《2023年硕士生《数理统计》例题及标准超详细解析超详细解析答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年硕士生《数理统计》例题及标准超详细解析超详细解析答案.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 数理统计例题 1.设总体 X的概率密度函数为：221)(xexf)0(试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数。解：（1）矩法 由于 EX为 0，2000220022221)()2(2)()2(212)(2222222222dxexeedxxdxedxexdxxfxEXxxxxx 22221XEEXDX 令2SDX 得：S2（2）极大似然法 niiixnnixeeL122221111 niixnL1221lnln 231ln2niidLnxd 令0lndLd得niixn122 2 2.设总体 X的概率密度函数为：xxxx,0),/)(exp(1),;(其中0，现从总体 X中抽取一组样本，其
2、观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数和。解：（1）矩法 经统计得：063.0,176.2SX xxxxxedxexeexddxexdxxxEX)(1)()(222)(1222222EXdxexexedxdxexEXxxxx 222)(EXEXDX 令2SDXXEX即22SX 故063.0,116.2SSX（2）极大似然法 )(111),;(XnnXnieexLi)(lnlnXnnL)(ln,0ln2XnnLnL 因为 lnL 是 L的增函数，又12,nXXXL 所以05.2)1(X
3、 和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 3 令0lnL得126.0)1(XX 3.已知总体的分布密度函数为：其它,011,21);(xxf（1）用矩法估计其未知参数；（2）用极大似然法估计其未知参数。解：（1）E 令E 得：（2）12111(,;)()22nnniLL 0ddL，故 L的单调性与无关 又1,121n 可以取 1,
4、1)1()(n中的任何值。4.10 个病人服用甲、乙两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间（小时）见下表：甲 1.4 1.8 3.0 0.1 2.2 1.5 2.0 0.3 0.5 1.9 乙 1.9 0.8 3.0-0.5 3.0 2.5-0.5 2.5 2.0 2.5 假定病人服用两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间分别服从正态分布),(211aN和),(222aN，试求21aa 的1置信下限（10.0）。解：依题意设),(),(22222111aNaN 经计算得：0994.2,62.1,7641.0,47.1222211SS 先做方差齐性检验：2221122210:;:HH 和解矩法经统计
5、得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 4 3640.02*22*10SSF 查表得：18.3)9,9(95.0F 因为0121212121(1,1)(1,1)FFnnFnn 所以接受0H，即认为两个总体的方差相等。21aa 的1置信下限为212122221121121112)2()(nnnnSnSnnnt 即-0.9004 其中3304.1)
6、18()2(9.0211tnnt，15.021 2613.1221222211nnSnSn，4472.01121nn 5.设样本12(,)nXXXL来自正态总体)5,(21NX，样本均值为X，样本12(,)nY YYL来自正态总体)3,(22NX，样本均值为Y，且两样本相互独立。1、2为未知参数。（1）已知8.7X，3.5Y，样本容量 n=25，求21的置信水平为 0.95 的置信区间；（2）如果要求21的置信水平为 0.95 的置信区间长度不超过 2，问样本容量n 至少应取多少？解：)25,(1nNX，)25,(2nNY 故)50,(21nNYX )1,0(50)()(21NnYX 所以，）
7、，）置信区间为（的（nuYXnuYX50501212121 （1），）置信区间为（的（255096.13.58.7255096.13.58.7121，即（-0.272，5.272）。和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 5 （2）依题意，有 2nu5021 2，即n5096.1 1，即 n 1.96250 所以，n 192.08
8、 或 n 193。6.设总体),(,0),(21 L nP为其样本。（1）证明：对一切21)1(),10(Snn都是的无偏估计量；（2）试求2的一个无偏估计量。（1）证：因为EE，nnDnnSE11)(2 所以1)1()(1)1(22SnnEESnnE )1()(1)1(2SEnnE 所以对一切21)1(),10(Snn都是的无偏估计量。（2）解：因为2222)()(nEnDEDE 所以222)(nnnE 故n2是2的一个无偏估计量。7.设总体服从 1,上的均匀分布，未知，(n,1)是来自此总体的一个样本，已知n,min1)1(，nn,max1)(。（1）试计算)1(、)(n的数学期望；（2）
9、试分别利用)1(、)(n构造的无偏估计量；（3）试比较（2）中的两个无偏估计量的有效性。解：（1）X的概率密度函数为：时当时当 1,0 1,1)(xxxp 因此)1(X的概率密度函数为：时当时当 1,0 1,)(1)(1)1(xxxnxpnX 和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 6)(nX的概率密度函数为：时当时当 1,0 1
10、,)()(1)(xxxnxpnXn 所以，dxxxpXEX)()1()1(11)(1 dxxnxn 11)1()(101ndttntn dxxxpXEnXn)()()(11)(dxxnxn 1)(101nndtnttn（2）由（1）可知，11)1(1nX，1)(2nnXn都是的无偏估计量。（3）dxxpxXEX)()()1()1(22 112)(1 dxxnxn 21012)1()1(122)1()(nnnndttntn)1()1(111)(DXnXDD 2)1(2)1(EXXE 22)11()1()1(122nnnnn 22)1(2nnnn dxxpxXEnnX)()()()(22 112)
11、(dxxnxn 21012122)(nnnndtnttn 和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 7)()(21)(nnDXnnXDD 2)(2)(nnEXXE 22)1(122nnnnnn 22)1(2nnnn 因此，两个估计量的有效性一样。8.用机床生产某种滚珠，现从中随机地抽取8 只滚珠，测得其直径（单位：mm）为：15.0
12、，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8。现对机床进行维护保养后继续进行生产，从中随机地抽取 9 只滚珠，测得其直径（单位：mm）为：15.1，15.0，14.8，15.2，14.9，15.0，14.9，15.1，14.8。假设保养前后生产的滚珠直径都服从正态分布。试问保养后机床的加工精度是否显著提高了（05.0）。解：设保养前生产的滚珠直径服从正态分布),(211aN，保养后生产的滚珠直径服从正态分布),(222aN。问题归结为检验假设2221122210:;:HH 经统计得：0125.151X，09554.02*1S 9778.142X，01944.02*2S
13、 915.422*2*10SSF 查表得：50.3)8,7()1,1(95.0211FnnF 因为)1,1(2110nnFF 所以拒绝0H，即可以认为保养后机床的加工精度是显著提高了。9.从甲、乙两个分厂的铸铁中分别抽取样本容量为 9 和 8 的样本，分别计算后得到含碳量（%）的平均数及校正样本方差为：甲厂：9,1337.0,23.01*12nsx 乙厂：8,1636.0,269.02*22nsy。和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信
14、下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 8 设甲、乙两个分厂铸铁的含碳量都服从正态分布且相互独立，问这两个分厂铸铁的含碳量的平均值可否看作一样（=0.05）？解：假设甲、乙两厂的铸铁的含碳量分别服从),(),(222211NN、问题归结为检验假设210：H；211：H 因为方差未知，又不知方差是否相等，所以应先检验假设 2221)1(0：H；2221)1(1：H 用 F 检验法，)1(0H的接受域为：22*2*1212)1,1(SSFnnF（因为22*2*1SS）现在8,921 nn，817.01636.01337.022*
15、2*1SS 查表得：2208.053.41)7,8()1,1(025.0212FnnF 因为 0.8170.2208，所以接受)1(0H，即认为方差相等。在2221的情况下，再用 T 检验法检验0H，23.0X，269.0Y 计算得：4859.01121nn，3843.0151636.0)18(1337.0)19(221222211nnSnSnSw 2089.04859.03843.0269.023.01121nnSyxTw 查表得：1315.2)15()2(975.02121tnnt 因为)2(2121nntT，所以接受0H，即可以认为两个分厂铸铁的含碳量的平均值一样。10.设有一大批产品，
16、产品质量指标),(2NX。以小者为佳，厂方要求所确定的验收方案对高质量的产品（0）能以高概率1为买方所接受。买方则要求低质产品（0,0）能以高概率1被拒绝。由厂方和买方和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 9 协商给出。并采取一次抽样以确定该批产品是否为买方所接受。问应如何安排抽样方案。已知1200，20，且由工厂长期经验知90
17、02。又经双方商定，均取值为 0.05。解：此问题可以归结为检验 0100:;:HH 且要求当0时能以95.01的概率拒绝0H。此问题的拒绝域为：10/unx)/(1/1/1)(0100110nununXPunXP 现要求当0时)(，因为)(是的减函数，故只需)(0即可，此时有)(11uun 按照给定的数据计算得35.24n，故取 n=25 且当x满足645.1/95.010uunx时，即当87.129x时买方就拒绝这批产品，而当87.129x时买方就接受这批产品。11.某中药厂从某种药材中提取一种有效成分，为了进一步提高获得率，改进了提取方法，现在对同一质量的药材，用旧法和新法各做了 10
18、次试验，得到的获得率数据如下表：旧法 75.5 77.3 76.2 78.1 76.3 78.4 77.4 78.4 76.7 78.0 新法 77.3 79.1 79.1 81.0 80.2 79.1 82.1 80.0 77.3 79.1 假设提取药材的获得率都服从正态分布，问新法的获得率是否比旧法的获得率高（=0.05）？解：假设旧法的提取获得率),(211NX，新法的提取获得率),(222NY 则2221212(,)(,)ZXYNN 和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药
19、后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 10(1,2,10)iiiZXY iL为 Z的一组样本观测值，即 iZ-1.8-1.8-2.9-2.9-3.9-0.7-4.7-1.6-0.6-1.1 问题转化为在显著性水平=0.05 下检验假设 01:=0,:0HH 经计算得：*2.2S=1.367Z ，0*Z-05.089S/Tn 查表得：0.05(9)1.8331t，由于00.055.089(9)1.8331Tt 因此拒绝0H，即认为新法的获得率是否比旧法的获得率高。12.研究纤维的抗
20、拉强度的分布，随机抽测 200 根纤维的抗压强度，以分组的形式列表如下：i 抗拉强度 频数i 1 1900,2000)10 2 2000,2100)26 3 2100,2200)56 4 2200,2300)64 5 2300,2400)30 6 2400,2500 14 要求检验原假设 H0：F(x)N(,2)。其中 F(x)为抗拉强度的分布函数（=0.05）。解：),()(H),()(H2120NxFNxF：；：经计算得：1520022102SX，所以1520022102，压强区间（kg/cm2）标准化区间 频数i 概率ip iinp2 1900,2000）（-,-1.7033）10 0.
21、04457 11.22 2000,2100）-1.7033,-0.8922）26 0.14213 23.78 2100,2200）-0.8922,-0.0811）56 0.2814 55.72 2200,2300）-0.0811,0.7300）64 0.2992 68.45 2300,2400）0.7300,1.5411）30 0.1709 26.33 和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互
22、独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 11 2400,2500 1.5411,+）14 0.06178 15.86 200 1 201.36 查表得815.7)3(295.0 因为)3(36.120036.201295.020 所以，接受原假设，即认为混凝土的抗压强度服从N(2210,15200)。13.卢瑟福盖革观察在7.5秒的时间间隔里到达某个计数器的由某块放射性物质放射出的质点数，共观察了 2611 次，得到下表：j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 j 57 203 383 525 535 408 273 139 45 27 16 0 其中j
23、是质点数，j是在一次观察中到达的质点数为j的观察次数。问在 7.5秒中到达计数器的质点数 X 是否服从泊松分布）（05.0？解：)()(:);()(:0100 xFxFHxFxFH 其中 F(x)为 X 的分布函数，F0(x)是参数为的泊松分布的分布函数。87.32611100981100jjjnx j j jp jnp jjnp/2 0 57 0.020858 54.46 59.66 1 203 0.0807 210.76 195.53 2 383 0.15619 407.82 359.69 3 525 0.2015 526.09 523.91 4 535 0.19494 508.99 56
24、2.34 5 408 0.1509 393.96 422.54 6 273 0.09732 254.10 293.31 7 139 0.0538 140.48 137.54 8 45 0.02603 67.96 29.80 9 27 0.0112 29.22 24.95 10 16 0.006562 17.13 14.94 2611 1 2611 2624.21 21.13261121.262410020njjj 查表得：919.16)9()1111()1(295.0295.021rm 因为)1(2120rm 所以，接受 H0，即可以认为在 7.5 秒中到达计数器的质点数 X 是服从参数为3.
25、87 的泊松分布。和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 12 14.有一正四面体，将它的四面分别涂成红、黄、蓝、白四种不同的颜色，现做如下抛掷试验：任意地抛掷该四面体，直到白色一面与地面接触为止，记录抛掷的次数。该试验进行了 200 次。其结果如下表所示：抛掷次数 i 1 2 3 4 5 频数 mi 56 48 32 28 36
26、 试问该四面体是否均匀）（05.0？设iA为第 i 种颜色一面与地面接触（1-红色，2-黄色，3-蓝色，4-白色）0:()1/4(1,2,3,4)iHP Ai i im ip inp 2iimnp 1 56 0.25 50 62.72 2 48 0.1875 37.5 61.44 3 32 0.140625 28.125 36.41 4 28 0.10546875 21.09375 37.17 5 36 0.31640625 63.28125 20.48 200 1 200 218.22 2520118.22iiimnnp 查表得：2210.95(1)(4)9.488mr 因为2201(1)m
27、r，所以拒绝0H，即认为该四面体不均匀。15.对核动力工厂的某类仪器实施甲、乙两种不同的维修方案，现观测到两组失效时间（单位：小时）如下表所示：甲 7 8 10 25 26 27 30 35 乙 3 28 29 42 72 84 101 150 试用秩和检验法检验这两种维修方案的效果有无显著差异（=0.05）。解：设两种维修方案的效果的分布函数分别为)(1xF和)(2xF，则原问题转化为检验)()(:);()(:211210 xFxFHxFxFH 和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种
28、安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 13 混合顺序样本为：3,7,8,10,25,26,27,28,29,30,35,42,72,84,101,150 第一组样本的秩和为 T=2+3+4+5+6+7+10+11=48 查表得：821nn，05.0时，84,5221TT 因为1TT 所以，拒绝 H0，即可以认为这两种维修方案的效果有显著差异。16.某建材实验室在作陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x（kg）对 28 天后的混凝土抗压强度 y（kg/cm2）的
29、影响，测得如下数据：ix 150 160 170 180 190 200 i 56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3 ix 210 220 230 240 250 260 i 74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7（1）求 y 对 x 的线性回归方程；（2）试用 F检验法检验线性回归效果的显著性)05.0(；（3）求2250 x（kg）时0y的 0.95 置信区间；（4）为了把抗压强度 y 限制在（60，80）内，需要把 x 的值限制在何范围内)05.0(？解：205X，14300 xxl 6.72Y，82.1323yyl，4347xyl（1）3040.
30、0 xxxyllb 28.10 xbya 所以回归直线方程为xy3040.028.10（2）5488.13212xxRlbS 2712.2RyyeSlS 7249.5818)2/(0nSSFeR 查表得2281.2)10()2(975.021tnt 和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 14 所以96.4)2()2,1(2211
31、ntnF 因为)2,1(10nFF 所以可以认为 Y 与 x 的线性相关关系显著。（3）68.782253040.028.1000 xbay 4766.02*nSe 2281.2)10()2(975.021tnt 0542.1)(1120 xxlxxn 12.1)(11)2(2)(20210 xxelxxnntnSx 故所求的预测区间为（77.56，79.80）。（4）63.166)28.1096.14766.060(3040.01)(121*11auYbx 27.226)28.1096.14766.080(3040.01)(121*22auYbx 为了把观测值限制在区间（60，80）内，需要
32、把 x 的值限制在（166.63,226.27）内。17.设对于给定的 x，对应的 Y为正态随机变量。对（x，Y）进行了 10 次独立对观测，得到数据如下表：ix-2.0 0.6 1.4 1.3 0.1-1.6-1.7 0.7-1.8-1.1 iY-6.1-0.5 7.2 6.9-0.2-2.1-3.9 3.8-7.5-2.1（1）求 Y对 x 的线性回归方程；（2）检验线性模型是否显著（=0.05）；（3）当 x0=0.5 时，求相应的 Y0的置信区间（=0.05）；（4）欲将 y 控制在（-4,4）以内，试估计 x 的允许变化范围(=0.05)。（5）求 a、b 的 0.95 置信区间。解
33、：经统计得：和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 15 545.57645.22945.0729.1641.0 xyyyxxllylx，（1）4398.3xxxyllb 9603.0 xbya 所以回归直线方程为xy4398.39603.0（2）9413.1972xxRlbS 7037.31RyyeSlS 95.49)2/(nS
34、SFeR 查表得632.0)8()2(05.0rnr 所以32.51)2(12)2,1(21nrnnF 因为)2,1(1nFF 所以可以认为 Y 与 x 的线性相关关系显著。（3）6802.25.04398.39603.000 xbay 9907.12*nSe 9218.4)(11)2(2)(20210 xxelxxnntnSx 故所求的预测区间为（-2.2416，7.602）。（4）3041.0)9603.096.19907.14(4398.31)(121*11auYbx 2506.0)9603.096.19907.14(4398.31)(121*22auYbx 为了把观测值 y 限制在区间
35、（-4，4）内，需要把 x 的值限制在（-0.3041,-0.2506）内。和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 16（5）a 的 0.95 置信区间为)1)2(2*21xxlxnnta 即,1.58)3406.0()6197.09603.0(b 的 0.95 置信区间为)/)2(*21xxlntb 即,4.5622)3174.
36、2()1224.14398.3(。18.现从三个班级中随机地抽取一些学生，记录他们的考分见下表：班级 ij 甲 73 89 82 43 80 73 65 62 47 95 60 77 乙 88 78 48 91 54 85 74 77 50 78 65 76 96 80 丙 68 80 55 93 72 71 87 42 61 68 53 79 15 假定三个班级的学生考试成绩分别服从),(21aN、),(22aN、),(22aN，试问三个班级的考试平均成绩有无显著差异（=0.05）？解：不全相等、：；：32113210aaaHaaaH 经计算得：50819.6429033.7427415.7
37、0233322222111SnxSnxSnx 007.192.297995.299)/()1/(99.599)(107250.701031231231rnSrSFxxnSSnSxnnxeAiiiAiiieiii 查表得26.3)36,2(),1(95.01FrnrF 因为),1(26.3007.110rnrFF 所以，接受原假设，即认为三个班的考试成绩没有显著差异。19.假设甲、乙、丙三种种子的亩产量都服从正态分布，且具有方差齐性。现将甲、乙、丙这三种种子在相同的条件下各进行15 次产量测试，测量它们的亩产量，并经计算得到三组样本的均值分别为：16711X，16962X，17613X；和解矩法
38、经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 17 三组样本的方差分别为：58.75621S，84.64322S，26.74023S。假设这三组样本相互独立。问：甲、乙、丙这三种种子的亩产量有无显著差异(=0.05)？解：依题意，可设甲、乙、丙这三种种子的亩产量分别服从),(2iN(i=1，2，3)则应检验假设：3210：H，不全相等、：321
39、1H 33.1709)176116961671(4515X 2.32110)26.74084.64358.756(15eS 64750)33.17091761(15)33.17091696(15)33.17091671(15222AS 35.4242/2.321102/64750eASSF 查表得：22.3)2,42(1)42,2(),1(05.095.01FFrnrF 因为),1(1rnrFF，所以拒绝 H0，即认为甲、乙、丙这三种种子的亩产量有显著差异。20.设正态总体的方差2已知，x为总体的一组容量为 n 的样本的平均值。在给定的显著性水平情况下，检验假设01100：；：HH时，犯第二类
40、错误的概率为，试验证）（nu/0110，并由此推倒出关系式2012211)()(uun。证：解：根据犯第二类错误的概率的定义，有 和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 18）（接受nunnunXPnuXPHP/01101110111010 由上述结论可知，nuu/011 所以，nuuu/0111 故nuu/0111即201221
41、1)()(uun 21.设总体X具有有限方差DX，),(21nXXX为 X的样本，对任何一组满足11nii的非负实数n,21，试证niiiX1都是总体均值EX的无偏估计量，且在这些无偏估计量中，样本均值niiXnX11是最小方差无偏估计量。证：EXEXEXXEniiniiiniii111 所以，niiiX1都是总体均值 EX的无偏估计量。DXnDXDXXDniiniiiniii112121 对任意实数 t，nn,;,2121都有0)(12niiit，即 0)(2)(121212niiniiiniitt 所以上式的判别式0，即 和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分
42、布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水 19 0)(4)(4121221niiniiniii 则)()(121221niiniiniii 取121n，11nii 则有nnii)(112，即niin121 所以)()(1112niiiniiXDDXDXnXD 22.设n,1相互独立，),(2iiaN（i=1,2,n），其中2i（i=1,2,n）不全相等。设)1()(11niiniii，211)1(n
43、iiniiinaa 试证明：（1）)1(,(21niinaN；（2）)1(2n。证：（1）因为),(2iiaN 所以)1,(iiiaN，故),1(11naNniiniii 所以)1(,(21niinaN（2）设iiiat，（nttt,21）的样本方差记为2tS 则211)1(niiniiinaa为2tnS，而)1,0(Nti，和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总
44、体为未知参数已知样本容量求的置信水 20 所以)1(122nnSt，故)1(2n。23.设),(21n是总体),(2N的一个样本，三个统计量 niinS1221)(11，niinS1222)(1，niinS1223)(11 中，哪一个是2的无偏估计量？哪一个对2的均方误差222)(iSE最小（i=1,2,3）？解：因为)1()1(2221nSn,)1(2222nnS，)1()1(2223nSn 所以1)1(221nSnE，)1(2)1(221nSnD 1222nnSE，)1(2222 nnSD 1)1(223nSnE，)1(2)1(223nSnD 所以221ES，2221nnES，22311n
45、nES 即21S是2的无偏估计量。42112nDS，4222)1(2nnDS，4223)1()1(2nnDS 222222222222)()()(iiiiiESDSSESDSE 44222112012)(nnSE 424242222212 11)1(2)(nnnnnnSE 4424242222312)1(22 111)1()1(2)(nnnnnnnSE 所以2223)(SE最小。和解矩法经统计得令即故极大似然法因为是的增函数又所以令得已知总体的分布密度函数为其它用矩法估计其未知参或减少的睡眠时间小时见下表甲乙假定病人服用两种安眠药后增加或减少的睡眠时间分别服从正态分布的置信下限和设样本来自正态总体样本均值为且两样本相互独立样本均值为样本来自正态总体为未知参数已知样本容量求的置信水