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1、2019-2020年高三数学二轮复习专题七第四讲思想方法与规范解答教案理思想方法1数形结合思想解析几何中数形结合思想的应用主要体现在：(1)直线与圆的位置关系的应用；(2)与圆有关的最值范围问题；(3)与椭圆、双曲线、抛物线定义有关的范围、最值等问题 例 1(1)(xx年高考江西卷)过直线xy 220 上的点P作圆x2y21 的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是 _(2)(xx年温州八校联考)设点P在椭圆x24y231 上运动，Q、R分别在圆(x1)2y2 1 和(x1)2y21 上运动，则|PQ|PR|的取值范围为 _ 解析(1)利用数形结合求解直线与圆的位置关系如图所示，设P
2、(x，y)，则APO30，且OA1.在直角三角形APO中，OA1，APO30，则OP2，即x2y24.又xy220，联立解得xy2，即P(2，2)(2)设椭圆的左、右焦点分别是F1(1，0)、F2(1，0)，则两个已知圆的圆心即为椭圆的两个焦点，如图，因此|PQ|PR|的最大值是|PF1|PF2|242 6，最小值是|PF1|PF2|2 422.答案(1)(2，2)(2)2，6 跟踪训练已知等边三角形ABC的边长为4，点P在其内部及边界上运动，若P到顶点A的距离与其到边BC的距离相等，则PBC面积的最大值是()A23 B16324 C33 D8312 解析：由题易知点P在以A为焦点，BC边所在
3、直线为准线的抛物线的一段(图中曲线EF)上运动设线段AN为BC边上的高，曲线EF与线段AN的交点为M，由图易知，当P位于点E或点F处时，PBC的面积最大过点E作EHBC，垂足为H，设AEEHx，则EB4x.在 RtEHB中，EHBEsin 60，则x32(4 x)，解得x8312，即EH8312，故PBC面积的最大值为124(8312)16324.答案：B 2分类讨论思想分类讨论思想在解析几何中的应用主要体现在：(1)含参数的曲线方程讨论曲线类型；(2)过定点的动直线方程的设法，斜率是否存在；(3)直线与圆锥曲线的位置关系的讨论问题；(4)由参数变化引起的圆锥曲线的关系不定问题 例 2(xx年
4、高考课标全国卷)设抛物线C：x2 2py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90，ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值 解析(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|2p，圆F的半径|FA|2p.由抛物线定义可知A到l的距离d|FA|2p.因为ABD的面积为42，所以12|BD|d42，即12p2p 42，解得p 2(舍去)或p2.所以F(0，1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A，B，F三点在同一
5、直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90由抛物线定义知|AD|FA|12|AB|，所以ABD30，m的斜率为33或33.当m的斜率为33时，由已知可设n：y33xb，代入x2 2py得x2233px2pb0.由于n与C只有一个公共点，故 43p28pb0.解得bp6.因为m的截距b1p2，|b1|b|3，所以坐标原点到m，n距离的比值为 3.当m的斜率为33时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值也为 3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为 3.跟踪训练已知椭圆x2a2y2b2 1(ab0)的离心率e32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭
6、圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(a，0)(i)若|AB|425，求直线l的倾斜角；(ii)若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且QAQB4.求y0的值解析：(1)由eca32，得 3a24c2.再由c2a2b2，解得a2b.由题意可知12ab4，即ab2.解方程组a2b，ab2，得a2，b1.所以椭圆的方程为x24y21.(2)(i)由(1)可知点A的坐标是(2，0)，设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k.则直线l的方程为yk(x2)于是A、B两点的坐标满足方程组yk（x2），x24y21.消去y并整理，得(1 4k2)x216k2x(16k24)0.由 2x11
7、6k2414k2，得x128k214k2.从而y14k14k2.所以|AB|（228k214k2）2（4k14k2）241k214k2.由|AB|425，得41k214k2425.整理得 32k49k223 0，即(k21)(32k2 23)0，解得k1.所以直线l的倾斜角为4或34.(ii)设线段AB的中点为M，由(i)得M的坐标为(8k214k2，2k1 4k2)以下分两种情况：当k0 时，点B的坐标是(2，0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是=(2，y0)，=(2，y0)由？=4，得y0 2.当k时，线段AB的垂直平分线方程为y2k14k21k(x8k214k2)令x0，解得y06k1
8、4k2.由(2，y0)，(x1，y1y0)，?2x1y0(y1y0)2（28k2）14k26k14k2(4k14k26k14k2)4（16k415k21）（14k2）24，整理得 7k22.故k147.所以y02145.整理得 7k22.故k147.所以y02145.综上，y0 2或y02145.考情展望近年来高考对解析几何中的考查基础上是“一大一小”，即一道选择或填空题、一道解答题，选择、填空题多考查圆锥曲线的定义、方程与几何性质，难度较小解答题中围绕直线与圆锥曲线的位置关系，着重考查最值、范围、定点、定值等问题，综合性强，难度较大，预计xx 年高考仍以此为热点考查名师押题【押题】已知点P是
9、直角坐标平面内的动点，点P到直线xp21(p是正常数)的距离为d1，到点F(p2，0)的距离为d2，且d1d21.(1)求动点P所在的曲线C的方程；(2)直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B两点作直线l1：xp2的垂线，对应的垂足分别为M、N，求证：FMFN0；(3)在(2)的条件下，记S1S FAM，S2SFMN，S3SFBN，S22S1S3，求 的值【解析】(1)设动点P的坐标为(x，y)，依据题意，有|xp21|（xp2）2y21，化简得y22px.因此动点P所在的曲线C的方程是y22px(p0)(2)由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0 时，不合题意，故可设直线l的
10、方程为xmyp2，联立方程y22pxxmyp2，得y22mpyp20，记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y22mpy1y2p2.又AMl1，BNl1，所以点M(p2，y1)，N(p2，y2)于是=(p，y1)，=(p，y2)，所以=(p，y1)(p1，y2)p2y1y2p2p20.(3)依据(2)可算出x1x2m(y1y2)p2m2pp，x1x2y212py222pp24，S1S312(x1p2)y1|12(x2p2)y2|p24x1x2p2(x1x2)p24 14p4(m21)，S22(12|y1y2|p)2p24(y1y2)24y1y2 p4(1 m2)所以 S22S1S3p4（1m2）p44（m21）4.