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1、上页下页铃结束返回首页一、数列极限的定义一、数列极限的定义v引例 刘徽割圆术割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注,指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 的方法 :上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页v数列极限的精确定义 设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定
2、的正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式|xna |e都成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a 记为 如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限 axnnlim或 xna (n) 下页或说数列xn是发散的 习惯上也说nnxlim不存在 e 0, NN 当nN时 有|xna|e . axnnlim极限定义的简记形式上页下页铃结束返回首页aaeae()v数列极限的几何意义axnnlime 0, NN 当nN时 有|xna|e . 下页存在 NN 当nN时 点xn全都落在邻域(ae ae)内: 任意给定a的e邻域(ae ae)上页下页铃结束返回首页分析: 例1例 1 证明
3、1) 1(lim1nnnn 证明 |xn1|ennnn1| 1) 1(|1 所以1) 1(lim1nnnn 下页证证明明: : 因为e 0, 证证明明: : 因为e 0, 1eNN 当 nN 时 有 N 当 nN 时 有 axnnlime 0, NN 当nN时 有|xna|e . 对于e 0 要使|xn1|e 只要|xn1|nnnn1| 1) 1(|1 e 0 要使|xn1|e 只要en1 即e1n 上页下页铃结束返回首页因为e 0 例2 例 2 证明0) 1() 1(lim2nnn 分析:|xn0|e11) 1(1| 0) 1() 1(|22nnnn 所以0) 1() 1(lim2nnn 证
4、明 下页axnnlime 0, NN 当nN时 有|xna|e . |xn0| 0) 1() 1(|2nn11) 1(12nn 对于e 0 要使|xn0|e 只要e 0 要使|xn0|e 只要e11n 即11en e 0 11 eNN 当 nN 时 有 N 当 nN 时 有 上页下页铃结束返回首页分析: 例3 设|q|1 证明等比数列1 q q2 qn1 的极限是0 对于e 0 要使 |xn0|qn10|q|n1log|q|e 1就可以了所以0lim1nnq |qn10|q|n1e 当nN时 有因为e 0, 证明 下页N log|q|e 1Naxnnlime 0, NN 当nN时 有|xna|
5、e . 上页下页铃结束返回首页 对于某一正数e 0 如果存在正整数N 使得当nN时 有|xna|e 0 是否有xna (n) 讨论首页axnnlime 0, NN 当nN时 有|xna|e . 上页下页铃结束返回首页二、收敛数列的性质v定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一 证证明明: 假设同时有axnnlim及bxnnlim 且 a0 存在充分大的正整数 N 使当nN时 同时有 |xna|2abe 及|xnb| 上页下页铃结束返回首页 1 如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛? 2 数列1 1 1 1 (1)N1 的有界性与
6、收敛如何？讨论 下页二、收敛数列的性质v定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一 v定理2(收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界 上页下页铃结束返回首页下页二、收敛数列的性质v定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一 v定理2(收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界 v定理3(收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0)推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0) 且数列xn收敛于a 那么a0(或a0)上页下页铃结束返回首页注: 在数列xn中任意抽取
7、无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列 v定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a下页 例如 数列xn: 1 1 1 1 (1)n1 的一个子数列为x2n: 1 1 1 (1)2n1 上页下页铃结束返回首页 1 数列的子数列如果发散 原数列是否发散? 2 数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的收敛性如何? 3 发散的数列的子数列都发散吗？ 4 如何判断数列1 1 1 1 (1)N1 是发散的？结束v定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a讨论上页下页铃结束返回首页内容小结2 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限1 数列极限的 “ e N ” 定义及应用22 结束语结束语