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1、第四章 向量组的线性相关性4.4.1 基础练习1. 设有n维向量组与若存在两组不全为零的数和使则（ ）（A）和都线性相关 (B) 和都线性无关(C) 线性无关(D) 线性相关2. 设与为两个n维向量组，且，则（ ）（A）当时，两向量组等价； （B）两向量组等价；（C）；（D）当向量组被向量组线性表示时，两个向量组等价.3. 设是4阶方阵，且，则中（ ） (A) 必有一列元素全为零； （B）必有两列元素成比例； (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合；（D）任一列向量是其余列向量的线性组合.4. 设是矩阵，是矩阵，则( )（A）当时，必有； （B）当时，必有（C）当时，必有； （D）当时，必有
2、5. 设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数k，必有（ ）（A）线性无关；（B）线性相关；（C）线性无关；（D）线性相关.6. 设有向量组，与，则向量组的极大线性无关组是（ ）（A）； (B) ； (C) ； (D) .7. 设有向量组线性无关，则a，b，c必须满足关系式 .8.向量组的秩等于 .9. 已知向量组的秩为2，则t .10. 设矩阵，向量，已知与线性无关，则a .11. 向量空间的维数是 ，它的基向量 在基下的坐标是 .12. 设有向量组 ，当k为何值时， 能由线性表示？ 13. 设有向量组求向量组的秩和它的一个极大线性无关组.14. 设有向量组
3、，试把表为的线性组合. 15. 求方程组的基础解系和通解.16. 求方程组的通解.4.4.2 提高练习1. 已知 （1）a,b为何值时，不能表示为的线性组合；（2）a,b为何值时，有的唯一线性表示，并写出该表达式.2. 设向量线性相关，而其中任何r-1个向量线性无关，证明存在不全为零的数使.3. 设线性无关，证明 线性无关.4. 验证向量是的一个基，并分别将向量用这个基表示.5. 已知的两个基，求基A到基B的过渡矩阵C.6. 设由向量生成的向量空间为V1，由向量生成的向量空间为V2，试证V1= V2.7. 设的3个基分别为 1) 求由基（2）到基（1）的过渡矩阵；2) 求向量在基（2）下的坐标
4、；3) 求向量在基（1）下的坐标；4) 求由基（2）到基（3）的过渡矩阵.8. 设m个n维向量线性无关，P为n阶方阵，证明：向量组线性无关的充要条件是.9. 已知向量组（1）：向量组（2）：具有相同的秩，且可由向量组（2）线性表示，求a，b的值.10. 已知3阶方阵A与3维向量x，使得向量组线性无关，且满足 ；1) 记，求3阶方阵B，使;2） 计算行列式.11. 讨论并求解方程组 .12. 设有3维列向量 问取何值时，（1）可由线性表示，且表达式唯一？（2）可由线性表示，但表达式不唯一？（3）不能由线性表示？13. k为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷个解？在有解时求出其全部解.14
5、 已知（1）a、b为何值时，不能表示为的线性组合？（2）a、b为何值时，可表示为的线性组合？并写出该表示式.15. 已知下列线性方程组(1) 求出方程组的通解;(2) 当中的参数m、n、t为何值时，方程组与同解？第四章参考解答4.4.1 基础练习：1. （D）提示：由题设知，又知不全为零，线性相关.2.（D）提示：设向量组：向量组（因向量组A可被向量组B表示），则，所以，故选（D）3.（C）提示：因，则，A经初等列变换化为阶梯阵B，B必有零列，该列就是其余列的线性组合.4.（B）提示：时，又，则，AB为降阶方阵，所以.5.（A）提示：由可由线性表示知，那么又线性无关，且不能由线性表示，则，即线
6、性无关.这个结论肯定了（A）而排除了（B）,对条件（C）,取即与题设矛盾，可排除. 对于（D）,取时与（A）中相同，已知（A）正确，从而否定（D）.6.（B）7. .提示：线性无关，即，由此求得.8. 向量组的秩为2. 提示：因为 9. t=3. 提示： 向量组的秩为210. . 提示：时，（向量个数），则与线性相关.11. 的维数是2，它的基.向量的坐标是（3，4）.提示：对中任意向量，向量线性无关.12. . 13. 秩为3，是它的一个极大线性无关组.14. .15. 基础解系为，通解为（k为任意常数）.16. 4.4.2 提高练习：1. 解 设有数，使即 （1）当a1，b时，方程组无解，
7、此时不能表示为的线性组合；（2）当a1，b时，方程组有唯一的解，此时有的唯一线性表示，求解线性方程组 .2. 解： 反证法：若 至少有一个，那么，由于r-1个向量是线性无关的，必有，这样，线性无关，与假设矛盾.3. 提示：利用过渡矩阵可逆.4. 提示：与等价，则是的一个基，并且.5. 6. 提示：只需证， ,所以，,由此V1= V2.7. 解：1）;2）设在基（2）下的坐标为，已知在基（1）下的坐标为，根据坐标变换公式所以在基（2）下的坐标为0，0，-1，1.3) 在基（1）下的坐标所以，在基（1）下的坐标是-8，1，3，0.4）设由基（2）到基（3）的过渡矩阵为Q，它可以认为是由基（2）到基
8、（1）（过渡矩阵C），再由基(1)到基(3)的变换，设由基(1)到基(3)的过渡矩阵为G，则，于是由基(2)到基(3)的过渡矩阵为.8. 提示：已知线性无关，则，所以9. 提示：，则且为一个最大无关组，因，则，即，又可由向量组（2）线性表示，即可由最大无关组线性表示，那么，则.10. 提示： 1) ， 故2) 由，所以 11. 提示： （1）有唯一解，这时唯一解为 .（2） 时无解.（3） 有无穷多解，这时通解为 （k1，k2为任意常数）.12.提示：（1）可由线性表示有唯一解，且； （2）可由线性表示，但表达式不唯一有无穷多解；（3）不能由线性表示无解13. 提示：（1）时，有唯一解 ；（2）k1时，无解；（3） k=4时有无穷多解，全部解为 （k为任意常数）.14. 提示：设，则本题是要求a、b为何值时，有解和无解.（1）且时，不能由线性表示 ；（2） 时，可由唯一线性表示 ；当且时，可由线性表示为（为任意常数）15. 提示：先求出（1）的解，然后代入（2），定出m、n和t的值 1）； 2） 将代入（2），得关于m、n和t的线性方程组 解之得当时，（2）的系数矩阵的秩等于（1）的系数矩阵的秩，都是2，则基础解系含一个向量，可由验证（1）的基础解系也是（2）的基础解系. 所以（1）与（2）是同解方程组.11 / 1111 / 11