到最值，最大值为+1，最小值为1，所以的取值范围为 1，+1故选 A点评：本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具7 （5 分） （2013?湖南）已知棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A1BCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 2
17、0 页考点 ： 简单空间图形的三视图专题 ： 计算题分析：求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出解答：解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为因此满足棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为因此可知： A，B，D 皆有可能，而1，故 C 不可能故选 C点评：正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键8 （5 分） （2013?湖南）在等腰直角三角形ABC 中， AB=AC=4 ，点 P是边 AB 边上异于AB 的一点，光线从点P出发，经 BC ，CA 反射后又回到点P（
18、如图 1） ，若光线QR 经过 ABC 的重心，则AP 等于（）A2B1CD考点 ： 与直线关于点、直线对称的直线方程专题 ： 直线与圆分析：建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点 P1的坐标，和P关于 y 轴的对称点P2的坐标，由 P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过ABC 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP 的值解答：解：建立如图所示的坐标系：可得 B（4， 0） ，C（0， 4） ，故直线BC 的方程为x+y=4 ， ABC 的重心为（，） ，设 P（a， 0） ，其中 0a4，则点 P 关于直线BC 的对称点 P1（x，y）
19、，满足，解得，即 P1（4，4a） ，易得 P 关于 y 轴的对称点P2（ a，0） ，由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线 QR 的斜率为k=，故直线QR 的方程为y=（x+a） ，由于直线QR 过ABC 的重心（，） ，代入化简可得3a24a=0，解得 a= ，或 a=0（舍去），故 P（，0） ，故 AP=故选 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页点评：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题二、填空题：本大题共8 小题，考生作答7 小题，第小题5 分，共
20、 35 分 （一）选做题（请考生在第9，10，11 三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12 16 题）9 （2013?湖南）在平面直角坐标系xOy 中，若直线l：， （t 为参数）过椭圆C：（ 为参数）的右顶点，则常数a的值为3考点 ： 参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a 的值解答：解：由直线l：，得 y=x a，再由椭圆C：，得，2+2得，所以椭圆C：的右顶点为（3，0） 因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0=3 a，所以 a=3
21、故答案为3点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题10 （5 分） （2013?湖南）已知a， b，c R，a+2b+3c=6，则 a2+4b2+9c2的最小值为12考点 ： 柯西不等式；柯西不等式的几何意义专题 ： 计算题；不等式的解法及应用分析：根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1 a+1 2b+1 3c）2 （12+12+12） （a2+4b2+9c2） =3（a2+4b2+9c2） ，化简得 a2+4b2+9c2 12，由此可得当且仅当a=2， b=1，c=时， a2+4b2+9c2的最小值为12解答：解： a+2b+3c=6，根据柯西不等
22、式，得（a+2b+3c）2=（1 a+1 2b+1 3c）2 （12+12+12）a2+（2b）2+（3c）2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页化简得 62 3（a2+4b2+9c2） ，即 36 3（a2+4b2+9c2） a2+4b2+9c2 12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1 时，即 a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时， a2+4b2+9c2的最小值为12 故答案为： 12 点评：本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值着重考查了运用柯西不等
23、式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题11 （5 分） （2013?湖南）如图，在半径为的 O 中，弦 AB，CD 相交于点P，PA=PB=2 ，PD=1，则圆心 O 到弦CD 的距离为考点 ： 圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段专题 ： 计算题分析：首先利用相交弦定理求出CD 的长，再利用勾股定理求出圆心O 到弦 CD 的距离，注意计算的正确率解答：解：由相交弦定理得，AP PB=CP PD， 2 2=CP?1，解得： CP=4，又 PD=1， CD=5，又 O 的半径为，则圆心 O 到弦 CD 的距离为d=故答案为：点评：此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定
24、理等知识，题目有一定综合性，是中考中热点问题12 （5 分） （2013?湖南）若，则常数T 的值为3考点 ： 定积分专题 ： 计算题分析：利用微积分基本定理即可求得解答：解：=9，解得 T=3，故答案为： 3点评：本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题13 （5 分） （2013?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页考点 ： 程序框图专题 ： 图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累
25、加a 值，并判断满足a8 时输出 a的值解答：解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环a b 循环前 /1 2 第一圈是3 2 第二圈是5 2 第三圈是7 2 第四圈是9 2 第五圈否故最终输出的a值为 9故答案为： 9点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： 分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）? 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模14（5 分）（2013?湖南）设 F1， F2是双曲线C
26、：（a0， b0） 的两个焦点， P 是 C 上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2=30 的最小内角为30 ，则 C 的离心率为考点 ： 双曲线的简单性质专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的定义求出|PF1|， |F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30 结合余弦定理，求出双曲线的离心率解答：解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设 P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|PF2|=2a 所以 |F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a， PF1F2的最小内角PF1F2=
27、30 ，由余弦定理， |PF2|2=|F1F2|2+|PF1|22|F1F2|PF1|cosPF1F2，即 4a2=4c2+16a22c 4a， c2 2ca+3a2=0， c=a 所以 e= =故答案为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页点评：本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力15 （5 分） （2013?湖南）设Sn为数列 an 的前 n 项和，n N*，则（1）a3=；（2）S1+S2+ +S100=考点 ： 数列的求和；数列的函数特性专题 ： 等差数列与等比数列分析：（1）把给出的数
28、列递推式先分n=1 和 n 2 讨论，由此求出首项和n 2 时的关系式对此关系式再分n 为偶数和奇数分别得到当n 为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（ 2）把（ 1）中求出的数列的通项公式代入，n N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n 项和公式可求得结果解答：解：由，n N*，当 n=1 时，有，得当 n 2 时，即若 n 为偶数，则所以（n 为正奇数）；若 n 为奇数，则=所以（n 为正偶数）所以（ 1）故答案为；（ 2）因为（n 为正奇数），所以，又（ n 为正偶数），所以则，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页
29、，共 20 页所以， S1+S2+S3+S4+ +S99+S100=故答案为点评：本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n 为偶数时能求出奇数项的通项，当 n 为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题16 （5 分） （2013?湖南）设函数f（ x）=ax+bxcx，其中 ca0，cb0（1）记集合 M= （a，b，c）|a，b，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a=b，则（ a，b，c） M 所对应的f（x）的零点的取值集合为x|0 x 1（2）若 a，b，c 是ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号） ?x （ ，1） ，f（x） 0
30、； ?x R，使 ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长； 若ABC 为钝角三角形，则?x （1，2） ，使 f（x）=0考点 ： 命题的真假判断与应用；函数的零点；进行简单的合情推理专题 ： 阅读型分析：（ 1）由集合M 中的元素满足的条件，得到c a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=ax+bxcx的零点，利用不等式可得零点x 的取值集合；（ 2）对于 ，把函数式f（ x）=ax+bxcx变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于 ，利用取特值法说明命题是正确的；对于 ，由 ABC 为钝角三角形说明f（2） 0，又 f（1） 0，由零点的存在性定理可得命题 正确解答：解
31、： （1）因为 ca，由 c a+b=2a，所以，则令 f（x）=ax+bxcx=得，所以所以 0 x 1故答案为 x|0 x 1；（ 2）因为，又，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页所以对 ?x （ ，1） ，所以命题 正确；令 x=1，a=b=1，c=2则 ax=bx=1，cx=2不能构成一个三角形的三条边长所以命题 正确；若三角形为钝角三角形，则a2+b2c20f（1） =a+bc0， f（2）=a2+b2c20所以 ?x （1，2） ，使 f（x）=0所以命题 正确故答案为 点评：本题考查了命题真假的判断
32、与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分） （ 2013?湖南）已知函数，（I）若 是第一象限角，且，求 g（ ）的值；（II）求使 f（ x） g（ x）成立的x 的取值集合考点 ： 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的单调性专题 ： 计算题；三角函数的图像与性质分析：（ I）根据两角和与差的三角函数公式化简，得f（ x）=sinx，结合解出 sin =，利用同角三角函数的基本关系算出cos =由二倍角的余
33、弦公式进行降次，可得 g（x）=1cosx，即可算出g （ ）=1cos =；（ II）f（x） g（x） ，即sinx 1cosx，移项采用辅助角公式化简整理，得2sin（x+） 1，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出使f（x） g（x）成立的x 的取值集合解答：解： ： sin（x）=sinxcoscosxsin=sinxcosx cos（x）=cosxcos+sinxsin=cosx+sinx =（sinxcosx）+（cosx+sinx）=sinx 而=1cosx （ I），sin =，解之得sin = 是第一象限角，cos =因此， g（ ）=1 cos =，（ II）f（x） g
34、（x） ，即sinx 1cosx 移项，得sinx+cosx 1，化简得2sin（x+） 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页 sin（x+） ，可得+2kx+2k （k Z）解之得 2kx+2k （k Z）因此，使f（x） g（x）成立的x 的取值集合为x|2k x+2k （ k Z） 点评：本题给出含有三角函数的两个函数f（x） 、g（x） ，求特殊函数值并讨论使f（x） g（x）成立的 x 的取值集合着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题18 （12 分）
35、（ 2013?湖南）某人在如图所示的直角边长为4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位： kg）与它的“ 相近 ” 作物株数 X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“ 相近 ” 是指它们之间的直线距离不超过1 米（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“ 相近 ” 的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望考点 ： 离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方
36、差专题 ： 概率与统计分析：（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“ 相近 ” 的概率；（ II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望解答：解： （I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15 ，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36 种，选取的两株作物恰好“ 相近 ”的不同结果有3+3+2=8，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好 “ 相近 ” 的概率为=；（ II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y
37、的分布列 P（Y=51 ）=P（ X=1） ，P（48）=P（X=2） ， P（Y=45 ）=P（ X=3） ，P（Y=42 ）=P（X=4）只需求出P（X=k ） （k=1，2，3，4）即可记 nk为其 “ 相近 ” 作物恰有 k 株的作物株数（k=1，2，3，4） ，则 n1=2，n2=4，n3=6，n4=3 由 P（ X=k ）=得 P（X=1）=，P（ X=2）=，P（X=3）=，P（ X=4）=所求的分布列为Y 51 48 45 42 P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页数学期望为E（Y）=51+48
38、+45 +42 =46 点评：本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题19（12 分）（ 2013?湖南）如图，在直棱柱ABCD A1B1C1D1中， ADBC， BAD=90 ， AC BD， BC=1 ， AD=AA1=3（I）证明： ACB1D；（II）求直线B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值考点 ： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质专题 ： 计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角分析：（I）根据直棱柱性质，得BB1平面 ABCD ，从而 AC BB1，结合 BB1 BD=B ，证出 AC 平面 BB1D，从而得到AC B1D；（ I
39、I） 根据题意得AD B1C1， 可得直线B1C1与平面 ACD1所成的角即为直线AD 与平面 ACD1所成的角连接 A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1平面 A1B1D，从而可得AD1B1D由 AC B1D，可得B1D平面 ACD ，从而得到 ADB1与 AD 与平面 ACD1所成的角互余在直角梯形ABCD 中，根据Rt ABC RtDAB ，算出 AB=，最后在RtAB1D 中算出 B1D=，可得 cosADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值解答：解：解：（ I） BB1平面 ABCD ，AC ? 平面 ABCD ， AC BB1，又 ACBD ，BB1
40、、BD 是平面 BB1D 内的相交直线 AC平面 BB1D， B1D? 平面 BB1D， AC B1D；（ II） AD BC，B1C1BC， AD B1C1，由此可得直线B1C1与平面 ACD1所成的角，等于直线AD 与平面 ACD1所成的角（记为 ）连接 A1D，直棱柱ABCD A1B1C1D1中， BAD= B1A1D1=90 ， B1A1平面 A1D1DA ，结合 AD1? 平面 A1D1DA，得 B1A1 AD1又 AD=AA1=3，四边形A1D1DA 是正方形，可得AD1A1D B1A1、A1D 是平面 A1B1D 内的相交直线，AD1平面 A1B1D，可得 AD1B1D，由（ I
41、）知 ACB1D，结合 AD1 AC=A 可得 B1D平面 ACD ，从而得到 ADB1=90 ，在直角梯形ABCD 中， AC BD ， BAC= ADB ，从而得到RtABC RtDAB 因此，可得 AB=连接 AB1，可得 AB1D 是直角三角形， B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在 RtAB1D 中， cosADB1=，即 cos（ 90 ）=sin =，可得直线B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页点评：本题给出直四棱柱，求证异面
42、直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识，属于中档题20 （13 分） （2013?湖南）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条 “ L 路径 ” 如图所示的路径MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“ L 路径 ” 某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy 内三点 A（ 3，20） ，B（ 10，0） ，C（ 14，0）处现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心（I）写出点P到居民区A 的“ L 路径 ” 长度最
43、小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O 为圆心，半径为1 的圆的内部是保护区，“ L 路径 ” 不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的 “ L 路径 ” 长度之和最小考点 ： 根据实际问题选择函数类型；绝对值三角不等式专题 ： 应用题；不等式的解法及应用分析：（I）根据 “ L 路径 ” 的定义，可得点P 到居民区A 的“ L 路径 ” 长度最小值；（ II）由题意知，点P 到三个居民区的“ L 路径 ” 长度之和的最小值为点P到三个居民区的“ L 路径 ” 长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P 的坐标解答：解：设点 P 的坐标为
44、（ x，y） ，则（ I）点 P到居民区A 的 “ L 路径 ” 长度最小值为|x 3|+|y20|， y 0，+） ；（ II）由题意知，点P 到三个居民区的“ L 路径 ” 长度之和的最小值为点P到三个居民区的“ L 路径 ” 长度最小值之和（记为d）的最小值 当 y 1 时， d=|x+10|+|x 14|+|x3|+2|y|+|y20| d1（x）=|x+10|+|x 14|+|x3| |x+10|+|x14| 24 当且仅当x=3 时， d1（x）=|x+10|+|x14|+|x3|的最小值为24 d2（y）=2|y|+|y20| 21 当且仅当y=1 时， d2（y）=2|y|+|
45、y 20|的最小值为21 点 P 的坐标为（ 3，1）时，点P到三个居民区的“ L 路径 ” 长度之和的最小，且最小值为45； 当 0 y 1 时，由于 “ L 路径 ” 不能进入保护区，d=|x+10|+|x14|+|x3|+1+|1y|+|y|+|y20| 此时 d1（x）=|x+10|+|x 14|+|x3|，d2（y）=1+|1 y|+|y|+|y 20|=22y 21 由 知 d1（x）=|x+10|+|x 14|+|x3| 24， d1（x）+d2（y） 45，当且仅当x=3，y=1 时等号成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“ L 路径 ”
46、长度之和最小点评：本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页21 （13 分） （ 2013?湖南）过抛物线E： x2=2py（p0）的焦点F 作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且 k1+k2=2l1与 E 交于点 A，B，l2与 E 交于 C，D，以 AB ，CD 为直径的圆M，圆 N（M，N 为圆心）的公共弦所在直线记为l（I）若 k10，k2 0，证明：；（II）若点 M 到直线 l 的距离的最小值为，求抛物
47、线E 的方程考点 ： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆 M 和圆 N 的圆心 M 和 N 的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和 k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（）利用抛物线的定义求出圆M 和圆 N 的直径，结合（）中求出的圆M 和圆 N 的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M 到直线 l 的距离，利用 k1+k2=2 转化为含有一个未知量的代数
48、式，配方后求出最小值，由最小值等于求出 p 的值，则抛物线 E 的方程可求解答：解： （I） 由题意，抛物线E 的焦点为，直线 l1的方程为由，得设 A，B 两点的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，则 x1，x2是上述方程的两个实数根从而 x1+x2=2pk1，所以点 M 的坐标为，同理可得点N 的坐标为，于是由题设 k1+k2=2，k10，k20，k1 k2，所以 0故（）由抛物线的定义得，所以，从而圆M 的半径故圆 M 的方程为，化简得同理可得圆N 的方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页于是
49、圆 M，圆 N 的公共弦所在的直线l 的方程为又 k2k1 0，k1+k2=2，则 l 的方程为x+2y=0 因为 p0，所以点M 到直线 l 的距离为=故当时， d取最小值由题设，解得 p=8故所求抛物线E 的方程为 x2=16y 点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法属难题22 （13 分） （ 2013?湖南）已知a0，函数（I）记 f（x）在区间
50、 0，4上的最大值为g（a） ，求 g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数 y=f（ x）在区间（ 0， 4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程专题 ： 导数的综合应用分析：（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（ II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论解答：解： （I）当 0 x a时，；当 xa 时，当 0 x a 时，f（ x）在（ 0，a）上单