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1、双曲线的渐近线【教学目标】1知识教学点：使学生理解并掌握双曲线的渐近线的导出和论证，以及双曲线的渐近线的 作用.1 2能力训练点：在与初中所学的 y 的图象的类比中获得双曲线的渐近线的特点，从而 x 培养学生分析、归纳、推理等能力 3学科渗透点：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质（渐近线）的基本方法，加深对 直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解【教材分析】1教学重、难点：双曲线的渐近线的导出和论证 1（解决办法：引导学生类比初中所学的 y 的图象的特点，然后逐一证明）x 2教学疑点：双曲线的渐近线的发现和证明（解决办法：通过类比以及几何画板猜测）【教学程序】1新课引入 课前播放“悲伤双曲线
2、”的音乐。我们前面已经学习了双曲线，你对双曲线有哪些了解呢？（标准方程、中心、顶点、对称轴、离心率、准线等）1 那么你对这条双曲线：y（的图像）又有哪些了解呢？x 你能找出它的中心吗？顶点呢？（双曲线和对称轴的交点），从而引出对称轴。我们发现这条双曲线的对称轴并不是 x、y 轴，但是 x、y 轴又和这条双曲线的关系很密切，你能说说它们的关系吗？（1）无交点；（2）逐渐接近 无限接近。（板书）从而引出课题“双曲线的渐近线”。（板书）2新课讲解【探索 1】我们通常研究的双曲线的焦点都在坐标轴上（以焦点在 x 轴上的双曲线为例），1 所以我们可以将 y 的图像绕原点顺时针旋转 45度，得到焦点在 x
3、 轴上的双曲线。x 这说明焦点在 x 轴上的双曲线也有渐近线。那么，一般的双曲线的渐近线在哪里呢？大家猜猜看。（停顿）能否根据其特征（无交点、逐渐接近 无限接近）找到它呢？（按特征的顺序依次研究）x2 y2【探索 2】你能找到和双曲线 2 2 1（a 0,b 0）的图象没有交点的直线吗？（y 轴等 ab 过原点的部分直线）22【探索 3】那么这么多和双曲线 x2 y2 1（a 0,b 0）的图象没有交点的直线中，到底哪 a2 b2 一条是和其逐渐接近并且无穷远处无限接近的呢？（通过几何画板进行猜测）先取 a 1，改变 b的取值，比较直线的斜率和 a，b 的关系，再取 a 2，改变 b的取值，比
4、较直线的斜率和 a，b 的关系。引导学生发现该直线的斜率 k b。a【探索 4】几何画板的猜测不能代替证明，那么如何证明上述猜想的结果呢？（学生可能说出几种不同的方案，取一种方案在几何画板上进行演示，然后证明）我们不妨先以具体实例证明，并根据对称性取第一象限证明。设双曲线的方程为 2 x 2 a 2 by2 1，（1）证明直线 y b x2 x 与双曲线 2 2 2 1 无交点，易证；a a b2（2）证明逐渐趋近 无限接近。2 2 设 M（x,y）是双曲线 x2 y2 1上的第一象限的一点，N（x,y）是直线上与 M 有相同横坐标 ab【探索 5】我们回到课前引入的问题。我们能不能求出旋转后
5、的双曲线的标准方程呢？由旋转前后的不变性，可求出 a 2，再由 b 1，可求得：b 2，a 22 所以双曲线的标准方程为：x y 1。22 我们把实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线。3例题讲解 22 例 1：求双曲线 x y 49（由学生到黑板前板演，并提问是如何画出草图的（先画渐近线）的（描点），继续追问描的哪个点，从而引出矩形框的讲解）的点，则|MN|y b22 xa a b(x x a a2)ab 22 x x a 从而 x 增大直至趋于正无穷大时，|MN|逐渐减小直至趋于 即：点 M 向无穷远处运动时，M 点就无限接近于直线 0；b x。a 2 x 综上，双曲线 2 a2 2 y 2
6、 1 的渐近线方程为 b2 b x。a 根据对称性，其他象限类似。我们称直线 y b x 为双曲线 x 2 y2 a a 2 b2 1(a 0,b 0）的渐近线。1的渐近线方程，并画出双曲线的草图。，追问渐近线是如何画出 能力训练点在与初中所学的的图象的类比中获得双曲线的渐近线的特点从而培养学生分析归纳推理等能力学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质渐近线的基本方法加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解教材疑点双曲线的渐近线的发现和证明解决办法通过类比以及几何画板猜测教学程序新课引入课前播放悲伤双曲线的音乐我们前面经学习了双曲线你对双曲线有哪些了解呢标准方程中心顶点对称轴离心率准
7、线等那么你对这条双曲线的图轴并不是轴但是轴又和这条双曲线的关系很密切你能说说它们的关系吗无交点逐渐接近无限接近板书从而引出课题双曲线的渐近线板书新课讲解探索我们通常研究的双曲线的焦点都在坐标轴上以焦点在轴上的双曲线为例所以我们可22【变】求双曲线 y x 1的渐近线方程。94(学生可能出现两种答案，此时在几何画板上进行验证，并得出焦点在 y 轴上的双曲线 y 2 x2 a 2 2 1(a 0,b 0)的渐近线方程 y x)a b b 3 由于例 1 和变式的结果都是 y x，进而引出下面的追问 1。2 3【追问 1】以直线 y x 为渐近线的双曲线方程，你还能写出几个吗？2 2(如 x 4 y
8、2 3 2 等，进而可以总结：以直线 y x 为渐近线的双曲线方程可以统一表 92 2 示为 x 4 y2(0)。(可以用几何画板演示结果)9 追问 2】上述方程中 0，若 0，表示的是什么呢？4课堂小结(略)【教学反思】1本节课的教学设计初衷是以学生的认知水平、认知习惯为出发点，逐步寻找最近发展区，从而使学生能够顺利的接受并理解双曲线的渐近线；2关于双曲线的渐近线的证明一直是本节课的矛盾点，若证明，则较难突破这一难点，若 不证明，则不符合学生猜测后证明的思想；3对于双曲线的渐近线的应用则不是本节课的重点，因而淡化处理。恰好为双曲线的渐近线方程，进而总结：双曲线 22 xy a2 b2 1(a
9、 0,b 0)的渐近线方程 2 为x 2 a 22 y2 0；双曲线 y2 ba x2 bx2 1(a 0,b 0)的渐近线方程为 2 y 2 a 2 bx22 0)能力训练点在与初中所学的的图象的类比中获得双曲线的渐近线的特点从而培养学生分析归纳推理等能力学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质渐近线的基本方法加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解教材疑点双曲线的渐近线的发现和证明解决办法通过类比以及几何画板猜测教学程序新课引入课前播放悲伤双曲线的音乐我们前面经学习了双曲线你对双曲线有哪些了解呢标准方程中心顶点对称轴离心率准线等那么你对这条双曲线的图轴并不是轴但是轴又和这条双曲线的关系很密切你能说说它们的关系吗无交点逐渐接近无限接近板书从而引出课题双曲线的渐近线板书新课讲解探索我们通常研究的双曲线的焦点都在坐标轴上以焦点在轴上的双曲线为例所以我们可