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1、双曲线的渐近线概述双曲线的渐近线概述对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的几何性质中特有性质，它刻画了双曲线的大致走向.因此加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于对双曲线的定义、性质的进一步理解和对解题方法的把握.一、深刻理解双曲线的渐近线概念一、深刻理解双曲线的渐近线概念1对关键词“渐近”的理解：它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限的靠近，但永远都不会相交.也可以这样理解：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的.还可以这样理解：当双曲线的动点 M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点 M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0.2渐近线的作法：过双曲线实轴的两
2、个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们是围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.3、明确双曲线渐近线的作用：利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出它的两个顶点和渐近线，就能画出它的近似图形.二掌握双曲线的渐近线方程的求法二掌握双曲线的渐近线方程的求法根据双曲线的标准方程求渐近线：把双曲线标准方程中等号右边的1 改成 0，就得到了x2y2此双曲线的渐近线方程.也就是说，若双曲线方程为221(a0，b0)，则渐近线方程abx2y2xyy2x2的求法是令220，即两条渐近线方程为 0；若双曲线方程为221(a0，babababy2x2yx0)，则渐
3、近线方程的求法是令220，即两条渐近线方程为 0abab三、掌握双曲线渐近线常见结论三、掌握双曲线渐近线常见结论1两条渐近线的倾斜角及斜率关系：两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数.2两条渐近线的对称关系：两条渐近线关于x 轴、y 轴对称.3等轴双曲线的的渐近线方程：yx.4共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同.5渐近线的参照性：如果平面上的一条直线与双曲线的任一条渐近线平行，则直线与双曲线相交，且只有一个交点.四、典例分析1、根据几何性质求双曲线的渐近线四、典例分析1、根据几何性质求双曲线的渐近线x2y2例 1例 1 已知 F1、F2为双曲线221(a0，b0)的焦点，过 F2作垂
4、直于 x 轴的直线，ab它与双曲线的一个交点为P，且PF1F230，则双曲线的渐近线方程为()(A)yx分析：分析：由条件知PF1F2为一个直角三角形，又|F1F2|2c，PF1F230，因此只需再确定由 a、b、c 表示的另一边，由条件易知，点|PF2|易确定，由三角函数建立等式，问题基本上就可能解决了.b2解：解：设双曲线的焦点 F1(c，0)、F2(c，0)，则将xc 代入双曲线方程得点P(c，)，a2x2(B)y 3x(C)y3x3(D)y23b2b22又PF1F230，cot302c，3b 2ac，c，a2ab代入 c2a2b2，得 3b44a2b24a40，即(3b22a2)(b2
5、2a2)0，2，a双曲线的渐近线方程为y 2x，故选 D.点评：点评：根据双曲线的几何性质求渐近线：主要是根据条件确定 b、c 或 a、c 的比例关系，再结合 a、b、c 之间的平方关系 a2b2c2，确定 a、b 之间的比例关系，进而得到双曲线的渐近线方程，但要注意双曲线的焦点位置.2根据渐近线求双曲线的标准方程2根据渐近线求双曲线的标准方程根据双曲线的渐近线方程求它的曲线方程的简单且实用的方法是：如果两条渐近线的方xyx2y2程为 0，则所求双曲线的方程可设为22m，这里 m 为不等于 0 的待定常数，其ababx2y2值可由题目中的已知条件通过建立方程确定.此方法可适当推广：求与双曲线2
6、21(aabx2y20，b0)有共同渐近线的双曲线方程同样可设为22m(m 为不等于 0 的待定常数).ab4例 2例 2 已知双曲线的渐近线方程是y=x，焦点在坐标轴上，且经过点A(3，2 3)，3求双曲线方程.4x2y2xy分析：先将渐近线方程是 y=x 化为 0，则可设所求双曲线方程为 (3439160)，然后再将点 A(3，2 3)代入建立方程求得参数，进而求得双曲线方程.x2y2xy解解：双曲线的渐近线方程化为 0，因此设所求双曲线方程为 (0)，34916(3)2(2 3)21点 A(3，2 3)在双曲线上，得 ，91644x2y2因此，所求双曲线方程为1.94说明说明：本例有两种常规解法：一是按焦点在 x 轴上，或焦点在 y 轴上的两种情况分别求解；二是先判断点 A 在渐近线上方还是下方，来确定双曲线类型，然后求解.这两种方法都较繁.上面提供的解法是根据已知双曲线的渐近线方程，巧设双曲线系方程，避免了研究双曲线方程类型，简化了解题过程.