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1、高一数学集合知识点归纳及典型例题 一、知识点：本周重要学习集合的初步知识，涉及集合的有关概念、集合的表达、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。本 章 知 识 结 构 1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些可以拟定的不同的对象当作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应当把握4个关键词：对象、拟定的、不同的、整体。对象即集合中的元素。集合是由它的元素唯一拟定的。整体集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。拟定的集合元素的拟定性元素与集合的“从属”关系
2、。不同的集合元素的互异性。2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。我们把不具有任何元素的集合叫做空集，记做。理解它时不妨思考一下“0与”及“与”的关系。几个常用数集N、N*、N、Z、Q、R要记牢。3、集合的表达方法（1）列举法的表达形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表达，同学们需要知道能用列举法表达的三种集合：元素不太多的有限集，如0，1，8元素较多但呈现一定的规律的有限集，如1，2，3，100 呈现一定规律的无限集，如 1，2，3，n，注意a与a的区别注意用列举法表达集合时，集合元素的“无序性”。（2）特性性质描述法的关键是把所研究
3、的集合的“特性性质”找准，然后适本地表达出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。此外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如x|yx2， y|yx2， （x，y）|yx2是三个不同的集合。4、集合之间的关系注意区分“从属”关系与“包含”关系“从属”关系是元素与集合之间的关系。“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会对的使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本规定。注意辨清与两种关系。5、集合的运算集合运算的过程，是一个发明新的集合的过程。在这里，我们学习了三种发明新集合的方式：交集、并集和补集。一方面，我们应当严格把握它们的运
4、算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质： 还要尝试运用Venn图解决相关问题。二、典型例题例1. 已知集合，若，求a。解：根据集合元素的拟定性，得：若a21， 得:， 但此时，不符合集合元素的互异性。若，得：。但时，不符合集合元素的互异性。若得：，都不符合集合元素的互异性。综上可得，a 0。【小结】集合元素的拟定性和互异性是解决问题的理论依据。拟定性是入手点，互异性是检查结论的工具。例2. 已知集合M中只具有一个元素，求a的值。解：集合M中只具有一个元素，也就意味着方程只有一个解。 （1），只有一个解（2） .综上所述，可知a的值为a0或a1【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学
5、语言是重要的学习规定，此外多体会知识转化的方法。例3. 已知集合且BA，求a的值。解：由已知，得：A3，2， 若BA，则B，或3，或2。若B，即方程ax10无解，得a0。若B3， 即方程ax10的解是x 3， 得a 。若 B2， 即方程ax10的解是x 2， 得a 。综上所述，可知a的值为a0或a，或a 。【小结】本题多体会这种题型的解决思绪和环节。例4. 已知方程有两个不相等的实根x1， x2. 设Cx1， x2， A1，3，5，7，9， B1，4，7，10，若，试求b， c的值。解：由， 那么集合C中必然具有1，4，7，10中的2个。又由于，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是
6、C4，10因此，b（x1x2 ）14，cx1 x2 40【小结】对的含义的理解是本题的关键。例5. 设集合，（1）若， 求m的范围；（2）若， 求m的范围。解：（1）若，则B，或m15，或2m12m1，得：m5时，m12m1，得：m4当2m12时，m12m1，得：m综上所述，可知m4（2）若， 则BA， 若B，得m M2. 有下列命题：是空集 若，则 集合有两个元素 集合为无限集，其中对的命题的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2 D. 33. 下列集合中，表达同一集合的是（ ）A. M（3，2） ， N（2，3）B. M3，2 ， N（2，3）C. M（x，y）|xy1， Ny|xy1D.
7、M1，2， N2，14. 设集合，若， 则a的取值集合是（ ） A. B. 3C. D. 3，25. 设集合A x| 1 x 2， B x| x a， 且， 则实数a的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设x，yR，A（x，y）|yx， B， 则集合A，B的关系是（ ） A. ABB. BA C. AB D. AB7. 已知Mx|yx21 ， Ny|yx21， 那么MN（ ） A. B. M C. N D. R8. 已知A 2，1，0，1， B x|x|y|，yA， 则集合B_9. 若，则a的值为_10. 若1，2，3A1，2，3，4，5， 则A_11. 已知M2，a，b， N2a，2
8、，b2，且MN表达相同的集合，求a，b的值12. 已知集合求实数p的范围。13. 已知，且A，B满足下列三个条件： ，求实数a的值。四、练习题答案1. B2. A3. D4. C5. A6. B7. C 8. 0，1，29. 2，或310. 1，2，3或1，2，3，4或1，2，3，5或1，2，3，4，511. 解：依题意，得：或，解得：，或，或 结合集合元素的互异性，得或。12. 解：Bx|x2 若A ，即 ，满足AB，此时 若，要使AB，须使大根或小根（舍），解得：所以 13. 解：由已知条件求得B2，3，由，知AB。而由 知，所以AB。 又由于，故A，从而A2或3。 当A2时，将x2代入，得经检查，当a 3时，A2， 5; 当a5时，A2，3。都与A2矛盾。当A 3时，将x3代入，得经检查，当a 2时，A3， 5; 当a5时，A2，3。都与A2矛盾。 综上所述，不存在实数a使集合A， B满足已知条件。