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1、一、函数的连续性1.函数的增量第八节 函数的连续性与间断点下页上页 首页2.连续的定义下页上页 首页下页上页 首页研究函数例1 在点x=1,x=2处的连续性;解:是连续点 是跳跃间断点下页上页 首页3.单侧连续定理下页上页 首页左、右极限与函数值相等.例2解右连续但不左连续,下页上页 首页4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,下页上页 首页例3证下页上页 首页重点：初等函数的连续性5、四则运算的连续性定理1例如,6、反函数与复合函数的连续性定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反
2、函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.定理3意义1.极限符号可以与函数符号互换;定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,7、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续)定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意例1解注意2.初等函数求极限的方法代入法.例2解例3解(一)最大值和最小值定理定义:例18、闭区间上连续函数的性质例2定理1(有界性与最大值和最小
3、值定理)在闭区间上连续的函数一定界性且有最大值和最小值.注意：1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.(二)零点定理定义:定理2（零点定理）(三)介值定理证由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.例3证由零点定理,例4证由零点定理,二、函数的间断点下页上页 首页1.跳跃间断点例4解下页上页 首页2.可去间断点例5下页上页 首页解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.下页上页 首页如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点下页上页 首页3.第二类间断点例6解下页上页 首页例7解
4、注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.下页上页 首页狄利克雷函数在定义域R 内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0 处连续,其余各点处处间断.下页上页 首页在定义域 R 内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型:下页上页 首页例8解下页上页 首页三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)下页上页 首页可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型 振荡型第二类间断点oyxoyxoyx下页上页 首页思考题下页上页 首页思考题解答且下页上页 首页但反之不成立.例但下页上页 首页练 习 题下页上页 首页下页上页 首页练习题答案下页上页 首页下页上页 首页谢谢观赏勤能补拙，学有成就！2023/6/2 50