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1、高中数学重要知识点及典型例题函数 第 1 页 共 6 页 函 数 一、知识网络 二、重要知识点及典型例题 1.映射的概念：（任意对唯一）设BAf:A 中所有元素都有象（在B中），并且象是唯一的；B 中的元素未必有原象（在A中），允许B中的元素有剩余.函数的概念:（任意对唯一）函数的三要素:对应关系,定义域,值域是函数的三要素,缺一不可.复合函数的定义域求法：若)(xfy 的定义域为a,b,则)(xgfy 的定义域即为bxga)(的解集.若)(xgfy 的定义域为a,b，则)(xfy 的定义域即为)(xg在a,b的值域.(相同的对应法则整体自变量的取值范围不变)2.求函数解析式的方法:(1)代入
2、法:已知一个函数的解析式,求另外的解析式,直接代入.已知1)(2xxf,求函数记号及表示法 集合 映射 函数 反函数 反函数与原函数的关系 函数的概念和性质 初等函数、幂,指,对数、三角函数 函数的三要素 函数的图象 函数的性质 定义域、值域 对应法则 平移、翻折 对称、伸缩 单调性 最值 应 用 数,式的大小比较 方程的解法与讨论 不等式的解法与讨论 生产实际中的应用 解析法、表格法、图象法 高中数学重要知识点及典型例题函数 第 2 页 共 6 页 )(2xxf.(2)待定系数法:已知函数的类型,要求函数解析式时,可根据类型设其解析式,从而确定系数即可.如:已知)(xf是一次函数,且34)(
3、xxff,求)(xf.(3)拼凑法:已知y=g(x)的解析式,要求y=(x)时,可从y=g(x)的解析式中拼凑出“g(x)”,即用g(x)来表示,再将两边的g(x)用x 代替即可.如:已知:xxxf2)1(,求f(x).(4)换元法:象上面的题目,也可以令)(xgt,再求出)(tf的解析式,然后用x代替所有的t即可得到所求函数的解析式.(5)方程组法（消去法）:根据题目中的条件,列出所求的y=(x)所满足的方程组,通过解方程组得到问题的解答,在这里要注意的是函数的可变化性.如:已知23)1(2)(xxfxf,求(x).3.函数的图象作法 (1)描点法:列表;描点;用光滑的曲线连线.(2)变换作
4、图法:一个函数图象经过适当的变换,得到另一个与之有关的函数图象,平移、对称、翻折、伸缩是图象的四种基本变换:1)平移变换,主要有 水平平移:)0)(aaxfy的图象,可由)(xfy 的图象向左)(a或者向右)(a平移（左加右减）a个单位得到;水平平移不改变函数的值域.上下平移:)0()(bbxfy的图象,可由)(xfy 的图象向上)(b或者向下)(b平移（上加下减）b个单位得到.竖直平移不改变函数的定义域.2)对称变换（函数的对称性）主要有)(xfy与)(xfy 的图象关于y轴对称;)(xfy与)(xfy 的图象关于x轴对称;)(xfy与)(xfy 的图象关于原点对称;)(1xfy与)(xfy
5、 的图象关于直线xy 对称;)(1xfy与)(xfy 的图象关于直线xy对称;)2(xafy与)(xfy 的图象关于直线ax 对称;若)2()(xafxf(或者)()(xafxaf则)(xfy 的图象关于直线ax 对称;高中数学重要知识点及典型例题函数 第 3 页 共 6 页 )(2xfby与)(xfy 的图象关于by 对称;)2(2xafby与)(xfy 的图象关于点),(ba对称;若存在常数ba,使得对于函数)(xf的定义域内的每一个xbaxx,仍在定义域内,且)()(xbfxaf,则)(xf的图象关于直线2bax对称.3)翻折变换,主要有|)(|xfy 的图象在y轴的右侧)0(x的部分与
6、)(xfy 的图象相同,在y轴左侧部分与其右侧部分关于y轴对称;|)(|xfy 的图象在x轴的上方部分与)(xfy 的图象相同,其他部分图象为)(xfy 图象在x轴下方部分关于x轴的对称图形.4)伸缩变换,主要有（三角函数BxAy)sin(中）)0)(axafy的图象,可将)(xfy 的图象上每点的纵坐标伸长)1(a或缩短)10(a为原来的a倍(横坐标不变)而得到;)0)(aaxfy的图象,可将)(xfy 的图象上每点的横坐标伸长)10(a或缩短)1(a为原来的a1倍(纵坐标不变)而得到.4.函数值域（最值）的求法:(1)观察法:直接根据函数表达式得到函数的值域.如:求函数24xy的值域.(2
7、)不等式法(部分分式法):根据不等式的性质直接推导得到值域.如:求函数)21(112xxxy的值域.(3)反表示法(反函数法):将函数表示成另一种形式求值域.如:求函数)4(21xxxy的值域.(4)中间变量法（方程思想）:借助于中间变量来解决问题.(中间变量的范围已知).高中数学重要知识点及典型例题函数 第 4 页 共 6 页 如:求函数1422xxy、)10(11)(aaaaxfxx且的值域.(5)配方法:通过配成完全平方来求解.如:求函数32xxy的值域.(6)图象法（数形结合法）:根据函数的图象得到函数值域的求解.如：求)21(2|;1|3|xxxyxxy钩形函数函数的值域(7)换元法
8、:通过换元的方法将无理函数或指对函数式化简来进行求解.(注意变元的取值范围不能改变)如:求函数12xxy、2,0,523421xyxx的值域.(8)判别式法:借助于二次函数的判别式来求函数的值域.如:求函数152222xxxxy的值域.5 函数的单调性:函数的单调性是一个局部概念:单调区间在变换的时候,不能交,也不能并,在写法上一定要注意规范性.（1）判断函数的单调性（利用定义：取值任意作差变形判断正负得出结论）（2）求复合函数的单调区间（同增异减）先求定义域 如：求函数3|22xxy，237.02logxxy，)423sin(xy的单调区间 （3）利用函数的单调性解不等式、比较大小、求参数等
9、 6 函数的奇偶性：（注意定义域是否关于原点对称）)(xf是偶函数对于任意的)()(,xfxfDx恒成立)(xf的图像关于y轴对称)(xf是奇函数对于任意的)()(,xfxfDx恒成立)(xf的图像关于原点（0，0）轴对称，奇函数若在0 x处有意义则0)0(f；有时用0)()(xfxf来判断奇偶性 奇（偶）函数在关于原点对称的两个区间上具有相同（相反）的单调性 7函数的周期性：（主要是针对抽象函数及三角函数）)()2(xfTxf或)()(TxfxTf是周期为2T 的周期函数 如：)(1)();()(xfaxfxfaxf等 8 反函数 (1)(),(1xfxf的定义域与值域互换 (2)mnfnm
10、f)()(1）（3）y=f(x)与y=f 1(x)有相同的单调性、奇偶性（奇）高中数学重要知识点及典型例题函数 第 5 页 共 6 页 (4)函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称f 1(x)=f(x)(xf为自反函数（5）若函数y=f(x)是单调递增函数,则y=f(x)与y=f 1(x)的图象的交点必在直线y=x.(注意:原函数与反函数的图象交点并不一定在直线y=x 上)附1 专题一、一元二次函数在闭区间上的最值 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a 0)在闭区间p，q上的最值可能出现以下三种情况：(1)若ab2p，则f(x)在区间p，q上是增函数，则f(x)min=f(p)、f(x)
11、max=f(q)(2)若pab2q，则f(x)min=f(ab2)此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：当pab22qp 时，f(x)max=f(q)当2qp ab2q，则f(x)max=f(p)(3)若ab2q，则f(x)在区间p，q上是减函数，则f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p)。三类型：定区间定轴；定区间动轴；定轴动区间 附2 专题二、一元二次方程的实根分布 二次方程实根的分布问题，就是讨论二次函数的图象与x 轴交点与坐标原点的位置关系的问题，因此，理解交点及二次函数系数（a开口方向，a、b对称轴，c图象与y 轴的交点）的几何意义，掌握二次函数图象的特点，是解
12、决此类问题的关健。设 f(x)ax2bxc (a),则一元二次方程 f(x)实根的分布情况可以由 yf(x)的图象或由韦达定理来确定 如果f(m)f(n)(mn),由二次函数yf(x)的图像知，一元二次方程f(x)在区间（m,n）内必有一个实数根 9指、对数(1)指 数 与 对 数:分 数 指 数 幂:正 数 的 正 分 数 指 数 幂 的 意 义：1*,0(nNnmaaanmnm且),)1*,0(1nNnmaaanmnm且.对数:一般地,如果a(a0,a1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b就叫做以a 为底N 的对数,记作:alogN=b,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.)1,0(
13、1log,01logaaaaa;对数恒等式:NaNalog;对数换底公式:aNNbbalogloglog;常用对数Nlg,自然对数Nln.关系式:alogN=bab=N;高中数学重要知识点及典型例题函数 第 6 页 共 6 页 指数的运算性质（1）am an=am+n；(2)(am)n=am n;(3)(a b)n=an bn(a0,b0,m,n R).对数的运算性质:若a0,a1，M0，N0，则:loga(MN)=logaM+logaN;NMNMaaloglogloga;logaMn=nlogaM（nR）.)0,1,0(loglogbaabnmbaman(2)指数函数与对数函数:名称 指数函
14、数 对数函数 一般形式 xay（0a且1a）xyalog（0a且1a）定义域（，）（0，）值域（0，）（，）图象 单调性 当1a时,函数在R 上为增函数;当10a时,函数在R 上为减函数.当1a时,函数在（0，)上为增函数;当10a时,函数在(0，)上为减函数.图象 xay 的图象与xyalog图象关于直线xy 对称.(3)幂、对数的大小比较（注意底数是参数时的分类）(1)底数相同,指数（真数）不同的两个幂的大小比较（函数单调性法）(2)底数不同,指数（真数）相同的两个幂的大小比较（作商法）/（利用换底公式）(3)底数与指数（真数）都不同的两个幂的大小比较（中间值法）10 三角函数（1）三角的
15、化简（注意“变”）巧变角、变函数名；活用公式（同角、和差、倍角及变形公式）（2）三角函数的最值 xbxaycossin型（和差公式）cxbxaycossin2型（“1”的代换）xcxxbxay22coscossinsin型（倍角公式将次）dxcbxaycossin型（化）x y y=ax(a1)y=ax(0a1)y=logax(0a1)O 1 高中数学重要知识点及典型例题函数 第 7 页 共 6 页 cxxbxxaycossin)cos(sin型（换元令txx cossin化为二次函数）（3）三角函数的图象的变换和性质（用上面的方法化为BxAy)sin(）对称轴、对称中心，单调区间，周期用公式，图象的变换