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1、2021-2022学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷1 .在复平面内，复数z=（l+i）（2-i）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2 .已知向量五=（2,1）,b =（x,-2）,且一 木 则 x的值为（）A.4 B.4 C.2 D.23 .如图，在平行四边形A 8 C D 中，下列结论正确的是（）4 .已知A A B C 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若，-=，一 =，则A/IBCcosA cosB c o s C是（）A.钝角三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形，但不是等腰三角形5 .已知?，是两条不同的直线，a,0
2、 是两个不同的平面，m a a,n u 0,下列结论中正确的是（）A.若?n n,则a/?B.若。,则 m nC.若 7与 不相交，则。0 D.若。/?,则”2 与不相交6 .某西瓜种植基地种植了三个品种的西瓜共计1 2 00亩，其中A 品种6 00亩，8 品种4 00亩，C品种2 00亩.为了解该西瓜种植基地的西瓜产量，按照各品种的种植亩数在总体中所占的比例进行分层随机抽样，从总体中抽出6 0亩作为样本进行调查,测得样本中A 品种总产量为1 08吨,B品种总产量为5 0吨,C品种总产量为2 0吨，则 这 1 2 00亩西瓜的总产量估计为（）A.1 2 00 吨 B.3 000 吨 C.3 5
3、 6 0 吨 D.6 4 80 吨7.两位射击运动员在射击测试中各射靶1 0次，每次命中的环数如表：用/,右分别表示甲、乙两名运动员1 0次射击成绩的第80百分位数，用X，S 2 分别表示甲、乙两名运动员1 0次射击成绩的标准差，则有（）甲797s5491 074乙8578761 0677A.X1 =%2，S i 尤2，S 1 S i S2 D.Xx X2 S1 s28.已知 ABC中，角 A,B,。所对的边分别为a,b,c,若-1 -1 则角A 的a+c a+b取值范围是()A.(0,5 B.(0,自 C.=yr)D.9.把y=|x|和y=2的图象围成的封闭平面图形绕x 轴旋转一周，所得几何
4、体的体积为()A.n B.167r C.n D.4Ar3 310.已知正方体力BCD 481GD1的棱长为2,E,F,G 分别为BC,CC BB1的中点，则下列结论中正确的是()直线D”与直线A F 垂直；直线41G与平面AE尸平行；点 C 与点G 到平面AEF的距离相等；平面4EF截正方体所得的截面面积为:11.若复数z=(l+i)Y(其中i 为虚数单位)，则 z 的 共 软 复 数 为.12.在 ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若c=声,b=y/6,B=%则 C=.13.已知向量五=(4,-3),B=(2,t 2),且五 0 3)=2,贝 ijt=,|b =.14.一个
5、袋子中有大小和质地相同的4 个红球和个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2 个球，若取出的2 个球颜色不同的概率为右则的所有可能取值为15.如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台。.已知湿地夹在公路 A8,A C 之间Q4B,AC的长度均超过4 k m),且4BAC=60。.在公路AB,A C 上分别设有游客接送点E,F,4=4尸=2 8 卜血.若要求观景台。建 在 F 两点连线的右侧，并在观景台。与接送点E,F 之间建造两条观光线路O E 与。凡 4EDF=1 2 0,则观光线路D E与。尸之和最长为 km.第2页，共15页DA E B16.已知3是单位向量，向量E(i
6、=1,2)满足|3 丽=N 瓦，且x K +y%=3,其中x,y e R,且x+y=1,则下列结论中，正 确 结 论 的 序 号 是.xe b+y e-=1；(y|x|+x|y|)|K-K l=|：存在x,y,使得1%E l=2；当|亢 七 2|取最小值时，瓦*,a=0.17.为方便4,B两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达专线.该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，从 A,8 两地区分别随机抽样调查了 100名乘客，将乘客对该线路的满意程度评分分成5 组：50,60),60,70),70,80)/80,90),90,100,整理得到如下频率分布直方图:根据
7、乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级:满意程度评分50,70)70,90)90,100满意程度等级不满意满意非常满意(日)从 A地区随机抽取一名乘客，以频率估计概率，估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率；(0)从 A地区与B地区各随机抽取一名乘客，记事件C 为“抽取的两名乘客中，一名乘客的满意程度等级为非常满意且另一名乘客的满意程度等级为不满意”，假设两地区乘客的评分相互独立，以频率估计概率，求事件C 的概率；(团)设出为从A 地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，%为从B地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，为从A,8 两地区随机抽出的这2 00名乘
8、客的满意程度评分的平均数，试比较|M i-闺与欣-闺的大小，并说明理由.18 .在A A B C 中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知匕2 2 =a?&ac.（回）求角B；（回）从C =2 B,b co s A =aco s B 中选取一个作为条件，证明另外一个成立；（回）若。为线段A B 上一点，且C D=4,求 B C D 的面积.19 .如图，在四棱柱4 B C D-4 8 1 G D 1 中，侧棱4 4 i J L 底面A B C D,四边形A 8 C D 为菱形，A B =2,B A D =p E,尸分别为44rCG的中点.（团）证明4 c _ L 平面B O D ，并求
9、点C到平面BO/的距离；（团）证明：B,F,5，E四点共面.2 0 .如图，在四棱锥P -A B C D 中，平面P A D _ L 平面A B C。，B C/平面P A D,B C =之 力。，/.A B C =90 ,E 是 P D 的中点.（1）求证：B C/A D；（2）求证：平面P A B _ L 平面P A D；（3）若 M是线段C E 上任意一点，试判断线段A。上是否存在点N,使得MN 平面P A B?请说明理由.2 1 .若集合4=BIUB2U叫,其中当，B2,，”为非空集合，=0（1 i j n）,则称集合,8 2,，Bn 为集合4的一个划分.（团）写出集合4 =1,2,3
10、的所有不同的2 划分：（团）设 当津2 为有理数集0的一个2 划分，且满足对任意工6当，任意、6 8 2，都有x l cosB cosC即 tan4=tanB=tanC,A=B=C,故三角形ABC为等边三角形，故选：B.利用正弦定理转化为tan/1=tanB=tanC,即可解出.第6页，共15页本题考查了解三角形，正弦定理，学生的数学运算能力，属于基础题.5 .【答案】D【解析】解：已知m u a,n u 0.若7 n n,则(?0 或a 与/?相交，故 A错误；若戊,则m n 或 m与异面，故 8错误，。正确；若相与”不相交，则:或0：与0 相交，故 C错误.故选：D.由两平面中两直线的位置
11、关系判断两平面的位置关系判断A C；由两平面平行分析两平面内两直线的位置关系判断B D.本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题.6 .【答案】C【解析】解：由题意可得，这 1 2 0 0 亩西瓜的总产量估计为噤x (1 0 8 +5 0 +2 0)=3 5 6 0.故选：C.根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解.本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.7.【答案】D【解析】解：将甲、乙两组数据分别从小到大排列：甲：4,4,5,7,7,7,8,9,9,10,乙：5,6,6,7,7,7,7,8,8,10,1,10 x 80%=8,
12、X =9,x2-=8,甲 的 平 均 数 五(4+4+5+7+7+7+8+9+9+10)=7,乙 的 平 均 数 焉(5+6+6+7+7+7+7+8+8+10)=7.1,:.S =昭(4-7尸 +(4-7)2+(5-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(10-7)2=2,同理得S 2=1 3%2 S i S 2，故选：D.根据百分位数和方差的定义计算求解.本题考查命题真假的判断，考查百分位数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8.【答案】A【解析】解：因 为-匕+段2 1,整理可得：b2+c2-a2 bc,由余弦定理可得：c o sA=-M之黑=：,2bc 2b
13、c 2.由A为三角形内角可得：A 6(0,故选：A.由已知整理可得：b2+c2-a2b c,由余弦定理可解得c o sA 结合A为三角形内角即可解得A的取值范围.本题主要考查了余弦定理在解三角形中的综合应用，由正弦定理进行边角互化是解题的关键，属基础题.一周所得几何体是圆柱挖去两个相同的圆锥剩余的部分，由此求出该几何体的体积.本题考查了简单组合体的结构特征应用问题，也考查了旋转体的体积计算问题，是基础题.10.【答案】C【解析】解：对于，由正方体4BCD -得D 1D/C C,N 4FC是直线A F与直线。所成角，连接 A C,f f ij CCi 1 平 面 A B C D,：.C C i
14、1 A C,.在 4FC中，N AFC不可能是直角，直线A F与直线劣0不垂直，故错误；对于，连接AD i，D iF,GF,则4GD iF,A D J/B C J/E F,第8页，共15页 A Dr u 平面 A E F,ArG，平面 A E F,DrF u 平面 A E F,&G 平面A E F,故正确；对于，若点C 与点G 到平面AEF的距离相等，则平面AEF必过C G 的中点,连接CGPIEF于 且不是C G 的中点，则平面AEP不过C G 的中点，即点C 与点G 到平面AEF的距离不相等，故错误：对于，A D J/E F,4E=4 F,.等腰梯形AEFDi即为平面AEF截正方体所得截面
15、,则42 =2夜，E F=V2,A E =D#=V5,A Dr,E F之间的距离为：二 平面AEF截正方体所得的截面面积为：1 L L 3或 9SAEFD1=2 x(2或 +迎)x故选：C.由N4FC是直线A F与直线1。所成角，判断；连接4 5,DiF,GF,由线面平行的判定判断；由平面AEF不过C G 的中点，判断；先找出截面，再计算面积，判断.本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.11.【答案】-1 一2【解析】解：；z=(1+i)-i=-1 +i,二 z=-1 一 i.故答案为：1 i.根据已知条件，结合共轨复数的概念，以
16、及复数代数形式的乘法运算，即可求解.本题考查了共辗复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式,属于基础题.12.【答案】J6【解析】解：由于在 ABC中，由于c=&,b=V6,8=g，则*=，sinC sinB整理得sinC=p由于c v b,故c=g6故答案为：6直接利用正弦定理三=求出sinC=进一步确定C的值.sinC sinB 2本题考查的知识要点：三角函数的值，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.13.【答案】-3V29【解析】解：因为了=(4,一 3)石=(2/一2),所以1b (2,1 t),则五 (a-b)=8-3(-1-1)=2
17、,解得t=-3,所以1=(2,-5),所以=V4+25=V29.故答案为：-3；V29.根据向量坐标的线性运算求出五-瓦 再根据数量积的坐标运算即可求出r,再根据向量的模的坐标公式即可求出|石|.本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量的模的计算等知识，属于基础题.14.【答案】2 或 8【解析】解：一个袋子中有大小和质地相同的4 个红球和个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2 个球，则取出的2 个球颜色不同的概率为：4xn,nx4 4-1-=(n+4)x(n+4)(n+4)x(n+4)9化简得足 10n+16=0,解得几=2或九=8,故答案为：2 或8.先求出取出的2 个球颜色不同的概
18、率，再解方程求解即可.本题考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.15.【答案】4【解析】解：在AAEF中，E F=2V3,在ADEF中，设DE=m,D F =n,由余弦定理可得：E F2=D E2+D F2-2 D E -D F cos 乙 E D F,即：12=血2+九2+7 r m,即 12=(m+n)2 mn,因为mn W所以(瓶+九)2-1 2 4 例 等7n+九4 4,当且仅当TH=九=2时，m+n取到最大值4,即。E 与 O F之和最长为4.故答案为：4.利用余弦定理得到关于DE与O b的方程，借助基本不等式求OE+DF的最大值.第10页，共15页本题考查
19、了余弦定理的应用，属于中档题.1 6 .【答案】【解析】解：由%瓦(+y/=3可得(x K +y 瓦)-e =e -e =1,即+ye-b=1,正确；又%瓦+y%=若 且x+y=1,贝 U x瓦*+(1 x)白 2 =若，即%(瓦一豆)=E-豆,所 以|刈瓦 一%|=一%|,又|3-瓦|=2，则|刈瓦1 一后I=1 三 一%I=豆，同理仪|国-1|=e-b=e-K-则y|x|区 一%I+x|y|瓦一后I=ye-b+xe-bi=1,即(y|x|+x|y|)|瓦 一%|=1,错误；由x+y=l 知 x,y 至少一正，若 x,丫一正一负，则y|x|+x|y|=0,显然不满足(y|x|+x|y|)|K
20、 f 一%|=1,故 x,y 均为正，则y|x|+x|y|=2 xy 4 2 (管/%当且仅当=y=；时等号成立，则1 6*-%|=/丁7之2,2 yx+xy当且仅当无=y =：时等号成立，则存在x,使得|瓦-瓦|=2,正确；当1 瓦(一%I 取最小值2 时，x=y=|，由x +y E=E 可 得 彳+瓦=2 落 则(元+Z?2)2=4,即(6*-工)2 +4 瓦(.工=4,则 后，=0,正确.故答案为：.由x 瓦+y 豆=3 结合数量积运算得xE 瓦 +”%=1；又由x+y=1,求得|刈瓦*一%|=/豆，|y|K -=3瓦进而得(y|x|+x|y|)面-豆 I=1；结合基本不等式求得|瓦|2
21、 2；进而得到瓦+%=23,同时平方即得瓦瓦=0.本题主要考查平面向量的数量积，向量的模的相关运算等知识，属于中等题.1 7.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，(0.0 0 5 +0.0 1 5+0.0 3+0.0 3 +a)X 1 0 =1,解得 a =0.0 2.则估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为0.0 2 xl 0 =0.2.(2)从 A地区随机抽取一名乘客.该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为0.0 2 xl 0 =0.2,是不满意的概率为(0.0 0 5 +0.0 1 5)x 1 0 =0.2.从 8地区随机抽取一名乘客.该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为0.0
22、1 5 x 1 0 =0.1 5,是不满意的概率为(0.0 1 5 +0.0 2)X 1 0 =0.3 5.则P(C)=0.2 x 0.3 5 +0.2 x 0.1 5 =0.1.(3)1%-I =1/i 2-M l-理由如下：出=5 5 x 0.0 5 +6 5 x 0.1 5 +75 x 0.3 +8 5 x 0.3 +9 5 x 0.2 =79.5.2 =5 5 x 0.1 5 4-6 5 x 0.2 4-75 x 0.3 4-8 5 x 0.2 4-9 5 x 0.1 5 =75.因 为 A,B两地区人数比为1：1,则4=，i+)2=77.2 5.则|出 一|=2.2 5,%一-=2.
23、2 5,则心一川=|2-闵.【解析】(1)先由频率和为I 解出a =0.0 2,再求是非常满意的概率即可.(2)分别求出A、B地区非常满意和不满意的概率，再由独立事件乘法公式求解即可.(3)由频率分布直方图求得 1，的，进而求，计算求解即可.本题主要考查利用频率分布直方图解决实际问题，属于中档题.1 8.【答案】国)解：因 为/一。2=。2一或。的所 以=a2+c2-V2 a c =a2+c2-2 a c c os B,所以 c os B =,2又B G （0,7 T）,所以4（回）证明：选，因为C =2 B,B4所以 C =g,4=r =B,2 4所以ta nA =ta nF,即2 吧=1”
24、cos4 cosF所以 b c os 4 =acosB；选，因为b c os A =acosB,所以 s inB c os A =s in4 c os 8,所以 s inB c os A -sinA cosB=s in（B -4）=0,又 A,B G （0,7 1）,则B A E （一耳兀），所以B 4 =0,即4 =B =三,4所以C=：=2 B；（团）解：由（团）得/B C D =工4 8 =*,则NBDC=，2 8 8因为一会”=总，所以8 c =4 位 s in等，sinzBDC sinB 81SB C D=-B C -C D sinZ-B C Dl 5 7 1 7 r=8 v 2 s
25、 in s in-厂 7 1 7 r=8 V2 c os s in 8 8第12页，共15页=4V2sin-=4,4所以BCD的面积为4.【解析】（回）利用余弦定理即可得解；（团）选，根据C=2B结 合 I 求出C,4,可得4=B,则有tan4=ta n B,再根据正弦定理化角为边即可得证；选，利用正弦定理化边为角，再结合I 即可得出结论；（团）利用正弦定理求得B C,再利用三角形的面积公式结合诱导公式及倍角公式即可得出答案.本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.19.【答案】解：（团）证明：,四边形4BC。为菱形，.AC_LBD,又侧棱441 !底面ABCD,AC u 底面ABCD
26、,AAr 1 AC,y.D D J/A A i，.-.DDIAC,又DDiPIBD=D,DD、BD u 平面AC 1平面BDDi，设 AC,8。交于点。，则 CO即为点C 到平面BCD1的距离，又AB=2,/.BAD=CO=AO=AB-cos-=V33 6二点C 到 平 面 的 距 离 为6；（团）证明：取为。中点G,连接4G,FG,BF,0花，由题意得GFAB,GF=AB,二 四边形AGFB是平行四边形，二AG/BF,又DE”BF,：.B,F,/J1，E 四点共面.【解析】（回）由AC 及DDi 1 4 C,即可证得AC 1 平面BDDi，设 AC,BD交于O,C。即为点C 到平面BD%的
27、距离，再由三角形知识求解即可；（回）取DW中点G,先证得四边形AGF8为平行四边形，得到4GB F,进而证明得D E B F,即可证得结论.本题考查线面垂直、线线平行的判定与性质、平面的基本性质及推论等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.2 0.【答案】解：（1）证明：F C/ffi PAD,B C u平ffi A B C D,平面PAOCI平面ABC。=AO,所以BCAD.（2）证明：因为平面PAO _L 平面4B C D,平面PAOn平CB面力BCD=AD,B A I A D,所以BA _1平面PA。，又因为BA u 平面尸48,所以平面R4B 1平面PAD(3)当 N 为 AO中点时，
28、MN平面R4B.证明：取 AD的中点N,连 接 CM EN,E,N 分别为PD,4/)的中点，所以ENP 4EN t平面PAB,PA u 平面P A B,所以EN平面PAB,又因为BC=|4 0,B C/A D,所以四边形ABCN为平行四边形，所以CN/AB,CN PAB,4B u 平面 P A B,所以CN/平面 PAB,CNC1NE,所以平面CNE平面P A B,又因为MN u 平面C N E,所以MN平面PAB.线段A D 上存在点N,使得MN平面PAB.【解析】(1)由线面平行的性质定理即可证明.(2)由面面垂直的性质定理证得B4 1平面P AD,又因为B4 u 平面P AB,所以平面
29、P4B 1平面PAD.(3)取 A。的中点N,连接CM E N,由线面平行的判定定理证明EN平面PA8,CN平面 P A 8,所以平面CNE平面P A B,再由面面平行的性质定理可证得MN平面P4B.本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行的判断和性质的应用，属于基础题.21.【答案】解：(助集合4=1,2,3的所有不同的2 划分为：(1,2,3,1,3,2),2,3,1.(团)可能成立，举例如下：By=(x e Qx 1；可能成立，举例如下：&=x 6 Q|x 1：可能成立，举例如下:Br=x e Qx V2；不可能成立，证明如下：假设成立，不妨设当中元素的最大值为s,%中元素的最大
30、值为右由题可知S 3,；s为当 中元素的最大值，.等任务，为殳中最大值，.学SB2,B1UB2=Q,等 C Q,这与等 CQ矛盾，假设不成立，二不可能成立.(团)证明：集合A 中 有 16个元素，；.B i，B2,B3中至少有一个集合包含6 个元素，不妨设当中至少包含6 个元素，设瓦，台 2,63,Z?4，%,力 6 E B,且瓦 V/?2 VV，假设对任意i 6 1,2,3,对 任 意 小 b E B j,都有力一。6 8 厂 b6 b1,b6 b2y b6 b3,b6 b4 f b6 b5 B,-瓦，b6-b29 b6 b3,b6 b4,b6 b5 E Af b6 b19 b6-b29 b
31、6 b3,b6 b49 b6 b5 e B2UB3,第14页，共15页则为,名 中必有一个集合至少包含垢一打，b6-b2 1 a2 由假设可知。3 一。1，。3 一。2，a2-ar B2,对任意 i,_/（1 W j i 3）,存在“7,n（l m n 5）,都有为-C l j =九一匕巾+%=%-b?n C B i,a3-ar,a3-a2,a2-ar e B3,而-（C I 3-a 2）=。2-与假设矛盾，二 假设不成立，存在 i e 1,2,3,存在 a,b e B i，使得 b-a B（.【解析】（回）根据题意写出含有3 个元素的2 划分即可.（团）可以举出反例，可以用反证法进行证明.（回）利用反证法进行证明.本题考查集合新定义，考查列举法、反例法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.