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1、高等流体力学高等流体力学电子课件电子课件一、拉格朗日参考系一、拉格朗日参考系1.1拉格朗日参考系和欧拉参考系拉格朗日参考系和欧拉参考系着眼于流体质点。着眼于流体质点。描述每个流体质点自始至终的运动，即位置随时间的变化。描述每个流体质点自始至终的运动，即位置随时间的变化。式中式中x0,y0,z0 是是t t=t t0 0 时刻流体质点的空间坐标，用来区分不同的流体质点。时刻流体质点的空间坐标，用来区分不同的流体质点。x0,y0 0,z 0 0,t 是是独立变量。独立变量。1.1.流动的描述流动的描述 一、拉格朗日参考系一、拉格朗日参考系1.1拉格朗日参考系和欧拉参考系拉格朗日参考系和欧拉参考系流
2、体的物理量表示为流体质点和时间的函数。流体的物理量表示为流体质点和时间的函数。1.1.流动的描述流动的描述 （x0,y0,z0）固定，固定，t 变化：变化：表表示示某某一一确确定定流流体体质质点点的的空空间间位位置置及及相相关物理量随时间的变化规律。关物理量随时间的变化规律。（x0,y0,z0）变化变化，t 固定固定：表表示示同同一一时时刻刻不不同同流流体体质质点点的的空空间间位位置置及相关物理量。及相关物理量。一、拉格朗日参考系一、拉格朗日参考系1.1拉格朗日参考系和欧拉参考系拉格朗日参考系和欧拉参考系2.2.流动物理量随时间的变化流动物理量随时间的变化速度：速度：其他物理量：其他物理量：二
3、、欧拉参考系二、欧拉参考系1.1拉格朗日参考系和欧拉参考系拉格朗日参考系和欧拉参考系着眼于空间点。着眼于空间点。描述流过每个空间点上的流体质点的运动。描述流过每个空间点上的流体质点的运动。x,y,z,t是是独立变量。独立变量。1.1.流动的描述流动的描述 流体的物理量是空间位置和时间的函数。流体的物理量是空间位置和时间的函数。二、欧拉参考系二、欧拉参考系1.1拉格朗日参考系和欧拉参考系拉格朗日参考系和欧拉参考系1.1.流动的描述流动的描述 （x,y,z）固定，固定，t 变化：变化：表表示示某某一一空空间间点点的的流流体体速速度度及及相相关关物物理理量随时间的变化规律。量随时间的变化规律。（x,
4、y,z）变化变化，t 固定固定：表表示示同同一一时时刻刻流流体体速速度度及及相相关关物物理理量量在在空间的分布规律。空间的分布规律。二、欧拉参考系二、欧拉参考系1.1拉格朗日参考系和欧拉参考系拉格朗日参考系和欧拉参考系2.2.流动物理量随时间的变化流动物理量随时间的变化加速度：加速度：其他物理量：其他物理量：三、两个参考系间的相互转换三、两个参考系间的相互转换1.1拉格朗日参考系和欧拉参考系拉格朗日参考系和欧拉参考系1.1.两个参考系间相互联系两个参考系间相互联系雅可比行列式雅可比行列式有限大的正数有限大的正数初始时刻流体微团体积初始时刻流体微团体积T T时刻变形后流体微团体积时刻变形后流体微
5、团体积互为反函数。互为反函数。三、两个参考系间的相互转换三、两个参考系间的相互转换1.1拉格朗日参考系和欧拉参考系拉格朗日参考系和欧拉参考系2.2.两个参考系间的相互转换两个参考系间的相互转换互为反函数。互为反函数。(1)(1)已知拉格朗日参考系的物理量已知拉格朗日参考系的物理量三、两个参考系间的相互转换三、两个参考系间的相互转换1.1拉格朗日参考系和欧拉参考系拉格朗日参考系和欧拉参考系2.2.两个参考系间的相互转换两个参考系间的相互转换(2)(2)已知欧拉参考系的物理量已知欧拉参考系的物理量积分积分代入代入1.2迹线迹线流线流线脉线脉线 一、迹线一、迹线 1.1.定义定义 流体质点在空间运动
6、时描绘出来的曲线。流体质点在空间运动时描绘出来的曲线。2.2.迹线方程迹线方程 初始条件：初始条件：请注意在以上方程组中请注意在以上方程组中 t 是自变量。是自变量。x,y,z 是流体质点的空间是流体质点的空间坐标，因此都是坐标，因此都是 t 的函数。的函数。始终与同一流体质点的速度矢量相切的曲线。始终与同一流体质点的速度矢量相切的曲线。积分积分一、迹线一、迹线 解：解：积分以上方程得，积分以上方程得，由条件由条件 时，时，可解出，可解出，消去消去t 得，得，例例.设两维流动，设两维流动，求求 通过（通过（1 1，1 1）点的迹线。）点的迹线。1.2迹线迹线流线流线脉线脉线 二、流线二、流线
7、1.1.定义定义 2.2.流线方程的微分方程流线方程的微分方程 某某时时刻刻，流流场场中中的的一一条条曲曲线线，曲曲线线上上各各点点的的速速度度矢矢量量方方向向和和曲曲线线在在该点的切线方向相同。该点的切线方向相同。请注意在以上方请注意在以上方程组中程组中 t t 是常数。是常数。1.2迹线迹线流线流线脉线脉线 二、流线二、流线 3.3.流线方程的参数方程流线方程的参数方程 选用选用s 作为参变量，作为参变量，积分上式可得到流线参数方程，积分上式可得到流线参数方程，,则参数方程的初始条件可定为，则参数方程的初始条件可定为，若已知流线经过点若已知流线经过点消去消去 s s 即可得到流线方程。即可
8、得到流线方程。1.2迹线迹线流线流线脉线脉线 二、流线二、流线 解：解：积分以上方程得，积分以上方程得，由条件由条件 时，时，可解出，可解出，消去消去s 得，得，例例.设两维流动，设两维流动，求通过（求通过（1 1，1 1）点的流线。）点的流线。1.2迹线迹线流线流线脉线脉线 三、脉线三、脉线 1.1.定义定义 2.2.脉线方程脉线方程 相相继继经经过过流流场场同同一一空空间间点点的的流流体体质质点点在在某某瞬瞬时时连连接接起起来来得得到到的一条线的一条线。脉线本质上是流体（不同）质点的迹线，所以可通过求解迹线方程脉线本质上是流体（不同）质点的迹线，所以可通过求解迹线方程而得到。而得到。初始条
9、件：初始条件：固定，固定，t t变化时，迹线；变化时，迹线；t t固定，固定，变化时，脉线。变化时，脉线。1.2迹线迹线流线流线脉线脉线 三、脉线三、脉线 解：解：积分以上方程得，积分以上方程得，由条件由条件 时，时，可解出，可解出，例例.设两维流动，设两维流动，求通过（求通过（1 1，1 1）点的脉线。）点的脉线。以以上上即即通通过过（1 1，1 1）点点的的脉脉线线参参数数方方程程。显显然然在在不不同同时时刻刻（t 取取不不同同值值时）脉线形状也不同。时）脉线形状也不同。1.2迹线迹线流线流线脉线脉线 三、脉线三、脉线 在在t=0=0时刻，时刻，消去消去得，得，1.2迹线迹线流线流线脉线脉
10、线 四、迹线、流线、脉线的关系四、迹线、流线、脉线的关系 在定常流动条件下，三种曲线合而为一在定常流动条件下，三种曲线合而为一在非定常流动条件下，三种曲线一般是不重合的。在非定常流动条件下，三种曲线一般是不重合的。1.2迹线迹线流线流线脉线脉线 五、流管五、流管 在流场内作一非流线且不自相交的封闭曲线，在某一瞬时通在流场内作一非流线且不自相交的封闭曲线，在某一瞬时通过该曲线上各点的流线构成一个管状表面，称流管。过该曲线上各点的流线构成一个管状表面，称流管。若流管的横截面无限小，则称流管元。若流管的横截面无限小，则称流管元。流管表面由流线组成，所以流体不能穿过流管侧面流进流出，流管表面由流线组成
11、，所以流体不能穿过流管侧面流进流出，而只能从流管一端流入，而从另一端流出。而只能从流管一端流入，而从另一端流出。1.2迹线迹线流线流线脉线脉线 一、一、物质导数物质导数流体质点的物理量随时间的变化率。流体质点的物理量随时间的变化率。1.1.拉格朗日法中物质导数的导出拉格朗日法中物质导数的导出质点的位置矢量：质点的位置矢量：质点的速度：质点的速度：质点的加速度：质点的加速度：针对同一流体质点，对针对同一流体质点，对 t 求导时求导时r0 0不变。不变。物理量是质点物理量是质点r0和时间和时间t 的函数。的函数。1.3物质导数物质导数 1.3物质导数物质导数 一、一、物质导数物质导数2.2.欧拉法
12、中物质导数的导出欧拉法中物质导数的导出物理量是空间坐标物理量是空间坐标r和时间和时间t 的函数。的函数。仅是某一空间点上流动速度随时间的变化仅是某一空间点上流动速度随时间的变化。不是不是占据该空间点的流体质点占据该空间点的流体质点的加速度的加速度。2.2.欧拉法中物质导数的导出欧拉法中物质导数的导出(1)(1)欧拉参考系欧拉参考系t时刻：时刻：泰勒级数展开，泰勒级数展开，t+t时刻：时刻：1.3物质导数物质导数 2.2.欧拉法中物质导数的导出欧拉法中物质导数的导出(2)(2)拉格朗日参考系拉格朗日参考系注意：注意：x,y,z不不再是独立变量，而是再是独立变量，而是x0,y0 0,z0 的函数的
13、函数1.3物质导数物质导数 二、二、物质导数各项的意义物质导数各项的意义对流导数对流导数局部导数局部导数物质导数物质导数表示空间某一点流体物理量随时间的变化；表示空间某一点流体物理量随时间的变化；由物理量场的不定常性引起；由物理量场的不定常性引起；由于流体质点在不均匀物理量场中移动引起的由于流体质点在不均匀物理量场中移动引起的1.3物质导数物质导数 二、二、物质导数各项的意义物质导数各项的意义物质导数物质导数=对流导数对流导数定常流动：定常流动：均均匀匀流流动动或或静止流体：静止流体：定常均匀流动：定常均匀流动：物质导数物质导数=局部导数局部导数物质导数物质导数=0=01.3物质导数物质导数
14、三、三、物质导数的张量形式物质导数的张量形式矢量形式：矢量形式：其他物理量其他物理量的物质导数：的物质导数：张量形式：张量形式：1.3物质导数物质导数 1.4速度分解定理速度分解定理 一、流体运动的分解一、流体运动的分解线变形：线变形：移动：移动：角变形：角变形：旋转：旋转：移动速度移动速度线变形速度线变形速度角变形速度角变形速度旋转速度旋转速度运动运动分解：分解：平移、转动、变形平移、转动、变形二、速度梯度张量二、速度梯度张量 应变率张量应变率张量 旋转率张量旋转率张量M为为流流体体中中一一流流体体质质点点，M 为为M 点点邻邻域域内内另另一一任任意意流流体体质质点点，如如果果速速度度场已知
15、，则同一瞬时上述场已知，则同一瞬时上述M 点对于点对于M点的相对运动速度可计算如下：点的相对运动速度可计算如下：式中式中写成分量形式写成分量形式1.1.速度梯度张量速度梯度张量 1.4速度分解定理速度分解定理 二、速度梯度张量二、速度梯度张量 应变率张量应变率张量 旋转率张量旋转率张量矩阵形式矩阵形式张量形式张量形式或或称为速度梯度张量称为速度梯度张量1.1.速度梯度张量速度梯度张量 1.4速度分解定理速度分解定理 二、速度梯度张量二、速度梯度张量 应变率张量应变率张量 旋转率张量旋转率张量2.2.应变率张量应变率张量 旋转率张量旋转率张量 根据张量分解定理，二阶张量可以唯一地分解为一个对称张
16、量和一个根据张量分解定理，二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和。反对称张量之和。是一个对称张量。该张量描述流体微团的变形运动，称应变率张量。是一个对称张量。该张量描述流体微团的变形运动，称应变率张量。是一个反对称张量。该张量描述流体微团的旋转运动，称旋转率张量。是一个反对称张量。该张量描述流体微团的旋转运动，称旋转率张量。1.4速度分解定理速度分解定理 二、速度梯度张量二、速度梯度张量 应变率张量应变率张量 旋转率张量旋转率张量2.2.应变率张量应变率张量 旋转率张量旋转率张量 只有只有6 6个独立分量，除对角线元素外，非对角线元素两两对应相等。个独立分量，除对角线元素外，
17、非对角线元素两两对应相等。1.4速度分解定理速度分解定理 二、速度梯度张量二、速度梯度张量 应变率张量应变率张量 旋转率张量旋转率张量2.2.应变率张量应变率张量 旋转率张量旋转率张量 只有只有3 3个独立分量，对角线元素为零，非对角线元素两两互为负数。个独立分量，对角线元素为零，非对角线元素两两互为负数。1.4速度分解定理速度分解定理 二、速度梯度张量二、速度梯度张量 应变率张量应变率张量 旋转率张量旋转率张量2.2.应变率张量应变率张量 旋转率张量旋转率张量 aij的的三个分量正好构成速度旋度的三个分量正好构成速度旋度的1/2速度旋度速度旋度把把aij的的三个独立分量看作是矢量三个独立分量
18、看作是矢量的三个分量的三个分量速度旋度是流体微团绕其内部一瞬时轴的旋转角速度的速度旋度是流体微团绕其内部一瞬时轴的旋转角速度的2 2倍。倍。1.4速度分解定理速度分解定理 表示由于流体微团变形而产生的表示由于流体微团变形而产生的M点相对于点相对于M点的速度变化。点的速度变化。表示由于绕瞬时轴旋转而产生的表示由于绕瞬时轴旋转而产生的M点相对于点相对于M点的速度变化。点的速度变化。1.4速度分解定理速度分解定理 二、速度梯度张量二、速度梯度张量 应变率张量应变率张量 旋转率张量旋转率张量三、应变率张量各分量的物理意义三、应变率张量各分量的物理意义 1.1.正应变率分量正应变率分量取一由流体质点组成
19、的线段元取一由流体质点组成的线段元1.4速度分解定理速度分解定理 速度差：速度差：线元向相线元向相对伸长率：对伸长率：三、应变率张量各分量的物理意义三、应变率张量各分量的物理意义 1.1.正应变率分量正应变率分量设某瞬时设某瞬时 与与x轴重合，则轴重合，则x，y，z轴线上的线段元的相对伸长率等于应变率张量对角线分量，轴线上的线段元的相对伸长率等于应变率张量对角线分量，同理：同理：应变率张量对角线分量称正应变率分量。应变率张量对角线分量称正应变率分量。1.4速度分解定理速度分解定理 三、应变率张量各分量的物理意义三、应变率张量各分量的物理意义 2.2.剪切应变率分量剪切应变率分量取两条相互垂直且
20、相交于一点的取两条相互垂直且相交于一点的流体流体线元线元 、，设在某一瞬时，设在某一瞬时 与与 x 轴重合，而轴重合，而 与与 y 轴重合，轴重合，线元端点相对于交点的速度：线元端点相对于交点的速度：线元端点相对于交点的矢量：线元端点相对于交点的矢量：线元端点相对于交点逆时线元端点相对于交点逆时针旋转的角度：针旋转的角度：两线元夹角的变化率：两线元夹角的变化率：1.4速度分解定理速度分解定理 三、应变率张量各分量的物理意义三、应变率张量各分量的物理意义 2.2.剪切应变率分量剪切应变率分量同理同理,平行于平行于z 与与x轴，轴，y 与与z 轴的流体线元之间夹角的变化率为：轴的流体线元之间夹角的
21、变化率为：平行于平行于x与与y轴，轴，z与与x轴，轴，y与与z轴的物质线段元之间夹角随时间变化率一轴的物质线段元之间夹角随时间变化率一半的负值分别是应变率张量非对角线分量，称剪切应变率分量。半的负值分别是应变率张量非对角线分量，称剪切应变率分量。应变率张量非对角线分量称为剪切应变率分量。应变率张量非对角线分量称为剪切应变率分量。1.4速度分解定理速度分解定理 三、应变率张量各分量的物理意义三、应变率张量各分量的物理意义 3.3.相对体积变化率相对体积变化率取一流体团，体积为取一流体团，体积为相对体积变化率相对体积变化率:相对体积变化率等于（相对体积变化率等于（1 1）速度的散度）速度的散度 （
22、2 2）应变率张量的）应变率张量的3 3个对角线分量的和。个对角线分量的和。不可压缩流体：不可压缩流体：1.4速度分解定理速度分解定理 四、旋转率张量分量的物理意义四、旋转率张量分量的物理意义 由上节中两线元旋转的角速度，其平均值可以反映流体微团的旋转角速度：由上节中两线元旋转的角速度，其平均值可以反映流体微团的旋转角速度：同理同理,旋转角速度矢量的三个分量是旋转率张量的旋转角速度矢量的三个分量是旋转率张量的3 3个非零分量个非零分量旋转角速度矢量是速度旋度的一半。旋转角速度矢量是速度旋度的一半。1.4速度分解定理速度分解定理 1.5有旋运有旋运动动的基本概念的基本概念 一、有旋运动与无旋运动
23、一、有旋运动与无旋运动流体微团绕其内部一瞬时轴作旋转运动的角速度的二倍流体微团绕其内部一瞬时轴作旋转运动的角速度的二倍1.1.涡量涡量2.2.有旋运动有旋运动 无旋运动无旋运动或或为无旋运动。为无旋运动。或或为有旋运动。为有旋运动。一、有旋运动与无旋运动一、有旋运动与无旋运动3.3.速度势函数速度势函数 势流势流无旋运动无旋运动为速度的势函数。为速度的势函数。无旋运动又称无旋运动又称势流。势流。1.5有旋运有旋运动动的基本概念的基本概念 二、速度环量二、速度环量 涡通量涡通量 StokesStokes定理定理1.1.速度环量速度环量速度矢量沿封闭曲线的线积分。速度矢量沿封闭曲线的线积分。逆时针
24、方向为正。逆时针方向为正。速度环量是流体绕封闭曲线旋转强度的度量速度环量是流体绕封闭曲线旋转强度的度量1.5有旋运有旋运动动的基本概念的基本概念 二、速度环量二、速度环量 涡通量涡通量 StokesStokes定理定理2.2.涡通量涡通量涡量在曲面涡量在曲面A上上的面积分。的面积分。3.Stokes3.Stokes定理定理沿包围单连通域的有限封闭周线的速度环量，等于穿过此连沿包围单连通域的有限封闭周线的速度环量，等于穿过此连通域的涡通量。通域的涡通量。1.5有旋运有旋运动动的基本概念的基本概念 三、涡线三、涡线 涡面涡面 涡管涡管1.1.涡线涡线曲线上每一点的切线方向和该点的涡量方向重合。曲线
25、上每一点的切线方向和该点的涡量方向重合。涡线微分方程涡线微分方程1.5有旋运有旋运动动的基本概念的基本概念 三、涡线三、涡线 涡面涡面 涡管涡管2.2.涡面涡面在涡旋场内取一非涡线的曲线，过曲线的每一点作涡线，这些在涡旋场内取一非涡线的曲线，过曲线的每一点作涡线，这些涡线组成的曲面，称为涡面。涡线组成的曲面，称为涡面。3.3.涡管涡管涡线组成的管状曲面称为涡管。涡线组成的管状曲面称为涡管。1.5有旋运有旋运动动的基本概念的基本概念 四、涡量场的运动学性质四、涡量场的运动学性质1.1.涡量场是无源场涡量场是无源场根据矢量恒等式，根据矢量恒等式，得，得，涡量矢量的散度为零，因此涡量场是无源场。涡量
26、矢量的散度为零，因此涡量场是无源场。不可压缩流体：不可压缩流体：还可看作是流出单位固定控制体的流体的体积流量，还可看作是流出单位固定控制体的流体的体积流量，1.5有旋运有旋运动动的基本概念的基本概念 四、涡量场的运动学性质四、涡量场的运动学性质2.2.涡管的运动学特性涡管的运动学特性不可压缩流体的速度场与涡量场同为无源场，故具有相似之处。不可压缩流体的速度场与涡量场同为无源场，故具有相似之处。(1)(1)流管的运动学特性流管的运动学特性不可压缩流体的速度场为无源场，故不可压缩流体的速度场为无源场，故1.5有旋运有旋运动动的基本概念的基本概念 四、涡量场的运动学性质四、涡量场的运动学性质2.2.
27、涡管的运动学特性涡管的运动学特性(2)(2)涡管的运动学特性涡管的运动学特性对一个确定的涡管，任一横截面上的涡通量是一个常数，称为涡管强度。对一个确定的涡管，任一横截面上的涡通量是一个常数，称为涡管强度。结论：沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量相等。结论：沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量相等。由由StokesStokes定理，定理，1.5有旋运有旋运动动的基本概念的基本概念 四、涡量场的运动学性质四、涡量场的运动学性质3.3.涡线和涡管都不能在流体内部中断涡线和涡管都不能在流体内部中断由于涡旋场是无源场，可以推断，涡线和涡管都不能在流体内部中断。由于涡旋场是无源场，可以推断，涡线和涡管都
28、不能在流体内部中断。如如果果发发生生中中断断，则则在在中中断断处处取取封封闭闭曲曲面面，通通过过封封闭闭曲曲面面的的涡涡通通量量将将不不为为零，与无源场事实相矛盾。零，与无源场事实相矛盾。涡涡线线和和涡涡管管只只能能在在流流体体中中自自行行封封闭闭，形形成成涡涡环环，或或将将其其头头尾尾搭搭在在固固壁壁或或自由面，或延伸至无穷远。自由面，或延伸至无穷远。1.5有旋运有旋运动动的基本概念的基本概念 1.6雷雷诺输诺输运定理运定理一、系统一、系统 控制体控制体1.1.系统系统由固定的流体质点组成的物质体。由固定的流体质点组成的物质体。随流体流动而运动随流体流动而运动 体积和边界形状随运动在变化体积
29、和边界形状随运动在变化 与外界没有质量交换与外界没有质量交换2.2.控制体控制体流场中某一确定的空间区域。流场中某一确定的空间区域。不随流体流动而运动不随流体流动而运动 占据控制体的流体随时间而变占据控制体的流体随时间而变 与外界有质量交换与外界有质量交换对应于拉格朗日法对应于拉格朗日法对应于欧拉法对应于欧拉法二、引出雷诺输运定理的原因二、引出雷诺输运定理的原因质量守恒：质量守恒：通常的物理定律都是应用于系统的。通常的物理定律都是应用于系统的。动量定理：动量定理：能量守恒：能量守恒：于是就会遇到欧拉参考系下求对系统体积分的随体导数的问题。于是就会遇到欧拉参考系下求对系统体积分的随体导数的问题。
30、1.6雷雷诺输诺输运定理运定理三、雷诺输运定理的导出三、雷诺输运定理的导出取取 单位体积流体所具有的物理量单位体积流体所具有的物理量系统和系统和CV CV 在初始时刻重合，在初始时刻重合，CVCV固定固定不动。不动。1.6雷雷诺输诺输运定理运定理三、雷诺输运定理的导出三、雷诺输运定理的导出1.6雷雷诺输诺输运定理运定理三、雷诺输运定理的物理意义三、雷诺输运定理的物理意义系统中的变量系统中的变量N对时间的变化率对时间的变化率固定控制体内的变量固定控制体内的变量N对时间的变化率，由对时间的变化率，由 的的不定常性引起不定常性引起 N 流出控制体的净流率，由于不均匀性和系统的空间流出控制体的净流率，
31、由于不均匀性和系统的空间位置和体积随时间改变引起位置和体积随时间改变引起 1.6雷雷诺输诺输运定理运定理四、简化的雷诺输运公式四、简化的雷诺输运公式1.6雷雷诺输诺输运定理运定理1.7应应力力张张量量一、应力矢量一、应力矢量下标下标 n 表示面元表示面元A 的法线方向。的法线方向。注意：下标注意：下标n 仅表示力作用在法向为仅表示力作用在法向为n的面上，并不代表的面上，并不代表与与n方向一致。方向一致。表面应力的方向和大小一般来说与其空间位置、作用面的方位有关表面应力的方向和大小一般来说与其空间位置、作用面的方位有关1.1.应力矢量应力矢量一、应力矢量一、应力矢量法向分量：法向分量：切向分量：
32、切向分量：2.2.应力矢量的分解应力矢量的分解(1)(1)法向、切向上的分解法向、切向上的分解(2)(2)坐标轴方向上的分解坐标轴方向上的分解应力的双下标说明：第应力的双下标说明：第1 1个下标表示应力所在平面的法线方向，个下标表示应力所在平面的法线方向，第第2 2个下标表示应力投影方向。个下标表示应力投影方向。1.7应应力力张张量量一、应力矢量一、应力矢量3.3.应力矢量的正负方向应力矢量的正负方向，一侧流体对表面元的作用应力；，一侧流体对表面元的作用应力；，另一侧流体对，另一侧流体对表面元表面元的作用应力。的作用应力。1.7应应力力张张量量二、应力张量二、应力张量应力矢量与选取的作用面的方
33、位有关，故在空间一点可以存在无穷多应力矢量与选取的作用面的方位有关，故在空间一点可以存在无穷多个应力矢量。个应力矢量。问题：这无穷多个应力矢量该如何表示？问题：这无穷多个应力矢量该如何表示？答案：过某点的任意表面的应力矢量都可以用过该点的三个相互垂答案：过某点的任意表面的应力矢量都可以用过该点的三个相互垂 直平面（可取三个坐标平面）上的应力矢量来表示。直平面（可取三个坐标平面）上的应力矢量来表示。1.7应应力力张张量量二、应力张量二、应力张量1.1.表面力是局部平衡的表面力是局部平衡的惯性力：惯性力：达朗贝尔原理：作用于微元上的质量力（重力），表面力和惯性力及达朗贝尔原理：作用于微元上的质量力
34、（重力），表面力和惯性力及 其力矩应该平衡。其力矩应该平衡。当当 ，重重力力、惯惯性性力力为为三三阶阶无无穷穷小小量量，表表面面力力为为二二阶阶无无穷穷小小量，因此仅需考虑表面力作用，忽略惯性力和重力影响。量，因此仅需考虑表面力作用，忽略惯性力和重力影响。牛顿第二定律：合外力（惯性力）表面力质量力牛顿第二定律：合外力（惯性力）表面力质量力 重力：重力：表面力：表面力：结论：结论：表面力是局部平衡的。表面力是局部平衡的。1.7应应力力张张量量二、应力张量二、应力张量取微元四面体，取微元四面体，外法线方向分别为：外法线方向分别为：应力矢量分别为：应力矢量分别为：2.2.应力张量应力张量1.7应应力
35、力张张量量二、应力张量二、应力张量2.2.应力张量应力张量1.7应应力力张张量量二、应力张量二、应力张量2.2.应力张量应力张量应力张量：应力张量：结论结论:(1):(1)应力张量由过某点三个相互垂直平面的应力矢量的分量构成。应力张量由过某点三个相互垂直平面的应力矢量的分量构成。(2)(2)空间某空间某点上法向为点上法向为 的表面的应力矢量由法向量的表面的应力矢量由法向量 和应力张和应力张 量量 点乘而得。点乘而得。其中：对角线元素为法向应力分量，非对角线元素为切向应力分量其中：对角线元素为法向应力分量，非对角线元素为切向应力分量1.7应应力力张张量量三、应力张量的对称性三、应力张量的对称性应
36、力张量是对称张量，即应力张量是对称张量，即证明依据：动量矩定理证明依据：动量矩定理应应力力张张量量不不与与表表面面的的法法向向有有关关，而而只只是是空空间间点点位位置置和和时时间间的的函函数数，由由九九个个分分量量（6 6个独立分量个独立分量）组成的应力张量完全表达了给定时刻一点的应力状态。）组成的应力张量完全表达了给定时刻一点的应力状态。1.7应应力力张张量量M四、理想流体与静止流体的应力张量四、理想流体与静止流体的应力张量理想流体或静止流体中切应力为零。理想流体或静止流体中切应力为零。应力张量：应力张量：应力矢量：应力矢量：比较得，比较得，应力张量表示的应力矢量：应力张量表示的应力矢量：1
37、.7应应力力张张量量令，令，故，故，四、理想流体与静止流体的应力张量四、理想流体与静止流体的应力张量在理想流体或静止流体中，只要用一个标量函数即压力函数便完在理想流体或静止流体中，只要用一个标量函数即压力函数便完全地描述了一点上的应力状态。全地描述了一点上的应力状态。1.7应应力力张张量量1.8本构方程本构方程一、牛顿流体的本构方程一、牛顿流体的本构方程应应力力和和应应变变率率之之间间的的关关系系，或或者者说说应应力力张张量量和和应应变变率率张张量量之之间的关系称本构方程。间的关系称本构方程。1.1.牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律给出了切应力和剪切应变率之间的关系。牛顿内摩擦定律给
38、出了切应力和剪切应变率之间的关系。满足牛顿内摩擦定律的流体为牛顿流体。满足牛顿内摩擦定律的流体为牛顿流体。二、本构方程的三点假设二、本构方程的三点假设1.1.假设一假设一运运动动流流体体的的应应力力张张量量在在运运动动停停止止后后应应趋趋于于静静止止流流体体的的应应力力张张量量，流流体压强此时即为静力学压强，据此应力张量可表示为，体压强此时即为静力学压强，据此应力张量可表示为，可压流体为热力学压强，不可压流体为流体动力参数的变量。可压流体为热力学压强，不可压流体为流体动力参数的变量。剪切应力张量或偏应力张量。由流体运动而引起，当运动消失剪切应力张量或偏应力张量。由流体运动而引起，当运动消失时趋
39、于零，时趋于零，p 也趋于静力学压强。由于也趋于静力学压强。由于 和和 是对称张量，因此是对称张量，因此偏应力张量偏应力张量 也是对称张量。也是对称张量。1.8本构方程本构方程二、本构方程的三点假设二、本构方程的三点假设2.2.假设二假设二偏应力张量偏应力张量 的各分量是局部速度梯度张量的各分量是局部速度梯度张量 各分量的线性齐次函数。各分量的线性齐次函数。比例常数比例常数 应是一个应是一个4 4阶张量阶张量,有有8181个分量。个分量。1.8本构方程本构方程二、本构方程的三点假设二、本构方程的三点假设3.3.假设三假设三流流体体是是各各向向同同性性的的，流流体体的的物物理理性性质质，如如粘粘
40、性性、导导热热率率等等均均与与方方向向无无关关，只只是是坐坐标标位位置置的的函函数数。从从数数学学上上讲讲，即即要要求求 是是 各各向向同同性性张张量量。各各向向同同性性张张量量的的每每一一分分量量经经过过坐坐标标旋旋转转变变换换后后不不改改变其值。变其值。1.8本构方程本构方程是对称张量是对称张量对于对于i,j对称对称张量张量二、本构方程的三点假设二、本构方程的三点假设3.3.假设三假设三1.8本构方程本构方程只与流动变形运动有关。只与流动变形运动有关。三、粘性系数三、粘性系数1.8本构方程本构方程1.1.动力粘性系数动力粘性系数三、粘性系数三、粘性系数1.8本构方程本构方程2.2.体积粘性系数体积粘性系数式中式中 ，称体积粘性系数。，称体积粘性系数。平均法向应力平均法向应力:三、粘性系数三、粘性系数1.8本构方程本构方程2.2.体积粘性系数体积粘性系数不可压缩流体不可压缩流体:一般的可压缩流体一般的可压缩流体:不可压缩流体不可压缩流体:四、本构方程四、本构方程