近世代数期末考试试卷2.pdf

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1、近 世 代 数 模 拟 试 题 一 一、单 项 选 择 题 1、设 A=B=R(实 数 集)，如 果 A 到 B 的 映 射 9：X T X+2,VXG R,则 中 是 从 A到 B 的(C)A、满 射 而 非 单 射 B、单 射 而 非 满 射 C、一 一 映 射 D、既 非 单 射 也 非 满 射 3、在 群 G 中 方 程 ax=b,ya=b,a,bWG都 有 解，这 个 解 乘 法 来 说 是(B)A、不 是 唯 一 B、唯 一 的 C、不 一 定 唯 一 的 D、相 同 的(两 方 程 解 一 样)4、当 G 为 有 限 群，子 群 H 所 含 元 的 个 数 与 任 一 左 陪 集

2、 aH所 含 元 的 个 数(C)A、不 相 等 B、0C、相 等 D、不 一 定 相 等。5、n 阶 有 限 群 G 的 子 群 H 的 阶 必 须 是 n 的(D)A、倍 数 B、次 数 C、约 数 D、指 数 二、填 空 题(本 大 题 共 10小 题，每 空 3 分，共 3 0分)请 在 每 小 题 的 空 格 中 填 上 正 确 答 案。错 填、不 填 均 无 分。2、若 有 元 素 e G R使 每 a 4,都 有 a e=e a=a,则 e 称 为 环 R 的 单 位 元。3、环 的 乘 法 一 般 不 交 换。如 果 环 R 的 乘 法 交 换，则 称 R 是 一 个 交 换

3、环。4、偶 数 环 是 整 数 环 的 子 环。5、一 个 集 合 A 的 若 干 个 变 换 的 乘 法 作 成 的 群 叫 做 A 的 一 个 变 换 群。6、每 一 个 有 限 群 都 有 与 一 个 置 换 群 同 构。7、全 体 不 等 于 0 的 有 理 数 对 于 普 通 乘 法 来 说 作 成 一 个 群，则 这 个 群 的 单 位 元 是 1,元 a 的 逆 元 是。a8、设/和 S 是 环 R 的 理 想 且/=S=如 果/是 R 的 最 大 理 想，那 么-5=/?或 者 5=/。9、一 个 除 环 的 中 心 是 一 个-域 o三、解 答 题(本 大 题 共 3 小 题

4、，每 小 题 10分，共 3 0分)1、设 置 换。和 7分 别 为:12345678641735281234567823187654判 断 b 和 7 的 奇 偶 性，并 把 b 和 7 写 成 对 换 的 乘 积。y=(1653)(247)。为 奇 置 换，r 为 偶 置 换 7=(123)(48)(57)T=(13)(15)(16)(24)(27)T=(13)(12)(48)(57)3、设 集 合=0,2,定 义 Mm中 运 算“”为 a+/?=(a+切(第 而?),则(M”，+,“)是 不 是 群，为 什 么？答：(”，+,“)不 是 群，因 为 中 有 两 个 不 同 的 单 位 元

5、 素 0 和 m。四、证 明 题(本 大 题 共 2 小 题，第 1题 1 0分，第 2 小 题 1 5分，共 2 5分)1、设 G是 群。证 明：如 果 对 任 意 的 x w G,有-=e,则 G是 交 换 群。2、假 定 R 是 一 个 有 两 个 以 上 的 元 的 环，厂 是 一 个 包 含 R 的 域，那 么 尸 包 含 R的 一 个 商 域。证 明：在 F 里 ab=ba=(a,b e R,b 0)b有 意 义，作 F 的 子 集 Q=所 有，卜 力 NO)Q 显 然 是 R 的 一 个 商 域 证 毕。近 世 代 数 模 拟 试 题 二 一、单 项 选 择 题(本 大 题 共

6、5 小 题，每 小 题 3 分，共 1 5分)在 每 小 题 列 出 的 四 个 备 选 项 中 只 有 一 个 是 符 合 题 目 要 求 的，请 将 其 代 码 填 写 在 题 后 的 括 号 内。错 选、多 选 或 未 选 均 无 分。1、设 G 有 6 个 元 素 的 循 环 群，a 是 生 成 元，则 G 的 子 集(C)是 子 群。A、aB、a,ec、e,/D、e,a,/2、下 面 的 代 数 系 统(G,*)中，(D)不 是 群 A、G 为 整 数 集 合，*为 加 法 B、G 为 偶 数 集 合，*为 加 法 C、G 为 有 理 数 集 合，*为 加 法 D、G 为 有 理 数

7、 集 合，*为 乘 法 3、在 自 然 数 集 N 上，下 列 哪 种 运 算 是 可 结 合 的？(B)A、a*b=a-b B、a*b=maxa,bC a*b二 a+2bD、a*b=|a-b|4、设%、%、%是 三 个 置 换，其 中 6=(12X23)(13),%=(24)(14),4=(1324),则=(B)A、cr2iB cr,cr2C o D、cr2二、填 空 题(本 大 题 共 10小 题，每 空 3 分，共 3 0分)请 在 每 小 题 的 空 格 中 填 上 正 确 答 案。错 填、不 填 均 无 分。1、凯 莱 定 理 说：任 一 个 子 群 都 同 一 个 变 换 群 同

8、构。2、一 个 有 单 位 元 的 无 零 因 子 交 换 环-称 为 整 环。3、已 知 群 G 中 的 元 素。的 阶 等 于 5 0,则/的 阶 等 于-2 5-。4、a 的 阶 若 是 一 个 有 限 整 数 n,那 么 G 与 一 Z n模 n剩 余 类 加 群-同 构。7、a 叫 做 域 厂 的 一 个 代 数 元，如 果 存 在 厂 的 一 不 都 等 于 零 的 元 一 使 得 a()+q+a+ana=0。8、a 是 代 数 系 统(A,0)的 元 素，对 任 何 x e A均 成 立 x。a=x，则 称 a 为 右 单 位)L i o9、有 限 群 的 另 一 定 义：一 个

9、 有 乘 法 的 有 限 非 空 集 合 G作 成 一 个 群，如 果 满 足 G对 于 乘 法 封 闭；结 合 律 成 立、-两 个 消 去 律 成 立。10、一 个 环 R对 于 加 法 来 作 成 一 个 循 环 群，则 P 是 交 换 环 o三、解 答 题(本 大 题 共 3 小 题，每 小 题 10分，共 3 0分)1、设 集 合 A=1,2,3G是 A 上 的 置 换 群，H 是 G 的 子 群，H=I,(12),写 出 H的 所 有 陪 集。解：H 的 3 个 右 陪 集 为：1,(12),(123),(13),(132),(23)H 的 3 个 左 陪 集 为：1,(12),(

10、123),(23),(132),(13)2、设 E 是 所 有 偶 数 做 成 的 集 合，“”是 数 的 乘 法，则“”是 E 中 的 运 算，(E,)是 一 个 代 数 系 统，问(E,)是 不 是 群，为 什 么？答：(E,)不 是 群，因 为(E,)中 无 单 位 元 3、a=493,b=391,(a,b),a,bn p,q。(a,b)=17,a,b=axb/17=11339o然 后 回 代：17=102-85=102-(b-3xl02)=4xl02-b=4x(a-b)-b=4a-5b.所 以 p=4,q=-5.近 世 代 数 模 拟 试 题 三 一、单 项 选 择 题(本 大 题 共

11、 5 小 题，每 小 题 3 分，共 1 5分)在 每 小 题 列 出 的 四 个 备 选 项 中 只 有 一 个 是 符 合 题 目 要 求 的，请 将 其 代 码 填 写 在 题 后 的 括 号 内。错 选、多 选 或 未 选 均 无 分。1、6 阶 有 限 群 的 任 何 子 群 一 定 不 是(C)。A、2 阶 B、3 阶 C、4 阶 D、6 阶 2、设 G是 群，G有(C)个 元 素，则 不 能 肯 定 G 是 交 换 群。A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个 5、设 S3=(1),(12),(13),(23),(123),(1 3 2),那 么，在 S3 中 可 以 与(

12、123)交 换 的 所 有 元 素 有(A)A、(1),(123),(132)逆 元 B、(12),(13),(23)C、(1),(123)D、S 3中 的 所 有 元 素 二、填 空 题(本 大 题 共 10小 题，每 空 3 分，共 3 0分)请 在 每 小 题 的 空 格 中 填 上 正 确 答 案。错 填、不 填 均 无 分。3、区 间 1,2 上 的 运 算 a o=mina,。的 单 位 元 是 2-。4 可 换 群 G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=-24-。5 环 Z8的 零 因 子 有 2,4,6-。6、一 个 子 群 H 的 右、左 陪 集 的 个 数 一 相 等.

13、o7、从 同 构 的 观 点，每 个 群 只 能 同 构 于 他/它 自 己 的-商 群-一。8、无 零 因 子 环 R 中 所 有 非 零 元 的 共 同 的 加 法 阶 数 称 为 R 的-特 征 0三、解 答 题(本 大 题 共 3 小 题，每 小 题 10分，共 3 0分)1、用 2 种 颜 色 的 珠 子 做 成 有 5 颗 珠 子 项 链，问 可 做 出 多 少 种 不 同 的 项 链？8 种 2、Si,S2是 A 的 子 环，则 S1C1S2也 是 子 环。S1+S2也 是 子 环 吗？因 为 S I,S2 是 A 的 子 环,故 a-b,ab S l 和 a-b,abGS2,因

14、 而 a-b,a b S in S 2,所 以 S1CIS2是 子 环。S1+S2不 一 定 是 子 环。在 矩 阵 环 中 很 容 易 找 到 反 例：加=%(2),凡=卜:卜 力 e Z，易 见 应 与 S2均 为 子 环，但 s 1+s=,；卜 九 2卜 是 子 坏 3、设 有 置 换。=(1345)(1245),T=(234)(456)s 56 o1.求 u 和 工-%；cr=(12534)7=(23456)crr=(1243)(56)r-lcr=(16524)(1 2.”、22 T(0-(1)0-(2).T()crrcr=卬(左)。也。.2.确 定 置 换 B 和 r h 的 奇 偶

15、 性。偶 置 换 四、证 明 题(本 大 题 共 2 小 题，第 1题 1 0分，第 2 小 题 1 5分，共 2 5分)1、一 个 除 环 R 只 有 两 个 理 想 就 是 零 理 想 和 单 位 理 想。证 明：假 定 是 R 的 一 个 理 想 而 不 是 零 理 想，那 么 a*O e，由 理 想 的 定 义=因 而 R 的 任 意 元。=b l这 就 是 说=R,证 毕。近 世 代 数 模 拟 试 题 四一、单 项 选 择 题 4.设 Z 是 以 15为 模 的 剩 余 类 加 群，那 么，Z Q 的 子 群 共 有(B)个。A.2 B.4C.6 D.85.下 列 集 合 关 于

16、所 给 的 运 算 不 作 成 环 的 是(D)A.整 系 数 多 项 式 全 体 Z x关 于 多 项 式 的 加 法 与 乘 法 B.有 理 数 域 Q 上 的 n 级 矩 阵 全 体 Mn(Q)关 于 矩 阵 的 加 法 与 乘 法 C.整 数 集 Z 关 于 数 的 加 法 和 新 给 定 的 乘 法“。”：Vm,nez,mn=OD.整 数 集 Z 关 于 数 的 加 法 和 新 给 定 的 乘 法 vm,neZ,mn=l二、填 空 题(本 大 题 共 10小 题，每 空 3 分，共 3 0分)请 在 每 小 题 的 空 格 中 填 上 正 确 答 案。错 填、不 填 均 无 分。6.

17、设“”是 集 合 A 的 一 个 关 系，如 果“”满 足 反 身 性、对 称 性、传 递 性，则 称“”是 A 的 一 个 等 价 关 系。9.如 果 G 是 一 个 含 有 15个 元 素 的 群，那 么，根 据 Lagrange定 理 知，对 于 vaG,则 元 素 a 的 阶 只 可 能 是 5,1 5,1,3,。10.在 3 次 对 称 群 S3中，设 H=(1),(123),(132)是 S3的 一 个 不 变 子 群，则 商 群 G/H 中 的 元 素(1 2)H=(12),(23),(1 4)。12.设 R 是 一 个 无 零 因 子 的 环，其 特 征 n是 一 个 有 限

18、数，那 么，n是 一 素 数 一 13.设 Z x 是 整 系 数 多 项 式 环，(x)是 由 多 项 式 x 生 成 的 主 理 想，则(x)=W(x)|/(x)e Zx 015.有 理 数 域 Q 上 的 代 数 元 立+石 在 Q 上 的 极 小 多 项 式 是/一 io/+1。三、解 答 题(本 大 题 共 3 小 题，每 小 题 10分，共 3 0分)16.设 Z 为 整 数 加 群，Zm为 以 m 为 模 的 剩 余 类 加 群，牛 是 Z 到 Z.的 一 个 映 射，其 中(P：k-k,vkGZ,验 证：(p是 Z 到 Zm的 一 个 同 态 满 射，并 求 少 的 同 态 核

19、 Ker(p。Ker(p=n e Z(n-k)m17.求 以 6 为 模 的 剩 余 类 环 Z6=0,E l,2,3,4,5 的 所 有 子 环,并 说 明 这 些 子 环 都 是 五 的 理 想。Z6,Z2/,Z3/,018.试 说 明 唯 一 分 解 环、主 理 想 环、欧 氏 环 三 者 之 间 的 关 系，并 举 例 说 明 唯 一 分 解 环 未 必 是 主 理 想 环。每 一 个 欧 几 里 得 环 都 是 主 理 想 整 环，每 一 个 主 理 想 整 环 都 是 唯 一 分 解 环。整 环 Z 6=a+|a,6w Z,e=；（l+而）是 主 理 想 整 环，但 是 不 是 唯

20、 一 分 解 环。四、证 明 题 20.设 d|a,b,c,d e Zfa 0 I=i 0卜 c e斗 已 知 R 关 于 矩 阵 的 加 法 和 乘 法 作 成 一 个 环。证 明：I 是 R 的 一 个 子 环，但 不 是 理 想。近 世 代 数 试 卷 一、判 断 题（下 列 命 题 你 认 为 正 确 的 在 题 后 括 号 内 打“q”，错 的 打“x”；每 小 题 1分,共 10分）2、设 A、B、。都 是 非 空 集 合，则 A xB到。的 每 个 映 射 都 叫 作 二 元 运 算。（F）3、只 要 一 是 A到 入 的 一 一 映 射，那 么 必 有 唯 一 的 逆 映 射/

21、t。（T）4、如 果 循 环 群 G=（a）中 生 成 元 的 阶 是 无 限 的，则 G与 整 数 加 群 同 构。（T）5、如 果 群 G 的 子 群”是 循 环 群，那 么 G也 是 循 环 群。（F）6、群 G 的 子 群”是 不 变 子 群 的 充 要 条 件 为（T）7、如 果 环 R的 阶 2 2,那 么 R的 单 位 元 1 7 0。（T）8、若 环 尺 满 足 左 消 去 律，那 么 R必 定 没 有 右 零 因 子。（T）9、F Q）中 满 足 条 件 p（a）=0的 多 项 式 叫 做 元&在 域 厂 上 的 极 小 多 项 式。（F）10、若 域 的 特 征 是 无 限

22、 大，那 么 E含 有 一 个 与 先）同 构 的 子 域，这 里 Z 是 整数 环，（P）是 由 素 数。生 成 的 主 理 想。（F）定 理：若 域 尸 的 特 征 是 p,则 尸 包 含 一 个 与 模。剩 余 类 环 Zp同 构 的 子 域；若 域 产 的 特 征 是 0,则 b 包 含 一 个 与 有 理 数 域 同 构 的 子 域。二、单 项 选 择 题（从 下 列 各 题 四 个 备 选 答 案 中 选 出 一 个 正 确 答 案，并 将 其 号 码 写 在 题 干 后 面 的 括 号 内。答 案 选 错 或 未 作 选 择 者，该 题 无 分。每 小 题 1 分，共 10分）1

23、、设 A，4,A”和。都 是 非 空 集 合，而/是 A x&x-x A”到。的 一 个 映 射，那 么 集 合 4,4，。中 两 两 都 不 相 同；442,4 的 次 序 不 能 调 换；A X a XX A“中 不 同 的 元 对 应 的 象 必 不 相 同；一 个 元,4）的 象 可 以 不 唯 一。2、指 出 下 列 那 些 运 算 是 二 元 运 算（4）在 整 数 集 Z 上，。匕=斗；在 有 理 数 集。上，aob=J;在 正 实 数 集 火+上，ahanh-,在 集 合 e Z|2。上，ab=a-a3、设。是 整 数 集 Z 上 的 二 元 运 算，其 中。匕=max a,6

24、（即 取。与 中 的 最 大 者）,那 么。在 Z 中（3）不 适 合 交 换 律；不 适 合 结 合 律；存 在 单 位 元；每 个 元 都 有 逆 元。4,设（G,。）为 群，其 中 G 是 实 数 集，而 乘 法。：8+3 这 里 人 为 G 中 固 定 的 常 数。那 么 群（G,。）中 的 单 位 元 e和 元 x 的 逆 元 分 别 是（4）0 和 一 x；1和 0；%和 x 2Z；一%和 一（+2%）。5 设 a,b,c和 x 都 是 群 G 中 的 元 素 且 x%=8xcT,acx=xac,那 么 x=（2）l b c%T；c%T；abc；L e a。7、设 了：G f G2

25、是 一 个 群 同 态 映 射，那 么 下 列 错 误 的 命 题 是（4）一 的 同 态 核 是。的 不 变 子 群；G2的 不 变 子 群 的 逆 象 是 G 的 不 变 子 群；a的 子 群 的 象 是 d 的 子 群；G 的 不 变 子 群 的 象 是 G?的 不 变 子 群。群 G 的 子 群 H 是 不 变 子 群 的 充 要 条 件 为 Vg e G,V/z e H;g T为 q H。（8、设/：&f 7?2是 环 同 态 满 射，f（a）=b,那 么 下 列 错 误 的 结 论 为（4）3 若。是 零 元，则 6 是 零 元；若。是 单 位 元，则 是 单 位 元；若 a 不

26、是 零 因 子，则 b 不 是 零 因 子；若 R 是 不 交 换 的,则 与 不 交 换。知 识 点：同 态 一 定 会 将 零 元 映 成 零 元，但 单 位 元 不 一 定 映 成 单 位 元；若 是 满 同 态 映 射，单 位 元 会 映 成 单 位 元；若 凡 是 无 零 因 子 环，单 位 元 会 映 成 单 位 元；9、下 列 正 确 的 命 题 是（4）欧 氏 环 一 定 是 唯 一 分 解 环；主 理 想 环 必 是 欧 氏 环；唯 一 分 解 环 必 是 主 理 想 环；唯 一 分 解 环 必 是 欧 氏 环。三、填 空 题（将 正 确 的 内 容 填 在 各 题 干 预

27、备 的 横 线 上，内 容 填 错 或 未 填 者，该 空 无 分。每 空 1分，共 10分）5、凯 莱 定 理 说：任 一 个 子 群 都 与 一 个 变 换 群 同 构。7、若/是 有 单 位 元 的 环 R 的 由。生 成 的 主 理 想，那 么/中 的 元 素 可 以 表 达 为 xiayi,xi,yi e R。8、若 R 是 一 个 有 单 位 元 的 交 换 环，/是 R 的 一 个 理 想，那 么%是 一 个 域 当 且 仅 当/是 一 个 最 大 理 想。若 R是 一 个 有 单 位 元 的 交 换 环，/是 R 的 一 个 理 想，那 么%是 一 个 整 环 当 且 仅 当/

28、是 一 个 素 理 想。9、整 环/的 一 个 元 P 叫 做 一 个 素 元，如 果 p 既 不 是 零 元，也 不 是 单 位，且 p 只 有 平 凡 因 子。10、若 域 口 的 一 个 扩 域 E 叫 做 F 的 一 个 代 数 扩 域，如 果 E 的 每 一 个 元 都 是 F 上 的 一 个 代 数 元。四、改 错 题（请 在 下 列 命 题 中 你 认 为 错 误 的 地 方 划 线，并 将 正 确 的 内 容 写 在 预 备的 横 线 上 面。指 出 错 误 1分，更 正 错 误 2 分。每 小 题 3 分，共 15分）1、如 果 一 个 集 合 A的 代 数 运 算。同 时

29、适 合 消 去 律 和 分 配 律（结 合 律 与 交 换 律），那 么 在。”里，元 的 次 序 可 以 掉 换。2、有 限 群 的 另 一 定 义：一 个 有 乘 法 的 有 限 非 空 集 合 G 作 成 一 个 群，如 果 满 足 G对 于 乘 法 封 闭；结 合 律 成 立、交 换 律（消 去 律）成 立。3、设/和 S是 环 R 的 理 想 且/=S=如 果/是 R的 最 大 理 想，那 么 Sw O。（S=/或 S=K）4、唯 一 分 解 环/的 两 个 元 和）不 一 定 会 有 最 大 公 因 子（一 定 有 最 大 公 因 子），若 d 和 都 是 和 3 的 最 大 公

30、因 子，那 么 必 有 d=（d 和 十 只 能 差 一 个 单 位 因 子）；5、a 叫 做 域 厂 的 一 个 代 数 元，如 果 存 在 产 的 都 不 等 于 零（不 都 等 于 零 的 元）的 元 使 得 4+q+a+aa=0。六、证 明 题（每 小 题 10分，共 4 0分）1、设 和 b是 一 个 群 G 的 两 个 元 且 又 设。的 阶 时=2,b 的 阶 网=，并 且（九）=1,证 明:况 的 阶 固=加。2、设 火 为 实 数 集，a,beR,aQ,令 人，：R f R,x+,将 R 的 所 有 这 样 的 变 换 构 成 一 个 集 合 G=九 j V a l e R

31、a。,试 证 明：对 于 变 换 普 通 的 乘 法，G作 成 一 个 群。4、设 R是 有 限 可 交 换 的 环 且 含 有 单 位 元 1,证 明：R中 的 非 零 元 不 是 可 逆 元 就 是 零 因 子。基 础 测 验 题 一、填 空 题（4 2分）1、设 集 合 M 与 而 分 别 有 代 数 运 算。与 廉 且 知 而，则 当。满 足 结 合 律 时，：也 满 足 结 合 律；当。满 足 交 换 律 时，：也 满 足 交 换 律。4、设 是 任 意 一 个 循 环 群，若=8,贝 弘。与 整 数 加 群 同 构；若|。|=，则 4 与 模 n 剩 余 类 加 群 同 构；5、设

32、 G=0 为 6 阶 循 环 群，则 G 的 生 成 元 有 a”；子 群 有 e,e,/,e,1,a”,e,a,1,J,/,45；6、n 次 对 称 群 S“的 阶 是 n!;置 换 T=(1378)(24)的 阶 是 4；8、设-=(14)(235),T=(136)(25),则 7 e=；9、设 H 是 有 限 群 G 的 一 个 子 群，则|G|=|H|:(G:H)；三、解 答 题(34)2、写 出 三 次 对 称 群 S3的 所 有 子 群 并 写 出 S3关 于 子 群 H=(1),(2 3)的 所 有 左 陪 集 和 所 有 右 陪 集。解：I S31=6其 子 群 的 阶 数 只 能 是 J,2,3,61阶 子 群(1)2 阶 子 群(1)(12)(1)(13)(1)(23)3 阶 子 群(1)(123)(132)6 阶 子 群$3左 陪 集：(1)H=(1)(23)=(23)H(12)H=(12)(123)=(123)H(13)H=(13)(132)=(132)H右 陪 集:H(l)=(1)(23)=H(23)H(13)=(13)(23)=H(123)H(12)=(12)(132)=H(132)