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1、数学模型与实验第1页，本讲稿共78页函数的数值表达初等函数的数值直接表示Sqrt sin cos log sin(2)ans=0.9093 log(3)ans=1.0986第2页，本讲稿共78页向量的生成1.直接输入向量，格式要求是：向量元格式要求是：向量元素需要用素需要用“”括起来，元素之间可以用括起来，元素之间可以用空格、逗号或分号分隔；空格、逗号或分号分隔；a=1,2,3 a=1 2 3 sin(a)ans=0.8415 0.9093 0.1411第3页，本讲稿共78页2.利用冒号表达式生成向量冒号表达式的基本形式为x=x0：step：xnx0表示向量的首元素值，xn表示向量的尾元素数值
2、限，step表示从第二个元素开始，元素数值大小与前一个元素之大小的差值。a=1:2:12 a=1 3 5 7 9 11第4页，本讲稿共78页向量的基本运算1.加（减）与数加（减）a-1%这里的这里的a即上面生成的即上面生成的a ans=0 2 4 6 8 102.数乘 a*2 ans=2 6 10 14 18 22第5页，本讲稿共78页3.点积 dot（a，b）返回向量a和b的数量点积。a和b必须同维。a=1 2 3 b=3 4 5 dot(a,b)ans=26第6页，本讲稿共78页4.叉积cross（a，b）返回向量a和b的叉积向量。a，b必须为三维向量。a=1 2 3 b=3 4 5 cr
3、oss(a,b)ans=-2 4 -2第7页，本讲稿共78页矩阵的生成1.直接输入小矩阵输入矩阵时要以”“为标识，同行元素之间可用空格或”，“分隔，行与行之间要用”；“或回车符分隔，若不想看到中间结果，可以用”；“结束。a=1 2 3;1,1 1;4,5 6 a=1 2 3 1 1 1 4 5 6 第8页，本讲稿共78页2.直接导入文件第9页，本讲稿共78页第10页，本讲稿共78页矩阵的运算矩阵的加和减 a=1 2 3;1,1 1;4,5 6;b=3 4 5;1 2 1;2 3 1;c=a+bc=4 6 8 2 3 2 6 8 7第11页，本讲稿共78页矩阵的乘法 e=b,5 5 5e=3 4
4、 5 5 1 2 1 5 2 3 1 5 f=a*ef=11 17 10 30 6 9 7 15 29 44 31 75第12页，本讲稿共78页矩阵的逆运算【例】求下面A矩阵的逆。解：a=2 1-3-1；3 1 0 7；-1 2 4-2；1 0-1 5；第13页，本讲稿共78页解：a=2 1-3-1；3 1 0 7；-1 2 4-2；1 0-1 5；inv(a)ans=-0.0471 0.5882 -0.2706 -0.9412 0.3882 -0.3529 0.4824 0.7647 -0.2235 0.2941 -0.0353 -0.4706-0.0353 -0.0588 0.0471 0
5、.2941 第14页，本讲稿共78页2.矩阵的行列式运算 a1=det(a)a1=-853.秩函数 rank(a)ans=4第15页，本讲稿共78页特征值函数 x,y=eig(a)%x为特征向量矩阵，为特征向量矩阵，y为特征值矩阵为特征值矩阵x=-0.5843 0.9223 -0.1387-0.2449i -0.1387+0.2449i 0.7160 0.0904 -0.7828 -0.7828 -0.3806 -0.0066 -0.0803+0.3491i -0.0803-0.3491i 0.0333 -0.3756 -0.4212-0.0489i -0.4212+0.0489i y=-1.
6、1228 0 0 0 0 2.5266 0 0 0 0 5.2981+1.3755i 0 0 0 0 5.2981-1.3755i第16页，本讲稿共78页几种常用的工具阵zeros（M,N）生成M*N阶的全0阵zeros(size(A)生成与A同阶的全0阵eye（M,N）生成M*N阶的单位阵ones（M,N）生成M*N阶的全1阵rand（M,N）生成M*N阶的随机矩阵第17页，本讲稿共78页数组的运算数组的加减法与矩阵的加减法运算完全数组的加减法与矩阵的加减法运算完全相同，符号统一相同，符号统一“+”，“-”a=2 1-3-1;3 1 0 7;-1 2 4-2;1 0-1 5;a+1 ans=
7、3 2 -2 0 4 2 1 8 0 3 5 -1 2 1 0 6第18页，本讲稿共78页数组的乘除法是指两同维数组间对应元数组的乘除法是指两同维数组间对应元素之间的乘除法，它的运算符为素之间的乘除法，它的运算符为“.*”和和“./”或或“.”a=1 2 3;2 3 4;3 4 5;b=1 1 1;2 2 2;3 3 3;a./bans=1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.5000 2.0000 1.0000 1.3333 1.6667第19页，本讲稿共78页数组的幂运算符为数组的幂运算符为“.”,他表示每个数组他表示每个数组元素的幂运算，同矩阵的幂运算符不同。元素的幂
8、运算，同矩阵的幂运算符不同。a3 a.3ans=ans=132 192 252 1 8 27 192 279 366 8 27 64 252 366 480 27 64 125第20页，本讲稿共78页多项式的表示方法对于多项式用以下的行向量表示这样就把多项式问题转化为向量问题第21页，本讲稿共78页【例如】输入多项式 p=1-5 6-33;poly2sym(p)ans=x3-5*x2+6*x 33%其中poly2sym是符号工具箱中的函数，可将多项式向量表示为符号多项式的形式第22页，本讲稿共78页多项式的拟合polyfit(X,Y，n)其中X、Y为拟合数据 ，n为拟合多项式的阶数【例】用5阶
9、多项式对0,2上的正弦函数进行最小二乘拟合。第23页，本讲稿共78页 x1=0:pi/30:pi*2;y1=sin(x1);a=polyfit(x1,y1,5);y2=a(1)*x1.5+a(2)*x1.4+a(3)*x1.3+a(4)*x1.2+a(5)*x1+a(6);plot(x1,y1,b-,x1,y2,r*)legend(原曲线,拟合曲线)axis(0,7,-1.2,4)第24页，本讲稿共78页第25页，本讲稿共78页函数拟合观察数据（x，y）；对于线性拟合模型y=ax+b：1.利用A=polyfit(x,y,1)得到系数向量 其中A(1)=a，A(2)=b 所得线性模型为 y=A(
10、1)*x+A(2)第26页，本讲稿共78页2.解线性方程组 对于线性拟合模型y=ax+b，等价于 令A=(a，b),则 那么第27页，本讲稿共78页MatLab图形绘制功能图形绘制功能基本绘图函数命 令含 义plot建立向量或矩阵各队队向量的图形loglogx、y轴都取对数标度建立图形semilogxx轴用于对数标度，y轴线性标度绘制图形semilogyy轴用于对数标度，x轴线性标度绘制图形title给图形加标题xlabel给x轴加标记ylabel给y轴加标记text在图形指定的位置上加文本字符串gtext在鼠标的位置上加文本字符串grid打开网格线第28页，本讲稿共78页x=0:0.001:
11、10;%0到到10的的1000个点的个点的x座标座标 y=sin(x);%对应的对应的y座标座标 plot(x,y);%绘图（可以设定显绘图（可以设定显示范围）示范围）第29页，本讲稿共78页画椭圆a=0:pi/50:2*pi;X=cos(a)*3;%参数方程Y=sin(a)*2;plot(X,Y);xlabel(x),ylabel(y);title(椭圆)第30页，本讲稿共78页线条和颜色控制符:.点y黄。小圆圈m棕色xx标记c青色+加号r红色-实线g绿色*星号b蓝色：虚线w白色-.点划线h黑色第31页，本讲稿共78页条形图当资料点数量不多时，长条图是很适合的表示方式：close all;%
12、关闭所有的图形视窗 x=1:10;y=rand(size(x);bar(x,y)第32页，本讲稿共78页误差图x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);e=std(y)*ones(size(x);%std:标准差errorbar(x,y,e)第33页，本讲稿共78页极坐标图形 theta=linspace(0,2*pi);r=cos(4*theta);polar(theta,r);第34页，本讲稿共78页x=linspace(0,10,50);y=sin(x).*exp(-x/3);stairs(x,y);%阶梯图x=linspace(0,10,50);y=sin(x).*
13、exp(-x/3);stem(x,y);%针状图第35页，本讲稿共78页符号表达式画图符号表达式画图在许多的场合，将表达式可视化是有利的。MATLAB提供了函数ezplot来完成该任务。y=16*x2+64*x+96 y=16*x2+64*x+96 ezplot(y)第36页，本讲稿共78页三维曲线和曲面三维曲线和曲面 1空间曲线绘制函数空间曲线绘制函数plot3()格式一：格式一：plot3(x,y,z)功能：若x、y、z为相同长度的向量，则根据向量x、y、z绘制空间三维曲线。如果x、y、z为同阶矩阵，则绘制对应列的多条曲线。格式二：格式二：plot3(x,y,z,s)功能：按字符串s设置的
14、线型、颜色、标记符号绘制三维空间曲线。字符串s的设置与plot命令的设置相同。2三维网线图函数三维网线图函数mesh、meshc和和meshz MATAL提供的函数mesh用来绘制三维网线图。格式一：格式一：mesh(X,Y,Z)功能：根据矩阵X、Y和Z绘制彩色的空间三维网线图。X、Y和Z中对应的元素为三维 空间上的点，点与点之间用线连接。其中网线的颜色随着网点高度的改变而改变。格式二：格式二：mesh(x,y,Z)功能：n维向量x、m维向量y和mn矩阵Z绘制网线图，节点的坐标为(x(j),y(i),Z(i,j)，网线的颜色随着网点高度的改变而改变。第37页，本讲稿共78页三维曲面图函数sur
15、f及surfc格式一：surf(X,Y,Z,C)功能：绘制由四个矩阵所指定的带色参数的功能：绘制由四个矩阵所指定的带色参数的网状表面图。视角是由网状表面图。视角是由view所指定。轴的所指定。轴的刻度决定于刻度决定于X，Y及及Z的范围，或当前对轴的范围，或当前对轴的设定；颜色范围由的设定；颜色范围由C指定。指定。格式二：surf(X，Y，Z)功能：将功能：将C设为与设为与Z相等，则颜色与网的高相等，则颜色与网的高度成正比。度成正比。第38页，本讲稿共78页三维螺旋线 t=0:pi/50:10*pi;plot3(sin(t),cos(t),t)grid 第39页，本讲稿共78页空间中的曲线t=l
16、inspace(0,20*pi,501);plot3(t.*sin(t),t.*cos(t),t);%注意用点乘.*t=linspace(0,10*pi,501);plot3(t.*sin(t),t.*cos(t),t,t.*sin(t),t.*cos(t),-t);第40页，本讲稿共78页立体网状图 x=linspace(-2,2,25);%在x轴上取25点 y=linspace(-2,2,25);%在y轴上取25点 xx,yy=meshgrid(x,y);%xx和yy都是21x21的矩阵 zz=xx.*exp(-xx.2-yy.2);%计算函数值，zz也是21x21的矩阵 mesh(xx,
17、yy,zz);%画出立体网状图 第41页，本讲稿共78页网状图填补x=linspace(-2,2,25);%在x轴上取25点 y=linspace(-2,2,25);%在y轴上取25点 xx,yy=meshgrid(x,y);%xx和yy都是21x21的矩阵 zz=xx.*exp(-xx.2-yy.2);%计算函数值，zz也是21x21的 矩阵 surf(xx,yy,zz);%画出立体曲面图 第42页，本讲稿共78页peaks函数peaks函数，可产生一个凹凸有致的曲面，包含了三个局部极大点及三个局部极小点，其方程式为：x,y,z=peaks;waterfall(x,y,z);第43页，本讲稿
18、共78页等高线图meshc同时画出网状图与等高线：x,y,z=peaks;meshc(x,y,z);surfc同时画出曲面图与等高线：x,y,z=peaks;surfc(x,y,z);第44页，本讲稿共78页剔透玲珑球X0,Y0,Z0=sphere(30);%产生单位球面的三维坐标X=2*X0;Y=2*Y0;Z=2*Z0;%产生半径为2的球面的三维坐标surf(X0,Y0,Z0);%画单位球面shading interp%采用插补明暗处理hold on;mesh(X,Y,Z);hold off%画外球面hidden off%产生透视效果axis off%不显示坐标轴第45页，本讲稿共78页彗星
19、状轨迹图【*例】简单二维示例。（请指令窗中运行以下指令）n=10;t=n*pi*(0:0.0005:1);x=sin(t);y=cos(t);plot(x,y,g);hold on;comet(x,y,0.02);hold off第46页，本讲稿共78页卫星返回地球的运动轨线示意 R0=1;%以地球半径为一个单位a=12*R0;b=9*R0;T0=2*pi;%T0是轨道周期T=5*T0;dt=pi/100;t=0:dt:T;f=sqrt(a2-b2);%地球与另一焦点的距离th=12.5*pi/180;%卫星轨道与x-y平面的倾角E=exp(-t/20);%轨道收缩率x=E.*(a*cos(t
20、)-f);y=E.*(b*cos(th)*sin(t);z=E.*(b*sin(th)*sin(t);plot3(x,y,z,g)%画全程轨线X,Y,Z=sphere(30);X=R0*X;Y=R0*Y;Z=R0*Z;%获得单位球坐标grid on,hold on,surf(X,Y,Z),shading interp%画地球x1=-18*R0;x2=6*R0;y1=-12*R0;y2=12*R0;z1=-6*R0;z2=6*R0;axis(x1 x2 y1 y2 z1 z2)%确定坐标范围view(117 37),comet3(x,y,z,0.02),hold off%设视角、画运动轨线 第4
21、7页，本讲稿共78页求解线性方程组求解线性方程组 MATLABMATLAB语句实现：语句实现：a=2,3,-1a=2,3,-1；8,2,38,2,3；45,3,945,3,9；b=2b=2；4 4；2323；x=inv(a)*bx=inv(a)*b第48页，本讲稿共78页求多项式方程的根roots(p)solve(p)例例.求方程求方程 的所有根的所有根 p=1-4 9-10 r=roots(p)或或 s1=sym(x3-4*x2+9*x-10);solve(s1)第49页，本讲稿共78页求方程组的根和超越方程解x,y=solve(x+y=1,x-11*y=5,x,y)求超越方程求超越方程 的
22、根，其中的根，其中p，r为常数为常数ff=sym(p*sin(x)=r)solve(ff,x)第50页，本讲稿共78页求极限syms x;y1=(1+4*x)(1/x);y2=(exp(x)-1)/x;limit(y1,x,0)limit(y2,x,0)第51页，本讲稿共78页求导数与偏导数求导数与偏导数 syms x;f=3*x3+5*x+1;diff(f,1)syms x y;%对x偏导数 z=x2*sin(2*y);B=diff(z,x)第52页，本讲稿共78页求解不定积分syms x b;f=cos(b*x);f1=int(f,x)f1=1/b*sin(b*x)ezplot(f1)第5
23、3页，本讲稿共78页求定积分多重积分求定积分多重积分 syms x;y=(x2+sin(x)/(1+x2);int(y,x,-1,1)syms x y;int(int(x2+y2+1,y,x,x+1),x,0,1)第54页，本讲稿共78页求微分方程通解和特解求微分方程通解和特解 dsolve(Dy=1+y2,x)dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1,x)dsolve(x2*D2y+x*Dy+(x2-1/2)*y=0,y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi,x)第55页，本讲稿共78页MATLAB语言编程介绍介绍MATLAB中各种命令可以完成许多单一的任务，对于某些较命令可以完成
24、许多单一的任务，对于某些较为复杂的问题，仅靠现有的命令或函数来解决，往往是难以达为复杂的问题，仅靠现有的命令或函数来解决，往往是难以达到目的到目的。为此，要运用。为此，要运用MATLAB编程语言编制程序，形成编程语言编制程序，形成M-文件。文件。程序是使计算机完成各项运算的命令集，运行一个编制好的程程序是使计算机完成各项运算的命令集，运行一个编制好的程序，计算机会从第一条命令行开始，一行接一行地执行相应的序，计算机会从第一条命令行开始，一行接一行地执行相应的命令，直到终止。命令，直到终止。程序一般包含：数据输入，数据处理和结果输出三部分，其中数据处程序一般包含：数据输入，数据处理和结果输出三部
25、分，其中数据处理是核心。程序编写调试完成后，需要存盘，形成永久性文件，可以理是核心。程序编写调试完成后，需要存盘，形成永久性文件，可以随时对它进行调用或修改。文件随时对它进行调用或修改。文件 名以字母开头，但不能用专用变量名，如名以字母开头，但不能用专用变量名，如pi等。等。MATLAB中每一个命令都是一个命令都是一个M-文件。文件。第56页，本讲稿共78页MATLAB程序类型脚本文件函数文件function y=mean(x)%MEAN Average or mean Value%For vectors,Mean(x)is the mean value of X%For matrices,M
26、ean(x)is a row vector containing%the mean value of each columnm,n=size(x)if m=1 m=n;endy=sum(x)/m;函数定义行H1行函数帮助文件函数体第57页，本讲稿共78页M-文件中输入、输出命令命令 直接赋值输入：提示对话输入(input命令)x=2;x=input(请输入参数 x=);a=1,2;3,4;a=input(请输入矩阵 a=);s=any string!;s=input(Please input s=);直接输出：格式控制输出(fprintf命令)x fprintf(x=%.0f,y=%.5fn,
27、pi,pi);disp(a,b);fprintf(x=%5g,y=%10.5gn,N,pi);第58页，本讲稿共78页M-文件中循环控制命令文件中循环控制命令(for命令命令)格式格式：for i=n1:(step):n2 commands;end 作用：重复执行命令集作用：重复执行命令集commands.第59页，本讲稿共78页例例2：求奇数和：求奇数和：s=1+3+5+(2k-1)n=input(请输入 n=);s=0;for i=1:2:n s=s+i;fprintf(i=%.0f,s=%.0fn,i,s);end例例1：求和：求和：s=1+2+n n=input(请输入 n=);s=0
28、;for i=1:n s=s+i;fprintf(i=%.0f,s=%.0fn,i,s);end第60页，本讲稿共78页例例3：求阶乘：求阶乘：p=12 3 n=n!n=input(请输入 n=);p=1;for i=1:n p=p*i;fprintf(i=%.0f,p=%.0fn,i,p);end例例4：求：求e：e=1+1+1/2!+1/3!+1/n!n=input(请输入 n=);p=1;e=1;for i=1:n p=p*i;p1=1/p;e=e+p1;fprintf(i=%.0f,p=%.0f,e=%.8f n,i,p,e);end第61页，本讲稿共78页例例5：求：求pi：pi/4
29、=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+n=input(请输入 n=);pi=0;k=-1;for i=1:2:n k=(-1)*k;pi=pi+k*1/i;fprintf(i=%.0f,pi=%.8f n,i,4*pi);end第62页，本讲稿共78页M-文件中条件循环命令命令(while命令命令)格式：while(condition is true)commands;end 作用：重复执行命令集作用：重复执行命令集commands.第63页，本讲稿共78页例例6：求和：求和：s=1+2+n3000 s=0;k=1;while s3000 s=s+k;fprintf(k=%.0f,s
30、=%.0fn,k,s);k=k+1;end例例7：求：求e：e=1+1+1/2!+1/3!+(1/n!=1.0e-8 p=p*i;r=1/p;e=e+r;fprintf(i=%.0f,r=%.9f,e=%.9f n,i,r,e);i=i+1;end第64页，本讲稿共78页M-文件中选择控制命令命令(if命令命令)单项选择控制单项选择控制格式：if(condition is true)commands;end 作用：若条件成立，则执行命令集作用：若条件成立，则执行命令集 commands.否则，不执行。否则，不执行。第65页，本讲稿共78页例例8：求：求n个实数中最大的数个实数中最大的数M.a=
31、input(请输入数组 an=);m,n=size(a);M=a(1);for i=2:n if M0 sn=1;elseif x=0 sn=0;else sn=-1;endfprintf(x=%.5f,sn=%.0fn,x,sn);第68页，本讲稿共78页Matlab编程(续)程序设计技术 循环向量化计算模式 目的:向量计算替代循环模式 实例:i初始化 tic tic for t=0:0.01:100 t=0.0:0.01:100 i=i+1;y(i)=sin(t)y=sin(t)end toc toc 耗时7.58 耗时0.01 第69页，本讲稿共78页Matlab编程(续)程序设计技术(
32、续)阵列预分配空间 目的:避免循环过程空间分配的耗时 实例:y(k)=0.75y(k-1)-0.125y(k-2)+2u(k)clear all,tic T=0.001;t=0:T:16 u=sin(2*pi*t);%y=zeros(size(u)y(1)=2*u(1);y(2)=0.75*y(1)+2*u(2);耗时耗时0.562(%)/0.0160for k=3:fix(16/T)+1 y(k)=0.75*y(k-1)-.0.125*y(k-2)+2*u(k)end toc第70页，本讲稿共78页Matlab编程(续)程序设计技术(续)内存使用/管理 目的:提高内存使用效率 主要的命令 c
33、lear%清楚变量 pack%将变量寄宿在磁盘 quit%退出Matlab环境 save%将变量数据存入文件 load%将文件数据加载进入工作空间第71页，本讲稿共78页Matlab编程(续)Matlab程序调试 主要工具:m编辑器内嵌debugger功能 程序错误 语法或格式错误:显式且容易定位 功能或计算错误:算法错误 纠错技巧 显示中间变量的内容 利用Keyboard语句,查看函数工作空间的变量内容 设置断点或单步执行方式第72页，本讲稿共78页MATLAB帮助系统帮助系统帮助窗口帮助窗口进入帮助窗口可以通过以下进入帮助窗口可以通过以下3种方法：种方法：(1)单击单击MATLAB主窗口工
34、具栏中的主窗口工具栏中的Help按钮。按钮。(2)在命令窗口中输入在命令窗口中输入helpwin、helpdesk或或doc。(3)选择选择Help菜单中的菜单中的“MATLAB Help”选项。选项。第73页，本讲稿共78页帮助命令帮助命令MATLAB帮助命令包括帮助命令包括help、lookfor以及以及模糊查询。模糊查询。1help命令命令在在MATLAB 命令窗口中直接输入命令窗口中直接输入help命令命令将会显示当前帮助系统中所包含的所有项将会显示当前帮助系统中所包含的所有项目，即搜索路径中所有的目录名称。同样，目，即搜索路径中所有的目录名称。同样，可以通过可以通过help加函数名来
35、显示该函数的帮助加函数名来显示该函数的帮助说明。说明。第74页，本讲稿共78页2lookfor命令命令help命令只搜索出那些关键字完全匹配命令只搜索出那些关键字完全匹配的结果，的结果，lookfor命令对搜索范围内的命令对搜索范围内的M文件进行关键字搜索，条件比较宽松。文件进行关键字搜索，条件比较宽松。lookfor命令只对命令只对M文件的第一行进行关文件的第一行进行关键字搜索。若在键字搜索。若在lookfor命令加上命令加上-all选选项，则可对项，则可对M文件进行全文搜索。文件进行全文搜索。第75页，本讲稿共78页3模糊查询模糊查询MATLAB 6.0以上的版本提供了一种类以上的版本提供
36、了一种类似模糊查询的命令查询方法，用户只需似模糊查询的命令查询方法，用户只需要输入命令的前几个字母，然后按要输入命令的前几个字母，然后按Tab键，系统就会列出所有以这几个字母开键，系统就会列出所有以这几个字母开头的命令。头的命令。第76页，本讲稿共78页1.4.3 演示系统演示系统在帮助窗口中选择演示系统在帮助窗口中选择演示系统(Demos)选选项卡，然后在其中选择相应的演示模块，项卡，然后在其中选择相应的演示模块，或者在命令窗口输入或者在命令窗口输入Demos，或者选择，或者选择主窗口主窗口Help菜单中的菜单中的Demos子菜单，打子菜单，打开演示系统。开演示系统。第77页，本讲稿共78页v1.4.4 远程帮助系统远程帮助系统在在MathWorks公司的主页公司的主页(http:/)上可以找到上可以找到很多有用的信息，国内的一些网站也有丰富很多有用的信息，国内的一些网站也有丰富的信息资源。的信息资源。第78页，本讲稿共78页