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1、1第四章 向量组的线性相关性21 向量组及其线性组合定义1：n 个数所组成的有序数组称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 称为第 i 个分量。这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。3称为行向量。称为列向量。4例.3 维向量的全体所组成的集合通常称为 3 维Euclid几何空间。称为 R3 中的一个平面。集合5称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面。集合称为 n 维Euclid空间。例.n 维向量的全体所组成的集合6例.非齐次线性方程组的解集合齐次线性方程组 的解集合7mn 阵 A 的 列向量组:行向量组:同一维数的列向量(或行向量)所
2、组成的集合称为向量组。82 向量组的线性相关性定义1：设向量组及一组实数称为向量组 A的一个线性组合，称为线性组合的系数。表达式9定义2：设向量组和向量 b若存在一组实数使得则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合，或称向量 b 能由向量组 A 线性表示。10例如：则 b 能由线性表示.解方程组既解方程组1 1所以，得12记13则方程组的向量表示为14定理1:向量 b可由向量组 线性表示 有解，其中15则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示，定义3:设向量组 及则称向量组 A 与向量组 B 等价。
3、16B 能由 A 线性表示17定理2:向量组 能由线性表示有解，其中18定理3:向量组 能由线性表示，则 R(B)R(A)。其中证：根据定理 2 有 R(A)=R(A,B)而 R(B)R(A,B)，因此 R(B)R(A)。19定义4：20n 维向量组 线性相关 定理4:推论：n 维向量组 线性无关21例2:试讨论向量组 及向量组 的线性相关性.22解：设即系数行列式齐次线性方程组有非零解，所以向量 线性相关向量对应分量不成比例，所以线性无关。23例3:n维向量讨论它们的线性相关性.结论:线性无关解:上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.问题:n=3时,分别是什么？24一些结论：(1)一个零
4、向量线性相关,一个非零向量线性无关；(2)两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;(3)一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。(4)(4)向量组线性相关当且仅当向量组中至少有一 个向量可由其余向量线性表示。25则向量组也线性相关。则向量组也线性无关。若向量组线性相关，定理5-1：定理5-2：m个n维向量(m n)构成的向量组一定线性相关.特别地,n+1个n维向量线性相关.若向量组线性无关，推论：定理5-3：向量组线性无关,向量组线性相关,则 b 能由向量组A线性表示，且表示式唯一.26例4：已知向量 线性无关，向量可以由向量 线性表示，并且证明：线性无关
5、的充要条件是 R(K)=3证：线性无关。设 Kx=0，其中则故 x=0，即 Kx=0 只有零解，于是 R(K)=3=027=0故 Kx=0，而 R(K)=3，于是 x=0，28例5：已知向量 线性无关，证明：向量线性无关。证：线性无关。293 向量组的秩定义1:简称最大无关组,r 称为向量组 A的秩，记作RA（ii）A的任意向量都可由A0线性表示.线性无关,（i）那么称部分组 为向量组 A的一个最大线性无关组，设 A为一个向量组，A的部分组 满足：向量组 的秩也记作30注:（1）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为0。（2）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。（4）向量组 A能由A
6、0线性表示。（3）向量组的最大无关组一般不是唯一的。（5）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。31例如：在向量组 中，首先 线性无关，又 线性相关，所以 是一个极大无关组。还可以验证 也是一个极大无关组。32例如：向量组 的秩为2。注意：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一 个线性表示，则这两个向量组等价。向量组 的秩为2。33例：设矩阵矩阵A 的行向量组是可以验证，是一个最大无关组，所以矩阵A的行向量组秩为3。34矩阵A的列向量组是可以验证 是一个最大无关组所以矩阵A的列秩是3。35定理6：矩阵的秩=矩阵的行向量组的秩=矩阵的列向量组的秩证：矩
7、阵 A 经过初等变换变为行最简形 B又初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系，所以，A的秩 A的列向量组的秩同理，AT 的秩 AT 的列向量组的秩A 的行向量组的秩但是，A 的秩 AT 的秩36例1：向量组求向量组的秩和一个最大无关组。37解：38是一个最大无关组。39例2：求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余的向量用这个最大无关组线性表示。40解:4142是一个最大无关组.43最大无关组的等价定义:线性无关；（i）那么称部分组 为向量组 A的一个设 A为一个向量组，A的部分组 满足：（ii）A的任意向量都能由 线性表示。最大无关组。44证：只需证明 A中的任意 r+1个向量都线性相关
8、。设 为 A中的 r+1个向量，由(ii)知，这 r+1个向量能由 A0 线性表示，故因此，这 r+1个向量线性相关。45线性表示的充要条件是定理2：向量组能由向量组线性表示，则定理3：若向量组能由向量组464 线性方程组解的结构(1)齐次线性方程组或471.解的性质则 仍然是 的解。性质1：若 是 的解，则 仍是 的解。性质2：若 是 的解，482.基础解系设是 的解，满足线性无关；的任一解都可以由线性表示。则称 是 的一个基础解系。49定理7：设是 矩阵，如果则齐次线性方程组的基础解系存在，且每个基础解系中含有 个解向量。证明分三步:1.以某种方法找 个解。2.证明这 个解线性无关。3.证
9、明任一解都可由这 个解线性表示。50证明:化为行最简形51与B对应的方程组52（1）令依次为 得方程组的通解53（2）向量组线性无关。综合(1)(2)得,向量组(C)是齐次线性方程组的基础解系.(C)54的通解是记则 是令为 所得。55例4:求下列齐次方程组的通解。解：56初等行变换行最简形矩阵对应的方程组为是自由变量。(2)57法1：先求通解，再求基础解系令则即58法2：先求基础解系，再求通解。在(2)中令得则通解为59解：例5:求下列齐次方程组的通解。60初等行变换令 得通解61(2)非齐次性线性方程组对应的齐次线性方程组62例8:线性方程组在三维直角坐标系中分别表示经过原点的直线。在三维
10、直角坐标系中分别表示不经过原点的平面。和和63性质1：是 的解，则是对应的齐次线性方程组的解。性质2：是 的解，是对应的齐次线性方程组的解，则是 的解。64分析:若 有解，则其通解为其中是 的一个特解，是 对应的齐次线性方程组 的通解。1.证明是解；2.任一解都可以写成 的形式。65例6:求解非齐次方程组解：6667令 得68令得基础解系所以原方程组的通解是69例7:求下列方程组的通解。解：70令得得基础解系 令所以通解是71例:设问u,v=?方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解.解:当u2时有唯一解;72当u=2,v3时,无解;当u=2,v=3时,有无穷多解;通解735 向量空
11、间定义：设 V 为 n 维向量的非空集合，若 V 对于加法及数乘两种运算封闭，则称集合 V 为向量空间说明:集合 对于加法及数乘两种运算封闭指注意.0 必是向量空间V 的元素，即74例：3 维向量的全体 是一个向量空间。n 维向量的全体 也是一个向量空间。例：齐次线性方程组的解集合是一个向量空间。不是一个向量空间。但非齐次线性方程组 Ax=b 的解集合75例：判别下列集合是否为向量空间.76不是向量空间。解：所以，是向量空间。77是否为向量空间.V 称为由向量a,b生成的向量空间。例：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合解：V 是一个向量空间。78由向量组 所生成的向量空间为一般地79定义
12、：设 V 为向量空间,W 是V 的非空子集，若 W 对于加法及数乘两种运算封闭，则称 W是 V 的子空间。零子空间 V=0 80例.及都是 的子空间。是 的子空间，称为齐次线性方程组 Ax=0 的解空间，或 A的零空间。81定义7：设V是向量空间，如果向量满足线性无关。（1）（2）V 中任一向量都可由线性表示，那么，就称向量组 是向量空间V 的一个基，r 称为向量空间V 的维数，记作dimVr并称V 是 r 维向量空间。82注：(1)只含有零向量的向量空间 0-称为零子空间-没有 基，规定其维数为0。(2)如果把向量空间V看作向量组V，则V的基就是向 量组V的极大无关组，V的维数就是向量组V的秩。(3)向量空间的基一般不唯一。例.都是向量空间R3的基。83设 是 的一个基，x 是 中的向量，则称有序数组 为向量 x 在基 下的坐标。设 是 的另一个基，并且则称此式为基变换公式，矩阵 P 称为从基 到基的过渡矩阵。