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1、第八节第八节 函数的连续性函数的连续性 与间断点与间断点函数的函数的连续性连续性(continuity)函数的函数的间断点间断点小结小结(discontinuous point)第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续1间变化很小时间变化很小时,生物生长的也很少生物生长的也很少.在函数关系上的反映就是函数的连续性在函数关系上的反映就是函数的连续性.在自然界中在自然界中,许多事物的变化是连续的许多事物的变化是连续的,如气温变化很小时如气温变化很小时,金属棒长变化也很小金属棒长变化也很小.时时 在高等数学中在高等数学中,主要的研究对象就是连主要的研究对象就是连续函数续函数.这种现象这种现象从
2、直观上不妨这样说从直观上不妨这样说,连续函数的连续函数的特征就是它的图形是连续的特征就是它的图形是连续的,也就是说也就是说,可以可以一笔画成一笔画成.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点1.函数的增量函数的增量自变量自变量称差称差为自变量在为自变量在的增量的增量;函数随着从函数随着从称差称差为函数的为函数的增量增量.如图如图:一、函数的连续性一、函数的连续性 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点连续连续,2.连续的定义连续的定义定义定义1 1设函数设函数 f(x)在在内有定义内有定义,若若则称函数则称函数f(x)在在x0处处并称并称x0为函数为函数f(x)的的连续点连续点.定义定义2
3、2若若则称函数则称函数f(x)在在x0处处连续连续.把极限与连续性联系起来了把极限与连续性联系起来了,且提且提供了连续函数求极限的简便方法供了连续函数求极限的简便方法只只需求出该点函数特定值需求出该点函数特定值.自变量在自变量在x0点的增量为无穷小时点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小函数的增量也为无穷小.形象地表示形象地表示了连续性的特征了连续性的特征.采用了无穷小定义法采用了无穷小定义法 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点连续性的二种定义形式不同连续性的二种定义形式不同,这二种定义中都含有这二种定义中都含有但本质相同但本质相同.f(x)在在内有定义内有定义;(1)(2)(3)三个
4、要素三个要素:存在存在;函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点例例证证都是连续的都是连续的.类似可证类似可证,是连续的是连续的.即即 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点3.左、右连续左、右连续左连续左连续(continuity from the右连续右连续(continuity from theleft);right).左连续左连续右连续右连续 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点定理定理1 此定理常用于此定理常用于判定分段函数在分段点判定分段函数在分段点处的连续性处的连续性.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点例例解解右不连续右不连续.所以所以左连续左连续,函数的连续性与间断
5、点函数的连续性与间断点4.连续函数连续函数(continous function)与连续区间与连续区间上的上的或称函数在该区间上连续或称函数在该区间上连续.在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,称该区间称该区间在开区间在开区间右连续右连续左端点左端点右端点右端点这时也称该区间为这时也称该区间为continuous左连续左连续连续函数连续函数,连续区间连续区间.内连续内连续 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点是一条无缝隙的连绵而不断的曲线是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.连续函数的图形连续函数的图形例如例如,多项式函数多项式函数内是连续的内是连续的.因此因此有理分式函数在其定
6、义域内的每一点有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数有理分式函数只要只要都有都有因此多项式函数因此多项式函数在在都是连续的都是连续的.第六节中已证第六节中已证 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点定义定义4 4出现如下三种情形之一出现如下三种情形之一:二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类无定义无定义;不存在不存在;间断点间断点.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点设函数设函数 f(x)在在x0 的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义间断点分为两类间断点分为两类:第二类第二类间断点间断点第一类第一类间断点间断点及及均存在均存在,及及中至少有一个不存在中至少有一个不存在
7、.若若称称 为为可去间断点可去间断点.若若称称 为为跳跃间断点跳跃间断点.若若其中有一个为振荡其中有一个为振荡,若若其中有一个为其中有一个为称称 为为无穷间断点无穷间断点.称称 为为振荡间断点振荡间断点.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型无穷型无穷型无穷次振荡型无穷次振荡型第第二二类类间间断断点点 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点例例由于函数由于函数无定义无定义,故故为为f(x)的的 间断点间断点.且且皆不存在皆不存在.第二类第二类第二类间断点第二类间断点:至少有至少有且是无穷型间断点且是无穷型间断点.一个不存在一个不存在.函数的连
8、续性与间断点函数的连续性与间断点例例有定义有定义,不存在不存在,故故为为f(x)的的 间断点间断点.第二类第二类且是无穷次振荡型间断点且是无穷次振荡型间断点.之间来回无穷次振荡之间来回无穷次振荡,函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点例例有定义有定义,故故为为f(x)的的 间断点间断点.第一类第一类的第一类间断点的第一类间断点.则点则点x0为为函数函数 f(x)的的且是跳跃间断点且是跳跃间断点.跳跃型间断点跳跃型间断点.及及均存在均存在,则点则点x0为为 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点例例 讨论函数讨论函数解解为为函数的函数的 间断点间断点
9、.第一类第一类 且是可去间断点且是可去间断点(removable discontinuity).处处无定义无定义,可去间断点可去间断点.连续连续.为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点则可使则可使x0变为连续点变为连续点.注注注注对可去间断点对可去间断点x0,如果如果于于A,(这就是为什么将这种间断点称为这就是为什么将这种间断点称为使之等使之等可去间断点的理由可去间断点的理由.)补充补充 x0的函数值的函数值,或或改变改变 函数的连续性与间断点函数的
10、连续性与间断点如如补充补充定义定义:如如但但 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点解解函数无定义函数无定义,是函数的间断点是函数的间断点.由于由于所以所以是函数的是函数的第二类间断点第二类间断点,且是且是无穷型无穷型.由于由于所以所以是函数的是函数的第一类间断点第一类间断点,且是且是跳跃型跳跃型.并指出其类型并指出其类型.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点疑难解释：疑难解释：2.练习：练习：1.2.设设3.内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型无穷型无穷型无穷次振荡型无穷次振荡型第第二二类类间间断断点点 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 作业作业 P65 3(2)(3);4;6