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1、高等数学电子教案 曲阜师范大学一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学2.连续的定义连续的定义下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学高等数学电子教案 曲阜师范大学下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学研究函数研究函数例例1 1在点在点x=1,x=2x=1,x=2处的连续性处的连续性;解解:是是连续点连续点 是是跳跃间断点跳跃间断点下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学3.单侧连续单侧连续定理定理下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学左、右极限与函数值相等左、右极限与函数值相等.高等数
2、学电子教案 曲阜师范大学例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学例例3 3证证下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学重点：重点：初等函数的连续性初等函数的连续性高等数学电子教案 曲阜师范大学5、四则运算的连续性定理定理1
3、1例如例如,高等数学电子教案 曲阜师范大学6、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.高等数学电子教案 曲阜师范大学定理定理3 3意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;高等数学电子教案 曲阜师范大学定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,高等数学电子教案 曲阜师范大学7、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.高
4、等数学电子教案 曲阜师范大学定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.高等数学电子教案 曲阜师范大学1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意高等数学电子教案 曲阜师范大学例例1 1解解
5、注意注意2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.例例2 2解解高等数学电子教案 曲阜师范大学例例3 3解解高等数学电子教案 曲阜师范大学(一)最大值和最小值定理定义定义:例例18 8、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质高等数学电子教案 曲阜师范大学例例2高等数学电子教案 曲阜师范大学定定理理1(1(有有界界性性与与最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连续的函数一定界性且有最大值和最小值连续的函数一定界性且有最大值和最小值.高等数学电子教案 曲阜师范大学注意：注意：1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断
6、点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.高等数学电子教案 曲阜师范大学(二)零点定理零点定理定义定义:定理定理2 2（零点定理）（零点定理）高等数学电子教案 曲阜师范大学(三)介值定理高等数学电子教案 曲阜师范大学证证由零点定理由零点定理,高等数学电子教案 曲阜师范大学推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.高等数学电子教案 曲阜师范大学例例3 3证证由零点定理由零点定理,高等数学电子教案 曲阜师范大学例例4 4证证由零点定理由零点定理,高等数学电子教案 曲阜师范大学二、函数的间断点下页上页首页高
7、等数学电子教案 曲阜师范大学1.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学2.可去间断点可去间断点例例5 5下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学如例如例5中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学3.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学例例
8、7 7解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学例例8 8解解下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学三、小结1.函数在
9、一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学思考题思考题下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学思考题解答思考题解答且且下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学但反之不成立但反之不成立.例例但但下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学练练 习习 题题下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学练习题答案练习题答案下页上页首页高等数学电子教案 曲阜师范大学下页上页首页