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1、历 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 题 及 答 案（76套 题）1988年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 题 第 一 试（10月 16日 上 午 8:00 9：30）选 择 题（本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 有 一 个 正 确 答 案，选 对 得 7 分，选 错、不 选 或 多 选 均 得 0分）:1.设 有 三 个 函 数，第 一 个 是 y=（p（x）,它 的 反 函 数 是 第 二 个 函 数，而 第 三 个 函 数 的 图 象 与 第 二 个 函 数 的 图 象 关 于 x+y=0对 称，那 么，第 三 个 函 数 是（）-A.y=（p（x）B.y=（p（-x）
2、C.y=一（p 1（x）2.已 知 原 点 在 椭 圆 k2x2+y24kx+2ky+k21=0 的）A.|k|>l B.|k|#l C.-l<k<l3.平 面 上 有 三 个 点 集 M,N,P：D.y=(pl(x)D.0&It;|k|<lM=(x,y)|x|+|y|<l,N=(x,y)|(x2+(y+)2+22(x2+(y-2<22,22P=(x,y)|x+y|<l,|x|<l,|y|<l.则 A.M P N B.M N P C.P N M D.A、B、C 都 不 成 立 4.已 知 三 个 平 面 a、仇 Y，每 两 个 之 间 的
3、夹 角 都 是 0,且 an p=a,归 尸 b,p a=c.若 有 7 i 命 题 甲：O>3命 题 乙：a、b、c相 交 于 一 点.则 A.甲 是 乙 的 充 分 条 件 但 不 必 要 B.甲 是 乙 的 必 要 条 件 但 不 充 分 C.甲 是 乙 的 充 分 必 要 条 件 D.A、B、C 都 不 对 5.在 坐 标 平 面 匕 纵 横 坐 标 都 是 整 数 的 点 叫 做 整 点，我 们 用 I 表 示 所 有 直 线 的 集 合，M表 示 恰 好 通 过 1个 整 点 的 集 合，N 表 示 不 通 过 任 何 整 点 的 直 线 的 集 合，P表 示 通 过 无 穷
4、 多 个 整 点 的 直 线 的 集 合.那 么 表 达 式 M UNUP=I；N池.（3）M 0.P0中，正 确 的 表 达 式 的 个 数 是 A.1 B.2 C.3 D.4填 空 题（本 大 题 共 4小 题，每 小 题 10分）：bb l.设 x#y,且 两 数 列 x,al,a2,a3,y和 bl,x,b2,b3,y,b4均 为 等 差 数 列，那 么=2-212.x+2）2n+l的 展 开 式 中，x 的 整 数 次 嘉 的 各 项 系 数 之 利 为.D E 3.在 A A BC中，已 知 NA=a,CD、BE分 别 是 AB、A C上 的 高，则=BC4.甲 乙 两 队 各 出
5、 7 名 队 员，按 事 先 排 好 顺 序 出 场 参 加 围 棋 擂 台 赛，双 方 先 由 I 号 队 员 比 赛，负 者 被 淘 汰，胜 者 再 与 负 方 2 号 队 员 比 赛，,直 至 一 方 队 员 全 部 淘 汰 为 止，另 一 方 获 得 胜 利，形 成 一 种 比 赛 过 程.那 么 所 有 可 能 出 现 的 比 赛 过 程 的 种 数 为 三.（15分）2,宽 为 1 的 矩 形，以 它 的 条 对 角 线 所 在 的 直 线 为 轴 旋 转 周，求 得 到 的 旋 转 体 的 体 积.四.（15分）复 平 面 上 动 点 Z 1的 轨 迹 方 程 为|Z1ZO|=|
6、Z1|,Z 0为 定 点，Z0#）,另 一 个 动 点 Z 满 足 Z 1Z=-1,求 点 Z 的 轨 迹，指 出 它 在 复 平 面 上 的 形 状 和 位 置.11五.（15分）已 知 a、b 为 正 实 数，且+=1,试 证：对 每 一 个 n6N*,ab（a+b）n-anbn22n2n+1.1988年 全 国 高 中 数 学 联 赛 二 试 题.已 知 数 列 an,其 中 al=l,a2=2,5an+l 3an(arran+l 为 偶 数)，an+2=an+1 为 奇 数).an+1 an(an-试 证：对 一 切 nGN*,an翔.S PQR2二.如 图，在 a A B C 中，P
7、、Q、R 将 其 周 长 三 等 分，且 P、Q 在 AB>.S ABC9AHQBRC三.在 坐 标 平 面 上，是 否 存 在 一 个 含 有 无 穷 多 直 线 11,12,In,的 直 线 族，它 满 足 条 件：点(1,l)ein,(n=l,2,3,)；(2)kn+l=anbn,其 中 kn+1是 ln+1的 斜 率，an和 bn分 别 是 In在 x 轴 和 y 轴 上 的 截 距，(n=l,2,3,)；(3)knkn+l=O,(n=l,2.3并 证 明 你 的 结 论.1988年 全 国 高 中 数 学 联 赛 解 答-试 题 选 择 题(本 大 题 共 5 小 题，每 小
8、题 有 一 个 正 确 答 案，选 对 得 7 分，选 错、不 选 或 多 选 均 得 0 分):1.设 有 三 个 函 数，第 一 个 是 y=(p(x),它 的 反 函 数 是 第 二 个 函 数，而 第 三 个 函 数 的 图 象 与 第 二 个 函 数 的 图 象 关 于 x+y=O对 称，那 么，第 三 个 函 数 是()-A.y=p(x)B.y=p(x)C.y=_(pl(x)D.y=(pl(x)-解：第 二 个 函 数 是 y=pl(x).第 三 个 函 数 是 一 x=(pl(y),即 y=p(-x).选 B.2.已 知 原 点 在 椭 圆 k2x2+y2-4kx+2ky+k2l
9、=0 的)A.|k|>l B.|k|/l C.-l<k<l D.0<|k|<l解：因 是 椭 圆，故 k0,以(0,0)代 入 方 程，得 k2-l<0,选 D.3.平 面 上 有 三 个 点 集 M,N,P：M=(x,y)|x|+|y|<l,N=(x,y)|(x2+(y+)2+22(x2+(y-2<22),22P=(x,y)|x+y|<l,|x|<L|y|<；l.则 A.M P N B.M N P C.P N M D.A、B、C 都 不 成 立 解：M 表 示 以(1,0),(0.1),(-1,0),(0,一 1)为 顶 点 的
10、 正 方 形 命 题 甲：9>3命 题 乙：a、b、c 相 交 于 一 点.则 A.甲 是 乙 的 充 分 条 件 但 不 必 要 C.甲 是 乙 的 充 分 必 要 条 件 B.甲 是 乙 的 必 要 条 件 但 不 充 分 D.A、B、C 都 不 对 兀 兀 解：a,b,c 或 平 行，或 交 于 一 点.但 当 a b c时，0=.当 它 们 交 于 一 点 时，0<；7t.选 C.335.在 坐 标 平 面 上，纵 横 坐 标 都 是 整 数 的 点 叫 做 整 点，我 们 用 I 表 示 所 有 直 线 的 集 合，M表 示 恰 好 通 过 1个 整 点 的 集 合，N 表
11、 示 不 通 过 任 何 整 点 的 直 线 的 集 合，P 表 示 通 过 无 穷 多 个 整 点 的 直 线 的 集 合.那 么 表 达 式 M U N U P=I；(2)N/0.M 期.P，0 中，正 确 的 表 达 式 的 个 数 是 A.1 B.2 C.3 D.4解：均 正 确，选 D.二.填 空 题(本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 10分)：b4b31.设 x#y,且 两 数 列 x,al,a2,a3,y 和 bl,x,b2,b3,y,b4 均 为 等 差 数 列，那 么=a2-alb4b3812 解：a2al=yx),b4b3=(yx),.43a2a132.x+2)2n+
12、l的 展 开 式 中，x 的 整 数 次 幕 的 各 项 系 数 之 和 为 解：(x+2)2n+1(x2)2n+1=2(C2n+l2xn+C2n+1 23xn 1+C2n+1 25xn2+C2n+1 22n+1).-1352n+l1令 x=l,得 所 求 系 数 和=(32n+l+l).2D E 3.在 aA B C中，已 知/A=a,CD、BE分 别 是 AB、A C上 的 高，则=BCDEAD 解：AEDs/XABC,=|cosa|.BCAC4.甲 乙 两 队 各 出 7 名 队 员，按 事 先 排 好 顺 序 出 场 参 加 围 棋 擂 台 赛，双 方 先 由 1 号 队 员 比 赛，
13、负 者 被 淘 汰，胜 者 再 与 负 方 2 号 队 员 比 赛，,直 至 一 方 队 员 全 部 淘 汰 为 止，另 一 方 获 得 胜 利，形 成 一 种 比 赛 过 程.那 么 所 有 可 能 出 现 的 比 赛 过 程 的 种 数 为 解 画 1行 14个 格 子，每 个 格 子 依 次 代 表 一 场 比 赛，如 果 某 场 比 赛 某 人 输 了，就 在 相 应 的 格 子 中 写 上 他 的 顺 序 号(两 方 的 人 各 用 一 种 颜 色 写 以 示 区 别).如 果 某 一 方 7人 都 已 失 败 则 在 后 面 的 格 子 中 依 次 填 入 另 一 方 未 出 场
14、的 队 员 的 顺 序 号.于 是 每 一 种 比 赛 结 果 都 对 应 种 填 表 方 法，每 一 种 填 表 方 法 对 应 一 种 比 赛 结 果.这 是 对 应 关 系.故 所 求 方 法 数 等 于 在 14个 格 子 中 任 选 7个 写 入 某 一 方 的 号 码 的 方 法 数.共 有 C14种 比 赛 方 式.三.(15分)2,宽 为 1 的 矩 形，以 它 的 一 条 对 角 线 所 在 的 直 线 为 轴 旋 转 一 周，求 得 到 的 旋 转 体 的 体 积.解：过 轴 所 在 对 角 线 BD中 点 O 作 MN_LBD交 边 AD、BC于 M、N,作 A E1B
15、D TE,则 4A B D旋 转 所 得 旋 转 体 为 两 个 有 公 共 底 面 的 圆 锥，底 面 半 径 AE=6兀 623V=)2=.同 样，33392ABCD旋 转 所 得 旋 转 体 的 体 积=.9其 重 叠 部 分 也 是 两 个 圆 锥，山 DO M s/DA B,DO=1633,其 体 积=()2.342823323；.所 求 体 积=-?t=3兀.9872四.(15分)复 平 面 上 动 点 Z 1的 轨 迹 方 程 为|Z1-ZO|=|Z1|,Z 0为 定 点，Z 0#),另 一 个 动 点 Z 满 足 Z 1Z=-1,求 点 Z 的 轨 迹，指 出 它 在 复 平
16、面 上 的 形 状 和 位 置.1111111 解：Z l=-,故 得|Z0|=|,即|ZZ0+I|=l.|Z+=|.即 以 一|为 半 径 的 圆.ZZZZ0Z0Z0Z011五.(15分)已 知 a、b 为 正 实 数，且 1.试 证：对 每 一 个 nGN*,ab(a+b)na n-bH22n_ 2n+l.证 明：由 已 知 得 a+b=ab.又 a+bWab,ab=2ab,故 a+b=ab三 4.于 是(a+b)k=(ab)H22k.又 ak+bH2ab=2(a+b户 2k+l.下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明：1 当 n=l时，左=右=0.左 三 右 成 立.2 设 当 n=k(
17、Hl,k N)时 结 论 成 立，即(a+b)k-akbH22k-2k+l 成 立.-贝 II(a+b)k+1 ak+1bk+1=(a+b)(a+b)k(ak+bk)(a+b)+ab(ak 1+bk 1)=(a+b)(a+b)k ak bk+ab(ak 1+bk 1)=4-(22k 2k+l)+42k=22(k+l)4-2k+l+42k=22(k+1)-2(k+1)+1.即 命 题 对 于 n=k+l也 成 立.故 对 于 一 切 n N*,命 题 成 立.二 试 题 一.已 知 数 列 an,其 中 al=l,a2=2,3DO AB6OM=.2DA423AOC7B5an+l 3an(an a
18、n+l 为 偶 数)，an+2=an+1 为 奇 数).an+1 an(an-试 证：对 一 切 nN*,a n/).(1988年 全 国 高 中 竞 赛 试 题)分 析：改 证 anO(mod 4)或 an丰 O(mod 3).证 明：由 al=l,a2=2,得 a3=7,a4=29,al=l,a2=2,a3=3(mod 4).设 a3k2三 1,a3k-l=2,a3k=3(mod 4).贝 lj a3k+l=533-332=9=l(mod 4)；a3k+2三 1-3=一 2三 2(mod 4)；a3k+3=532-331=7=3(mod4).根 据 归 纳 原 理 知,对 于 一 切 nN
19、,a3n2=1,a3n1=2,a3n三 3(mod 4)恒 成 立，故 an学 O(mod 4)成 立，从 而 an#).又 证：al又,a2=2(mod 3).设 a2k-l三 1,a2k三 2(mod3)成 立，贝 lj当 a2k-l a2k 为 偶 数 时 a2k+l=532-33l=l(mod 3),当 a2k-l-a2k 为 奇 数 时 a2k+l=2-1=1(mod 3),总 之 a2k+l=l(mod 3).当 a2ka2k+l 为 偶 数 时 a2k+2=53l-332=2(mod 3),当 a2ka2k+l 为 奇 数 时 a2k+2三 1一 2三 2(m od3),总 之，
20、a2k+2三 2(mod 3).于 是 an丰 0(mod 3).故 an/).S PQR2二 如 图，在 4A B C中，P、Q、R 将 其 周 长 三 等 分，且 P、Q 在 AB>.S ABC9AHQBRC1证 明：作 aA B C及 的 高 CN、R H.设 4A B C的 周 长 为 1.则 PQ=.3 则 SPQRHPQAR1PQ2=,但 AB<>,CNABAC2AB3S ABC AB-111111 AR 1S2 APAB-PQ<-,J AR=AP>,A C<,故>236362AC3s ABC9 三.在 坐 标 平 面 上，是 否 存 在
21、一 个 含 有 无 穷 多 直 线 11,12,I n,的 直 线 族，它 满 足 条 件：点(1,l)ein,(n=l,2,3,(2)kn+l=anb n,其 中 kn+l是 ln+1的 斜 率，an和 bn分 别 是 In在 x轴 和 y轴 上 的 截 距，(n=l,2,3,(3)knkn+l=O,(n=l,2,3,并 证 明 你 的 结 论.证 明：设 an=bi#O,即 kn1=-1,或 an=bn=0,即 k n=l,就 有 kn+l=O,此 时 an+1 不 存 在，故 kn#tl.1 1 现 设 knO,1,则 y=kn(x1)+1,得 bn=l kn,an=l kn+1=kn
22、knkn+1=kn2 1.knknkn>l 或 kn<-1.从 而 kl>l 或 kl<-1.1 1(1)当 kl>l 时,由 于 O<,故 kl>k2=kl,若 k2>l,则 又 有 k 1>k2>k3>0,依 此 类 推，知 当 km>lklkl1 1 1 时,有 kl>k2>k3>->km>km+l>0,且,klk2km11112mkm+l=kmkm=km 1 km 1<kl.kinklklklkm-Ikim m 由 于 kl一 随 m 的 增 大 而 线 性 减 小，故 必
23、 存 在 一 个 m 值，m=m O,使 kl 一 丰 1,从 而 必 存 在 一 个 m 值 klklm=ml*mO,使 kml 1三 1,而 l>kml=kml 1一 即 此 时 不 存 在 这 样 的 直 线 族.11(2)当 kl<-l 时，同 样 有 一 1&化,得 kl<k2=kl-<0.若 k2<-L 又 有 kl<k2<k3<0,依 此 类 推，知 当 klkl>O,此 时 kml-kml+l<O.kml-11lllkm<-1 时，W k 1<k2<k3<,<km<km+1<O
24、,H 0>>>>-1,k1k2km11112mkm+1=kmkm=km 1 km 1>kl.kmklklklkm Ikim m 由 于 kl 一 随 m 的 增 大 而 线 性 增 大，故 必 存 在 一 个 m 值，m=m O,使 kl 1,从 而 必 存 在 一 个 mkmkl值，m=ml(ml*mO),使 kml 1 丰 一 1,而 一 l<kml=kml即 此 时 不 存 在 这 样 的 直 线 族.综 上 可 知 这 样 的 直 线 族 不 存 在.此 时 kml-kml+l<O.kml 11厦 门 市 参 加 2010年 福 建 省 高 中
25、 数 学 竞 赛 管 2010年 全 国 高 中 数 学 联 赛 福 建 赛 区 竞 赛 的 通 知 贵 校 教 务 处 转 数 学 教 研 组：根 据 闽 科 协 发【2010】39号 文 件 关 于 举 办 2010年 全 国 高 中 数 学 联 赛 福 建 赛 区 竞 赛 的 通 知，以 及 省 数 学 会 关 于 2010年 福 建 省 高 中 数 学 竞 赛 暨 2010年 全 国 高 中 数 学 联 赛 福 建 赛 区 竞 赛 的 通 知，根 据 我 市 情 况，有 关 竞 赛 工 作 通 知 如 下：-、赛 制、竞 赛 时 间 和 命 题 范 围 竞 赛 分 预 赛 和 复 赛
26、两 个 阶 段。1.预 赛：(1)时 间：2010年 9 月 11日(星 期 六)9：00 11：30,在 本 市 考 点 进 行。(2)试 题 来 源：预 赛 试 题 由 福 建 省 数 学 学 会 组 织 命 题，同 时 也 作 为 2010年 福 建 省 高 中 数 学 竞 赛 的 试 题，试 题 类 型 以 全 国 联 赛 类 型 为 主，适 当 补 充 少 量 全 国 联 赛 加 试 部 分 的 内 容。(3)试 卷 结 构：填 空 题 10题，每 题 6 分，满 分 60分；解 答 题 5 题，每 题 20分，满 分 100分。全 卷 满 分 160分。考 试 时 间 150分 钟
27、。2.复 赛(1)时 间 与 地 点:2010年 10月 17日(星 期 日)8：00 12：10,集 中 在 福 州 一 中 旧 校 区 进 行 考 试。其 中 联 赛 时 间 为 8：009：20,加 试 时 间 为 9：4012：10,(2)试 题 来 源 与 命 题 要 求：复 赛 试 题 是 由 中 国 数 学 会 统 一 命 题 的 全 国 联 赛 试 题 和 加 试 试 题。命 题 范 围 以 现 行 高 中 数 学 教 学 大 纲 为 准，加 试 试 题 的 命 题 范 围 以 数 学 竞 赛 大 纲 为 准。根 据 现 行“高 中 数 学 竞 赛 大 纲”的 要 求，全 国
28、高 中 数 学 联 赛(一 试)所 涉 及 的 知 识 范 围 不 超 过 教 育 部 2000年 全 日 制 普 通 高 级 中 学 数 学 教 学 大 纲 中 所 规 定 的 教 学 要 求 和 内 容，但 方 法 的 要 求 上 有 所 提 高。主 要 考 查 学 生 对 基 础 知 识 和 基 本 技 能 的 掌 握 情 况，以 及 综 合、灵 活 运 用 知 识 的 能 力。全 国 高 中 数 学 联 赛 加 试(二 试)与 中 国 数 学 奥 林 匹 克(冬 令 营)、国 际 数 学 奥 林 匹 克 接 轨,在 知 识 方 面 有 所 扩 展，适 当 增 加 一 些 教 学 大 纲
29、 之 外 的 内 容。（3）试 卷 结 构：全 国 高 中 数 学 联 赛（一 试）试 卷 结 构 为：填 空 题 8 题，每 题 8 分，满 分 64分；解 答 题 3题，分 别 为 16分、20分、20分，满 分 56分。全 卷 满 分 120分。考 试 时 间 80分 钟；全 国 高 中 数 学 联 赛 加 试（二 试）试 卷 结 构 为：4 道 解 答 题，涉 及 平 面 儿 何、代 数、数 论、组 合 四 个 方 面。每 题 50分。满 分 200分。考 试 时 间 150分 钟。二、参 赛 对 象 本 学 年 度 的 在 校 高 中 学 生 均 可 报 名，自 愿 参 加，不 影
30、响 学 校 的 正 常 教 学 秩 序。三、报 名、报 名 费 和 准 考 证 采 用 网 上 报 名。在 各 校 教 务 处 的 指 导 下，由 高 二 年 数 学 备 课 组 长 具 体 负 责，组 织 学 生 报 名 参 加 竞 赛。报 名 表 请 参 照 样 表、统 一 用 Excel文 档 并 按 要 求 认 真 填 写，根 据 省 数 学 会 要 求，报 名 时 需 将 所 有 参 加 考 试 的 考 生 的 花 名 册 上 交，为 最 后 评 奖、颁 发 获 奖 学 生 证 书 以 及 制 作 指 导 教 师 证 书 的 依 据，务 必 请 各 校 认 真 填 写 报 名 表，指
31、 导 教 师 以 报 名 表 上 登 记 的 为 准（每 名 学 生 只 能 上 报 1 名 指 导 教 师），赛 后 不 得 更 改。报 名 费（按 省 数 学 会 通 知）统 一 收 取 每 生 18元。各 参 赛 学 校 请 将 报 名 表 的 电 子 文 本 用 E.mail发 送 至 电 子 油 箱；报 名 费 请 直 接 汇 入 建 设 银 行 活 期 存 折，存 折 户 名：陈 智 猛，A T M 卡 号：4367421930036257416。报 名 截 止 时 间 是 6 月 25日，逾 期 不 予 受 理。请 保 留 汇 款 的 凭 单 备 查，将 本 校 报 名 人 数
32、以 及 汇 款 的 金 额 数 用 手 机 短 信 形 式 发 送 至 13806039993,短 信 联 系 进 行 报 名 的 确 认。9 月 初 召 开 考 务 会 同 时 领 取 准 考 证，准 考 证 请 各 校 自 行 填 写，山 备 课 组 长 保 管，考 前 30分 钟 再 发 给 考 生。四、考 号 安 排 学 校 厦 门 一 中 双 十 中 学 厦 门 六 中 外 国 语 学 校 科 技 中 学 厦 门 二 中 湖 滨 中 学 考 号 安 排 10001 10600 10601 11200 11201 11800 11801 12400 12401 1300013001 1
33、3200 13201 13400学 校 考 号 安 排 松 柏 中 学 13401 13600厦 门 三 中 13601 13800华 侨 中 学 13801 14000禾 山 中 学 14001 14200大 同 中 学 14201 14400 康 桥 中 学 14401 14600集 美 中 学 20001 20400英 才 学 校 20401 20600灌 口 中 学 20601 28000乐 安 中 学 20801 21000同 安 一 中 30001 30600启 悟 中 学 30601 30800第 二 外 国 语 学 校 30801 31000 翔 安 一 中 40001 404
34、00 新 店 中 学 40401 40600 40601 40800诗 扳 中 学 40801-41000厦 门 十 中 杏 南 中 学 海 沧 中 学 海 沧 实 验 中 学 东 山 中 学 五 显 中 学 国 祺 中 学 21001 21400 21401 21600 21601 2180021801 22000 31001 31200 31201 31400 31401 31600五、考 务：有 关 考 场 的 设 置、监 考 等 考 务 工 作 另 行 安 排 布 置。六、奖 项：按 参 赛 人 数 的 5%从 高 分 到 低 分 确 定 复 赛 入 围 者；预 赛 成 绩 为 本 区
35、 第 一 名 经 省 数 学 会 审 核 无 误 后 也 可 以 直 接 参 加 复 赛。另 外，符 合 下 列 条 件 之 一 者 可 直 接 进 入 复 赛：（1）2008年、2009年 全 国 高 中 数 学 联 赛（福 建 赛 区）一、二 等 奖 获 得 者；（2）2010年 东 南 地 区 数 学 奥 林 匹 克 竞 赛 一、二 等 奖 获 得 者；（3）2010年 福 建 省 高 一 数 学 竞 赛（省）前 十 五 名 获 得 者；（4）2010年 中 国 女 子 数 学 奥 林 匹 克 竞 赛 一、二 等 奖 获 得 者。复 赛 试 卷 经 省 数 学 会 评 定 后，评 出（省
36、 级）全 国 一、二、三 等 奖 的 获 奖 名 单 报 省 科 协、省 教 育 厅 审 定，获 得（省 级）全 国 一、二、三 等 奖 的 选 手 及 指 导 教 师 由 省 科 协 和 省 教 育 厅 联 合 颁 发 获 奖 证 书。注 意：一 等 奖、二 等 奖 和 三 等 奖 均 按 联 赛 与 加 试 的 总 分 评 定。省 数 学 会 评 出 2009年 福 建 省 高 中 数 学 竞 赛 一、二、三 等 奖 后，我 市 在 省 奖 之 外 再 评 出 市 一 等 奖、二 等 奖、三 等 奖，以 及 表 扬 奖 若 干 名。为 了 鼓 励 各 校 参 加 高 中 数 学 联 赛 的
37、 积 极 性,研 究 决 定：按 报 名 人 数 给 学 校 不 低 于 10%的 市 级（以 上）获 奖 名 额，鼓 励 学 生。厦 门 市 教 育 科 学 研 究 院 基 础 教 育 研 究 室 厦 门 市 教 育 学 会 数 学 教 学 专 业 委 员 会 2010年 5 月 13日（注：报 名 表 的 指 导 教 师 栏 请 认 真 填 写，赛 后 不 得 更 改）1992年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 卷 第 一 试 选 择 题（每 小 题 5分，共 30分）1.对 于 每 个 自 然 数 n,抛 物 线 y（n+n&（2n+l）x+l与 x轴 交 于 An,Bn两 点，以|
38、AnBn|表 示 该 两 点 的 距 离，则 22+|A2B2|+|A1992B1992|的 值 是（）-9-（A）（B）（C）（D）2.已 知 如 图 的 曲 线 是 以 原 点 为 圆 心，1为 半 径 的 圆 的 一 部 分，则 这 曲 线 的 方 程 是（）（A）（x+（C）（x+y2)(y+x2)=0(B)(xy2)(yx2)=0 y2)(yx2)=0(D)(xy2)(y+x2)=0(Si)i 143.设 四 面 体 四 个 面 的 面 积 分 别 为 SI,S2,S3,S 4,它 们 的 最 大 值 为 S,记=(A)2<丰 4(B)3<<4(C)2.5<丰
39、 4.5(D)3.5<<5.5/S,则 一 定 满 足()，都 是 方 程 logx=log(4谢 的 根,4.在 4A B C中，角 A,B,C 的 对 边 分 别 记 为 a,b,c(b 1),且 则 ABCX)b(A)是 等 腰 三 角 形，但 不 是 直 角 三 角 形(B)是 直 角 三 角 形，但 不 是 等 腰 三 角 形(C)是 等 腰 直 角 三 角 形(D)不 是 等 腰 三 角 形，也 不 是 直 角 三 角 形 5.设 复 数 zl,z2在 复 平 面 上 对 应 的 点 分 别 为 A,B,且|zl|=4,4zl2zlz2+z2=0,0 为 坐 标 原 点
40、，则 A O A B的 面 积 为()(A)822(B)4(C)6(D)126.设 f(x)是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数，且 满 足 下 列 关 系 f(10+x)f(10 x),f(20 x)f(20+x),则 f(x)是(A)偶 函 数，又 是 周 期 函 数(B)偶 函 数，但 不 是 周 期 函 数(C)奇 函 数，又 是 周 期 函 数(D)奇 函 数，但 不 是 周 期 函 数 二.填 空 题(每 小 题 5分 共 30分),xyz成 等 差 数 列，则 zx的 值 是.1.设 x,y,z 是 实 数，3x,4y,5z成 等 比 数 列,且 2.在 区 间 0,中
41、，三 角 方 程 cos7x cos5x的 解 的 个 数 是.3.从 正 方 体 的 棱 和 各 个 面 上 的 对 角 线 中 选 出 k 条，使 得 其 中 任 意 两 条 线 段 所 在 的 直 线 都 是 异 面 直 线，则 k 的 最 大 值 是 z 4.设 z,z 都 是 复 数，且|z|=3,|z|=5忆+z|=7,贝 Ijarg(l)的 值 是.31212125.设 数 列 al,a2,an,满 足 al a2 1,a3 2,且 对 任 何 自 然 数 n,都 有 anan+lan+2 1,X anan+lan+2an+3 an+an+1+an+2+a n+3,则 al+a2
42、+al00 的 值 是 _ _.6.函 数 f(x尸 x43x26x 13x4x21的 最 大 值 是.8016 17k 1三、(20分)求 证:.-10-四、(20分)设 1,m 是 两 条 异 面 直 线，在 1上 有 A,B,C 三 点，且 A B=BC,过 A,B,C分 别 作 m 的 垂 线 AD,BE,C F,垂 足 依 次 是 D,E,F,已 知 AD=,BE=2CF=,求 1与 m 的 距 离.pinlxx 五、(20 分)设 n 是 自 然 数，fn(x)(x 0,1),y=x+x.1.求 证:fn+1(x)=yfh(x)fh 1(x),(n>l)2.用 数 学 归 纳
43、 法 证 明：fn(x)=yCy.(l)Cy,(l),(i 1,2,n 为 偶 数)nlnl nln2iin2i,n 为 奇 数)yCy.(l)Cy.(l)C,(i 1,2,nlninl nln2nliinin2in21993年 全 国 高 中 数 学 联 合 竞 赛 试 卷 第 一 试 选 择 题(每 小 题 5分，共 30分)1.若 乂=/，y)|tg y|+sin x 0,N=(x,y)|x+y*2,则 M N 的 元 素 个 数 是()222(A)4(B)5(C)8(D)92.已 知 f(x)=asinx+b+4(a,b 为 实 数)，且 f(lglog310)5,则 f(lglg3)
44、的 值 是()(A)5(B)3(C)3(D)随 a,b取 不 同 值 而 取 不 同 值 3.集 合 A,B 的 并 集 A B=al,a2,a3,当 A B 时，(A,B)与(B,A)视 为 不 同 的 对，则 这 样 的(A,B)对 的 个 数 是()(A)8(B)9(C)26(D)274.若 直 线 x=被 曲 线 C：(x-arcsina)(xarccosa)+(yarcsina)(y+arccosa)=0 所 载 的 弦 长 为 d,当 a变 化 时 d 的 最 小 值 是()(A)(B)(C)(D)sincos22的 值 5.在 A A BC中，角 A,B,C 的 对 边 长 分
45、别 为 a,b,c,若 2a等 于 A C边 上 的 高 h,则 是()(A)l(B)2(C)(D)l-11-(A)(B)(C)(D)6.设 tn,n 为 非 零 复 数，i 为 虚 数 单 位，z C,则 方 程|z+ni|+|z-m i|=n与 z+ni|一|z一 mi|=-m 在 同 一 复 平 面)二.填 空 题(每 小 题 5分，共 30分)1.二 次 方 程(l-i)x+(+i)x+(l+i)=0(i为 虚 数 单 位，R)有 两 个 虚 根 的 充 分 必 要 条 件 是 的 取 值 范 围 为 _.2,m i n _.2.实 数 x,y 满 足 4x5xy+4y=5,设 S=x
46、+y,则 max22223.若 z C,arg(z4)=62,arg(z+4)=3,则 z 的 值 是 _.293 4.整 数 1 0 3 的 末 两 位 数 是.logxO 1993 logx 11993 logx219935.设 任 意 实 数 x0 xl x2 x3 0,要 使 最 大 值 是 123k logxO 1993m 3恒 成 立，则 k 的 6.三 位 数（100,101,999）共 900个，在 卡 片 上 打 印 这 些 三 位 数，每 张 卡 片 上 打 印 一 个 三 位 数，有 的 卡 片 所 印 的，倒 过 来 看 仍 为 三 位 数，如 198倒 过 来 看 是
47、 861；有 的 卡 片 则 不 然，如 531倒 过 来 看 是，因 此，有 些 卡 片 可 以 一 卡 二 用，于 是 至 多 可 以 少 打 印 张 卡 片.三.（本 题 满 分 20分）三 棱 锥 S-A B C中，侧 棱 SA、SB、SC两 两 互 相 垂 直，M 为 三 角 形 A BC的 重 心，D 为 A B的 中 点，作 与 SC平 行 的 直 线 D P.证 明：（1）D P与 SM相 交；（2）设 D P与 SM 的 交 点 为 D，则 D 为 三 棱 锥 S-A B C的 外 接 球 球 心.四.（本 题 满 分 20分）设 0 a b,过 两 定 点 A（a,0）和
48、B（b,0）分 别 引 直 线 1和 m,使 与 抛 物 线 y=x有 四 个 不 同 的 交 点，当 这 四 点 共 圆 时，求 这 种 直 线 1与 m 的 交 点 P 的 轨 迹.2-12-五.（本 题 满 分 20分）设 正 数 列 aO,al,a2,a n,满 足 nn2nln2 2anl(nm2)且 a=a=1.求 a 的 通 项 公 式.Oln1994年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 题 第 一 试 选 择 题(每 小 题 6分，共 36分)1.设 a,b,c是 实 数，那 么 对 任 何 实 数 x,不 等 式 asinxbcosxc 0 都 成 立 的 充 要 条 件
49、是(A)a,b 同 时 为 0,且 c>O(B)a2b2 c(C)a2b2 c(D)a2b2 c2.给 出 下 列 两 个 命 题：(1)设 a,b,c都 是 复 数，如 果 a2b2 c 2,则 a2b2c2 0；,b2c2 0,则 a2b2 c2.(2)设 a,b,c都 是 复 数,如 果 a那 么 下 述 说 法 正 确 的 是 2(A)命 题(1)正 确，命 题(2)也 正 确(B)命 题(1)正 确，命 题(2)错 误(C)命 题(1)错 误，命 题(2)也 错 误(D)命 题(1)错 误，命 题(2)正 确 3.已 知 数 列 an满 足 3anl的 最 小 整 数 n是.a
50、n 4(n 1),且 al 9,其 前 n项 之 和 为 S n,则 满 足 不 等 式|S而 6|1125(A)5(B)6(C)7(D)80 b 1,0 a4.已 知 小 关 系 是 logbsinay(cosa)logbcosa,z(sina)logbcosa 的 大 4,则 下 列 三 数：x(sina),(A)xz<y(B)yzx(C)zxy(D)xyz5.在 正 n棱 锥 中，相 邻 两 侧 面 所 成 的 二 面 角 的 取 值 范 围 是(A)n2nln2nl,)(,)(0,)(,)nnn2(D)n(B)(C)-13-|xy|ky|12a2b6.在 平 面 直 角 坐 标