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1、2021-2022学 年 北 京 市 平 谷 区 高 一（下）期 末 数 学 试 卷 1.已 知 向 量 日=（4,1）,b=且 汇=2 b,那 么 机 的 值 为（）A.工 B.2 C.D.22 22.cos75cosl5+sin75sinl5 的 值 等 于（）A-；D.3.如 图，在 四 棱 柱 ABC0-41B1GD1中，底 面 A B C D 是 正 方 形，ArA _L底 面=4,AB=1,那 么 该 四 棱 柱 的 体 积 为（）A.1B.2C.4D.8V32己 知 一 个 正 方 体 的 八 个 顶 点 都 在 一 个 球 的 表 面 上，若 此 正 方 体 的 棱 长 为 1
2、,那 么 这 个 球 的 表 面 积 是（）A.127r B.67r C.47r D.37r5.将 函 数 y=sin2x的 图 象 向 左 平 移 g个 单 位，所 得 图 象 的 函 数 表 达 式 是（）6A.y=sin（2x 4-）B.y=sin（2x-）6 6C.y=sin（2x；）D.y=sin（2x+今 6.已 知 向 量 五 了 1 在 正 方 形 网 格 中 的 位 置，若 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1,如 图 所 示.WiJ（2a+K）-c=（）A.12 B.4 C.6 D.37.如 图，设 A,B 两 点 在 河 的 两 岸，在 点 A 所 在 的
3、河 岸 边 选 定 一 点 C,测 出 A C 的 距 离 为 50m,ACB=45。，乙 CAB=105。后,就 可 以 计 算 出 A,B两 点 的 距 离 为（其 中 企=1.414，V3=1.732-,精 确 到 0.1）（）c AA.60.6zn B.78.7m C.70.7m D.80.8m8.已 知 平 面 a,8,y，小 a_Ly,/?1 y,afl。=，则“/?”是 JL y”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 9.已 知 关 于 x 的 方 程 或 52%一 5勿+21
4、=0 在（0,内 有 解，那 么 实 数 的 取 值 范 围（）A.a-B.-a 0 C.一 工 D.-i a 08 2 2 2 210.在 正 方 体 力 BC。一 4 8 停 1。1中，P 是 正 方 体 的 底 面&8 停 1。式 包 括 边 界）内 的 一 动 点（不 与 为 重 合），。是 底 面 A8C。内 一 动 点，线 段 为 C与 线 段 P Q 相 交 且 互 相 平 分，则 使 得 四 边 形 4 Q C P 面 积 最 大 的 点 有（）A.3个 B.2个 C.1个 D.无 数 个 11.已 知 cosa=-那 么 cos2a=.12.已 知 复 数 z=l+3i,贝
5、ijz z=.13.已 知 平 面 向 量 苍 了 满 足|中=2,巧|=1,且 五 与 的 夹 角 为 申 则|五+方|=.14.在 4 ABC中，a=2A/7,b=2,Z.A=60,则 c=.15.关 于 函 数/（x）=siMx-（闵+J 有 下 面 四 个 结 论：f（x）是 偶 函 数；无 论 X 取 何 值 时，/（x）!恒 成 立；f（x）的 最 大 值 是|;f（x）的 最 小 值 是 一:其 中 正 确 的 结 论 是.16.已 知 向 量 为=（2,4），b=（-2.x）.（团）当。/石 时,求 x 的 值；（回）当 x=-1时，求 向 量 五 与 石 的 夹 角 的 余
6、弦 值；（团）当 五 1（4N+尤）时，求 17.如 图，在 三 棱 锥 P-4 B C 中，PA ABC,AB 1 BC,D,E 分 别 为 P8,PC 的 中 点.设 平 面 A B C 与 平 面 A O E 交 于 直 线 m.（回）求 证：BC_L平 面 PA&（团）求 证：BC/m.B第 2 页，共 I I 页18.已 知 函 数/（x）=sin2x+cos2x+鱼.（日）求 函 数/（x）的 最 大 值，并 求 出 函 数 f（x）取 得 最 大 值 时 X的 值；（回）求 函 数 f（x）的 单 调 递 减 区 间 及 对 称 轴 方 程.19.已 知 cosm=g，且 5为
7、第 n 象 限 角.（团）求 s i n s i n a,cosa的 值；（团）求 c o s 6-$的 值.20.如 图，在 直 三 棱 柱/B C 41B1G中，AB 1 B C,AAr=AC=2,BC=1,E、F 分 别 为 4 G、G C 的 中 点.G 为 8 c 上 的 点 且 CG=；CB（团）求 证：A B 1平 面 B iB C C i；（团）求 证：GF 平 面 ABE；（团）求 三 棱 锥 4-E B C的 体 积.21.在 4 B C中，bcosA+1 a=c.（团）求 8 的 大 小；（团）若 c=5,.求 a,并 计 算 A B C的 面 积；从 b=7,C=这 两
8、 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 上 面 问 题 中 并 作 答.4答 案 和 解 析 1.【答 案】A【解 析】解：,a=(4,-1),b=(2,7n),且 苍=2b,(4,-1)=(4,2m),即 2m=1,解 得 m=:故 选：A.根 据 已 知 条 件，结 合 向 量 相 等 的 条 件，即 可 求 解.本 题 主 要 考 查 向 量 相 等 的 条 件，属 于 基 础 题.2.【答 案】B【解 析】解：cos75cosl50+sin75sinl5=cos(75-15)=cos60=故 选：B.根 据 两 角 差 的 余 弦 公 式，得 解.本 题 考 查 三 角 函 数
9、的 求 值，熟 练 掌 握 两 角 差 的 余 弦 公 式 是 解 题 的 关 键，考 查 运 算 求 解 能 力，属 于 基 础 题.3.【答 案】C【解 析】解：由 题 意 可 得 该 四 棱 柱 的 体 积 U=AB2 x=M x 4=4.故 选：C.由 棱 柱 的 体 积 公 式 直 接 求 解 即 可.本 题 主 要 考 查 棱 柱 的 体 积 公 式，考 查 运 算 求 解 能 力，属 于 基 础 题.4.【答 案】D【解 析】解：由 于 该 球 为 正 方 体 的 外 接 球，所 以 球 的 半 径 2R=Vl2+12+12=V3,所 以 R=与，所 以 S球=4-7T-(y)2
10、=37r.故 选：D.首 先 确 定 正 方 体 的 外 接 球 的 半 径，进 一 步 求 出 球 的 表 面 积.本 题 考 查 的 知 识 要 点：球 和 正 方 体 的 关 系，球 的 半 径 和 表 面 积 的 求 法，主 要 考 查 学 生 的 运 算 能 力 和 数 学 思 维 能 力，属 于 基 础 题.5.【答 案】D【解 析】解：将 函 数 y=sin2x的 图 象 向 左 平 移 g个 单 位，6所 得 图 象 的 函 数 表 达 式 是 y=sin2(x+，)=sin(2x+1).第 4 页，共 I I页故 选：D.由 三 角 函 数 图 象 的 平 移 变 换 求 解
11、 即 可.本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 图 象 变 换，属 于 基 础 题.6.【答 案】C【解 析】解：.网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1,二 如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 五=(2,1),b=(2,2),c=(1,2),-.2a+b=2x(2,-1)+(2,2)=(6,0),(2a+by)-c=(6,0)-(1,2)=6.故 选：C.先 用 坐 标 表 示 三 个 向 量，再 利 用 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 即 可 求 解.本 题 考 查 向 量 的 坐 标 运 算，向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算，属 基 础 题.7.【
12、答 案】C【解 析】解：在 A/1BC中，AC=50m,ACB=45,4cAB=105。，即 乙 4BC=30,则 由 正 弦 定 理 一=一 1，sin 乙 4cB sxnABC#：AB=心 必。8=5ox=50企”70.7m.smz48c 1故 选：c.由 乙 4cB与 4BAC,求 出 乙 4BC的 度 数，根 据 sin乙 4CB,sin乙 4BC,以 及 A C 的 长，利 用 正 弦 定 理 即 可 求 出 A B 的 长.本 题 考 查 了 正 弦 定 理，以 及 特 殊 角 的 三 角 函 数 值，熟 练 掌 握 正 弦 定 理 是 解 本 题 的 关 键.8.【答 案】A【解
13、 析】解：a JL y,1 y,afl/?=I,：,I 1 y,当/时，贝 叼 l y,二 充 分 性 成 立，当 T 1 y时，则，或，u 小.,.必 要 性 不 成 立，:羽 是 1 y的 充 分 不 必 要 条 件，故 选：A.利 用 空 间 中 平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 得 到，1 y,再 利 用 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 判 定 即 可.本 题 考 查 空 间 中 直 线 与 平 面，平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 与 性 质 定 理，属 于 中 档 题.9.【答 案】C【解 析】解：.关 于 工 的 方 程。052%一 5
14、讥%+2。=0 在（0,自 内 有 解，关 于 x 的 方 程 2a=sin2x 4-sinx-1在（0卷 内 有 解，n:X G（0,sin2%+sinx-1 G（1,1,*2d G（1,1,故 a G故 选：C.题 意 可 化 为 关 于 x 的 方 程 2a=sin2x+sinx-1在（0,自 内 有 解，由 x 的 取 值 范 围 确 定 sin2x+sinx-1的 取 值 范 围，进 一 步 得 到 实 数 a 的 取 值 范 围 即 可.本 题 考 查 了 三 角 函 数 的 性 质 的 应 用 及 方 程 与 函 数 的 关 系 应 用，属 于 基 础 题.10.【答 案】4【解
15、 析】解：易 知 四 边 形 4 Q C P是 一 个 平 行 四 边 形，所 以 其 面 积 最 大 时，点 P 到 直 线 4 1 c的 距 离 最 大.对 正 方 体 沿&C方 向 作 正 投 影（即&C垂 直 于 投 影 面），此 时 的 正 视 图 为 正 六 边 形 4 8 1 6 5。，点 P 在 菱 形 A M iG D i内（包 括 边 界），所 以 当 点 P位 于 B i，G，Di时 到 点 儿 的 距 离 均 为 最 大 值，因 此 满 足 条 件 的 点 尸 的 个 数 为 3.故 选：A.空 间 想 象 能 力 是 立 体 几 何 考 查 的 重 点 之 一，随 着
16、 空 间 向 量 的 引 入，解 答 题 对 空 间 想 象 能 力 的 考 查 有 所 降 低，从 而 出 现“大 题 减 负，小 题 加 码”的 趋 势，对 空 间 想 象 能 力 提 出 了 较 高 的 要 求.这 类 题 基 本 没 有 计 算，只 要 依 托 模 型，想 清 楚 几 何 体 的 特 征、几 何 量 之 间 的 位 置 关 系，问 题 的 求 解 就 比 较 简 单.本 题 考 查 了 立 体 儿 何 的 空 间 想 象 能 力，属 于 中 档 题.11.【答 案】【解 析】解:cos2a _ 2cos2a 1=2 x（j）2 1=故 答 案 为：一 直 接 利 用 二
17、 倍 角 的 余 弦 公 式 求 解 即 可.本 题 主 要 考 查 二 倍 角 的 余 弦 公 式，属 于 基 础 题.12.【答 案】10【解 析】解：.z=1+33 z=1 33第 6页，共 I I 页z z=(1+3i)(l-3i)=10.故 答 案 为：10.根 据 已 知 条 件，结 合 复 数 的 四 则 运 算，以 及 共 朝 复 数 的 定 义，即 可 求 解.本 题 主 要 考 查 复 数 的 四 则 运 算，以 及 共 葩 复 数 的 定 义，属 于 基 础 题.13.【答 案】V7【解 析】解：由 于 平 面 向 量 区 石 满 足|五|=2,住|=1,且 力 与 方
18、的 夹 角 为 以 所 以 日 石=|a|K|cos=1,故|五+B|2=/+2五 不+=7；故|五+9|=V7.故 答 案 为：V7.直 接 利 用 向 量 的 夹 角 运 算 求 出 万 不=1，进 一 步 利 用 向 量 的 模 的 平 方 的 运 算 求 出 结 果.本 题 考 查 的 知 识 要 点：向 量 的 夹 角 运 算，向 量 的 模，主 要 考 查 学 生 的 运 算 能 力 和 数 学 思 维 能 力，属 于 中 档 题.14.【答 案】6【解 析】解：由 余 弦 定 理 可 得 a?=b2+c2-2bccosA,28=4+c2 2c,c2 2c-24=0,解 得 c=6
19、或 c=一 4(舍 去).故 答 案 为：6.由 余 弦 定 理 可 得 c的 方 程，求 解 即 可.本 题 考 查 余 弦 定 理 的 应 用，属 基 础 题.15.【答 案】【解 析】解：对 于：函 数/(x)=sin2x-G)lxl+满 足=f(x),故 函 数 f(x)为 偶 函 数，故 正 确；对 于：当 尤=2+3/6 2)时，G 严 趋 近 于+0,所 以/(X)max趋 近 于|，但 是 比|小，故/(为 恒 成 立 错 误，故 错 误；对 于:当=2，兀+3/62)时,产 趋 近 于+0,所 以/(X)max趋 近 于|，但 是 比|小，故 错 误；对 于：根 据 函 数
20、的 性 质，当 x=0时，函 数 f(x)取 得 最 小 值-故 正 确；故 答 案 为：.直 接 利 用 函 数 的 性 质，奇 偶 性 和 函 数 的 最 值 以 及 函 数 的 单 调 性 的 应 用 判 断 的 结 论.本 题 考 查 的 知 识 要 点：函 数 的 性 质，单 调 性 和 奇 偶 性 的 应 用，函 数 的 最 值，主 要 考 查 学生 的 运 算 能 力 和 数 学 思 维 能 力，属 于 中 档 题.16.【答 案】解：(0)-a 11b,:.2.x 8.即 x 4.(0)V x=-l,a-b=2 x(-2)+4 x(-1)=-8,a=2V5,|h|=V5,向 量
21、 方 与 向 量 石 的 夹 角 的 余 弦 值 为 cos。=编=一(国)依 题 意 4a+b=(6,16+x),a 1(4 a+b),a-(4a+b)=0,即 12+64+4x=0,:.x=-1 9,：.b=(-2,-1 9),b=V4+361=V365.【解 析】(/)根 据 已 知 条 件，结 合 向 量 平 行 的 性 质，即 可 求 解.()根 据 已 知 条 件，结 合 向 量 模 公 式，以 及 向 量 的 夹 角 公 式，即 可 求 解.(/)根 据 已 知 条 件，结 合 向 量 垂 直 的 性 质，求 出 x,再 结 合 向 量 模 公 式，即 可 求 解.本 题 主 要
22、 考 查 向 量 垂 直 的 性 质，向 量 的 夹 角 公 式，以 及 向 量 模 公 式，属 于 基 础 题.17.【答 案】(回)证 明：因 为 R4_L平 面 ABC,8 C u平 面 A8C,所 以 P4 1 BC.因 为 4B 1 BC,PACAB=A,所 以 BC 1平 面 248.(国)证 明：在 APBC中，因 为。，E分 别 为 P8,PC的 中 点，所 以 BC DE.因 为 BC C平 面 ADE,DE u 平 面 ADE,所 以 BC 平 面 A O E,又 B C u平 面 A B C,平 面 4BCD平 面 ZDE=m,所 以 BC m.【解 析】(/)由 24!
23、BC,AB 1 B C,可 证 BC 1平 面 PAB；()根 据 条 件，由 线 面 平 行 的 判 定 定 理，得 到 BC 平 面 A O E,从 再 由 线 面 平 行 的 性 质 可 证 BC m.本 题 考 查 线 面 垂 直 的 证 明，线 线 平 行 的 证 明，属 基 础 题.18.【答 案】解：(助 因 为/(%)=sin2x+cos2x+V2=V2sin(2x+?+V2.所 以 当 2%+：=彳+2/兀，即 刀=E+/O T,/C 6 Z时，f(x)有 最 大 值 是 2vL所 以 函 数/(x)的 最 大 值 是 2叵/(x)取 得 最 大 值 时 x 的 值 是 小=
24、+kn,k G Z).第 8页，共 I I页（日）由 5+2/C T T W 2X 4-4-2k7i,k W Z,所 以 F 2kli 工 2.x-F 2k7i,k Z,4 4所 以 f（x）的 单 调 递 减 区 间 是 g+k?r，+k/r,k G Z,8 8由 2%+3=1+kn,k W Z,所 以 2%=-4-kn,k e Z,4所 以/（x）的 对 称 轴 方 程 是 x|x=三+合,k e z.【解 析】（/）根 据 已 知 条 件，结 合 三 角 函 数 的 恒 等 变 换，对/（尤）变 形，再 结 合 正 弦 型 函 数 最 值 的 性 质，即 可 求 解.（）根 据 已 知
25、条 件，结 合 正 弦 型 函 数 单 调 性，以 及 对 称 轴 的 性 质，即 可 求 解.本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 恒 等 变 换，以 及 正 弦 型 函 数 的 性 侦，属 于 中 档 题.19.【答 案】解：（团）因 为 为 第 H 象 限 角，所 以 sin q=11-cos2-=2 7 2 5所 以 sina=2sin-cos-=,2 2 254 7cosa=2cos2 1=2 x（-）z 1=.,a a n,.a.n,4、1,3 V3-4+3 x/3（团）COS（-）=COS COS F SITI SITI=（）X X=-.,、2 3，2 3 2 3 k 57
26、 2 5 2 10【解 析】（团）由 同 角 三 角 函 数 的 平 方 关 系 求 得 sin的 值，再 利 用 二 倍 角 公 式，可 得 sina,cosa的 值；（助 由 两 角 差 的 余 弦 公 式 展 开，代 入 数 据，运 算 即 可.本 题 考 查 三 角 函 数 的 求 值，熟 练 掌 握 二 倍 角 公 式，两 角 差 的 余 弦 公 式 是 解 题 的 关 键，考 查 逻 辑 推 理 能 力 和 运 算 能 力，属 于 基 础 题.20.【答 案】（团）证 明：在 直 三 棱 柱 力 8C 4 B 1 G 中，BB _ 1 _ 底 面 ABC,AB ciF A B C,
27、所 以 BBiJLAB,又 因 为 4B IBC,BCCBiB=B,所 以 4B _ 1 _ 平 面 Bi B C G.一（5分）（团）证 明：取 8 A 中 点 M,取 B C 中 点 N,连 接 NM,g N,ME,因 为 尸 为 G O 的 中 点，G 为 8 c 上 的 点 且 CG所 以 G 为 C N 的 中 点，所 以 FG/V G，因 为 M,N 分 别 是 A3、B C 的 中 点，所 以 MN AC,且 MN=A C,因 为 aC 4iG，且 AC=&G，所 以 MN EC 且 M N=EC 所 以 四 边 形 M N E Q 为 平 行 四 边 形，所 以 GN ME,F
28、G/ZNCj.,ME/FG,又 因 为 ME u平 面 ABE,G F,平 面 ABE,所 以 GF 平 面 48E,-（11分）（团）解：因 为 A4i=4C=2,CB=1,AB 1 C B,所 以 4B=7AC2-BC2=6,所 以 三 棱 锥 A-EBC体 积 等 于 三 棱 锥 E-ABC的 体 积 为：V=1sA,iec-=|x|xV3 X 1 X 2=.-153【解 析】（回）由 AB L B C,结 合 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 得 证；（回）取 8 4 中 点 M,取 8 c 中 点 N,连 接 NM,C】N,证 明 四 边 形 MNEC1为 平 行 四 边
29、形，从 而 可 得 CN ME,证 得 M E 尸 G,利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 即 可 得 证；（团）利 用 等 体 积 法，将 三 棱 锥 A-E B C 体 积 转 化 为 三 棱 锥 E-A B C 的 体 积，求 解 即 可.本 题 主 要 考 查 线 面 垂 直 与 线 面 平 行 的 证 明，考 查 棱 锥 体 积 的 求 法，考 查 转 化 思 想 与 运 算 求 解 能 力，属 于 中 档 题.21.【答 案】【解 析】解：(团)在 A A B C 中，因 为 bcosA+-a=c,2所 以 由 正 弦 定 理 可 得 sinBcosA+卜 也 4=sinC
30、.因 为 4+B+C=兀，所 以 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所 以 gsinA=sinAcosB.在 ABC中，sinA#0,所 以 cosB=%所 以 B=全（团）若 选 b=7,则 在 ABC中，由 余 弦 定 理 炉=a?+0?-2accosB,得 a2-5a-24=0,解 得 a=8或 a=-3（舍）.所 以 a=8.因 此 S-BC=|acsinS=1 x 8 x 5 x y=10V3,若 选 C=则 sinA=sin（8+C）=sin-cos-+cos-sin-=,4 3 4 3 4 4由 正 弦 定 理 号=三，sin4 sine得&=i-解
31、 得 a=少 4 21 1 5V3+5 V3 75+25BS“ABC=2acsinfi=2 x-2-X 5 x 2=-.（回）由 正 弦 定 理 得 sinA=sinAcosB,可 求 cosB=5 可 求 A；（团）若 选 b=7,由 余 弦 定 理 可 得 Q2-5a-24=0,即 可 解 得 a 的 值，进 而 可 求 面 积;若 选 C=f利 用 两 角 和 的 正 弦 函 数 公 式 可 求 sinA的 值，由 正 弦 定 理 即 可 解 得 a 的 值，4进 而 可 求 面 积.本 题 主 要 考 查 了 正 弦 定 理，余 弦 定 理，两 角 和 的 正 弦 函 数 公 式 在 解 三 角 形 中 的 应 用，考 第 10页，共 I I 页查 了 计 算 能 力 和 转 化 思 想，属 中 档 题.