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1、1988年全国高中数学联赛试题第一试(10月16日上午800930)一选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1设有三个函数，第一个是(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于0对称，那么，第三个函数是( ) A(x) B(x) C1(x) D1(x) 2已知原点在椭圆k2x224221=0的内部，那么参数k的取值范围是( ) A1 B1 C1k1 D01 3平面上有三个点集M，N，P： (x，y)| 1， (x，y)| +2， (x，y)| 1，1，； 命题乙：a、b、c相交于一点则 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲
2、是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C都不对 5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合那么表达式 MN； N M P中，正确的表达式的个数是 A1 B2 C3 D4 二填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1设xy，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= 2(+2)21的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 3在中，已知，、分别是、上的高，则= 4甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围
3、棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再及负方2号队员比赛，直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程的种数为 三(15分)长为，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积四(15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为1Z01|，Z0为定点，Z00，另一个动点Z满足Z11，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置五(15分)已知a、b为正实数，且+=1，试证：对每一个nN*， ()n22n211988年全国高中数学联赛二试题一已知数列，其中a1=1，a2=2，2=试证：对一切nN*，0二如图，在中，P、Q、R将其
4、周长三等分，且P、Q在边上，求证：三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，的直线族，它满足条件： 点(1，1)，(1，2，3，)； 1，其中1是1的斜率，和分别是在x轴和y轴上的截距，(1，2，3，)； 10，(1，2，3，)并证明你的结论1988年全国高中数学联赛解答一试题一选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1设有三个函数，第一个是(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于0对称，那么，第三个函数是( ) A(x) B(x) C1(x) D1(x) 解：第二个函数是1(x)第三个函数是1(y)，即
5、(x)选B2已知原点在椭圆k2x224221=0的内部，那么参数k的取值范围是( ) A1 B1 C1k1 D01 解：因是椭圆，故k0，以(0，0)代入方程，得k210，选D3平面上有三个点集M，N，P： (x，y)| 1， (x，y)| +2， (x，y)| 1，1，； 命题乙：a、b、c相交于一点则 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C都不对 解：a，b，c或平行，或交于一点但当abc时，=当它们交于一点时，证明：作及的高、设的周长为1则则=，但，从而三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，的直线族，它满足条件： 点(
6、1，1)，(1，2，3，)； 1，其中1是1的斜率，和分别是在x轴和y轴上的截距，(1，2，3，)； 10，(1，2，3，)并证明你的结论证明：设0，即1=1，或0，即1，就有1=0，此时1不存在，故1现设0，1，则(x1)+1，得1，1， 1此时121 1或1或k11时，由于0k210，若k21，则又有k1k2k30，依此类推，知当1时，有k1k2k310，且01，111k0，此时kk0即此时不存在这样的直线族 当k11时，同样有10，得k1k210若k21，又有k1k2k30，依此类推，知当1时，有k1k2k311，111k1由于k1随m的增大而线性增大，故必存在一个m值，0，使k11，从
7、而必存在一个m值，1(m1m0)，使k1，而1k0，此时kk0即此时不存在这样的直线族综上可知这样的直线族不存在厦门市参加2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知贵校教务处转数学教研组：根据闽科协发【2010】39号文件关于举办2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知，以及省数学会关于2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知，根据我市情况，有关竞赛工作通知如下： 一、赛制、竞赛时间和命题范围竞赛分预赛和复赛两个阶段。1预赛：（1）时间：2010年9月11日（星期六）9：0011：30，在本市考点进行。（2）试题来源：预赛试
8、题由福建省数学学会组织命题，同时也作为2010年福建省高中数学竞赛的试题，试题类型以全国联赛类型为主，适当补充少量全国联赛加试部分的内容。（3）试卷结构：填空题10题，每题6分，满分60分；解答题5题，每题20分，满分100分。全卷满分160分。考试时间150分钟。2复赛（1）时间及地点：2010年10月17日（星期日）8：0012：10，集中在福州一中旧校区进行考试。其中联赛时间为8：009：20，加试时间为9：4012：10。（2）试题来源及命题要求：复赛试题是由中国数学会统一命题的全国联赛试题和加试试题。命题范围以现行高中数学教学大纲为准，加试试题的命题范围以数学竞赛大纲为准。根据现行“
9、高中数学竞赛大纲”的要求，全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超过教育部2000年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。全国高中数学联赛加试（二试）及中国数学奥林匹克（冬令营）、国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容。（3）试卷结构：全国高中数学联赛（一试）试卷结构为：填空题8题，每题8分，满分64分；解答题3题，分别为16分、20分、20分，满分56分。全卷满分120分。考试时间80分钟；全国高中数学联赛加试（二试）试卷结构为：4道解答题
10、，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。每题50分。满分200分。考试时间150分钟。二、参赛对象本学年度的在校高中学生均可报名，自愿参加，不影响学校的正常教学秩序。三、报名、报名费和准考证采用网上报名。在各校教务处的指导下，由高二年数学备课组长具体负责，组织学生报名参加竞赛。报名表请参照样表、统一用文档并按要求认真填写，根据省数学会要求，报名时需将所有参加考试的考生的花名册上交，为最后评奖、颁发获奖学生证书以及制作指导教师证书的依据，务必请各校认真填写报名表，指导教师以报名表上登记的为准（每名学生只能上报1名指导教师），赛后不得更改。报名费（按省数学会通知）统一收取每生18元。各参赛学校请
11、将报名表的电子文本用发送至电子油箱126；报名费请直接汇入建设银行活期存折，存折户名：陈智猛，卡号：4367421930036257416。报名截止时间是6月25日，逾期不予受理。请保留汇款的凭单备查，将本校报名人数以及汇款的金额数用手机短信形式发送至，短信联系进行报名的确认。9月初召开考务会同时领取准考证，准考证请各校自行填写，由备课组长保管，考前30分钟再发给考生。四、考号安排第 156 页学 校考号安排厦门一中1000110600双十中学1060111200厦门六中1120111800外国语学校1180112400科技中学1240113000厦门二中1300113200湖滨中学13201
12、13400学 校考号安排松柏中学1340113600厦门三中1360113800华侨中学1380114000禾山中学1400114200大同中学1420114400康桥中学1440114600集美中学2000120400英才学校2040120600灌口中学2060128000乐安中学2080121000厦门十中2100121400杏南中学2140121600海沧中学2160121800海沧实验中学2180122000同安一中3000130600启悟中学3060130800第二外国语学校3080131000东山中学3100131200五显中学3120131400国祺中学3140131600翔安一
13、中4000140400新店中学4040140600内厝中学4060140800诗扳中学4080141000五、考务：有关考场的设置、监考等考务工作另行安排布置。六、奖项：按参赛人数的5%从高分到低分确定复赛入围者；预赛成绩为本区第一名经省数学会审核无误后也可以直接参加复赛。另外，符合下列条件之一者可直接进入复赛：（1）2008年、2009年全国高中数学联赛（福建赛区）一、二等奖获得者；（2）2010年东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者；（3）2010年福建省高一数学竞赛（省）前十五名获得者；（4）2010年中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。复赛试卷经省数学会评定后，评出（省级）全
14、国一、二、三等奖的获奖名单报省科协、省教育厅审定，获得（省级）全国一、二、三等奖的选手及指导教师由省科协和省教育厅联合颁发获奖证书。注意：一等奖、二等奖和三等奖均按联赛及加试的总分评定。省数学会评出2009年福建省高中数学竞赛一、二、三等奖后，我市在省奖之外再评出市一等奖、二等奖、三等奖，以及表扬奖若干名。为了鼓励各校参加高中数学联赛的积极性，研究决定：按报名人数给学校不低于10%的市级（以上）获奖名额，鼓励学生。厦门市教育科学研究院 基础教育研究室厦门市教育学会 数学教学专业委员会2010年5月13日附：2010年全国高中数学联赛福建赛区（厦门）竞赛报名表考号学生姓名性别年级所在学校指导教师
15、考生总数 （人）应交金额 （元）（注：报名表的指导教师栏请认真填写，赛后不得更改）1992年全国高中数学联赛试卷第一试一选择题(每小题5分，共30分)1. 对于每个自然数n，抛物线y(n2n)x2-(2n1)x1及x轴交于，两点，以表示该两点的距离，则1B1|2B2|L1992B1992|的值是( )(A) (B) (C) (D)2. 已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )(A)(x)(y)=0 (B)()()=0(C)(x)()=0 (D)()(y)=03. 设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记，则一定满足( )(A)2
16、4 (B)34 (C)2.54.5 (D)3.51) 2.用数学归纳法证明：(x)=1993年全国高中数学联合竞赛试卷第 一 试一选择题(每小题5分，共30分)1 若M(x，y)| 20，N(x，y)| x222，则的元素个数是（ ）(A)4 (B)5 (C)8 (D)92 已知f (x)4(a，b为实数)，且 f (310)5，则f(3)的值是（ ）(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随a，b取不同值而取不同值3 集合A，B的并集a1，a2，a3，当AB时，(A，B)及(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数是（ ）（A）8 （B）9 （C）26 （D）274 若直线x被曲线C
17、：(x)(x)(y)(y)0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是( )(A) (B) (C) (D)p5 在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若等于边上的高h，则的值是( )(A)1 (B) (C) (D)-16 设m，n为非零复数，i为虚数单位，zC，则方程| z| zn及| zm在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是( )二填空题（每小题5分，共30分）1 二次方程(1i)x2(li)x(1)0(i为虚数单位，lR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为2 实数x，y满足4x254y25，设 Sx2y2，则 3 若zC，(z2-4)，(z2+4)，则z的值是_ 4 整数的末
18、两位数是5 设任意实数x0x1x2x30，要使恒成立，则k的最大值是 6 三位数(100，101，L，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印 张卡片三（本题满分20分） 三棱锥S中，侧棱、两两互相垂直，M为三角形的重心，D为的中点，作及平行的直线证明：(1)及相交；(2)设及的交点为，则为三棱锥S的外接球球心四（本题满分20分） 设0ab，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使及抛物线y2x有四个不同的
19、交点，当这四点共圆时，求这种直线l及m的交点P的轨迹五（本题满分20分） 设正数列a0，a1，a2，L，L满足(n2)且a0a11求的通项公式1994年全国高中数学联赛试题第 一 试一选择题(每小题6分，共36分)1设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式都成立的充要条件是 (A)a，b同时为0，且c0 (B) (C) (D)2给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果，则；(2)设a，b，c都是复数，如果，则那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误 (C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)
20、正确3已知数列满足，且，其前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)84已知，则下列三数：， 的大小关系是 (A)xzy (B)yzx (C)zxy (D)xyz5在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A) (B) (C) (D)6在平面直角坐标系中，方程(a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形二、填空题(每小题9分，共54分)1已知有向线段的起点P和终点Q的坐标分别为(-1，1)和(2，2)，若直线l：xm0及的延长线相交，则m的取值范围是 2已知且，则3已知点集，则
21、点集中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为4设，则的最大值是5已知一平面及一正方体的12条棱的夹角都等于，则6已知95个数， 每个都只能取1或两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小值是_ 1995年全国高中数学联赛第 一 试 一选择题(每小题6分，共36分)1. 设等差数列满足且，为其前项之和，则中最大的是( ) (A) (B) (C) (D)2. 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为，则复数Z11995，Z21995，所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)203. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100
22、个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个4. 已知方程在区间(21，21上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D)以上都不是5. 的大小关系是( ) (A) (B) (C) (D)6. 设O是正三棱锥底面三角形的中心，过O的动平面及交于S，及，的延长线分别交于Q，R，则和式 (A)有最大值而无最小值 (B有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个及面无关的常数二、填空题(每小题9分，共54分)1. 设为一对共轭复数，
23、若，且为实数，则2. 一个球的内接圆锥的最大体积及这个球的体积之比为3. 用x表示不大于实数x的最大整数， 方程的实根个数是4. 直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是6. 设1，2，3，1995，A是M的子集且满足条件:当时，则A中元素的个数最多是一九九六年全国高中数学联合竞赛一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 把圆x2+ (y 1 )2 =1及椭圆9x2 + (y + 1)2 = 9的公共点, 用线段连接起来的图形是.(A) 线段 (B) 不等边三角形 (C)
24、 等边三角形 (D) 四边形2. 等比数列的首项a11536, 公比是q 用表示它的前n项之积，则(nN)最大的是 (A) T9 (B) T11 (C) T12 (D) T133.存在在整数n，使是整数的质数p (A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个，但为有限个 (D)有无穷多个4设x(，0)，以下三个数： a1(), a2(), a3(1)p的大小关系是 (A) a3 a2 a1 (B) a1 a3 a2 (C) a3 a1 a2 (D) a2 a3 a15.如果在区间1, 2 上, 函数f(x) = x2 + + q及g(x) = x + ()2在同一点取相同的最小值,那么f
25、(x)在该区间上的最大值是.(A)(B) (C) (D)以上答案都不对6.高为8的圆台内有一个半径为2的球O1, 球心O1在圆台的轴上. 球O1及圆台上底面、侧面都相切. 圆台内可再放入一个半径为3的球O2, 使得球O2及球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O2, 圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、 填空题(本题满分54分,每小题9分)1. 集合 1 ()10 , xN的真子集的个数是2. 复平面上非零复数z1、z2在以i为圆心1为半径的圆上，z1z1的实部为零，z1的辐角主值为 ，则z 2 = 3.曲线C的极坐标方程是r = 1
26、 + , 点A的极坐标是(2, 0) 曲线C在它所在的平面内绕A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是 4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且该六面体的最短棱的长为2, 则最远的两个基本点顶点的距离是 5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有种.(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同). 6.在直角坐标平面上，以（19
27、9，0）为圆心，以199为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为1997年全国高中数学联合竞赛试卷(10月5日上午8:00-10:00)一、选择题(每小题6分，共36分)1已知数列满足(n2)，1， x2b， 记1x2L，则下列结论正确的是(A)x100a，S1002ba (B)x100b，S100=2ba(C)x100b，S100ba (D)x100a，S100b2如图，正四面体中，E在棱上，F在棱上，使得，记其中表示及所成的角，表示及所成的角，则(A)在单调增加(B)在单调减少(C)在(0，1)单调增加，而在(1，单调减少(D)在(0，)为常数3.设等差数列的首项及公差均为
28、非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个4在平面直角坐标系中，若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为(A)(0，1) (B)(1， (C)(0，5) (D)(5，5设，a = ，则(A) (B)(C) (D)6如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么及a，b，c都相交的直线有(A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条二、 填空题(每小题9分，共54分)设x，y为实数，且满足，则xy = .过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得 =的直线l恰有3条，则 .已知复数z满足，则z的幅
29、角主值范围是 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰三角形，2，2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面的距离为 设为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种设a x()-11，b 1(1)，c ()-11，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为 一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷（10月11日上午8001000）一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）1 若a11且()，则(1)(1)的值(A) 等于2 (B)等于1
30、 (C)等于0 (D)不是及无关的常数2 若非空集合2a1x3a-53x22，则能使A成立的所有a的集合是( )(A)1a9 (B)6a9 (C)9 (D)3 各项均为实数的等比数列前n项和记为，若S10=1030=70，则S40等于( )(A) 150 (B) -200 (C) 150或-200 (D)400或-504 设命题P：关于x的不等式a1x2110及a2x2220的解集相同；命题Q：。则命题Q(A)是命题P的充分必要条件 (B)是命题P的充分条件但不是必要条件(C)是命题P的必要条件但不是充分条件(D)既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件5 设E 分别是正四面体的棱的中点，则二面角的大小是( )(A) (B)(C) (D)6 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是( )(A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）