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1、第三节一、变力沿直线所作的功二、液体的侧压力三、引力问题四、转动惯量(补充)定积分在物理学上的应用 第六章 一、变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 xa 移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间 上所作的功为例1.一个单求电场力所作的功.解:当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为则功的元素为所求功为说明:位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处(a b),在一个带+q 电荷所产生的电场作用下,P288-1例2.体,求移动过程中气体压力所解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动
2、到点 b 处(如图),作的功.建立坐标系如图.由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 P288-2例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐标系如图.在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为(KJ)设水的密度为(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为3m,P289-3面积为 A 的平板二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强例
3、4.的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解:建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性,侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 P290-4说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数三、引力问题质量分别为的质点,相距 r,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.例5.设有一长度为 l,线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.解:建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为在试计算P291-5利用对称性由对称性,棒对质点引力
4、的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为 说明:2)若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1)当细棒很长时,可视 l 为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到 b(a b)处时克服引力作的功,则有引力大小为注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,内容小结(1)先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ一般微元的几何形状有:扇、片、壳 等.(2)然后用定积分来表示整体量 Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功,侧压力,引力,转动惯量等.条、段、环、带、(99 考研)思考与练习提示:作 x 轴如图.1.为清
5、除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30 m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功为 米重50N,提升抓斗中的污泥:井深 30 m,抓斗自重 400 N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为3ms,污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉克服缆绳重:抓斗升至 x 处所需时间:克服抓斗自重:2.设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示:如图.在点O 处有一单 位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.同理故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为作业:P291 2,3,5,9,12锐角 取多大时,薄板所受的压力 P 最大.备用题斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于解:选取坐标系如图.设斜边长为 l,水中,并使一直角边与水面相齐,则其方程为问斜边与水面交成的故得唯一驻点 故此唯一驻点即为所求.由实际意义可知最大值存在,即四、转动惯量(补充)质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为的质点系若考虑物体的转动惯量,则需用积分解决.关于轴 l 的转动惯量为