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1、一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、连续函数的和、积及商的连续性v定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数 在点x0也连续 例1 因为sin x和cos x都在区间(+)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的 首页上页下页铃结束返回首页二、反函数与复合函数的连续性v定理2 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连
2、续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x)xIx上也是单调增加(或减少)且连续的所以它的反函数yarcsin x 在区间1 1上也是连续的下页 例2 同样 yarccos x 在区间1 1上是连续的 yarctan x 在区间(+)内是连续的 yarccot x 在区间(+)内是连续的上页下页铃结束返回首页 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的下页二、反函数与复合函数的连续性v定理2 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x)xIx上也是单调增加(
3、或减少)且连续的所以它的反函数yarcsin x 在区间1 1上也是连续的 例2 上页下页铃结束返回首页注:(1)把定理中的xx0换成x 可得类似的定理提示:v定理3 例3 解 下页 设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 上页下页铃结束返回首页 设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 U(x0)Df o g 若函数 ug(x)在点 x0 连续 函数 yf(u)在点u0g(x0)连续 则复合函数yfj(x)在点x0也连续下页v定理4 v定理3 设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 上页下页铃结束返回首页 sin u 当u下页上页下页铃结束返回首页 解 因为利用定理3及极限的运算法则 便有 v利用连续性求极限举例结束说明说明:若则有上页下页铃结束返回首页思考与练习思考与练习续?反例 x 为有理数 x 为无理数反之是否成立?提示提示:“反之”不成立.上页下页铃结束返回首页堂上练习堂上练习P65 3 (6),(7);4(5),(6);5 作业作业P65 3 (3),(5)4(4)6