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1、矩阵矩阵凡物皆数千古传，数系几度被拓展凡物皆数千古传，数系几度被拓展.矩阵代数为哪般？莫过集成数与算矩阵代数为哪般？莫过集成数与算.加减数乘尚简单，矩阵乘法非等闲加减数乘尚简单，矩阵乘法非等闲.深究子式可得秩，初等变换不变量深究子式可得秩，初等变换不变量.线性方程组线性方程组欲解线性方程组，需知初等行变换欲解线性方程组，需知初等行变换.矩阵化至最简形，字里行间有答案矩阵化至最简形，字里行间有答案.4-1 4-1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义定义1 1 . , 21个分量个分量称为第称为第个数个数第第个分量，个分量，个数称为该向量的个数称为该向量的维向量，这维向量，这组称为组称为所组
2、成的数所组成的数个有次序的数个有次序的数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量. .分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、 维向量的概念n例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量),(21nTaaaa naaaa21 二、 维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： TTTTba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一
3、列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ,bann注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角)20( 机身的仰角机身的仰角)22( 机翼的转角机翼的转角)( 所以
4、，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量),( zyxa 维向量的实际意义维向量的实际意义n若一个本科学生大学阶段共修若一个本科学生大学阶段共修3636门课程门课程, ,成成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例举几例, ,说明向量的实际应用说明向量的实际应用思考题如果我们还需要考察其它指标，如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加比如平均成绩、总学分等，维数还将增加思考题解答答答36维的维的向量的相等向量的相等)
5、,2 , 1(),(),( 2121nibababbbbaaaaiiTTnTnT 则则设设零向量零向量分量全为分量全为0 0的向量称为零向量的向量称为零向量), 2 , 1(0niaOaiT ),2 , 1( ,0niaOaiT 中中至至少少有有一一个个不不为为 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如()m nAnmija矩阵有 个 维列向量 aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的列向量组的列向量组称为矩阵称为矩阵向量组向量组Aa1a2an三、向量
6、、向量组与矩阵三、向量、向量组与矩阵a2ajana1a2ajan,()m nAmnija类似地 矩阵又有 个 维行向量 aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.12 ,n 个维列向量所组成的向量组构成一个矩阵nmmn矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个个nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 1
7、2 (,) nA个组组阵对应注注：由由有有限限向向量量所所成成的的向向量量与与矩矩一一一一. . b1122nna xa xa x线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,: 2121 定义定义., 21个线性组合的系数个线性组合的系数称为这称为这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211mmkkk 线性组合线性组合mmb
8、2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,: 2121. 2211有解有解即线性方程组即线性方程组bxxxmm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA.),(),( 2121的秩的秩，的秩等于矩阵的秩等于矩阵，条件是矩阵条件是矩阵线性表示的充分必要线性表示的充分必要能由向量组能由向量组向量向量bBAAbmm 定理定理1 1231,;. 11111210214323011例 设aaab123,ba a a证证明明：向向量量 可可由由向向量量组组线线性性表表示示，并并
9、求求出出表表达达式式. .123( ,).Aa a aAXb ( ) =( , ). 1111103201210121( , )0000000000000000证明 令则只证方程组有解. 故只需验证由rR AR A bA b123=,( ) =( , ) 2，R AR A bba a a知知故故向向量量 可可由由向向量量组组线线性性表表示示. .AXb方程组的通解为313232,21xxxx12332322121,10.xcXxccxcc 即其中 为任意常数因此表达式11232123312332,21( 32)(21),xcba a axa a acxccacaca .c其中 为任意常数 .
10、.,:,: 2121这两个这两个能相互线性表示，则称能相互线性表示，则称量组量组与向与向若向量组若向量组称称线性表示，则线性表示，则向量组向量组组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由若若及及设有两个向量组设有两个向量组BAABBAsm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价BA定义定义使使在数在数存存量量线性表示，即对每个向线性表示，即对每个向能由能由（和和（若记若记,), 2 , 1().,),212121mjjjjsmkkksjbABbbbBA mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （ ),21sbbb（从而从而 msmmssm
11、kkkkkkkkk21222211121121), （ . )(数矩阵数矩阵称为这一线性表示的系称为这一线性表示的系矩阵矩阵ijsmkK 1212:,:,m， sm sB b bbAK由由此此可可知知，向向量量组组可可由由向向量量组组线线性性表表示示，即即存存在在矩矩阵阵使使得得12(,), mm sK12(,) sb bb1212(,)(,)有解 smb bbX.也也就就是是矩矩阵阵方方程程1212121212:,:,(,)( ,)(,;,)( )( ,). smmmsB b bbAAA Bb bbR AR A B定定理理2 2 向向量量组组可可由由向向量量组组线线性性表表示示的的充充要要条
12、条件件是是矩矩阵阵的的秩秩等等于于矩矩阵阵的的秩秩, , 即即1212:,:,( )( )( ,). msAB b bbR AR BR A B推推论论 向向量量组组与与向向量量组组等等价价的的充充要要条条件件是是2例121231321311011,;,.1110213120aabbb 设2123,.ab b b1证明：向量组与向量组等价a2=), =(,).(), 1(,13213021110000000000证明 记则123rAa aBb b bA,B( )( )( ,)R 2，AR BR A B知知所所以以等等价价. .12= ( ,)的列向量，即nnEe een例例3 3 阶阶单单位位矩
13、矩阵阵叫叫做做 维维单单位位坐坐标标向向量量( , , ),( , , ),( , , ).121 000 100 01TTTneee.nn任任意意 维维向向量量都都可可以以由由 维维单单位位向向量量线线性性表表示示4-2 4-2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A例例 向向量量组组 123= (2,-1,3,1),= (4,-2,5,4),= (2,-1,4,-1)TTT.1233-=
14、 0，线线性性相相关关因因为为 ,012121122: 1., 0.注注意意 若若线线性性无无关关 则则只只有有当当时时 才才有有成成立立nnnnkkkk + k + k = , 2.对对于于任任一一向向量量组组 不不是是线线性性无无关关就就是是线线性性相相关关12,.nne ee例维单位向量线性无关 ,0 ,0,.3.时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量若若则则说说线线性性相相关关 若若则则说说线线性性无无关关 .4.包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量组组是是线线性性相相关关的的 5.对对于于含含有有两两个个向向量量的的向向量量组组, , 它它线线性性相相关关的的充充要要条条件件
15、是是两两向向量量的的分分量量对对应应成成比比例例. .,(),1262:若若向向量量组组线线性性相相关关mAm ,12则则存存在在不不全全为为零零的的数数使使mk kk11220.mmk + k + k =不妨设则有不妨设则有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 1231223323122332312,( 1)0,1,mmm12反反之之，若若向向量量组组中中有有一一个个向向量量可可由由其其余余向向量量线线性性表表示示，不不妨妨设设可可由由线线性性表表示示，即即其其中中是是数数. .则则因因为为不不全全为为零零，所所以以线线性性相相关
16、关. .mmmmmmkkkk kkkkkk kk 1212:,(2)(),.A由此，我们有向向量量组组线线性性相相关关的的充充定定理理 线线性性相相关关性性要要条条件件是是中中有有一一个个向向量量可可的的判判由由其其余余向向量量线线性性定定表表示示mmm 123112223331123 , , .bbbb b b 已知向量组线性无关试证线性无关例例1 1 0 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 32213
17、1xxxxxx证证02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 线线性性相相关关与与线线性性无无关关是是线线性性代代数数中中最最基基本本的的概概念念之之一一，我我们们可可以以从从几几个个角角度度来来考考察察线线性性相相关关的的向向量量组组与与线线性性无无关关的的向向量量组组的的本本质质区区别别. .2,(1).11零向量.向向量量组组线线性性相相关关它它们们有有系系数数不不全全为为零零的的线线性性组组从从合合线线等等性性组组于于合合看看: :mm 2,(1)1向向
18、量量组组线线性性无无关关它它们们只只有有系系数数全全为为零零的的线线性性组组合合才才会会等等于于零零向向量量. .mm 12,(2)2.向向量量组组线线性性相相关关其其中中至至少少有有一一个个向向量量可可从从线线性性表表示示看看以以由由其其余余向向量量: :线线性性表表示示. .mm 12,(2)mm 向向量量组组线线性性无无关关其其中中每每一一个个向向量量都都不不能能由由其其余余向向量量线线性性表表示示. . 12112212,(1)0,.,xxx(3) s 212122,0.rrrrk kkkkk 11证明 为了证明线性相关 只要找到一组不全为零的数使得121122,.rrrxxx 为此
19、考虑的线性组合121211112121212122221122,rsssssrrrsrsaaaaaaaaa 由已知条件可由线性表示所以可设11221111212121212222112211 11221121 1222221 122()()()()()().rrssssrrrsrsrrrrsssrrsxxxx aaax aaax aaaa xa xa xa xa xa xa xa xa x于是11 1122121 122221 122121122121200.0,.( ,),0000.,.rrrrsssrrrrrsra xa xa xa xa xa xa xa xa xsrk kkkkk 考虑
20、下列齐次线性方程组由已知条件因此方程组必有非零解取它的一个非零解则因此线性相关1)1.nn注任意个 维向量必线性相关12, +1 , .nnne eenn每个 维向量可由 维单证位向量线性表示 且所以线性相关3).等等价价的的线线性性无无关关的的向向量量组组所所含含向向量量的的数数目目相相等等1212122),.若若向向量量组组可可由由向向量量组组线线性性表表示示，且且线线性性无无关关，则则rsrrs 212,srsr,rs. s= r. 1设向量组与向量组等价，且它们均线性无关，则因此证 4-3 4-3 向量组的秩向量组的秩 ,r12，设设有有向向量量组组如如果果在在 中中能能选选出出 个个
21、向向量量满满定定1 1足足义义rAA 线线性性无无关关；）向向量量组组（rA ,:1 210 2+1+1（ ）(），向向量量组组 中中任任意意个个向向量量 如如果果 中中有有个个向向量量的的话话都都线线性性相相关关ArAr一、最大线性无关向量组一、最大线性无关向量组,.12则则称称向向量量组组是是向向量量组组 的的一一个个最最大大线线性性无无关关向向量量组组，简简称称最最大大无无关关组组rA 123123= (2, 1,3,1),(4, 2,5,4),(2, 1,4, 1),.30TTT2;例例 向向量量组组则则是是一一个个最最大大无无关关组组也也是是一一个个最最大大无无关关组组注注 1).注
22、注向向量量组组的的最最大大无无关关组组一一般般不不唯唯一一2).一一个个线线性性无无关关的的向向量量组组的的最最大大无无关关组组就就是是这这个个向向量量组组自自身身3) 任任意意一一个个最最大大无无关关组组都都与与这这个个向向量量组组本本身身等等价价. .1111111,.,00100,1,2, .iiimir事实上 设向量组为而是它的一个最大无关组 因为是的一部分，所以可以被向量证组线性表示明，即rmrrrmi 111,.,.jj现在看中向量 设是其中任一向量由是最大无关组知线性相关，从而可由线性表示故向量组可由它的最大无关组线性表示rmrrjr +11111,.下证可由线性表示.显然可由线
23、性表示rmrrr 5)因因为为等等价价的的线线性性无无关关的的向向量量组组含含有有相相同同个个数数向向量量，所所以以一一个个向向量量组组的的每每个个最最大大无无关关组组中中都都含含有有相相同同个个数数的的向向量量，这这表表明明最最大大无无关关组组所所含含向向量量的的个个数数与与最最大大无无关关组组的的选选择择无无关关，它它直直接接反反映映了了向向量量组组本本身身的的性性质质. .4).向向量量组组的的任任意意两两个个最最大大无无关关组组等等价价 .只只含含零零向向量量的的向向量量组组没没有有最最大大无无关关组组，规规定定它它的的秩秩为为0 0最最大大无无关关组组所所含含向向量量个个数数r r称
24、称为为向向定定义义量量组组的的秩秩. .6).一一向向量量组组线线性性无无关关它它的的秩秩与与它它所所含含的的向向量量个个数数相相同同112117),(,)(,).s，若若向向量量组组可可由由线线性性表表示示则则mmsRR 111111111111111(,) =(,) = .,.rs1111设因为可由线性表示，所以的极大无关组可以由线性表示，而可由它自身的最大无关组线性表示，所以可由线性表示，因此证证明明msmsmrsstrtRr, Rt 8).等等价价的的向向量量组组必必有有相相同同的的秩秩.n，全全体体 维维向向量量构构成成的的向向量量组组记记作作求求的的一一个个最最大大无无关关组组例例
25、及及的的秩秩nnnRRR1.n1212因为 维单位向量构成的向量组线性无关，而任意个 维向量线性相关，所以向量组是的一个最大无关组，且的为解秩nnnnne ,e ,ene ,e ,eRRn12121212,(1),(2),.，；，设设向向量量组组是是向向量量组组 的的一一个个部部分分组组且且满满足足线线性性无无关关向向量量组组 中中任任一一向向量量都都能能由由线线性性表表示示则则称称是是向向量量组组 的的一一个个最最定定义义大大 组组2 2关关 无无rrrrAAA 12+12+1212+1212+,(,)(,),.RRr 11111：设是向量组 中任意个向量，则由条件可由线性表示，从而于是线性
26、相关推推导导过过程程rrrrrrAr +向向量量组组的的一一个个部部分分组组称称为为一一个个最最大大无无关关组组，若若这这个个部部分分组组本本身身线线性性无无关关，但但从从这这个个向向量量组组的的其其余余向向量量( (若若存存在在) )中中任任取取一一个个添添进进去去，得得到到新新的的部部分分组组都都线线定定义义3 3性性相相关关. .1212,，：.设设向向量量组组的的秩秩为为证证明明的的任任意意 个个线线性性无无关关的的向向量量组组都都构构成成它它的的一一个个最最大大无无组组注注关关ssrr 111211212212222122211121212221112121222,.,.,(,)(,
27、).,.rssrjrjrrjrrjrRRr 设是的一个最大无关组 在中任取 个线性无关的向量组在其余向量中任取由于可以由线性表示，所以因此线性相关证. 矩矩阵阵的的行行秩秩等等定定1 1于于列列秩秩理理二、矩阵与向量组秩的关系二、矩阵与向量组秩的关系矩矩阵阵的的就就是是指指矩矩阵阵行行向向量量组组的的秩秩；矩矩阵阵的的就就是是矩矩阵阵的的列列向向行行量量秩秩列列秩秩定定义义组组的的秩秩. .因因为为行行秩秩和和列列秩秩相相等等，所所以以矩矩阵阵的的行行秩秩和和列列秩秩统统称称为为矩矩阵阵的的秩秩. .1.一一矩矩阵阵的的秩秩为为矩矩阵阵中中有有一一个个 阶阶子子式式不不为为零零，同同时时所所有
28、有的的阶阶子子为为零零定定理理式式全全rrr1212,(,)向向量量组组的的秩秩也也记记作作mmR 2111211214 4622436979A设矩阵 例例1 1.用最大无关组线性表示用最大无关组线性表示属最大无关组的列向量属最大无关组的列向量无关组，并把不无关组，并把不的列向量组的一个最大的列向量组的一个最大求矩阵求矩阵A行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵施行初等行变换变为施行初等行变换变为对对 A解解，知知3)( ARA ， 00000310000111041211初等行变换初等行变换 .3 个向量个向量组含组含故列向量组的最大无关故列向量组的最大无关三列，三列，、元在元在而三个非零行的非零首而三个
29、非零行的非零首421.,421无关组无关组为列向量组的一个最大为列向量组的一个最大故故aaa线性无关线性无关，故，故知知421421,3),(aaaaaaR ., 42153成行最简形矩阵成行最简形矩阵再变再变线性表示，必须将线性表示，必须将用用要把要把Aaaaaa ),421aaa（事实上事实上 763264111112 000100110111初等行变换初等行变换 00000310003011040101 初等行变换初等行变换A 4215213334,aaaaaaa 即得即得123451(2,1,4,3),( 1,1, 6,6),( 1, 2,2, 9),(1,1, 2,7),(2,4,4
30、,9)TTTTT 注例 也可以描述成：求.的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示三、矩阵秩的相关结论三、矩阵秩的相关结论(1)(),;(2)()( );( )();(3),( )( );(4),()( );0若则若 、 可逆则m nTR Amin m nR AR AR ARAABR AR BPQR PAQR A(6)( ),( )( ,)( )( );max R A R BR A BR AR B1212( , )( )( , )( )( , ).( )( ),rtABA BR AR A BR BR A BR ArR BtAB 因为 和 的列向量组均可由的列向量组线性表示，所以，设，
31、是 的列向量组的最大无关组，是 的列向量组的证最大无关组.12121212( ,),( ,)(,),( ,)( )( ).rtrtRrtR AR B 则的列向量组可由线性表示，所以因此A BR A BR A B(6)()( )( );R ABR AR B11212121122121212121211221122(,),(,),(+,+,+).( ), ( ),;(1,2, ).iiiirriiiirR Ar R Brkkklllin 设设是的最证大无关组，是的最大无关组. 则122nnnnrnrnrA=B =A+ B =11211112211221212121212+,.()(,),()( )
32、( ).iiiiirriiirrrkkklllABR ABRrrR ABR AR B 所以即的列向量组可由线性表示因此即222rrr(7)()( ),( ) .R ABmin R A R B12,m 111212122212证设mmnnnmaaaaaaA=aaa12mB111212122212ssmmmsbbbbbb=bbb121122.=n snnmccABCcccc 111212122212令则mmnnnmaaaaaaaaa112212121,2, .( ,)(,),()( ).()() )()()( )()( ).()( ),( ) .iiiimmnmTTTTcaaainR c ccRR
33、 ABR BR ABR ABR B AR AR AR ABR A 于是其中因此即因为可知综上所述，R ABmin R A R B( )( ,).：AXBR AR A B矩矩阵阵证证明明方方程程有有解解,1112121222121112121222121212，m nn sm sn snnnnnnssnsnnnsAXBXaaaaaaXaaaaaaaaaaaa：若若矩矩阵阵方方程程有有解解, ,则则存存在在不不妨妨设设明明为为而而证证从从 ,( ,)( ).( )( ,)( )= ( ,),., 1212121212121212，snnsnnnsR A BR AR AR A BR AR A BRR
34、可可由由向向量量组组线线性性表表示示，所所以以故故向向量量组组可可由由向向量量组组线线性性表表示示，因因此此即即又又所所以以 2( )= ( ,).( ,),=,.B121，snR AR A BAA BBAAAAXXAXB反反之之，如如果果则则 的的列列向向量量组组的的最最大大无无关关组组也也是是的的列列向向量量组组的的最最大大无无关关组组，从从而而 的的列列向向量量组组可可由由 的的最最大大无无关关组组线线性性表表示示，而而 的的最最大大无无关关组组又又可可由由 的的列列向向量量组组线线性性表表示示，所所以以 的的列列向向量量组组可可由由 的的列列向向量量组组线线性性表表示示，故故存存在在使
35、使得得因因此此矩矩阵阵方方程程有有解解 4-4 4-4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构在在解解决决了了线线性性方方程程组组有有解解的的判判别别条条件件之之后后，我我们们进进一一步步来来讨讨论论线线性性方方程程组组解解的的结结构构. . 在在方方程程组组的的解解是是唯唯一一的的情情况况下下，当当然然没没有有什什么么结结构构问问题题. .在在有有多多个个解解的的情情况况下下，所所谓谓解解的的结结构构问问题题就就是是解解与与解解之之间间的的关关系系问问题题. . 下下面面我我们们将将证证明明，虽虽然然在在这这时时有有无无穷穷多多个个解解，但但全全部部的的解解都都可可以以用用有有限限多多个个解解
36、表表示示出出来来. .,12，元元线线性性方方程程组组的的解解= =是是 维维向向量量在在解解不不是是唯唯一一的的情情况况下下，作作为为方方程程组组的的解解的的这这些些向向量量之之间间有有什什么么关关系系呢呢？nnx xxn 设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1）一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21则上述方程组则上述方程组（1）可写成方程可写成方程.Ax0 记记齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性
37、质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .证明证明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 （2 2）若）若 为为 的解，的解， 为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax证明证明 .kkAkA0011 (1)(2)由由和和知知，齐齐次次线线性性方方程程组组的的两两个个解解的的和和还还是是方方程程组组的的解解，一一个个解解的的倍倍数数还还是是方方程程组组的的解解. .对对于于齐齐次次线线性性方方程程组组，综综合合以以上上两两个个性性质质，说说明明解解的的线线性性组组合合仍
38、仍是是方方程程组组的的解解. . 这这表表明明，若若方方程程组组有有几几个个解解，那那么么这这些些解解的的所所有有可可能能的的齐齐次次线线性性方方程程组组的的全全部部线线性性组组合合就就给给出出了了很很多多解解是是否否能能够够通通过过它它的的有有解解. . 基基于于这这限限的的几几个个解解的的个个事事实实线线性性组组，我我们们要要问问：合合给给出出来来？ (1),(1), ;(2),.12121200齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一组组解解称称为为的的一一个个基基础础解解系系如如果果线线性性无无关关的的任任一一解解都都可可由由线线性性表表出出tttAxAx 基础解系的定义基础解系的定义二、
39、基础解系及其求法二、基础解系及其求法 ,1200如如果果为为齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个基基础础解解系系 那那么么的的通通解解可可表表示示为为tAxAx 122ttxkkk 1 1,.12其其中中是是任任意意常常数数tk kk线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法， ().在在齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非零零解解的的情情况况下下，它它有有基基础础解解系系并并且且基基础础解解系系所所含含解解的的个个数数等等于于这这里里 表表示示系系数数矩矩阵阵的的秩秩也也就就是是自自由由未未知知量量的的理理个个数数定定rnrnr- - -111,111122,1121,11(1).
40、(2) 112110(1)，证证明明设设方方程程组组的的系系数数矩矩阵阵的的秩秩为为不不妨妨设设左左上上角角的的 级级子子式式不不等等于于于于是是方方程程组组可可以以改改写写为为rrrrnnrrrrnnrrrrr rrrnnrnra xa xaxa xa xa xaxa xa xa xaxa x 111212,1,(2),=(,1,0,0)=(,0,1,0).=(,0,0,1)rrr+1+221,0,00,1,00,0,11，(2)，(1)：在在中中分分别别用用组组数数来来代代自自由由未未知知量量就就得得出出方方程程组组也也即即方方程程组组的的个个解解rrnn rn rn rnrxxxnrcc
41、cccc例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解的基础解系与通解.解解,0000747510737201137723521111 A对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有A .7475,7372432431xxxxxx 便得便得,100143 及及令令xx,7473757221 及及对应有对应有xx,107473,01757221 即得基础解系即得基础解系).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到
42、通解1 122.cc例例2 2 解线性方程组解线性方程组 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换 00000000001311034111 2622026220131103411101212011310000000000223 13452345得得通通解解为为xxxxxxxx所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为, 001121 故原方程组的通解为故原方程组的通解为.kkkx332211 .k,k,k为为任任
43、意意常常数数其其中中321, 010312 . 100123 ，( )= ( ).，- ( )= - ( ),( )= ( ).元元齐齐次次线线性性方方程程组组= 0= 0与与= 0= 0同同解解则则证证明明 因因为为= 0= 0与与= 0= 0同同解解所所以以它它们们有有相相同同的的基基例例3 3础础解解系系，因因此此即即 nAXBXR AR BAXBXn R An R BR AR B例例4 4).()(ARAART 证明证明证证.,维列向量维列向量为为矩阵矩阵为为设设nxnmA ; 0)(, 0)(, 0 xAAAxAAxxTT即即则有则有满足满足若若 . 0, 0)()(, 0)(, 0
44、)( AxAxAxxAAxxAAxTTTT从而推知从而推知即即则则满足满足若若 ,0)(0同解同解与与综上可知方程组综上可知方程组 xAAAxT).()(ARAART 因此因此0( )( ).m nn l，设设5 5则则例例ABR AR Bn1212( ,)( ,)(0 0,0)llb bbb bb，=0，证证明明令令则则由由知知即即BABA0,1,2, .iAbil12121212,0,0,( )( )( )( )+ ( ).lltlb bbAXb bbAXb bbtnR AR BnR AR AR Bn ，这这表表明明是是的的解解从从而而可可由由的的基基础础解解系系线线性性表表示示所所以以的
45、的秩秩即即因因此此三、非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb，(3)设设非非齐齐次次线线性性方方程程组组(3)0，(1)，(1)(2).将将的的常常数数项项换换成成得得到到了了齐齐次次线线性性方方程程组组方方程程组组称称为为方方程程组组的的导导出出组组.0,1)( 2121的解的解为对应的齐次方程为对应的齐次方程则则的解的解都是都是及及设设 AxxbAxxx 证明证明 . 021 bbA . 021 Axx满满足足方方程程即即 bAbA 21, 非齐次线性方程
46、组解的性质非齐次线性方程组解的性质证明证明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 证毕证毕.,0,2)( 的解的解仍是方程仍是方程则则的解的解是方程是方程的解的解是方程是方程设设bAxxAxxbAxx *(3)(3),(1).，若若是是方方程程组组的的一一个个特特解解那那么么方方程程组组的的任任一一个个解解 都都可可以以表表示示成成其其中中 是是导导理理出出组组的的一一个个解解定定xx *().(1)=.，证证明明显显然然由由性性质质1 1知知是是导导出出组组的的一一个个解解令令则则xxxxx.11 rnrnkkx其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的
47、通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.rnrnkk 11 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为例例6 6 求解方程组求解方程组 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施行初等行变换施行初等行变换对增广矩阵对增广矩阵B 2132111311101111B,00000212100211011 12434( )( )212122xxxxx，得得所所以以方方程程组组有有解解，且且通通解解为为R AR B*120=120故故方方程程组组的的一一个个特特解解为为21110=.0201 ，1 1对对应应导导出出组组的的一一个个基基础础解解系系为为*1222,.11因因此此原原方方程程组组的的解解为为其其中中为为任任意意常常数数kkk k