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1、1.7 无穷小的比较v观察与比较 观察两个无穷小比值的极限 两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿 上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页v无穷小的阶 设a 及b 为同一个自变量的变化过程中的无穷小 下页上页下页铃结束返回首页v阶的比较举例所以当x0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2=o(x)(x0)所以当x3时 x2-9与x-3是同阶无穷小 例2 例3 例1 下页上页下页铃结束返回首页所以当x0时 1-cos x 是关于x 的二阶无穷小
2、 所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin xx(x0)例4 例5 下页v阶的比较举例上页下页铃结束返回首页 例6 v阶的比较举例证明:当时,证证:上页下页铃结束返回首页定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为b=ao(a)下页v关于等价无穷小的定理 必要性:证明 所以b a=o(a)因为设ab 只需证b a=o(a)充分性:设b=ao(a)则 因此ab 上页下页铃结束返回首页所以当x0时 有 sin x=xo(x)tan x=xo(x)例6 下页定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为b=ao(a)v关于等价无穷小的定理 上页下页铃结束返回首页下页定理1 b 与a是等价无
3、穷小的充分必要条件为b=ao(a)v关于等价无穷小的定理 定理2 证明 上页下页铃结束返回首页 求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得适当 则可使计算简化 定理2的意义:下页定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为b=ao(a)v关于等价无穷小的定理 定理2 上页下页铃结束返回首页 解 当x0时 tan 2x2x sin 5x5x 所以 解 当x0时sin xx 无穷小x33x与它本身显然是等价的 所以 例7 例8 结束上页下页铃结束返回首页 注意：注意：等价无穷小替换定理应遵从等价无穷小替换定理应遵从因式代替规则因式代替规则界界,则则例如,例9 求解解:原式 上页下页铃结束返回首页常用等价无穷小 推广推广 作业作业 P55 5(1),(2),(4)