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1、数学模型作业答案数学模型作业答案第二章第二章 1201212012 年年 1212 月月 2121 日日1 1 学校共 1000 名学生,235 人住在 A 宿舍,333 人住在 B 宿舍,432 人住在 C 宿舍.学生们要组织一个 10 人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数：1.按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;2.1 中的 Q 值方法；3.dHondt 方法：将 A、B、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,相除,其商数如下表：ABC将所得商数从大到小取前10 个 10 为席位数,在数字下标以横线,表中 A、B、C 行有横线的数分别为 2,3,5,这就是
2、 3 个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗如果委员会从10个人增至15人,用以上3种方法再分配名额,将3种方法两次分配的结果列表比较.解：解：先考虑 N=10 的分配方案,p1 235,p2 333,p3 432,方法一按比例分配方法一按比例分配q1 1 2 3 4 5235 117.5 78.3 58.75333 166.5 111 83.25432 216 144 108 86.4pi13i1000.p1Npi13 2.35,q2ip2Npi13 3.33,q3p3Nipi13 4.32i分配结果为：n13,n23,n34方法二方法二 Q Q 值方法值方法9 个席位的分配结果可用按比
3、例分配为：n1 2,n2 3,n3 4第 10 个席位：计算 Q 值为235233324322Q1 9204.17,Q2 9240.75,Q3 9331.2233445Q3最大,第 10 个席位应给 C.分配结果为n1 2,n2 3,n3 5方法三方法三 d dHondtHondt 方法方法此方法的分配结果为：n1 2,n2 3,n3 5此方法的道理是：此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位 i=1,2,3 代表 A、B、C 宿舍.pi是每ni席位代表的人数,取ni1,2,从而得到的pip中选较大者,可使对所有的i,i尽量接近.nini再考虑N 15的分配方案,类似地可得名额分配结果
4、.现将 3 种方法两次分配的结果列表如下：宿舍1 2 3ABC 3 2 2 3 3 3 4 5 51 2 34 4 35 5 56 6 715 15 15总计 10 10 102 2 试用微积分方法,建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型.解：解：设录像带记数器读数为n 时,录像带转过时间为 t.其模型的假设见课本.考虑t到t t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度,可得vdt (r wkn)2kdn,两边积分,得t0vdt 2k(r wkn)dn0n2rkwk22n2 vt 2 k(r n wk)t n n.2vv数学模型作业解答数学模型作业解答第三章第三章 1200812008 年年 1
5、010 月月 1414 日日1.1.在 3.1 节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样,而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少解：解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本10对于不允许缺货模型,每天平均费用为：C(T)c1c2rTkrT2cc rdC 122dT2T令dC 0,解得T*dT2c1c2r2c1rc2由Q rT,得Q rT与不考虑购货费的结果比较,、的最优结果没有变20对于允许缺货模型,每天平均费用为：c2Q2c31(rT Q)2 kQC(T,Q)c1T2r2rc1c2Q2
6、c3rc3Q2kQC 2T22rT2T2T2rT2c QkCc2Qc33QrTrTTC 0T令,得到驻点：C 0QQT2c1c2 c3k2rc2c3c2c322c3k r2c1rc3krc2c2 c3c2(c2 c3)c2 c3与不考虑购货费的结果比较,、的最优结果减少2 2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k,销售速率为常数r,k r在每个生产周期内,开始的一段时间0 t T0一边生产一边销售,后来的一段时间(T0 t T)只销售不生产,画出贮存量g(t)的图形.设每次生产准备费为c1,单位时间每件产品贮存费为c2,以总费用最小为目标确定最优生产周期,讨论k r和k r的情况.
7、解：解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下：Ongk rg(t)rT0TTt贮存费为c2limt0g(i)ti c2g(t)dt c2i10(k r)T0T2又(k r)T0 r(T T0)T0rr(k r)T TT,贮存费变为c2k2k于是不允许缺货的情况下,生产销售的总费用单位时间内为c1c2r(k r)T2c1r(k r)T c2C(T)T2kTT2kcdCr(k r)12 c2.dT2kT令2c1kdC 0,得TdTc2r(k r)易得函数C(T)在T 处取得最小值,即最优周期为：T2c1kc2r(k r)当k r时，T2c1.相当于不考虑生产的情况.c2r当k r时，T .此时产量与
8、销量相抵消,无法形成贮存量.第三章第三章 2200822008 年年 1010 月月 1616 日日3 3在 3.3 节森林救火模型中,如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势b有关,试假设一个合理的函数关系,重新求解模型.解：解：考虑灭火速度与火势b有关,可知火势b越大,灭火速度将减小,我们作如下假设:(b)k,b 1中的1是防止b 0时 而加的.分母b 1c1t12c12t12(b1)c2t1x(b1)总费用函数Cxc3x22(kxb)kxb最优解为x c kb12 2c2b(b 1)(b 1)(b 1)2k2c3k5 5在考虑最优价格问题 时设销售期为 T,由于商品的损耗,成本q随时
9、间增长,设q(t)q0t,为增长率.又设单位时间的销售量为x a bp(p为价格).今将销售期分为0 t T和T22tT两段,每段的价格固定,记作p1,p2.求p1,p2的最优值,使销售期内的总利润最大.如果要求销售期 T 内的总售量为Q0,再求p1,p2的最优值.解：解：按分段价格,单位时间内的销售量为Ta bp1,0 t 2x Ta bp2,t T2又q(t)q0t.于是总利润为(p1,p2)T20p1 q(t)(a bp1)dt Tp2 q(t)(a bp2)dt2TTT=(a bp1)p1t q0t t22(a bp2)p2t q0t t2T2202p1Tq0TT2p2Tq0t3T2)
10、(a bp2)()=(a bp1)(228228 p1Tq0TT2T b()(a bp1)p12282p2Tq0t3T2 T b()(a bp2)p22282令 0,0,得到最优价格为:p1p21 T p a b(q)012b413Tp2a b(q0)2b4在销售期 T 内的总销量为Q0(a bp1)dt T(a bp2)dt aT 2T20TbT(p1 p2)2于是得到如下极值问题：p1Tq0TT2p2Tq0t3T2max(p1,p2)(a bp1)()(a bp2)()228228s.taT bT(p1 p2)Q02利用拉格朗日乘数法,解得：aQ0Tp 1bbT8aQ0Tp2bbT8即为p
11、1,p2的最优值.第三章第三章 3200832008 年年 1010 月月 2121 日日6.6.某厂每天需要角钢 100 吨,不允许缺货.目前每 30 天定购一次,每次定购的费用为 2500元.每天每吨角钢的贮存费为 0.18 元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略 改变后能节约多少费用解：解：已知：每天角钢的需要量r=100 吨;每次订货费c12500 元;每天每吨角钢的贮存费c20.18 元.又现在的订货周期T030 天根据不允许缺货的贮存模型：C(T)得：C(T)c11c2rTkrT225009T100kTdC2500 2 9dTT25005093令dC 0,解得：
12、T*dT*5050即订货周期为时,总费用将最小.333250050*又C(T)9100k300100k5032500C(T0)930100k=35333100k302C(T0)C(T*)353.33100k300100k5333.350*故应改变订货策略.改变后的订货策略周期为T=,能节约费用约 5333 元.3由实际意义知：当T数学模型作业解答数学模型作业解答第四章第四章 20082008 年年 1010 月月 2828 日日1.1.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A原料 1 千克,B原料 5 千克；一件乙产品用A原料 2 千克,B原料 4 千克.现有A原料 20 千克,B原料 70 千
13、克.甲、乙产品每件售价分别为 20 元和 30 元.问如何安排生产使收入最大解：解：设安排生产甲产品 x 件,乙产品 y 件,相应的利润为 S则此问题的数学模型为：max S=20 x+30yx 2y 20s.t.5x 4y 70 x,y 0,x,yZ这是一个整线性规划问题,现用图解法进行求解可行域为：由直线l1：x+2y=20,l2:5x+4y70l2y以及 x=0,y=0 组成的凸四边形区域.直线l：20 x+30y=c 在可行域内l平行移动.易知：当l过l1与l2的交点时,l1xS 取最大值.由x 2y 20 x 10解得5x 4y 70y 5此时Smax2010305350 元2.2.
14、某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物,每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物甲乙体积立方米/箱54重量百斤/箱25利润百元/箱2010已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米,重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱,使得所获利润最大,并求出最大利润.解解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1,x2,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为max z 20 x110 x25x1 4x2 24st2x15x213x,x 0,x,yZ12这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为：由直线l1:5x1 4x2 24l2:2x15x213及x1 0,x2 0组成直线l:20 x110 x2
15、 c在此凸四边形区域内平行移动x2.l1l2x1l易知：当l过l1与l2的交点时,z取最大值由5x12x1 4x2 245x213解得x1x2 41zmax 204101 90.3 3某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为 3 和 2 个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2 和 3个单位,所需工时分别为 4 和 2 个单位.若允许使用原料为 100 个单位,工时为 120 个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6 台和 12 台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大并求出最大利润.解解：设安排生
16、产甲型微波炉x件,乙型微波炉y件,相应的利润为 S.则此问题的数学模型为：max S=3x+2y2x 3y 100s.t.4x 2y 120 x 6,y 12,x,yZ这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为：由直线l1：2x+3y=100,l2:4x+2y120及 x=6,y=12 组成的凸四边形区域.直线l：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l过l1与l2的交点时,S 取最大值.由2x 3y 100解得4x 2y 120 x 20.y 20Smax320 220100.数学模型作业解答数学模型作业解答第五章第五章 1200812008 年年 1111 月月 1212
17、 日日1.1.对于 5.1 节传染病的SIR模型,证明：1若s0 2若s011,则i(t)先增加，在s 1s(t)单调减少至s.处最大,然后减少并趋于零；解：解：传染病的SIR模型 14 可写成,则i(t)单调减少并趋于零，s(t)单调减少至s.didti(s 1)ds sidtdsds由 si,知 0.s(t)单调减少.而s(t)0.lims(t)s存在.tdtdt故s(t)单调减少至s.1若s0当1.由s(t)单调减少.s(t)s0.di 0,i(t)单调增加;dt1di当s 时,s 1 0.0,i(t)单调减少.dt s s0时,s 1 0.1又由书上(18)式知i 0.即limi(t)
18、0.tdi 0.i(t)达到最大值im.dt11di2若s0,则st,从而s-1 0.0.dt当s 1时,it单调减少且limit 0.即i 0.t4 4在 5.3 节正规战争模型 3 中,设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力x0与y0相同.1 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.a 4.b 2 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解解:用xt,yt表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:dxdt aydy bx,1dtx0 x,y0 y00现求 1 的解:1 的系数矩阵为A 0ab0E A a2a
19、b 0.1,2 abb2 2，11 2C21e 1,2对应的特征向量分别为xt21的通解为yt C11e再由初始条件,得abtabt.xxt 0 y0e2dybx.dxayabt x0 y0e2abt2又由1可得2222其解为ay bx k,而k ay0bx031当xt1 0时，yt1ka22ay0bx0b3 y01y0.aa2即乙方取胜时的剩余兵力数为3y0.2又令xt1 0,由（2）得 x0 y0e2abt1 x0 y0e2abt10.注意到x0 y0,得e2abt1x0 2y02.e2y0 x0abt1 3,t1ln3.4b2 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则dxdt
20、ay rdy bx4dtx(0)x,y0 y00由4得dx ay r,即bxdx aydy rdy.相轨线为ay2 2ry bx2 k,dybxr r2222k ay02ry0bx.0或a y bx k.此相轨线比书图 11 中的轨线上移了aa2rr b2r2.乙方取胜的条件为k 0,亦即 y0 x02.aaaa2第五章第五章 2200822008 年年 1111 月月 1414 日日6.6.模仿 5.4 节建立的二室模型来建立一室模型只有中心室,在快速静脉注射、恒速静脉滴注持续时间为和口服或肌肉注射 3 种给药方式下求解血药浓度,并画出血药浓度曲线的图形.中心室f0tCt,xtV,排除V,k
21、t容积为解解:设给药速率为f0t,中心室药量为xt,血药浓度为C排除速率为常数k,则x/t kxt f0t,xtVCt.1 快速静脉注射:设给药量为D0,则f0t 0,C0D0D,解得Ct0ek t.VV2 恒速静脉滴注持续时间为:设滴注速率为k0，则f0t k0,C0 0,解得k0kt,0 t 1eVkCtk01ektekt,t Vk3 口服或肌肉注射:f0t k01D0ek01t见5.4节（13）式，解得k01D0k01tktee,k k01Vk01 kCtkDtekt,k k01V3 种情况下的血药浓度曲线如下：123Ot第五章第五章 3200832008 年年 1111 月月 1818
22、 日日8.8.在 5.5 节香烟过滤嘴模型中,1 设M 800mg,l1 80mm,l2 20mm,b 0.02,0.08,50mm/s,a 0.3求Q和Q1/Q2.2 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到l1处的情况下,进入人体毒物量的区别.解解aw0vQ/ea bl2va bl10.08200.70.02800.31050v50501e 229.857563(毫克)e1e0.70.02/其中w0 M/l110,Q1 eQ2bl2v e0.080.022050 0.97628571a blaw0v2 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为Q31eva baw0vv2
23、1e只吸到l1处就扔掉的情况下的毒物量为Q4ea bblabl1va blblabl0.021000.30.02100e1evQ3eveve50e50e0.04e0.012bl10.02800.0321.256531719.abl10.30.02800.0096bl1abl1Q4eevvve50e50e1eveeblvQ3 295.84,4 235.444 4在 5.3 节正规战争模型 3 中,设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力x0与y0相同.1 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.a 4.b 2 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断
24、双方的胜负.解解:用xt,yt表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:dxdt aydy bx,1dtx0 x,y0 y00现求 1 的解:1 的系数矩阵为A 0ab0E A a2ab 0.1,2 abb1,2对应的特征向量分别为2 2 ，1 12C21e xt21的通解为 C1yt1e再由初始条件,得abtabt.xxt 0 y0e2dybx.dxayabt x0 y0e2abt2又由1可得2222其解为ay bx k,而k ay0bx031当xt1 0时，yt1ka22ay0bx0b3 y01y0.aa2即乙方取胜时的剩余兵力数为3y0.2又令xt1 0,由（2）
25、得 x0 y0e2abt1 x0 y0e2abt10.注意到x0 y0,得e2abt1x0 2y02.e2y0 x0abt1 3,t1ln3.4b2 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则dxdt ay rdy bx4dtx(0)x,y0 y00由4得dx ay r,即bxdx aydy rdy.相轨线为ay2 2ry bx2 k,dybxr r2222k ay02ry0bx.0或a y bx k.此相轨线比书图 11 中的轨线上移了aarr b2r2.乙方取胜的条件为k 0,亦即 y0 x02.aaaa22数学模型作业解答数学模型作业解答第六章第六章 20082008 年年 11
26、11 月月 2020 日日1.在 6.1 节捕鱼模型中,如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律,而单位时间捕捞量为常数 h1 分别就h rN/4,h rN/4,h rN/4这 3 种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况2 如何获得最大持续产量,其结果与 6.1 节的产量模型有何不同解解：设时刻 t 的渔场中鱼的数量为xt,则由题设条件知：xt变化规律的数学模型为dx(t)x rx(1)hdtN记F(x)rx(11.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由Fx 0,得rx(1即x)hNx)h 0Nr2x rx h 01Nr24rh4hr(r),NN4hNrNN 11 的解为：x1,22
27、当h rN/4,0,1 无实根,此时无平衡点；当h rN/4,0,1 有两个相等的实根,平衡点为x0N.2xrx2rx,F(x0)0不能断定其稳定性.)rNNNdxxrN但x x0及x x0均有F(x)rx(1)0,即0 x0不稳定；N4dtF(x)r(1当h rN/4,0时,得到两个平衡点：N 1x1易知：x14hNrNN 1,x24hNrN22NN,x2,F(x1)0,F(x2)022平衡点x1不稳定,平衡点x2稳定.2 最大持续产量的数学模型为maxhs.t.F(x)0 x即maxhrx(1),NNrN*x1x2易得x0此时h,N/224N*但x0这个平衡点不稳定这是与6.1 节的产量模
28、型不同之处2要获得最大持续产量,应使渔场鱼量x h rN/4h rN/4h rN/4rx1 x/NxNNN,且尽量接近,但不能等于2222.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：xt rxln中 r 和 N 的意义与 Logistic 模型相同N 其x设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,且单位时间捕捞量为h Ex 讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0解：xt变化规律的数学模型为*dxtN rxln Exdtx记F(x)rxlnNExxEN 令Fx 0,得rxln Ex 0 x0 Ner,x1 0 x
29、平衡点为x0,x1.又Fx rlnN r E,Fx0 r 0,Fx1 x平衡点xo是稳定的,而平衡点x1不稳定.yNxy ExrxlnrN最大持续产量的数学模型为：0ey fxNex0 xmaxh ExNs.t.rxln Ex 0,x 0.x由前面的结果可得h ENeErEEdhENrdh Nere,令 0.dErdE得最大产量的捕捞强度Emr从而得到最大持续产量hm rN/e,此时渔场鱼量水平*x0Nedx(t)x rx(1)dtN其中r为固有增长率,N为环境容许的最大鱼量.而单位时间捕捞量为常数h.3设某渔场鱼量x(t)时刻t渔场中鱼的数量的自然增长规律为：1 求渔场鱼量的平衡点,并讨论其
30、稳定性;2 试确定捕捞强度Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,求此时渔场鱼量水平x0.解：1 x(t)变化规律的数学模型为00*0记f(x)rx(1x)hNdx(t)x rx(1)hdtNxrx(1)h 0,令N,即r24rh4hx rx h 0-1r2r(r),1 的解为：x1,2NNN 当 0时,1 无实根,此时无平衡点；N 124hNrN 当 0时,1 有两个相等的实根,平衡点为x0N.2xrx2rx,f(x0)0不能断定其稳定性.)rNNNxrNdx但x x0及x x0均有f(x)rx(1)0,即0 x0不稳定；N4dtf(x)r(1 当0时,得到两个平衡点：N N 1x1易知
31、x14hrNN N 1,x24hrN22NN,x2f(x1)0,f(x2)022平衡点x1不稳定,平衡点x2稳定.20最大持续产量的数学模型为：即maxhrx(1maxhs.t.f(x)0 xNrNN*,但x0这个平衡点不稳定.),易得x0此时hN242NNN要获得最大持续产量,应使渔场鱼量x,且尽量接近,但不能等于.222数学模型第七章作业数学模型第七章作业20082008 年年 1212 月月 4 4 日日1对于 7.1 节蛛网模型讨论下列问题：1 因为一个时段上市的商品不能立即售完,其数量也会影响到下一时段的价格,所以第k 1时段的价格yk1由第k 1和第k时段的数量xk 1和xk决定,
32、如果仍设xk1仍只取决于yk,给出稳定平衡的条件,并与 7.1 节的结果进行比较.2已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk,其中 1 个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk f(xk)和xk1 g(yk yk1).试建立关于商品数量的差分方程模型,并讨论稳定平衡条件.23 已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk,其中 1 个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk1 f(xk1 xk)和2xk1 g(yk).试建立关于商品数量的差分方程模型,并讨论稳定平衡条件.数学模型作业解答数学模型作业解答第七章第七章 200820
33、08 年年 1212 月月 4 4 日日2 对于 7.1 节蛛网模型讨论下列问题：1 因为一个时段上市的商品不能立即售完,其数量也会影响到下一时段的价格,所以第k 1时段的价格yk1由第k 1和第k时段的数量xk 1和xk决定,如果仍设xk1仍只取决于yk,给出稳定平衡的条件,并与 7.1 节的结果进行比较.2 若除了yk1由xk 1和xk决定之外,xk 1也由前两个时段的价格yk和yk1确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：解：1 由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：x xk yk 1 f(k 1)2xk 1 h(yk)在P0(x0,y0)点附近用直线来近似曲线f,h,得到x xk
34、 yk 1 y0(k 1 x0),0(1)2 0(2)xk 1 x0(yk y0),由 2 得xk2 x0(yk1 y0)(3)1 代入 3 得xk2 x0(xk1 xk x0)22xk2xk1xk 2x0 2x0对应齐次方程的特征方程为202特征根为1,2()284当 8时,则有特征根在单位圆外,设 8,则1,2()28()242421,21 2即平衡稳定的条件为 2与P207的结果一致.2 此时需求函数、供应函数在P0(x0,y0)处附近的直线近似表达式分别为：xk1 xk x0),0 (4)yk1 y0(2yk yk 1xk1 x0(y0),0(5)2由 5 得,2(xk3 x0)(yk
35、2 y0 yk1 y0)(6)将 4 代入 6,得2(xk3 x0)(xk2 xk1x xk x0)(k1 x0)224xk 3xk 2 2xk 1xk 4x0 4x0对应齐次方程的特征方程为4 2 0(7)32代数方程 7 无正实根,且,不是 7 的根.设 7 的三个非零根分别为241,2,3,则 2314 1223312123 4对 7 作变换：312,则 p q 0,1221 83322),q()其中p(234124126q132q用卡丹公式：2 w32q23 w32其中w qpqqp()2()33()2()323223qpqqp()2()3 w23()2()323223qpqqp()2
36、()3 w3()2()3232231i 3,2求出1,2,3,从而得到1,2,3,于是得到所有特征根1的条件.2已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk,其中 1 个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk f(xk)和xk1 g(于商品数量的差分方程模型,并讨论稳定平衡条件.解解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk f(xk)和xk1 g(yk yk1).试建立关2yk yk1).2设曲线f和g相交于点P0(x0,y0),在点P0附近可以用直线来近似表示曲线f和g：yk y0(xk x0),0-1xk1 x0(yk yk1 y0),0-22从上述两式中消
37、去yk可得2xk2xk1xk 2(1)x0,k 1,2,-3上述 3 式是我们所建立的差分方程模型,且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求P0点稳定平衡条件,我们考虑 3 对应的齐次差分方程的特征方程：2 0容易算出其特征根为21,2()28 -44当8 时,显然有()28 -52 44从而22,2在单位圆外下面设 8,由 5 式可以算出1,2要使特征根均在单位圆内,即21,21,必须 2故P0点稳定平衡条件为 23已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk,其中 1 个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk1 f(关于商品数量的差分方程模型,并讨论稳定平
38、衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk1 f(xk1 xk)和xk1 g(yk).试建立2xk1 xk)和xk1 g(yk).2设曲线f和g相交于点P0(x0,y0),在点P0附近可以用直线来近似表示曲线f和g：yk1 y0(xk1 xk x0),0-12xk1 x0(yk y0),0-2由 2 得xk2 x0(yk1 y0)-31 代入 3,可得xk2 x0(xk1 xk x0)22xk2xk1xk 2x0 2x0,k 1,2,-4上述 4 式是我们所建立的差分方程模型,且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求P0点稳定平衡条件,我们考虑 4 对应的齐次差分方程的特征方程：2
39、0容易算出其特征根为21,2()28 -44当8 时,显然有()28 -52 44从而22,2在单位圆外下面设 8,由 5 式可以算出1,2要使特征根均在单位圆内,即21,21,必须 2故P0点稳定平衡条件为 2数学模型作业解答数学模型作业解答第八章第八章 20082008 年年 1212 月月 9 9 日日1 证明 8.1 节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质：1A的秩为 1,唯一非零特征根为n；2A的任一列向量都是对应于n的特征向量.证明：证明：1 由一致阵的定义知：A满足aijajk aik,i,j,k 1,2,n于是对于任意两列i,j,有aik aij,k 1,2,n.即i列与
40、j列对应分量成比例.ajk从而对A作初等行变换可得：b11b1200初等行变换A00b1n0 B0这里B 0.秩B1,从而秩A1再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P,使PA B,于是c11c120011PAP BP00c1n0C0易知 C 的特征根为c11,0,0只有一个非零特征根.又AC,A与C有相同的特征根,从而A的非零特征根为c11,又对于任意矩阵有12nTrAa11a22ann111n.故 A 的唯一非零特征根为n.2 对于 A 的任一列向量a1k,a2k,ank,k 1,2,nT有Aa1k,a2k,ankTnna aa1jjk1kjn1jn1na1ka aana2k2
41、 jjk 2k na,a,aT 1k2knkj1j1 nnnaa aanknjjknkj1j1TA的任一列向量a1k,a2k,ank都是对应于n的特征向量.7.右下图是 5 位网球选手循环赛的结果,作为竞赛图,它是双向连通的吗 找出几条完全路径,用适当方法排出 5 位选手的名次.解：这个 5 阶竞赛图是一个 5 阶有向 Hamilton 图.其一个有向 Hamilton 圈为 31 4 5 2 3.所以此竞赛图是双向连通的.132544 5 1 2 33 1 4 5 2等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为2 4 5 315 31 2 400A 101T10100110000001011100令
42、e 1,1,1,1,1,各级得分向量为S1 Ae 2,2,1,2,3,S2 AS14,3,2,4,5,TTS3 AS27,6,4,7,9,S4 AS313,11,7,13,17TT由此得名次为 5,14,2,3选手 1 和 4 名次相同.注：注：给 5 位网球选手排名次也可由计算A 的最大特征根和对应特征向量S得到：T1.8393,S 0.2137,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769数学模型作业数学模型作业 1212 月月 1616 日解答日解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素,拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个,画出目标为“
43、越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层越海方案的最优经济效益准则层省收岸 间当地建 筑时入商 业商业就 业方案层建桥梁修隧道设渡轮2.简述层次分析法的基本步骤.问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪 3 个层次 具体内容分别是什么答答：层次分析法的基本步骤为：1建立层次结构模型；2构造成对比较阵；3计算权向量并做一致性检验；4计算组合权向量并做组合一致性检验 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题,用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这 3 个层次.目标层是选择工作岗位,方案层是工作岗位 1、工作岗位 2、工作岗位 3 等,准则层一般为贡献、收入、
44、发展、声誉、关系、位置等.3用层次分析法时,一般可将决策问题分解成哪 3 个层次 试给出一致性指标的定义以及 n阶正负反阵 A A 为一致阵的充要条件.答：答：用层次分析法时,一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这 3 个层次；一致性指标的定义为：CI nn1n 阶正互反阵 A 是一致阵的充要条件为：A 的最大特征根=n第九章第九章 20082008 年年 1212 月月 1818 日日1在9.1节传送带效率模型中,设工人数n固定不变.若想提高传送带效率 D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m,比如增加一倍,其它条件不变另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子,
45、其它条件不变,于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子,只要其中一只是空的,他就可以挂上产品,这种办法用的钩子数量与第一种办法一样试推导这种情况下传送带效率的公式,从数量关系上说明这种办法比第一种办法好解：解：两种情况的钩子数均为2m第一种办法是2m个位置,单钩放置2m个钩子；第二种办法是m个位置,成对放置2m个钩子 由9.1节的传送带效率公式,第一种办法的效率公式为n2m1 D 11n2m当n较小,n1时,有2mD 2m 1nn1n11 112n2m4m8mn4mD 1 E,E 下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m个位置,每个位置放置的两只钩子称为一个钩对,考虑一个周期内通过的m个钩
46、对1；m1任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1；m11记p,q 1由工人生产的独立性及事件的互不相容性得,任一钩对为空的mm任一只钩对被一名工人接触到的概率是概率为q,其空钩的数为2m；任一钩对上只挂上件产品的概率为npqnn1,其空钩数为m所以一个周期内通过的2m个钩子中,空钩的平均数为2mq mnpqnn1 m 2qn npqn1于是带走产品的平均数是2m m 2q npqnn1,未带走产品的平均数是n 2m m 2q npq此时传送带效率公式为nn1nn12m m2qn npqn1m1 n 1 2 21 1Dnnmmm 近似效率公式：1 nnn 11nn1n 21由于1 123m2m6
47、mmn1 1mn11n1n1n212m2mD1n 1n 26m2n2当n1时,并令E1 D,则E26m 两种办法的比较：n2n由上知：E,E26m4mE/E 2n2n,当m n时,1,E E3m3m所以第二种办法比第一种办法好数学模型作业解答数学模型作业解答第九章第九章 20082008 年年 1212 月月 2323 日日一报童每天从邮局订购一种报纸,沿街叫卖.已知每 100 份报纸报童全部卖出可获利7 元.如果当天卖不掉,第二天削价可以全部卖出,但报童每 100 份报纸要赔 4 元.报童每天售出的报纸数r是一随机变量,其概率分布如下表：售出报纸数r百份概率P(r)000510.120.25
48、30.3540.1550.1试问报童每天订购多少份报纸最佳订购量必须是100 的倍数解：解：设每天订购n百份纸,则收益函数为7r(4)(nr)r nf(r)r n7n收益的期望值为 Gn=(11r 4n)P(r)+7nP(r)r0rn1n现分别求出n=0,1,2,3,4,5时的收益期望值.G0=0；G1=40.05+70.1+70.25+0.35+0.15+0.1=6.45;G2=80.05 30.1140.2514(0.35 0.15 0.1)11.8;G3=120.05 10.1100.25 210.35 21(0.15 0.1)14.4G4=160.0550.160.25170.35 2
49、80.15 280.113.15G5=200.05 90.1 20.25130.35 240.15350.1 10.25当报童每天订 300 份时,收益的期望值最大.数模复习资料数模复习资料第一章第一章1.原型与模型原型原型就是实际对象.模型模型就是原型的替代物.所谓模型模型,按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.直观模型形象模型物理模型模型思维模型抽象模型符号模型数学模型2.数学模型如玩具、照片等如某一试验装置如某一操作如地图、电路图对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学d2
50、x结构,称为此实际问题的一个数学模型数学模型.例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式F mdt2述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口N方程来描t随时间t自由增长过程的微分dNt rNt.dt所谓数学建模数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模数学建模是指对3.数学建模于现实世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构数学模型,运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.数学建模过程流程图为：数学建模过程流程图为：实际