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1、1 含时微扰理论 2 量子跃迁几率3 光的发射和吸收第5章-2 量子跃迁1 含时微扰理论(一)引言（二）含时微扰理论(一)引言 上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解的是定态 Schrodinger 方程。本 章 讨 论 的 体 系 其 Hamilton 算 符 含 有 与 时 间 有 关 的 微 扰，即：因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。含时微扰理论可以通过 H
2、0 的定态波函数近似地求出微扰存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。假定 H0 的本征 函数 n 满足：H0 的定态波函数可以写为：n=n exp-int/满足左边含时 S-方程.定态波函数 n 构成正交完备系，整个体系的波函数 可按 n 展开：代入因 H(t)不含对时间 t 的偏导数算符,故可 与 an(t)对易。相消（二）含时微扰理论以m*左乘上式后 对全空间积分该式是通过展开式 改写而成的 Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。求解方法同定态微扰中使用的方法：（1）引进一个小参量，用 H 代替 H（在最后结果中
3、再令=1）；（2）将 an(t)展开成下列幂级数；（3）代入上式并按 幂次分类；(4)解这组方程，我们可得到关于an 的各级近似解，从而得到波函数 的近似解。实际上，大多数情况下，只求一级近似就足够了。（最后令=1，即用 Hmn代替 Hmn，用a m(1)代替 a m(1)。）零级近似波函数 am(0)不随时 间变化，它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定。假定t 0 时，体系处于 H0 的第 k 个本征态 k。而且由于 exp-in t/|t=0=1，于是有：比较等式两边得 比较等号两边同 幂次项得：因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t)=an(0)(0)=nk。t 0 后加入微扰
4、，则第一级近似：an(0)(t)=n k2 量子跃迁几率（一）跃迁几率（二）一阶常微扰（三）简谐微扰（四）实例（五）能量和时间测不准关系体系的某一状态t 时刻发现体系处于 m 态的几率等于|a m(t)|2am(0)(t)=mk末态不等于初态时 mk=0，则所以体系在微扰作用下由初态 k 跃迁到末态m 的几率在一级近似下为：（一）跃迁几率（1）含时 Hamilton 量设 H在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，即：（2）一级微扰近似 am(1)Hmk 与 t 无关(0 t t1)（二）一阶常微扰（3）跃迁几率和跃迁速率极限公式：则当t 时 上式右第二个分式有如下极限值：于是：跃
5、迁速率：（4）讨论1.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁速率将与时间无关，且仅在能量m k，即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁几率。在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。2.式中的(m-k)反映了跃迁过程的能量守恒。3.黄金定则 设体系在m附近dm范围内的态数目是(m)dm，则跃迁到m附近一系列可能末态的跃迁速率为：黄金规则（1）Hamilton 量t=0 时加入一个简谐 振动的微小扰动为便于讨论，将上式改写成如下形式F 是与 t无关 只与 r 有关的算符（2）求 am(1)(t)H在 H0 的第 k 个和第 m 个
6、本征态 k 和 m 之间的微扰矩阵元（三）简谐微扰几点分析:(I)当=mk 时，微扰频率 与 Bohr 频率相等，上式第二项 分子分母皆为零。求其极限得：第二项起 主要作用(II)当=mk 时，同理有：第一项起 主要作用(III)当 mk 时，两项都不随时间增大 总之，仅当=mk=(m k)/或m=k 时，出现明显跃迁。这就是说，仅当外界微扰含有频率mk时，体系才能从k态跃迁到m态，这时体系吸收或发射的能量是 mk。这说明我们讨论的跃迁是一种共振现象。因此,我们只需讨论 mk 的情况即可。（3）跃迁几率当=m k 时，略去第一项，则 此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换：Hmk Fmk,m
7、k mk-，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微扰情况下的跃迁几率为：同理，对于=-m k 有：二式合记之：（4）跃迁速率或：（5）讨论1.(m-k)描写了能量守恒：m-k=0。2.k m 时，跃迁速率可写为：也就是说，仅当 m=k-时跃迁几率才不为零，此时发射能量为 的光子。3.当k m时，4.将式中角标 m,k 对调并注意到 F 的厄密性，即得体系由 m 态到 k 态的跃迁几率：即 体系由 m k 的跃迁几率 等于 由 k m 的跃迁几率。例1.设 t=0 时，电荷为 e 的线性谐振子处于基态。在 t 0 时，附加一与振子振动方向相同的恒定外电场 E，求谐振子处在任意态的几率。解：t=0 时，振子处 于基态，即 k=0。式中 m,1 符号表明，只有 当 m=1 时，am(1)(t)0，（四）实例