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1、2015 年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1（5 分）已知=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=（）A1+i B 1i C1+i D1i 2（5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示 若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间139，151 上的运动员人数是（）A3 B4 C5 D6 3（5 分）设 xR，则“x1“是“x31”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最小值
2、为（）A1 B0 C1 D2 5（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3，则输出的 S=（）A B C D 6（5 分）若双曲线=1 的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的离心率为（）A B C D 7（5 分）若实数 a，b 满足+=，则 ab 的最小值为（）A B2 C2 D4 8（5 分）设函数 f（x）=ln（1+x）ln（1x），则 f（x）是（）A奇函数，且在（0，1）上是增函数 B奇函数，且在（0，1）上是减函数 C偶函数，且在（0，1）上是增函数 D偶函数，且在（0，1）上是减函数 9（5 分）已知 A，B，C在圆 x2+y2=1上运动，且 AB BC，若点 P的
3、坐标为（2，0），则|的最大值为（）A6 B7 C8 D9 10（5 分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A B C D 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11（5 分）已知集合 U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，则 A（UB）=12（5 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为=2sin，则曲线 C 的直角坐标方程为 13（5 分）若直线 3x4y+5=
4、0 与圆 x2+y2=r2（r0）相交于 A，B 两点，且AOB=120，（O为坐标原点），则 r=14（5 分）已知函数 f（x）=|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 15（5 分）已知 0，在函数 y=2sin x 与 y=2cos x 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2，则=三、解答题 16（12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 A1，A2和 1 个白球 B的甲箱与装有 2 个红球 a1，a2和 2 个白球 b1，b2的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖（）用
5、球的标号列出所有可能的摸出结果；（）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由 17（12 分）设ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a=btanA（）证明：sinB=cosA；（）若 sinC sinAcosB=，且 B为钝角，求 A，B，C 18（12 分）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形，E，F分别是 BC，CC1的中点，（）证明：平面 AEF 平面 B1BCC1；（）若直线 A1C与平面 A1ABB1所成的角为 45，求三棱锥 FAEC的体积 19（13 分）设数列an的前 n 项和为 S
6、n，已知 a1=1，a2=2，an+2=3SnSn+1+3，nN*，（）证明 an+2=3an；（）求 Sn 20（13 分）已知抛物线 C1：x2=4y 的焦点 F也是椭圆 C2：+=1（ab0）的一个焦点，C1与 C2的公共弦的长为 2，过点 F的直线 l 与 C1相交于 A，B两点，与 C2相交于 C，D两点，且与同向（）求 C2的方程；（）若|AC|=|BD|，求直线 l 的斜率 21（13 分）已知 a0，函数 f（x）=aexcosx（x0，+），记 xn为 f（x）的从小到大的第 n（nN*）个极值点（）证明：数列f（xn）是等比数列；（）若对一切 nN*，xn|f（xn）|恒成
7、立，求 a 的取值范围 2015 年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1（5 分）已知=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=（）A1+i B 1i C1+i D1i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得 z 的值【解答】解：已知=1+i（i 为虚数单位），z=1i，故选：D【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题 2（5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示 若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间139，151
8、 上的运动员人数是（）A3 B4 C5 D6【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取 7 人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是130，138，139，151，152，153，根据系统抽样方法从中抽取 7 人，得到抽取比例为，所以成绩在区间139，151 中共有 20 名运动员，抽取人数为 20=4；故选：B【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例 3（5 分）设 xR，则“x1“是“x31”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】利用
9、充要条件的判断方法判断选项即可【解答】解：因为 xR，“x1“x31”，所以“x1“是“x31”的充要条件 故选：C【点评】本题考查充要条件的判断，基本知识的考查 4（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最小值为（）A1 B0 C1 D2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为 A，联立，解得 A（0，1）z=2xy 的最小值为 201=1 故选：A 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 5（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3，则输
10、出的 S=（）A B C D【分析】列出循环过程中 S 与 i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：判断前 i=1，n=3，s=0，第 1 次循环，S=，i=2，第 2 次循环，S=，i=3，第 3 次循环，S=，i=4，此 时，i n，满 足 判 断 框 的 条 件，结 束 循 环，输 出 结 果：S=故选：B【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力 6（5 分）若双曲线=1 的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的离心率为（）A B C D【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线=1
11、的一条渐近线经过点（3，4），可得 3b=4a，即 9（c2a2）=16a2，解得=故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查 7（5 分）若实数 a，b 满足+=，则 ab 的最小值为（）A B2 C2 D4【分析】由+=，可判断 a0，b0，然后利用基础不等式即可求解 ab 的最小值【解答】解：+=，a0，b0，（当且仅当 b=2a 时取等号），解可得，ab，即 ab 的最小值为 2，故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题 8（5 分）设函数 f（x）=ln（1+x）ln（1x），则 f（x）是（）A奇函数，且在（0，1）上是增函数
12、 B奇函数，且在（0，1）上是减函数 C偶函数，且在（0，1）上是增函数 D偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可【解答】解：函数 f（x）=ln（1+x）ln（1x），函数的定义域为（1，1），函数 f（x）=ln（1x）ln（1+x）=ln（1+x）ln（1x）=f（x），所以函数是奇函数 排除 C，D，正确结果在 A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0 时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）ln（1）=ln31，显然 f（0）f（），函数是增函数，所以 B错误，A正确 故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性
13、以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力 9（5 分）已知 A，B，C在圆 x2+y2=1 上运动，且 AB BC，若点 P的坐标为（2，0），则|的最大值为（）A6 B7 C8 D9【分析】由题意，AC为直径，所以|=|2+|B为（1，0）时，|2+|7，即可得出结论【解答】解：由题意，AC为直径，所以|=|2+|所以 B为（1，0）时，|2+|7 所以|的最大值为 7 另解：设 B（cos，sin），|2+|=|2（2，0）+（cos2，sin）|=|（cos6，sin）|=，当 cos=1 时，B为（1，0），取得最大值 7 故选：B【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题
14、的能力，比较基础 10（5 分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A B C D【分析】由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求【解答】解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为 2 的圆，母线长为 3，所以圆锥的高为 2，圆锥是体积为；其内接正方体的棱长为 x，则，解得 x=，所以正方体的体积为，所以原工件材料的利用率为：=；故选：A【点评】本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体
15、积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11（5 分）已知集合 U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，则 A（UB）=1，2，3 【分析】首先求出集合B的补集，然后再与集合A取并集【解答】解：集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，所以UB=2，所以 A（UB）=1，2，3 故答案为：1，2，3【点评】本题考查了集合的交集、补集、并集的运算；根据定义解答，属于基础题 12（5 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
16、若曲线C的极坐标方程为=2sin，则曲线C的直角坐标方程为 x2+（y1）2=1 【分析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可【解答】解：曲线 C的极坐标方程为=2sn，即 2=2sn，它的直角坐标方程为：x2+y2=2y，即 x2+（y1）2=1 故答案为：x2+（y1）2=1【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考查 13（5 分）若直线 3x4y+5=0 与圆 x2+y2=r2（r0）相交于 A，B 两点，且AOB=120，（O为坐标原点），则 r=2 【分析】若直线 3x4y+5=0 与圆 x2+y2=r2（r0）交于 A、B两点，AOB=120，则AOB为顶角为 1
17、20的等腰三角形，顶点（圆心）到直线 3x4y+5=0 的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于 r 的方程，解方程可得答案【解答】解：若直线 3x4y+5=0 与圆 x2+y2=r2（r0）交于 A、B两点，O为坐标原点，且AOB=120，则圆心（0，0）到直线 3x4y+5=0 的距离 d=rcos=r，即=r，解得 r=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线 3x4y+5=0 的距离 d=r 是解答的关键 14（5 分）已知函数 f（x）=|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 0b2 【分析】由函数 f（x）=|2
18、x2|b 有两个零点，可得|2x2|=b 有两个零点，从而可得函数 y=|2x2|函数 y=b 的图象有两个交点，结合函数的图象可求 b 的范围【解答】解：由函数 f（x）=|2x2|b 有两个零点，可得|2x2|=b 有两个零点，从而可得函数 y=|2x2|函数 y=b 的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0b2 时符合条件，故答案为：0b2 【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质 15（5 分）已知 0，在函数 y=2sin x 与 y=2cos x 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为
19、 2，则=【分析】根据正弦线，余弦线得出交点（k1，），（k2，），k1，k2都为整数，两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可【解答】解：函数 y=2sin x 与 y=2cos x 的图象的交点，根据三角函数线可得出交点（k1，），（k2，），k1，k2都为整数，距离最短的两个交点的距离为 2，这两个交点在同一个周期内，12=（）2+（）2，=故答案为：【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦 三、解答题 16（12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 A1，A2和 1 个白球
20、B的甲箱与装有 2 个红球 a1，a2和 2 个白球 b1，b2的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖（）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由【分析】（）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；（）在（）中求出摸出的 2 个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的【解答】解：（）所有可能的摸出的结果是：A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1，B
21、，a2，B，b1，B，b2；（）不正确理由如下：由（）知，所有可能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果为：A1，a1，A1，a2，A2，a1，A2，a2，共 4 种，中奖的概率为 不中奖的概率为：1 故这种说法不正确【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题 17（12 分）设ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a=btanA（）证明：sinB=cosA；（）若 sinC sinAcosB=，且 B为钝角，求 A，B，C【分析】（）由正弦定理及已知可得=，由 sinA0，即可证明sinB=cosA （）由两角和的正弦函数
22、公式化简已知可得 sinC sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得 sin2B=，结合范围可求 B，由 sinB=cosA 及 A的范围可求 A，由三角形内角和定理可求 C【解答】解：（）证明：a=btanA =tanA，由正弦定理：，又 tanA=，=，sinA 0，sinB=cosA 得证（）sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinC sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，sin2B=，0B，sinB=，B为钝角，B=，又cosA=sinB=，A=，C=AB=，综上，A=C=，B=【
23、点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题 18（12 分）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形，E，F分别是 BC，CC1的中点，（）证明：平面 AEF 平面 B1BCC1；（）若直线 A1C与平面 A1ABB1所成的角为 45，求三棱锥 FAEC的体积 【分析】（）证明 AE BB1，AE BC，BC BB1=B，推出 AE 平面 B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面 AEF 平面 B1BCC1；（）取 AB的中点 G，说明直线 A1C与平面 A1ABB1所成的角为 45，就是CA1G，求出棱锥的高与底
24、面面积即可求解几何体的体积【解答】（）证明：几何体是直棱柱，BB1底面 ABC，AE 底面 ABC，AE BB1，直三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形，E分别是 BC的中点，AE BC，BC BB1=B，AE 平面 B1BCC1，AE 平面 AEF，平面 AEF 平面 B1BCC1；（）解：取 AB的中点 G，连结 A1G，CG，由（）可知 CG 平面 A1ABB1，直线 A1C与平面 A1ABB1所成的角为 45，就是CA1G，则 A1G=CG=，AA1=，CF=三棱锥 FAEC的体积：=【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象
25、能力以及计算能力 19（13 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1=1，a2=2，an+2=3SnSn+1+3，nN*，（）证明 an+2=3an；（）求 Sn【分析】（）当 n2 时，通过 an+2=3SnSn+1+3 与 an+1=3Sn1Sn+3作差，然后验证当 n=1 时命题也成立即可；（）通过（I）写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可【解答】（）证明：当 n2 时，由 an+2=3SnSn+1+3，可得 an+1=3Sn1Sn+3，两式相减，得 an+2an+1=3anan+1，an+2=3an，当 n=1 时，有 a3=3S1S2+3=31（1
26、+2）+3=3，a3=3a1，命题也成立，综上所述：an+2=3an；（）解：由（I）可得，其中 k 是任意正整数，S2k1=（a1+a2）+（a3+a4）+（a2k3+a2k2）+a2k1=3+32+3k1+3k1=+3k1=3k1，S2k=S2k1+a2k=3k1+23k1=，综上所述，Sn=【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题 20（13 分）已知抛物线 C1：x2=4y 的焦点 F也是椭圆 C2：+=1（ab0）的一个焦点，C1与 C2的公共弦的长为 2，过点 F的直线 l 与 C1相交于 A，B两点，与 C2相交于 C，D两点，且与同
27、向（）求 C2的方程；（）若|AC|=|BD|，求直线 l 的斜率【分析】（）通过 C1方程可知 a2b2=1，通过 C1与 C2的公共弦的长为 2且 C1与 C2的图象都关于 y 轴对称可得，计算即得结论；（）设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线 l 方程为 y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可【解答】解：（）由 C1方程可知 F（0，1），F也是椭圆 C2的一个焦点，a2b2=1，又C1与 C2的公共弦的长为 2，C1与 C2的图象都关于 y
28、轴对称，易得 C1与 C2的公共点的坐标为（，），又a2b2=1，a2=9，b2=8，C2的方程为+=1；（）如图，设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），与同向，且|AC|=|BD|，=，x1x2=x3x4，（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线 l 的斜率为 k，则 l 方程：y=kx+1，由，可得 x24kx4=0，由韦达定理可得 x1+x2=4k，x1x2=4，由，得（9+8k2）x2+16kx64=0，由韦达定理可得 x3+x4=，x3x4=，又（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，16（k2+1）=+，化
29、简得 16（k2+1）=，（9+8k2）2=169，解得 k=，即直线 l 的斜率为【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题 21（13 分）已知 a0，函数 f（x）=aexcosx（x0，+），记 xn为 f（x）的从小到大的第 n（nN*）个极值点（）证明：数列f（xn）是等比数列；（）若对一切 nN*，xn|f（xn）|恒成立，求 a 的取值范围【分析】（）求出函数的导数，令导数为 0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证；（）由 n=1 可得 a 的范围，运用数学归纳法证 8n4n+
30、3，当 a时，验证得|f（xn+1）|xn+1，即可得到 a 的范围【解答】（）证明：函数 f（x）=aexcosx 的导数为 f（x）=aex（cosx sinx），a0，x0，则 ex1，由 f（x）=0，可得 cosx=sinx，即 tanx=1，解得 x=k+，k=0，1，2，当 k 为奇数时，f（x）在 k+附近左负右正，当 k 为偶数时，f（x）在 k+附近左正右负 故 x=k+，k=0，1，2，均为极值点，xn=（n1）+=n，f（xn）=acos（n），f（xn+1）=acos（n+），当 n 为偶数时，f（xn+1）=ef（xn），当 n 为奇数时，f（xn+1）=ef（xn
31、），即有数列f（xn）是等比数列；（）解：由于 x1|f（x1）|，则a，解得 a，下面证明 8n4n+3 当 n=1 时，87 显然成立，假设 n=k 时，8k4k+3，当 n=k+1时，8k+1=88k8（4k+3）=32k+24=4（k+1）+28k+204（k+1）+3，即有 n=k+1时，不等式成立 综上可得 8n4n+3（nN+），由 e8，当 a时，由（）可得|f（xn+1）|=|（e）|n|f（x1）|8n|f（x1）|=8nf（x1）（4n+3）x1xn+1，nN+，综上可得 a成立【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式和数学归纳法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题