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1、第 一 章MATLAB软件的基本操作1.1 矩阵的建立和基本运算一、实验目的熟悉M AT L AB软件中关于矩阵的建立以及矩阵运算的各种名命令。二、实验内容与要求1 .启动与退出双击M AT L AB图标，进入M AT L AB命令窗口，即可输入命令，开始运算。单击Fi l e菜单中Ex i t,或使用M AT L AB的 Ex i t 命令退出。2 .数、数组、矩阵的输入(1)数的输入 a=5回车：S L 5输入复数2-5 i b=2-5 ib 二2 -5 i(2)数组的输入 b=1,3,5,7,9,H b=1 3 5 c=l:2:l U7 9 1 1c=1 3 5 7 9 1 1 d=l
2、i n s p ace(l,1 1,6)d=1 3 5 79 1 1问题：体会以上输入方法有什么区别和联系。若b为在0 2万(乃用pi表示)之 间 均 匀 分 布 的22个 数 据，c=(l.3,2.5,7.6,2,-3),d=(2 3,2 0,1 7,1 4,1 1,8,5,2),b c、d 各用何种方法输入较简单(3)矩阵的输入 A=2,3,5;1,3,5;6,9,4 外 行之间要用分号隔开A=2 3 51 3 56 9 43.矩阵大小的测试和定位 A=3,5,6;2,5,8;3,5,9;3,7,9 A=23 5 62 5 83 5 93 7 9 d=n u m el（A）%测试定矩阵A的
3、元素数d=1 2 n,m i ds i ze（A）%测试人的行（n）、列（m）数n =4m =3 i,j=fi n d(A 3)%找出A中大于3的元素的行列数4.矩阵的块操作 A(2,:)%取出A的第2行的所有元素an s =258 A（l,3,：）%取出A的 第1、3行的所有元素an s =3 5 63 5 9A （2：3,1：2）%取出A的2、3行 与1、2列交叉的元素3an s =2 53 5 A(l,3,:)=A(3,1,:)%将 A 的 第 1 行和第3 行互换问题：如何将A 的 2、3列互换?A(2,:)=4%将 A 的第2行的所有元素用4取代 A(fi n d(A=3)=-3%将
4、 A 中等于3的所有元素换为-3 A(2,:)=r es hap e(A,2,6)维矩阵an s =3 3 54 3 4%删除A 的第2行%返 回 以 A 的元素重新构造的2 x 65 9 67 4 9 A(4,5)=3%扩充人的维数，A 成为4 x 5 维矩阵,未定义元素为3注意：“：”表示全部5.矩阵的翻转操作 fl i p u d(A)fl i p l r(A)r o t (A)%A进行上下翻转%A进行左右翻转%A逆时针旋转90。问题：尝试操作 r o t 9 0(A,2)和 r o t 9 0(A,-2),结果有区别吗？46.特殊矩阵的产生 A=eye(n)%产生n维单位矩阵 A=on
5、es(n,m)%产生 nxm 维 1 矩阵 A=zeros(n,m)%产生 nxm 维 0 矩阵 A=rand(n,m)%产 生nxm维随机矩阵(元素在01之间)7.数的运算4+24*24/2 痢 右 除2,等于242%4左除2,等 于0.543%4的3次方sqrt(4)刎 的算术平方根exp(3)%e的三次方，不能输成 3log(4)%4 的自然对数,logl0(4)是以 10 为底,log2(4)是以2为底8.矩阵的运算/%A的转置det(A)%A的行列式，A必须是方阵rank(A)%A 的秩3*A%常数与矩阵相乘A+B%A、B必须是同维矩阵，和3+A进行比较5A-B%A、B 必须是同维矩
6、阵，和 3-A进行比较A*B%和 4.*8 进行比较A/B%（和 A./B进行比较）AB%（和 A.B 进行比较）A2%A 2相当于A*A（和 A.2进行比较）三、练习与思考（1）熟悉MATLAB的启动和退出（2）自找23 个例子，熟悉数和数组的各种运算，以及它们的各种函数值。（3）自找23个例子，熟悉矩阵的加减乘除及其它运算，注意和点运算的区别。（4）输入一个矩阵A,取 出 A 的第2 行 第 1 列的元素；取出 A的 第 1,3,4 列的所有元素；让 A的 第 1 列和第3 列互换；删除A 的第2 列。（5）产 生 3 x 4 的 1 矩阵，产 生 4 x 2 的随机矩阵，产 生 4维的单
7、位矩阵。（6）将 A 的第2 行元素扩大2 倍，再增加3 后作为A 的第3 行元素。61.2多项式和线性方程组的求解一、实验目的学会用M A T L A B软件求解多项式和线性方程组二、实验内容与要求1.多项式的表达方式(1)用降嘉排列的多项式的数向量表示例1对多项式p=X，+2/-5 x+6和s=x?+2 x+3 ,用多项式的系数表不为 p=l,2,0,-5,6 s=l,2,3(2)由根创建多项式 L1,4,8 /已知多项式的根为(1,4,8)p=po l y(r)P =1 -1 3 44-32 p=po l y2 sym(p)%将多项式的向量表示转变为符号形式P 二x 3-1 3*x，2+
8、4 4*x-3 22.多项式的加减乘除例2求 例1中多项式p,s的和、差、积、商。p=l,2,0,-5,6 s=0,0,1,2,3 7 p+s%多项式加法，向 量 p,S必须同维，S扩维成 s=0,0,1,2,3 a n s=121-39 p-s%多项式减法，向量p,s 必须同维 c o n v(p,s)%求多项式p 和 s 的乘积，也是向量p,s 的卷积问题：向量的除法，除数不能为零，这 里 s 的第一个元素为零，怎么办？解 决 方 法 有 两 种，当s=0,0,1,2,3 时，输 入q,r=d e c o n v(p,s(3:5),或把 s 仍输为 s=l,2,3，贝q,r:d e c o
9、 n v(p,s)p=l,2,0,-5,6；s=l,2,3 q,r=d e c o n v(p,s)%求多项式p 除以s 的商q 和余项rq=1 0 -3r=0 0 0 1 1 53.求多项式的根 r=ro o ts(p)%求多项式p 的根，即方程p(x)=0 的解。pc=c o m pa n (p)%求多项式p 的伴随矩阵。例 3求多项式p=/+2 x+6 的根8解:p=l,2,6 r=ro o ts(p)4.多项式的微分和赋值运算 d=po l yd e r(p)%求多项式p的一阶微分 d=po l yd e r(p,s)%求多项式p,s乘积的一阶微分 q,d=po l yd e r(p,
10、s)%求多项式p,s商p/s的一阶微分，q为分子，d为分母 y=po l yva l(p,a)%计算x=a时多项式p的值例4求 例1中多项式p的一阶导数，求x=l,3,5时多项式p(x)的值。解:p=l,2,0,-5,6 d=po l yd e r(p)结果为：d =4 6 0 -5 x=l:2:5 权 取3个值 y=po l yva l (p,x)%计算对应x的多项式p的3个值结果为y=4 1 2 6 8 5 695.非齐次线性方程组求解 X=A b%用矩阵左除法求线性方程组A X=b的解 C=A,b%由系数矩阵A和常数列向量b构成增广矩阵C D=rre f(C)%将C化成行最简行，则D的最
11、后一列元素就是所求的解例5用矩阵左除法求解 A=2,3,5；3,6,8；6,5,4 b=1 2;3 4;4 3 R=ra n k (A)X=A b结果为：R =3X =0.2 7 5 91 2.3 7 9 3-5.1 3 7 9注意：b是列向量，求解前先检验A是否为满秩方阵解二：用函数rre f求解 C=A,b D=rre f(C)10结果为:D =1.0 0 0 0 00 1.0 0 0 00 00 0.2 7 5 90 1 2.3 7 9 31.0 0 0 0 -5.1 3 7 9则D的最后一列元素就是所求的解,同解一结果相同6.线性齐次方程组的求解x+2X2+2X3+x4=0例6求解方程
12、组的通解：2X,+X2-2X3-2X4=0-x2-4X3-3X4=0解:2,2,1；2,1,一2,2；1,-1,4,-3 f o ri n a t ra t B=n ul l(A,/)%指定有理式格式输出%求解空间的有理基B =2-2105/3-4/301注意：f o rm a tra t是有理格式输出，小数用最接近的分数表示;若输入f o rm a t l o n g则输出格式是长格式，显 示15位数；缺省格式是fo r m a t s ho r t （短格式），显示到小数点后面4位。7.利用矩阵的L U,Q R和C ho l e s ky分解求方程组的解1 1(1)L U分解L U分解又称
13、为G a u s s消去分解，可把任意方阵A分解为下三角矩 阵L和上三角矩阵U的乘积，即A二L U,命令 L,U=l u(A)可求得L与U。则方程A X=b变成L U X=b所以，X=U(L b)(2)C ho l e s ky 分解若A为对称正定矩阵，则C ho l e s ky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即A =R x R,其中，R为上三角阵，命令R=c ho 1 (A)可求得 R。则方程A X=b变成Rx Rx X =所以，x =R(R b)(3)QR分解对于任何长方矩阵A,都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵,R为上三角矩阵的初等变换形式，即A二QR,命令 Q,R=q
14、 r(A)可求得Q R则方程A X=b变形QRX=b所以，X =R(Qb)说明：这3种分解，在求解大型方程组时很有用，其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。例7用 上 述(1)(3)两种方法求解例5中的线性方程组。解一：12 L,U=l u(A)L =1/38/2 111/210100U =65407/26002 9/2 1 X=U (L b)X =8/2 93 5 9/2 9-14 9/2 9解二：Q,R=q r(A)Q 二-2/7-3 6 1/14 6 9-14 95/16 14-3/7-3 5 1/4 2 22 7 1/7 6 8-6/7112 7/2 2 6 43 4 1/2
15、 5 7 7R=-7-5 4/7-5 8/7130-4 6 2 5/14 2 8-4 13 0/7 010 0-13 6 1/106 4 X=R(Qb)X =8/2 93 5 9/2 9-14 9/2 9三、练习和思考(1)输入任意两个多项式，并进行加减乘除运算，注意它们的结果(2)求上面的两个多项式的根，并进行逆运算(3)求上面的两个多项式的一阶导数，并 求x:0:0.2:2对应多项式的值。(4)求解下列线性方程组+/+3升 一工4 二 -2x,-x3+x4=l玉 +/+2X3+2X4=4-x2+x3-x4=0 x-4X2+2X3=0V 2X2-x3=0-%1 +2%W=0141.3符号运算
16、一、实验目的学会M A T L A B 符号运算的基本功能二、实验内容与要求1.字符型变量、符号变量、符号表达式、符号方程的建立用单引号设定字符串变量的方法如下：例 1 a=u+4%定义a为字符型变量a =u+4创建字符型变量有如下两种方法。方法一：用命令s y m（一）创建单个符号变量、符号表达式、符号方程。15例 2 x=s y m(m+n+i)%定义x为符号型变量x =m+n+i y=s y m(d*x 2+x-4)y =d*x 2+x-4 e=s y m(，a*x 2+b*x+c=0,)%定义y为符号表达式%定义e为符号方程e =a*x 2+b*x+c=0问题：继续输入a,x,d o
17、t 加e(a),d o wb/e(x)(命 令 是 将 符 号 变 量或字符变量转换为数值变量)，找出字符型变量和符号型变量之间的区别和联系。方法二：用命令s y m s 创建多个符号变量、符号表达式。例 3 s y m s a b x y%定义 a,b,x,y 为符号变量,s=a*x 4+b*c o s (y)-x*y%定义s 为符号表达式s =a*x-4+b*c o s(y)-x*y注意：s y m()中的单引号不要漏，s y m s 后的符号变量之间不能用逗号，用 s y m s 不能建立符号方程。2.合并同类项16格式：collect(S)%是对S 中的每一函数，按缺省变量x 的次数合
18、并系数。collect(S,v)%是对制定的变量v 计算，操作同上。例 4 syms x y%定义x,y 为符号变量 Rl=collect(exp(x)+x)*(x+2);%结 果 为x2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)R2=collect(x+y)*(x 2+y 2+1),y);%结果 为y3+x*y2+(x2+l)*y+x*(x12+l)3.复合函数计算格式:c o m p o s e(f,g,x,y)%返回复合函数/g(y),其中，/=/(x),g=g(y)例 5 syms x y f=l/(l+x 2*y);g=sin(y);C=compose(f,g,x,y)%结果为 1
19、/(1+sin(y)-2*y)问 题：例1.1 9 中 若C=c o m p o s e(/,g,y,x),结 果 如 何？C=c o m p o s e ,g,y,x,t)，结果又如何?4.符号表达式的展开格式：R二 expand(S)%展开符号表达式S 中每个因式的乘积。例 6 syms x y t E=expand(x-2)*(x-4)*(y-t)%结 果 为17x-2*y-x 2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*t5.符号因式分解格式：factor(S)%S 可以是正整数、符号表达式或符号整数。例 7 syms x y Fl=factor(x 4-y 4)%结果为(x-y)*(
20、x+y)*(x2+y-2)问题：若 F2=factor(sym(12345678901234567890),结果如 何？F2=(2)*(3厂2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541),分解为质因数之积。6.符号表达式的通分格式：N,D:numden(S)%将符号表达式S 中的每一元素进行通分，其中N为分子的表达式，D 为分母的表达式。例 8 syms x y N,D=numden(x/y+y/x)%结果为 N =x 2+y 2,D=x*y6.符号表达式的化简7.格式：R=simplify(S)%运用多种恒等式转换对符号表达式S 进行综合化简。例 9 sym
21、s x a b c18 R=s im p l if y(e x p(c*l o g(s q r t(a+b)%结 果 为(a+b)(l/2*c)8.搜索符号表达式的最简形式格式：r=s im p l e (S)%运 用 包 括 s im p l if y 在内的各种指令找出符号表达式S 的代数上的最简短形式，多次使用，可找到最少字母的简化式。例 io 化简 A=A+4+-+8V x x x s y m s x f=(l/x 3+6/x 2+1 2/x+8)(1/3);f l=s im p l e(f),f 2=s im p l e(f 1)f l =(2*x+l)/xf 2 =2+1/x问题：
22、分别用s im p l e,s im p l if y 命令两次化简加 =co s x +口 l iK,试比较命令s im p l e,s im p l if y 命令之间的区别和联系。9.将复杂的符号表达式显示成我们习惯的数学书写形式格式：p r e t t y(S)%用缺省的线型宽度7 9 显示符号矩阵S 中的每一元素。例 1 1 y=s y m(，l o g(x)/s q r t (x)J;19 dy=dif f(y)p r e t t y(dy)计算结果为：1/x (3/2)-l/2*l o g(x)/x (3/2)1 0.函数的反函数格式：g=f in v e r s e(/)%返
23、回 函 数 F的反函数，其 中 F为单值的一元数学函数，如/=/(x)。若/的反函数存在，设为g,则有g (x)=x。例 1 2 f=s y m(，l+3*x，);v=f in v e r s e (f)%结果为T/3+l/3*xn.符号表达式求和格式：r =匕 a,b)%对 S 中制定的符号变量y 从a到。求和。例 1 3 s y m s n r=s y m s u m (n 2,1,n)%结 果 为l/3*(n+l L3 T/2*(n+l 厂 2+l/6*n+l/6 s im p l e(r)%上式化简为 l/6*n*(n+1)*(2*n+l)问题：若4 =1,3,5,7;5,8,3,6;
24、2,0,9,7 s“m(A)结果如何(按列求和)?1 2.确定符号表达式中或矩阵中的符号变量格式：r =f i n d s y m%以字母表的顺序返回表达式S 中所有符20号变量(除了，与/)。若S 中没有任何的符号变量，则 f in ds y m 返回一空字符串。r =f i n d s y m(S,n)%从 S 中返回靠x 最近的n 个符号变量，若 大于S 中符号变量的个数，则按字母表的顺序返回符号变量。例 1 4 s y m s a x y z t s l=f in ds y m(x+i*y-j*z+e p s-n an)s 2=f in ds y m(a+t-y,2)s 3=f in
25、ds y m(a+t-y,4)s i=NaN,x,y,zs 2 二 y,ts 3 =a,t,y1 3.置换符号变量格式：s u b s(S,o l d,n e w)%用 e v v 置换 S 中的 o/d 例 1 5 s y m s a x y t S=a*s in(x)+y；Sl=s u bs(S,x,t)21 S2=s u bs(S,x,p i/3)结果为：SI=a*s in(t)+yS2 =l/2*a*3 l/2)+y1 4.字符变量、符号变量和数值变量之间的转换格式：d o u b l e d%若S是字符变量，转换为S中相应字符的A SC II值；若S是符号变量，转化为数值形式，若有非
26、数字符号(除m,n,i,j),则给出错误信息。2n u似S)%将字符变量转换为数值变量n u m 2s tr(x)%将数值变量转换为变量字符s y m(f)%将/转换为符号变量d i gi ts%设置返回有效数字个数为d的近似解精度v p a(S,d)%求符号表达式S在精度预加下的数值解e v a l(S)%执 行符号表达式S的功能例1 6 s y m s x t=l+x;x=l/31.+x s=e v al (t)%结果为1.3 3 3 3 v p a(s,7)%结 果 为1.3 3 3 3 3 3,v p a(t,7)结果为22 s y m (0,3,)s y m (0.3)do u bl
27、 e(s)%结果为0.3%结果为3/1 0%结果为1.3 3 3 3,do u bl e(t)是不合法的三、练习与思考(1 )化间：s in 2a co s s in a/(I+co s 2 a)/(I+co s )/(I-co s a)(2 )求证：co s 4 a-4 co s 2 a+3 =8 s in4 a(3)求(3 x +2/3)6展开式中系数最大的项(4)因式分解：as in2x-(2 a2-f z +l)s in x +2 a-l(5)求心in k乃，,一k=0 k=0 k=0 卜 1.4二维绘图23一、实验目的学习MATLAB软件中二维绘图的方法。二、实验内容与要求1.基本命
28、令格式 1:p l o t(X,Y)潮：以X,y对应元素为坐标绘二维图，注意，x,Y的维数要匹配。例 1 x=0 :pi/1 8:2*pi;%给出横坐标 y=s i n(x);%计算出纵坐标 P lot(x,y)%绘制图形，如 图 1.1 所示图 1.1 二维绘图I咽 ：当 X=1,5,3,7;3,6,8,4;9,6,1,5,Y=2,5,7,4;6,8,4,1;8,0,4,2时，命令 p l o t(X,Y)画出几条线，如何画出的？当 X=1,5,3,7,丫=2,5,7,4;6,8,4,1;8,0,4,2时,有何规律?当 X=1,5,3卜=2,5,7,4;6,8,4,1;8,0,4,2时,又有
29、何规律？格 式2：p.(y)%若N为m维向量，则等价于p.(x,y),其中，X1 ：m o格式3：/“的,丫 加6印1，*2，丫2，乙 加6即6,2,)%将按顺序分别回出由324个参数定乂 X j,匕,L i n e s p e Cj的线条，其中，参数L i n e s p e c,指明了线条的类型，标记符号，和画线用的颜色。说明：(1)线型，有实线，虚线，划线，点划线，例如，-就表示画实线。(2)线 条 宽 度 Li n e W i d t h ,取 值 为 整 数，例 如，Li n e W i d t h ,2就表示线宽为两个像素。(3)线条颜色，常用8 种颜色，例如，b，就表示画蓝色划线
30、。(4)标记类型，表示数据点标记的类型，常 见 1 3种，例如 就 表 示 红 色 星号。(5)标记大小Mar k e r S i z e 制定标记符号的大小尺寸，取值为整数(单位为像素).(6)标记面填充颜色 Mar k e r F ac e Color 制定用于填充标 记 符 面 的 颜 色，颜 色 配 比 方 案 见 表 L 10,例 如，Mar k e r F ac e Color ,o,i,o 就表示标记面填绿色。(7)标记周边颜色，例 如,Mar k e r F ac e Color?,k 表示周边用黑色，以上参数意义详见表1.61.1 0例 2 t=0:pi/20:2*pi;pl
31、ot (t,t.Mos (t),r*)h old on plot (e x p(t/1 0 0).*s i n (t-pi/2),-mo)25 hold o ff图形结果如图1.2所示，注意hold on表示继续在当前图形上画图。图1.2例1.49图形结果2.函数绘图格式：f u n c ti o n,limi t s)%在制定的范围l i m i ts内ifi出函数名为f u n c ti o n的一兀函数图形，其中，lim加是一个 制 定X轴范围的向量xmin,xmax或者是X轴 和y轴的范围 的 向 量 x m in,x m ax,y m in,y m ax例3 fplot(sin(3*
32、x),0,pi)%画出 x 在 0pi之间的y=sin3x的图形 fplot(sin(x),cos(x)-2*pi,2*pi)%在同一张图上绘制正弦曲线3.符号函数的绘图格式：e z p l o t(f,a,b )%绘出符号函数/从a到人区间的图形。26例4 y=s y m(c os(x);e z plot(y,-2*pi,2*pi )%画出 x在-2,2乃之间的 y =c os x 的图形。4.对数图形格式：log log(X,y)%对苫轴乃，y轴的刻度用常用对数值(以1 0 M)osemi log x(X,Y)%对x轴的刻度用常用对数值，而y轴为线性刻度。semi log y(X,Y)%对
33、y轴的刻度用常用对数值，而x轴为线性刻度。例5 x=log s pac e(-1,2);log log (x,1 0*e x p(x),-s )g r i d on图形结果见图1.27图1.3例1.5 2图形结果5.图形修饰与控制 ax i s s q u ar e形 ax i s e q u al相等 t i t le(字符串)ax i s(x mi n,x max,y mi n,y max )xmin xmax,y 轴在 y min y max x lab e lC 字符串)y lab e lC 字符串)t e x t (x,y,字符串)明文字 g r i d on g r i d of
34、f h old on h old of f le g e n d (F i r s t ,S e c on d，,n)系上的两幅图形做出图例注解 s u b plot (m,n,p)n列区域，并指定在p区绘图%将图形设置为正方%x,y轴单位刻度%图形标题%x轴 范 围 在%x轴标注%y轴标注%在(x,)1)处标注说%加网格线%消除网格线%保持当前图形%解除h o l d o n命令%对一个坐标%将当前窗口分成m行例628 s u b p l o t(2,2,1);x=0:p i/6 0:2*p i;p l o t(x,e x p(-i*x)s u b p l o t (2,2,2);f p l
35、 o t (，l o g(x)J,10,2e 3)s u b p l o t (2,1,2);p l o t (x,s i n(x),:b ,x,c o s (x),-r )l e g e n d (s i n (x),c o s (x),1)图形结果如图1.4所示。注意：第一句exp(-i*x)中虚部被忽略；第二句中2e3表示2x103,不能 用2*e3表 示；Q 不 能 用 而表 示，而 用k 5表 示。第三句中s u b p l o t(2,1,2)巧妙的将第二行整个区域画一个图；第四句的参数表示注解视窗的位置，详见表1.9图1.4例1.5 3图形结果例7将正弦曲线0 乃/2部分与轴包围
36、的封闭图形填充为蓝色。x=0:p i/6 0:2*p i;y=s i n(x);x l=0:p i/6 0:p i/2 y l=s i n(x l);p l o t (x,y,-r )29 h o l d o n f i l l(x l,p i/2,y l,0,b )11-，上=-1-，-0 8 10.6 L0.410.21 /-0.2 /“/.068 /结果如图1.5所示-，0 1 2 3 4 5 6 7图1.5例1.54图形结果问题：将上面最后一句分别 改 为创(修，必,力),川(3/2,匹,3*p i/2,0,月,0,尸)，f i l l。+p i/2,y j加)情况有何变化？问题：在
37、图 1.5 中画出红色的直角坐标系，表示颜色的向量含义见 表 1.10三、练习与思考(1)输入x =2,4,1,6,8 W”(x,体会图形特点。(2)在一幅图上画出两个周期的正弦曲线和余弦曲线，画出坐标轴，加上各种图注，并在正弦曲线(0 5/2)和横轴之间填充红色。(3)在 个窗口回出四幅图,分别绘制s i n 2x,t a n x,In x,10”的图形，并加上适当的图形修饰。附录：30表 1.6 线型定义符一.线型实 线（缺省值）双划线虚线点划线表 1.7线条颜色定义符R(r e d)G(g r e e n)B(b l u e)C(c y a n)颜色红色绿色蓝色青色定义符M(n a g
38、e n t a)Y(y e l l o e)K(b l a c k)W(w h i t e)颜色品红黄色里便白色表 1.8标记类型定义符+0 字母）*X标 记 类型加号小圆圈星号实卢八、交叉号定义符dV s y m s x a t h n;Ll=l i m i t(c o s(x)-l)/x)%在缺省状态下，计算当x0时的极限值 L2=l i m i t(l/x 3,x,0,r i g h t)L3=l i m i t(1/x,x,0,l e f t)L4=l i m i t(l o g(x+h)-l o g(x)/h,h,0)v=(1+a/x)x,e x p(x);L5=l i m i t(
39、v,x,i n f,，l e f t)L6=l i m i t(1+2/n)(3*n),n,i n f)计算结果为：LI=0L2 =i n fL3 =-i n fL4=1/xL5 =e x p (a),0 L6=e x p(6)352、求单变量函数的极值格式：x+f m i n(F,a,/?)%计算在区间”6上函数尸取最小值时的x 值。湖：在 5.3 及以上版本命令f m i n 已改为f m i n bn d,常用格式如下：X=f m i n bn d(F,a,&)%计算在区间4-6上函数/取最小值时的x 值。x,f v a l =f m i n bn d(F,a,b )%计算在区间a-6上
40、函数尸取最小值加H和对应的X值。例 2 求函数/(%)=2/一 6/-1 8%+7在区间(2,4)的极小值，并作图。f=i n l i n e(，2*x,3-6*x,2-1 8*x+7,);%建立内联函数f (x),x,f va l =f m i n bn d(f,-2,4);%求函数 f 的最小值和对应的x值，f p l o t(f,-2,4)结果为：x =3.0 0 0 0f va l =47.0 0 0 0如 图 1.1 2 所示:36图1.1 2例1.62图形结果注意 用i n l i n e建立的函数f,在f un bn d和f p l o t命令中不用加单引号，而用M函数文件建立的
41、函数则要加单引号。问题：如何求函数f的最大值？3.函数的微分格式：di f f(s,/,)对符号表达式s中指定的符号变量丫计算s的阶导数，在缺省状态下，v=f i n ds y m(s),n=l例3 s y m s x y t D i =di f f (s i n (x 2)*y 2,2)%计算与 V s i n/d x D2=di f f (Db y)外计算斗乂/布金为 dr )D3=di f f (d6,6)计算结果为:37Di 二-4*s i n(x 2)*x-2*y C2+2*c o s(x 2)*y 2D 2=-8*s i n(x 2)*x I2*y+4*c o s(x 2)*yD
42、3=72 0问题1.2 6:试一下输入di f f (”3*xA3-力*x a,2),有什么错误？为什么1.63中的di f f (D I,y),y不可以加单引号？(因 为 在 s y m s x y t 中已经定义了符号变量y.)如果A是一个造成矩阵，di f f(A)有何意义(求每一列元素的差分)？4.函数的积分(1)q u ad法数值积分格式：s =%近似地从a到b计算函数加1的数值积分，误差为1 0-6s =q u a d(f u n,a,b,to l)%用指定的绝对误差to l代替缺省误差。s =q n a d 8(f i m,a,b,)%用 图精度进行计算，效率可能比q u ad更
43、好。说明：q u ad8命令在6.x版本用q u adl代替。s =q u a d (f u n,a,b,)例438 f u n=i nl i ne(3*x,2,/(x,-2*x,2+3);%构造一函数f u n(x)=3*2 S I =q u ad(f u n,0,2)S 2 =q u adl (f u n,0,2)计算结果为：S I =3.72 2 4S 2 =3.72 2 4注意：用 i nl i ne构造函数比用f u nct i on构造函数更简单；命令q u adl 最后是字母1,不是数字l o(2)梯形法数值积分格式：T=t r ap z (x,y)%用梯形法计算丫在x点上例 5
44、 x =-1：.1：1;r =l./(l+2 5*x/2);%注意这里用点计算。T=t r ap z (x,r);%计算函数y 从T 至 U1 的积分。计算结果为：T=0.5 4 9 2注意：步长取短，结果较精确。39(3)符号函数的积分格式：R=int(S,v)%对符号表达式S中指定的符号变量丫计算不定积分。R=int匕“对表达式S中指定的符号变量v计算从a至 心的定积分。例6 syms x z t alpha 1 1=int(-2*x/(l+x-3)-2)I 2=int(x/(l+z2),z)I 3=int(12,x,a,b)%这里积分区间a,b由于没有定义，所以要加单引号 I 4=int
45、(x*log(l+x),0,1)I 5=int(exp(t),exp(alpha*t)计算结果为：I 1 =-2/9/(x+1)+2/9*lo 晨x+1)T/9*log(x-2-x+1)-2/9*3/2)*atan(1/3*(2*x-l)*3(1/2)-2*9(2*x-l)/(x 2-x+l)I 2-x*atan(z)I 3=l/2*atan(z)*(b 2-a 2)I 4=1/4I 5=exp(t),l/alpha*exp(alpha*t)问题：输入/6=intCexp人2)+log(”,l,1 0),结果较复杂，怎么办？(这时常用eval命令进一步求数值解)40 I 6=l/2*pi(1/
46、2)*erf(10)+10*log(2)+10*log(5)-9-l/2*pi(l/2)*erf(1)I 61=eval(16)I 61=14.16535.泰勒级数展开格式：taylor(/)%求 出 符 号 函 数/在 处 的5阶麦克劳林型泰勒展开式。taylor(f n,v,a)%求出符号函数/在V =a点的”-1阶麦克劳林型泰勒展开式。例7 syms a x f=a/(x-10);yl=taylor(f,x,3)%求 f 在 x=0 处的 2 阶泰勒展开式。y2=taylor(f,3,x,4)%求 f 在 x=4 处的 2阶泰勒展开式。计算结果为：yl=-l/10*a-l/100*a*x
47、-l/1000*a*x 2 y2=T/6*aT/36*a*(x-4)T/216*a*(x-4)-2416.傅里叶级数展开M ATL AB中没有专门用际傅里叶级数展开的命令，可编一个M函数文件实现。function ao,an,bn=mfourier(f)sysm n xaO=int(f,-pi,pi)/pi;an=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi;bn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi;例 8 syms x f=x 2+x;aO,an,bn =mfourier(f)计算结果为：aO;2/3*p/2 an=2*(n 2*pi 2*sin(pi*n)-2*sin
48、(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n)/rT3/pi bn=-2*(-sin(pi*n)+pi*n*cos(pi*n)/n 2/pi进一步化简：an=simple(an)结果为 2/n*pi*42s i n(p i*n)-4/p i/n 3 s i n(p i*n)+4/n 2*cos (p i*n)bn=s i mp l e(bn)%结果为 2/p i/n2*s i n(p i*n)-2/n*cos (p i*n)再经手_L 化间不难得到 an=4*(-l)An/nA2，bn=2*(-l)A(n-l)/n三、练习和思考(1)求下列函数的极限：y =(l+x)“在 x=0处的极限值;y
49、 =I n x/x 在 x趋向于正无穷的极限值。(2)求下列函数导数：y =X3+4XJ+8,y =ax +bl ogx,f =ma5-na2+mn(对a 求 2阶导数)。(3)用多种方法求下列积分，比较它们的结果：e sin(r+f 71-sin2xdx1 -ie 2 dx x2 nx2dx后k J(4)求下列函数的泰勒展开式：y =e%x=0处 6 阶麦克劳林型泰勒展开式。y =x /s i nx x=2 处 1 0阶泰勒展开式。(5)求下列函数的傅里叶展开式：y =xy =s i n2 x2四、提高内容43L积分限均为常数的二重积分格式：q=dblquad(fun,x min,x max
50、,y min,y max).q=dblquad fun,x min,x max,y min,y max,/).%指 定精度tol.说明：调用函数q u ad在区域fun,x min,x max,y min,y max 上计算二元函数z =f (x,y )的二重积分，其中，内外积分限均为数值。例9 f u n=i nl i ne(y./s i n(x)+x.*ex p (y);%建立二元函数f u n=2-+xesin x Q=db l q u a d(f u n,1,3,5,7 )计算结果为：Q =3.8 1 3 9 e +0 0 32.内积分限均为函数的二重积分方法一:q=int(int(/