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1、数学模型与实验报告 姓名：王珂 班级：121111 学号：20211002442 指导教师：沈远彤数学模型与实验一、数学规划模型 某企业将铝加工成A,B两种铝型材，每5吨铝原料就能在甲设备上用12小时加工成3吨A型材，每吨A获利2400元，或者在乙设备上用8小时加工成4吨B型材，每吨B获利1600元。现在加工厂每天最多能得到250吨铝原料，每天工人总工作时间不能超过为480小时，并且甲种设备每天至多能加工100吨A，乙设备加工能力没有限制。 1请为该企业制定一个生产方案，使每天获利最大。 2假设用1000元可买到1吨铝原料，是否应该做这项投资？假设投资，每天最多购置多少吨铝原料？ 3如果可以聘
2、用临时工人以增加劳动时间，付给工人工资最多是每小时几元？ 4如果每吨A型材获利增加到3000元，应否改变生产方案？ 题目分析：每5吨原料可以有如下两种选择：1、 在甲机器上用12小时加工成3吨A每吨盈利2400元2、 在乙机器上用8小时加工成4吨B每吨盈利1600元限制条件：原料最多不可超过250吨，产品A不可超过100吨。工作时间不可超过480小时线性规划模型：设在甲设备上加工材料为x1吨，在乙设备上加工原材料为x2吨，获利为z，由题意易得约束条件有：Max z = 7200x1/5 +6400x2/5x1 + x2 25012x1/5 + 8x2/5 48003x1/5 100, x2 0
3、用LINGO求解得：VARIABLE VALUE REDUCED COSTROW SLACK OR SURPLUS DUAI PRICE做敏感性分析为：VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COFF INCREASE DECREASE ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE1、 可见最优解为x1=100，x2=150，MAXz=336000。因此最优解为在甲设备上用100吨原料生产A产品，在乙设备上用150吨原料生产B产品。最大盈利为336000.2、 由运算结果看约束条件1原料影子价格是9
4、60，即每增加1吨原料可收入960，小于1000元，因此不购入。3、 同理可得，每小时影子价格是40元，因此聘用员工工资不可超过每小时40元。4、由敏感性分析可得，在最优解不变前提下，x1予许变化范围上限是1920，下限是1280。假设每吨A获利增加到3000，价值系数变为1800，在允许范围内，所以保持原方案不变。二、微分方程模型 在鱼塘中投放n0尾鱼苗，随着时间增长，尾数将减少而每尾重量将增加。设尾数n(t)(相对)减少率为常数; 由于喂养引起每尾鱼重量增加率与鱼外表积成正比，由于消耗引起每尾鱼重量减少率与重量本省成正比。分别建立尾数和每尾鱼重微分方程，并求解。用控制网眼方法不捕小鱼，到时
5、刻T才开场捕捞，捕捞能力用尾数相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是En(t)。问如何选择T和E，使从T开场捕获量最大。根本假设：1.鱼塘里鱼无繁殖，且不会自然死亡。2.鱼苗尾数相对减少率为常数。3.由于喂养引起每尾鱼重量增加率与其外表积成正比；由于消耗引起每尾鱼重量减少率与本身重量成正比。4.将鱼简化为椭球体，且其密度分布均匀，初始状态一样。符号表示符号符号说明鱼塘内初始时刻鱼尾数鱼塘内每条鱼初始时刻重量鱼塘内t时刻鱼尾数鱼塘内每尾鱼t时刻重量尾数相对减少率重量增加率与外表积比例重量减少率与重量本身比例初始时刻每尾鱼外表积t时刻每尾鱼外表积捕捞能力单位时间捕获量捕获量最大时刻渔网网眼面积
6、椭球体长半轴长椭球体宽半轴长椭球体高半轴长鱼体密度标准正态分布函数鱼群外表积均值鱼群外表积分布方差椭球体体积模型建立：由根本假设：鱼苗尾数相对减少率为常数，那么可得以下微分方程： 由根本假设：由于喂养引起每尾鱼重量增加率与其外表积成正比；由于消耗引起每尾鱼重量减少率与重量本身成正比。可得以下微分方程： 又因为要通过设定渔网网格面积来确定最大捕获量，而渔网网格面积由每尾鱼最小横截面相关，又每尾鱼横截面面积与鱼外表积相关。由根本假设中鱼群外表积服从正态分布，即： 其中为均值，为方差。那么在此条件下： 又由 得： 模型求解：关于鱼尾数随时间变化微分方程组：可直接求解得： 又椭球体体积为： 外表积近似
7、为： 又 那么可得： 那么将式代入式可得： 又所以求解可得: 不妨设，那么： 此时 那么 由根本假设服从正态分布，那么其中为标准正态分布函数那么由此将渔网网眼面积和单位时间最大捕获量联系起来，此时仅需将通过调查将函数进展研究，进而使得取得最大值，那么此时取得最大值又那么可通过查找标准正态分布表求得结论。三、统计回归模型 下表列出了某城市18位35岁44岁经理年平均收入千元，风险偏好度和人寿保险额千元，其中风险偏好度是根据发给每个经理问卷调查表综合评估得到，它数值越大，就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段中经理所投保人寿保险额与年平均收入及风险偏好度之间关系。研究者预计，经理年均收入和人寿保险
8、额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。请你通过表中数据来建立一个适宜回归模型，验证上面看法，并给出进一步分析。序号序号119671049526351110523252101298748461377451264141436145155657494162451849617133892669181336数学模型解：为大致分析y与x1和x2关系，首先利用表1数据分别作出y对于x1和x2散点图见图1和图2中圆点 x1=66.290 40.964 72.996 45.010 57.2
9、04 26.852 38.122 35.840 75.796 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916; y1=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133; p=polyfit(x1,y1,2)p = 3.0246e-002 1.7886e+000 -6.0524e+001 x2=0:0.01:85;y2=polyval(p,x2); plot(x1,y1,o,x2,y2) 散点图从图中可以发现，随着增加，值有明显向上弯曲二次增长趋
10、势，图中曲线是用二次函数模型 1拟合。其中是随机误差 x3=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6; q=polyfit(x3,y1,1)q = 1.3522e+001 3.8743e+001 x4=0:0.01:15;y3=polyval(q,x4); plot(x3,y1,o,x4,y3) 从图中可以发现，随着增加，值比拟明显线性增长趋势，图中曲线是用线性函数模型 2拟合。其中是随机误差综合上面分析，结合模型1和2建立如下回归模型 33式右端和称为回归变量，是给定年平均收入、风险偏好度时，人寿保险额值，其中参数称为回归系数。还有影响其它因素作用都包含在随机
11、误差中。模型求解：使用MATLAB统计工具箱命令regress求解，求解过程如下 x1=66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.796 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916;x2=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6; x3=x1.*x1; x0=ones(18,1); x=x0 x1 x2 x3;y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14
12、56 245 133 133; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05)b = -6.2349e+001 5.6846e+000bint = -7.3503e+001 -5.1195e+001 3.9515e-001 1.2840e+000 5.2604e+000 6.1089e+000stats = 9.9958e-001 1.1070e+004 7.4095e-024 3.2518e+000由此得到模型3回归系数估计值及其置信区间置信水平、检验统计量结果见下表参数参数估计值参数置信区间-73.503 -51.1950.39515 1.28405.2604 6.10890.033006 0.041157 =0.99958 =11070 =结果分析：=0.99958 指因变量保险额99.958%可由模型确定，值远远超过检验临界值，远小于，因此模型3从整体来看是可用。